Тригонометрия · урок 4 из 16

Решение треугольников

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025
строка R01 · GEOM9-004

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников» (16 ч), урок 4/16, единица R01.4. Тип урока — Н.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · что значит решить треугольник 2 · инструменты 2,5 · четыре случая 2 · две стороны и угол против одной 2,5 · сводка 2.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 3 + 2,5 + 3 + 3 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · задача из жизни 2 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 5 · итог 1.
Нужны калькуляторы (режим градусов). Если не успеваете: повышенный уровень и вторую задачу из жизни — в ДЗ; теорию и образцы не сокращать.

R01.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Решать треугольник

находить все стороны и углы по трём данным элементам (ПР-3)

Выбирать теорему

косинусов или синусов — по тому, что дано

Находить углы

по косинусу и синусу, в том числе нетабличные — с калькулятором (ПР-1, ПР-2)

Считать решения

понимать, когда треугольников два, один или ни одного

0,5 мин · теория
ПР-3: «Использовать теоремы синусов и косинусов для нахождения различных элементов треугольника („решение треугольников“), применять их при решении геометрических задач».
ПР-1 (нетабличные значения с калькулятором) и ПР-2 (формулы приведения: $sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$ , $cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$ ) — опора для сегодняшних задач.
Виды деятельности ФРП R01: «Решать треугольники. Решать практические задачи, сводящиеся к нахождению различных элементов треугольника».

повторение: R01.1–R01.3

Разминка · устно

Значения и формулы, которые нужны сегодня

$cos 12 0^{\circ} = ?$ $- \frac{1}{2}$
$sin 15 0^{\circ} = ?$ $\frac{1}{2}$
$cos α = - \frac{2}{2}$ , $0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}$ . Найдите $α$ . $13 5^{\circ}$
$sin α = \frac{1}{2}$ , $0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}$ . Найдите $α$ . $3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$

Два угла треугольника $4 0^{\circ}$ и $6 5^{\circ}$ . Третий? $7 5^{\circ}$
Теорема косинусов: $a^{2} = ?$ $b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$
Теорема синусов: $\frac{a}{sin A} = ?$ $\frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$

R01.4

Понятие

Что значит «решить треугольник»

Решить треугольник — по трём данным элементам найти остальные стороны и углы.

Элементов шесть: стороны $a$ , $b$ , $c$ и углы $A$ , $B$ , $C$ . Сторона $a = BC$ лежит против угла $A$ .

Среди данных — хотя бы одна сторона.

По трём углам нельзя: подобные треугольники имеют те же углы, но разные стороны.

2 мин · теория
Чертёж точный: $A B = 5$ , $A C = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ (это треугольник из первого образца). Цвет стороны — тот же, что у буквы в тексте; дуги углов: $A$ — одна, $B$ — две, $C$ — три.
Вопрос классу: какая сторона лежит против угла $B$ ? ( $b = A C$ .) Против угла $C$ ? ( $c = A B$ .) Путаница «сторона — противолежащий угол» — главная ошибка теоремы синусов.
Вопрос: почему трёх углов недостаточно? (Признак подобия по двум углам: все такие треугольники подобны, размер не определён.)

R01.3–R01.4

Инструменты

Три формулы решают любой треугольник

Сумма углов

A + B + C = 18 0^{\circ}

Третий угол — по двум известным.

Проверка в конце решения.

Теорема косинусов

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A

cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}

Сторона по двум сторонам и углу между ними; угол — по трём сторонам.

Теорема синусов

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C}

Сторона по стороне и двум углам.

Угол по синусу — два кандидата: $α$ и $18 0^{\circ} - α$ .

Калькулятор: режим градусов (DEG); угол по косинусу — клавиша

cos^{- 1}

. Углы округляем до

0, 1^{\circ}

, стороны — до сотых.

R01.4

Схема · четыре случая

Что дано → с чего начать

Дано	Шаг 1	Шаг 2	Решений
1. две стороны и угол между ними ( $b$ , $c$ , $A$ )	$a$ — по т. косинусов	угол против меньшей стороны — по т. косинусов; третий — по сумме углов	одно
2. сторона и два угла ( $a$ , $B$ , $C$ )	$A = 18 0^{\circ} - B - C$	$b$ и $c$ — по т. синусов	одно
3. три стороны ( $a$ , $b$ , $c$ )	наибольший угол — по т. косинусов	ещё один угол — по т. косинусов; третий — по сумме углов	одно*
4. две стороны и угол против одной из них ( $a$ , $b$ , $A$ )	$sin B$ — по т. синусов	$B$ или $18 0^{\circ} - B$ , затем $C$ и $c$	0, 1 или 2

* если выполнено неравенство треугольника: большая сторона меньше суммы двух других.

2 мин · теория
Случаи 1–3 соответствуют признакам равенства треугольников (I, II, III): если треугольник определён однозначно, решение одно. Для случая 4 признака равенства нет — поэтому решений может быть два.
Почему угол против меньшей стороны: он заведомо острый (против меньшей стороны — меньший угол), поэтому его можно найти и по теореме синусов без риска.
Вопрос: в каком случае неизвестных сторон две? (Случай 2.) Где ни одной? (Случай 3.)

R01.4

Образец → сам · две стороны и угол между ними

Случай 1: сначала третья сторона

Образец: $A B = 5$ , $A C = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Решите треугольник.

$B C^{2} = 64 + 25 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 49$ , $BC = 7$ т. косинусов

$cos B = \frac{49 + 25 - 64}{2 \cdot 7 \cdot 5} = \frac{1}{7}$ , $∠ B \approx 81, 8^{\circ}$ калькулятор

$∠ C \approx 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 81, 8^{\circ} = 38, 2^{\circ}$

Сам

$A B = 3$ , $A C = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $7$
$A C = 3$ , $A B = 5$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ и $∠ B$ . $7$ ; $∠ B \approx 21, 8^{\circ}$
$A C = 2$ , $BC = 23$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ , $∠ A$ , $∠ B$ . $2$ ; $12 0^{\circ}$ ; $3 0^{\circ}$

3 мин · практика
Образец ведёт учитель по щелчкам, каждый шаг — с обоснованием. Угол $B$ лежит против стороны $A C = 8$ , а угол $C$ — против меньшей стороны $A B = 5$ ; искать по косинусу безопасно любой. Проверка: $cos C = \frac{49 + 64 - 25}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{88}{112} \approx 0, 786$ , $∠ C \approx 38, 2^{\circ}$ ✓.
1) $B C^{2} = 9 + 64 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 49$ , $BC = 7$ .
2) $B C^{2} = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot (- \frac{1}{2}) = 49$ , $BC = 7$ ; $cos B = \frac{49 + 25 - 9}{2 \cdot 7 \cdot 5} = \frac{65}{70} \approx 0, 929$ , $∠ B \approx 21, 8^{\circ}$ ( $∠ C \approx 38, 2^{\circ}$ ).
3) $A B^{2} = 4 + 12 - 2 \cdot 2 \cdot 23 \cdot \frac{3}{2} = 16 - 12 = 4$ , $A B = 2$ . $A B = A C$ ⇒ $△ A BC$ равнобедренный, $∠ B = ∠ C = 3 0^{\circ}$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ .
Типичная ошибка во 2: $cos 12 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ — тогда получается $B C^{2} = 19$ .

R01.4

Образец → сам · сторона и два угла

Случай 2: третий угол, потом теорема синусов

Образец: $BC = 4$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ . Решите треугольник.

$∠ C = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 10 5^{\circ}$ сумма углов

$A C = \frac{BC sin B}{sin A} = \frac{4 \cdot \frac{2}{2}}{\frac{1}{2}} = 42 \approx 5, 66$ т. синусов

$A B = \frac{4 sin 10 5 ^{\circ}}{sin 3 0 ^{\circ}} \approx 7, 73$ калькулятор

Сам

$A B = 12$ , $∠ A = 7 5^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $66 \approx 14, 70$
$BC = 8$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите радиус описанной окружности. $8$
$∠ B = ∠ C = 3 0^{\circ}$ , $BC = 63$ . Найдите $A B$ . $6$

R01.4

Образец → сам · три стороны

Случай 3: сначала наибольший угол

Образец: $BC = 7$ , $A C = 8$ , $A B = 13$ . Решите треугольник.

$cos C = \frac{49 + 64 - 169}{2 \cdot 7 \cdot 8} = - \frac{1}{2}$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$ наибольший

$cos A = \frac{64 + 169 - 49}{2 \cdot 8 \cdot 13} = \frac{23}{26}$ , $∠ A \approx 27, 8^{\circ}$

$∠ B \approx 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} - 27, 8^{\circ} = 32, 2^{\circ}$

Сам

Стороны $3$ , $5$ , $7$ . Найдите наибольший угол. $12 0^{\circ}$
Стороны $5$ , $6$ , $8$ . Острый, прямоугольный или тупоугольный треугольник? тупоугольный
Стороны $5$ , $7$ , $8$ . Найдите угол против стороны $7$ . $6 0^{\circ}$

R01.4

Случай 4 · сколько решений

Две стороны и угол против одной из них

Дано:

∠ A

, сторона

b = A C

и сторона

a = BC

против

∠ A

.

1

sin B = \frac{b sin A}{a}

теорема синусов

2

sin B > 1

— треугольника нет;

sin B = 1

— один,

∠ B = 9 0^{\circ}

3

sin B < 1

:

B_{1}

острый и

B_{2} = 18 0^{\circ} - B_{1}

B_{2}

подходит, только если

∠ A + B_{2} < 18 0^{\circ}

4Окружность радиуса

a

с центром

C

пересекает луч в двух точках — два треугольника

2,5 мин · теория
Чертёж точный, это следующий образец: $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $A C = 43$ , $BC = 4$ . Окружность радиуса $4$ с центром $C$ пересекает второй луч угла $A$ в точках $B_{1}$ ( $A B_{1} = 4$ ) и $B_{2}$ ( $A B_{2} = 8$ , $∠ C = 9 0^{\circ}$ ).
Геометрический смысл: построить треугольник по двум сторонам и углу против одной — значит пересечь луч окружностью. Пересечений может быть 0 (окружность не достаёт до луча), 1 (касается или вторая точка за вершиной $A$ ), 2.
Вопрос: что будет, если $BC$ больше $A C$ ? (Вторая точка попадёт на продолжение луча за $A$ — решение одно.)

R01.4

Образец → сам · две стороны и угол против одной

Случай 4: проверьте оба угла

Образец: $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $A C = 43$ , $BC = 4$ . Найдите $∠ B$ и $A B$ .

$sin B = \frac{4 3 \cdot \frac{1}{2}}{4} = \frac{3}{2}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ или $12 0^{\circ}$

$B_{1} = 12 0^{\circ}$ : $∠ C = 3 0^{\circ}$ , $A B = BC = 4$ равнобедр.

$B_{2} = 6 0^{\circ}$ : $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 8$ катет против $3 0^{\circ}$

Сам

$∠ A = 4 5^{\circ}$ , $BC = 10$ , $A C = 52$ . Найдите $∠ B$ . $3 0^{\circ}$ (одно решение)
$∠ A = 3 0^{\circ}$ , $BC = 3$ , $A C = 8$ . Найдите $∠ B$ . треугольника нет
$∠ A = 3 0^{\circ}$ , $BC = 6$ , $A C = 63$ . Найдите $A B$ . $12$ или $6$

R01.4

Сводка · правила

Как не ошибиться в решении треугольника

Угол — по косинусу

$cos < 0$ — угол тупой, $cos > 0$ — острый. Ответ всегда один.

По синусу — два кандидата

$α$ и $18 0^{\circ} - α$ ; оставляем тот, при котором сумма углов меньше $18 0^{\circ}$ .

Сторона ↔ противолежащий угол

В теореме синусов в одной дроби — сторона и угол против неё.

Проверка

Сумма углов $18 0^{\circ}$ ; против большей стороны — больший угол.

R01.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$a^{2} = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2}$ при $∠ A = 12 0^{\circ}$	$cos 12 0^{\circ} < 0$	$a^{2} = 9 + 25 + 15 = 49$ , $a = 7$
$sin B = 0, 8$ ⇒ $∠ B \approx 53, 1^{\circ}$ , и всё	калькулятор даёт только острый угол	проверить и $18 0^{\circ} - 53, 1^{\circ} = 126, 9^{\circ}$
$\frac{A C}{sin C} = \frac{BC}{sin A}$	$A C$ лежит против $∠ B$ , а не $∠ C$	$\frac{A C}{sin B} = \frac{BC}{sin A}$

R01.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A B = 5$ , $A C = 3$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ .

$B C^{2} = 25 + 9 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}$
$B C^{2} = 19$

$BC = 19$

$cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ : $B C^{2} = 49$ , $BC = 7$

б) $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $BC = 5$ , $A C = 8$ . Найдите $∠ B$ .

$sin B = \frac{8 \cdot 0 , 5}{5} = 0, 8$

$∠ B \approx 53, 1^{\circ}$

ещё $∠ B \approx 126, 9^{\circ}$ : $3 0^{\circ} + 126, 9^{\circ} < 18 0^{\circ}$ — два ответа

в) $BC = 10$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ , $∠ C = 7 5^{\circ}$ . Найдите $A C$ .

$∠ A = 6 0^{\circ}$

$A C = \frac{10 sin 7 5 ^{\circ}}{sin 6 0 ^{\circ}} \approx 11, 15$

$A C$ против $∠ B$ : $A C = \frac{10 sin 4 5 ^{\circ}}{sin 6 0 ^{\circ}} \approx 8, 16$

R01.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаСтороны $5$ и $8$ , угол между ними $6 0^{\circ}$ . Найдите третью сторону. $7$
базаСтороны $3$ , $7$ , $8$ . Найдите угол против стороны $7$ . $6 0^{\circ}$
база $A B = 10$ , $∠ C = 15 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $10$

база $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 3 0^{\circ}$ , $BC = 62$ . Найдите $A C$ . $6$
базаСтороны $4$ , $5$ , $6$ . Определите вид треугольника по углам. остроугольный
база $A C = 4$ , $A B = 6$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $27 \approx 5, 29$

R01.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Стороны $6$ и $10$ , угол между ними $12 0^{\circ}$ . Найдите третью сторону и площадь. $14$ ; $153 \approx 25, 98$
повыш.Стороны параллелограмма $5$ и $8$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите диагонали. $7$ и $129 \approx 11, 36$
повыш.Решите треугольник со сторонами $6$ , $7$ , $8$ . $\approx 46, 6^{\circ}$ , $57, 9^{\circ}$ , $75, 5^{\circ}$
повыш. $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $A C = 10$ . При каких $BC$ треугольников ровно два? $5 < BC < 10$

2,5 мин · практика
1) $36 + 100 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot (- \frac{1}{2}) = 196$ ⇒ $14$ ; $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot sin 12 0^{\circ} = 30 \cdot \frac{3}{2} = 153 \approx 25, 98$ .
2) Диагонали — третьи стороны треугольников с углами $6 0^{\circ}$ и $12 0^{\circ}$ : $25 + 64 - 40 = 49$ ⇒ $7$ ; $25 + 64 + 40 = 129$ ⇒ $129 \approx 11, 36$ .
3) Против $6$ : $cos = \frac{49 + 64 - 36}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{77}{112} \approx 0, 6875$ ⇒ $\approx 46, 6^{\circ}$ ; против $7$ : $cos = \frac{36 + 64 - 49}{96} = \frac{51}{96} \approx 0, 531$ ⇒ $\approx 57, 9^{\circ}$ ; против $8$ : $180 - 46, 6 - 57, 9 = 75, 5^{\circ}$ ( $cos = \frac{21}{84} = 0, 25$ ✓).
4) Расстояние от $C$ до второго луча угла $A$ : $A C sin 3 0^{\circ} = 5$ . При $BC = 5$ — одно (касание, $∠ B = 9 0^{\circ}$ ); при $5 < BC < 10$ — два; при $BC \geq 10$ — одно (вторая точка за вершиной $A$ ); при $BC < 5$ — ни одного.

R01.4 → R01.5

Задача из жизни · расстояние через препятствие

Как измерить то, что не пройти рулеткой

1. Колышки $A$ и $B$ на разных берегах озера. Из точки $C$ : $C A = 300$ м, $CB = 500$ м, $∠ C = 12 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ .

$A B^{2} = 30 0^{2} + 50 0^{2} + 300 \cdot 500 = 490000$
$A B = 700$ м

2. С берега видна лодка $C$ : $A B = 200$ м, $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ B = 7 5^{\circ}$ . Найдите $A C$ .

$∠ C = 4 5^{\circ}$ , $A C = \frac{200 sin 7 5 ^{\circ}}{sin 4 5 ^{\circ}}$ $\approx 273$ м

R01.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 23

Ответ — одно число

ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ угол $C$ равен $4 5^{\circ}$ , $A B = 62$ . Найдите радиус описанной окружности. $6$
ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ $A C = 6$ , $BC = 10$ , $cos C = 0, 6$ . Найдите $A B$ . $8$

ОГЭ 23 Стороны треугольника $A B = 5$ , $BC = 7$ , $A C = 8$ . Найдите медиану $BM$ .

$cos A = \frac{25 + 64 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{1}{2}$ т. косинусов в $△ A BC$

$A M = 4$ , $B M^{2} = 25 + 16 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 21$ т. косинусов в $△ A BM$

$BM = 21$

R01.4

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Стороны $8$ и $15$ , угол между ними $6 0^{\circ}$ . Найдите третью сторону. $13$
Стороны $7$ , $13$ , $15$ . Найдите угол против стороны $13$ . $6 0^{\circ}$
$BC = 8$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 3 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $42$
$∠ A = 3 0^{\circ}$ , $BC = 7$ , $A C = 10$ . Сколько существует треугольников? два

Вариант 2

Стороны $7$ и $8$ , угол между ними $12 0^{\circ}$ . Найдите третью сторону. $13$
Стороны $5$ , $16$ , $19$ . Найдите наибольший угол. $12 0^{\circ}$
$A B = 63$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $62$
$∠ A = 3 0^{\circ}$ , $BC = 4$ , $A C = 10$ . Сколько существует треугольников? ни одного

5 мин · практика
Вариант 1: 1) $64 + 225 - 120 = 169$ ⇒ $13$ . 2) $cos = \frac{49 + 225 - 169}{2 \cdot 7 \cdot 15} = \frac{105}{210} = \frac{1}{2}$ ⇒ $6 0^{\circ}$ . 3) $A C = \frac{BC s i n B}{s i n A} = \frac{8 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{2}{2}} = 42$ . 4) $sin B = \frac{10 \cdot 0 , 5}{7} = \frac{5}{7} \approx 0, 714$ : $∠ B \approx 45, 6^{\circ}$ или $134, 4^{\circ}$ , оба подходят ( $30 + 134, 4 < 180$ ) ⇒ два.
Вариант 2: 1) $49 + 64 + 56 = 169$ ⇒ $13$ . 2) против $19$ : $cos = \frac{25 + 256 - 361}{2 \cdot 5 \cdot 16} = - \frac{80}{160} = - \frac{1}{2}$ ⇒ $12 0^{\circ}$ . 3) $BC = \frac{A B s i n A}{s i n C} = \frac{6 3 \cdot \frac{2}{2}}{\frac{3}{2}} = 62$ . 4) $sin B = \frac{10 \cdot 0 , 5}{4} = 1, 25 > 1$ ⇒ ни одного.
Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3». В задании 4 засчитывать только с обоснованием (значение $sin B$ и проверка суммы углов). Взаимопроверка по ответам (по щелчку).

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие четыре случая решения треугольника вы знаете?
Почему угол лучше искать по косинусу?
Когда у задачи два ответа?

Домашнее задание

Решите треугольник: $b = 6$ , $c = 10$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ .
Решите треугольник: $a = 5$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ , $∠ C = 10 5^{\circ}$ .
* $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $A C = 12$ , $BC = 8$ . Найдите $∠ B$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_trigonometriya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-004 · Решение треугольников

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс, базовый уровень
Строка, урок	R01 «Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников», 16 ч · урок 4/16 · тип Н
Единицы → слайды	R01.4 «Решение треугольников» → 2, 4–20 · повторение R01.1–R01.3 → 3, 5
Результаты	ПР-3 (теоремы синусов и косинусов, решение треугольников) → 4–19 · ПР-1 (нетабличные значения, калькулятор) → 5, 7–9 · ПР-2 (формулы приведения) → 3, 10–11, 13 · ПР-10 (задачи из жизни) → 17
Вне урока	практическое применение теорем — GEOM9-005; площадь четырёхугольника через диагонали — R01.5; формула $S = \frac{1}{2} ab sin C$ — повторение (сл. 16)
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Решение треугольников

Сегодня вы научитесь

Решать треугольник

Выбирать теорему

Находить углы

Считать решения

Значения и формулы, которые нужны сегодня

Что значит «решить треугольник»

Три формулы решают любой треугольник

Сумма углов

Теорема косинусов

Теорема синусов

Что дано → с чего начать

Случай 1: сначала третья сторона

Образец: AB=5, AC=8, ∠A=60∘. Решите треугольник.

Сам

Случай 2: третий угол, потом теорема синусов

Образец: BC=4, ∠A=30∘, ∠B=45∘. Решите треугольник.

Сам

Случай 3: сначала наибольший угол

Образец: BC=7, AC=8, AB=13. Решите треугольник.

Сам

Две стороны и угол против одной из них

Случай 4: проверьте оба угла

Образец: ∠A=30∘, AC=43​, BC=4. Найдите ∠B и AB.

Сам

Как не ошибиться в решении треугольника

Угол — по косинусу

По синусу — два кандидата

Сторона ↔ противолежащий угол

Проверка

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) AB=5, AC=3, ∠A=120∘. Найдите BC.

б) ∠A=30∘, BC=5, AC=8. Найдите ∠B.

в) BC=10, ∠B=45∘, ∠C=75∘. Найдите AC.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Как измерить то, что не пройти рулеткой

Ответ — одно число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-004 · Решение треугольников

Образец: $A B = 5$ , $A C = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Решите треугольник.

Образец: $BC = 4$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ . Решите треугольник.

Образец: $BC = 7$ , $A C = 8$ , $A B = 13$ . Решите треугольник.

Образец: $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $A C = 43$ , $BC = 4$ . Найдите $∠ B$ и $A B$ .

а) $A B = 5$ , $A C = 3$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ .

б) $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $BC = 5$ , $A C = 8$ . Найдите $∠ B$ .

в) $BC = 10$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ , $∠ C = 7 5^{\circ}$ . Найдите $A C$ .