Тригонометрия и решение треугольников · урок 3 из 16 · новый материал

Теорема косинусов, теорема синусов

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM9-003

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников» (16 ч), урок 3/16, единица R01.3. Тип урока — Н.
Теория (13,5): титул 0,5 · цели 0,5 · теорема косинусов 2 · доказательство 2,5 · следствия 2 · теорема синусов 2 · доказательство 2,5 · схема выбора 1,5.
Практика (31,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · из жизни 1,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: повышенный уровень (сл. 18) и вторую задачу из жизни — в ДЗ; доказательства не сокращать.

R01.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Доказывать теорему косинусов

и находить по ней сторону и угол треугольника

Доказывать теорему синусов

вместе с радиусом описанной окружности: $\frac{a}{sin A} = 2 R$

Выбирать нужную теорему

по тому, что дано в условии (ПР-3)

Решать задачи

геометрические, практические и в формате ОГЭ 15–16

повторение: R01.1–R01.2, 8 класс

Разминка · устно

Синус, косинус, формулы приведения

$sin 3 0^{\circ}$ $\frac{1}{2}$
$cos 6 0^{\circ}$ $\frac{1}{2}$
$cos 12 0^{\circ}$ $- \frac{1}{2}$
$sin 15 0^{\circ}$ $\frac{1}{2}$

$sin 13 5^{\circ}$ $\frac{2}{2}$
$cos 9 0^{\circ}$ $0$
$sin^{2} α + cos^{2} α$ $1$
Знак $cos$ тупого угла? минус

Вписанный угол опирается на дугу $10 0^{\circ}$ . Он равен… $5 0^{\circ}$
Вписанный угол опирается на диаметр. Он равен… $9 0^{\circ}$

2 мин · практика
Ответы: 1) 1/2. 2) 1/2. 3) cos 120° = cos(180° − 60°) = −cos 60° = −1/2. 4) sin 150° = sin 30° = 1/2. 5) sin 135° = sin 45° = √2/2. 6) 0. 7) 1 — основное тригонометрическое тождество. 8) минус: точка M лежит левее оси Oy.
9) половине дуги: 50°. 10) 90° (опирается на полуокружность) — 8 класс.
Всё это понадобится сегодня: тождество — в доказательстве теоремы косинусов, вписанные углы и sin(180° − α) = sin α — в доказательстве теоремы синусов, знак косинуса — в задачах с тупым углом.

R01.3

Теорема косинусов

Квадрат стороны через две другие и угол между ними

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A

Так же:

b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos B

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C

R01.3

Теорема косинусов · доказательство

Через высоту и теорему Пифагора

Дано:

△ A BC

,

BC = a

,

A C = b

,

A B = c

. Доказать:

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A

.

1

C H = b sin A

,

A H = b cos A

C H ⊥ A B

; определение синуса и косинуса угла

A

2

B H = c - b cos A

B H = A B - A H

3

a^{2} = C H^{2} + B H^{2} = b^{2} sin^{2} A + (c - b cos A)^{2}

теорема Пифагора в

△ BC H

4

a^{2} = b^{2} (sin^{2} A + cos^{2} A) + c^{2} - 2 b c cos A

раскрыли скобки и сгруппировали

5

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A

sin^{2} A + cos^{2} A = 1

— основное тождество

2,5 мин · теория
Каждый шаг — вопрос классу «почему?», ответ — обоснование под строкой. Цвет отрезков на чертеже совпадает с цветом в записи.
Шаг 1: точка C лежит на расстоянии b от A под углом A к лучу AB, поэтому её «высота» над AB равна b sin A, а «сдвиг» вдоль AB — b cos A (определение синуса и косинуса угла от 0° до 180°, урок 1).
Если угол A тупой, H лежит на продолжении AB за точку A, cos A < 0 и BH = c + b|cos A| = c − b cos A — формула та же. Если A = 90°, H совпадает с A, cos A = 0 — получаем теорему Пифагора.
Шаг 3–4: (c − b cos A)² = c² − 2bc cos A + b² cos² A.

R01.3

Следствия теоремы косинусов

Пифагор, угол по трём сторонам, вид треугольника

Если $∠ A = 9 0^{\circ}$

$cos 9 0^{\circ} = 0$ , значит

a^{2} = b^{2} + c^{2}

теорема Пифагора — частный случай

Угол по трём сторонам

cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}

$cos A > 0$ — угол острый, $cos A < 0$ — тупой

Вид треугольника

$a$ — наибольшая сторона:

$a^{2} < b^{2} + c^{2}$ — остроугольный

$a^{2} = b^{2} + c^{2}$ — прямоугольный

$a^{2} > b^{2} + c^{2}$ — тупоугольный

R01.3

Образец → сам · сторона по двум сторонам и углу

Найдите третью сторону

Образец: $A C = 5$ , $A B = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ .

$B C^{2} = 5^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot cos 6 0^{\circ}$ т. косинусов

$B C^{2} = 25 + 64 - 40 = 49$ $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$

$BC = 7$

Сам

$A C = 3$ , $A B = 5$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $7$
$A B = 6$ , $A C = 4$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $27$
$A C = 2$ , $A B = 32$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $10$

R01.3

Образец → сам · угол по трём сторонам

Обратная задача: найдите угол

Образец: стороны треугольника $3$ , $5$ и $7$ . Найдите угол против стороны $7$ .

$cos A = \frac{3 ^{2} + 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 5}$ следствие

$cos A = \frac{- 15}{30} = - \frac{1}{2}$ $cos A < 0$ — тупой

$∠ A = 12 0^{\circ}$

Сам

Стороны $5$ , $7$ , $8$ . Найдите угол против стороны $7$ . $6 0^{\circ}$
Стороны $7$ , $8$ , $13$ . Найдите наибольший угол. $12 0^{\circ}$
Стороны $3$ , $5$ , $6$ . Определите вид треугольника. тупоугольный: $36 > 34$

R01.3

Теорема синусов

Стороны пропорциональны синусам противолежащих углов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов; отношение равно диаметру описанной окружности.

\frac{a}{sin A}

= \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} =

2 R

$R$ — радиус описанной окружности. Отсюда $a = 2 R sin A$ , $R = \frac{a}{2 sin A}$ .

R01.3

Теорема синусов · доказательство

Через диаметр описанной окружности

Дано:

△ A BC

вписан в окружность

(O; R)

,

BC = a

. Доказать:

\frac{a}{sin A} = 2 R

.

1

B D = 2 R

проведём диаметр

B D

через центр

O

2

∠ B D C = ∠ A

вписанные углы, опираются на одну дугу

BC

3

∠ BC D = 9 0^{\circ}

вписанный угол опирается на диаметр

B D

4

a = BC

= B D \cdot sin D = 2 R sin A

△ BC D

прямоугольный: катет = гипотенуза · синус противолежащего угла

5

\frac{a}{sin A} = 2 R

; так же

\frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

то же построение от другой вершины

R01.3

Образец → сам · сторона по стороне и двум углам

Теорема синусов: найдите сторону

Образец: $BC = 42$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 3 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ .

$\frac{A C}{sin B} = \frac{BC}{sin A}$ т. синусов

$A C = \frac{4 2 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{2}{2}}$ $A C$ против $∠ B$

$A C = 4$

Сам

$A C = 8$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 3 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $82$
$BC = 63$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ , $∠ B = 3 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $6$
$BC = 36$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ C = 7 5^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $6$

R01.3

Образец → сам · радиус описанной окружности

Найдите $R$ и обратно

Образец: $∠ C = 12 0^{\circ}$ , $A B = 63$ . Найдите радиус описанной окружности.

$R = \frac{A B}{2 sin C}$ $A B$ против $∠ C$ ; $sin 12 0^{\circ} = sin 6 0^{\circ}$

$R = \frac{6 3}{2 \cdot \frac{3}{2}} = 6$

Сам

$A B = 10$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $10$
$R = 5$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $52$
$R = 4$ , $BC = 43$ , $∠ A$ — тупой. Найдите $∠ A$ . $12 0^{\circ}$

R01.3

Схема · какую теорему выбрать

Смотрим, что дано

Дано	Найти	Применяем
две стороны и угол между ними	третью сторону	т. косинусов: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$
три стороны	угол	следствие: $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$
сторону и два угла	другую сторону	третий угол $= 18 0^{\circ} - \dots$ , затем т. синусов
сторону и противолежащий угол	$R$ или сторону	т. синусов: $\frac{a}{sin A} = 2 R$

R01.3

Образец → сам · обе теоремы в одной задаче

Сначала сторона, потом радиус

Образец: $A C = 3$ , $A B = 5$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ и $R$ .

$B C^{2} = 9 + 25 + 15 = 49$ , $BC = 7$ т. косинусов

$R = \frac{7}{2 sin 12 0 ^{\circ}} = \frac{7}{3} = \frac{7 3}{3}$ т. синусов

Сам

$A B = A C = 4$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ и $R$ . $43$ и $4$
$∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ , $A C = 6$ . Какая теорема? Найдите $BC$ . синусов: $32$
Стороны $5$ , $7$ , $8$ . Найдите $R$ . $\frac{7 3}{3}$

2 мин · практика
Образец: BC² = 9 + 25 − 2·3·5·(−1/2) = 49, BC = 7; R = 7 / (2 · √3/2) = 7/√3 = 7√3/3 ≈ 4,04. Окружность на чертеже — описанная; центр вне треугольника (угол A тупой).
1) BC² = 16 + 16 + 16 = 48, BC = 4√3; R = 4√3 / (2 · √3/2) = 4.
2) Дана пара «сторона AC — противолежащий ∠B» ⇒ теорема синусов: BC = AC · sin A / sin B = 6 · (1/2) : (√2/2) = 3√2.
3) Нужен угол: против 7 — cos = (25 + 64 − 49)/80 = 1/2, угол 60°; R = 7 / (2 · √3/2) = 7√3/3. Сильным — почему тот же ответ, что в образце? (Тот же угол против 7: 60° и 120° имеют одинаковый синус.)

R01.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$cos 12 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ ⇒ $a^{2} = b^{2} + c^{2} - b c$	косинус тупого угла отрицателен	$cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ : $a^{2} = b^{2} + c^{2} + b c$
$\frac{a}{sin A} = R$	в доказательстве $B D$ — диаметр	$\frac{a}{sin A} = 2 R$
$\frac{a}{sin B} = \frac{b}{sin A}$	в пару берут сторону и противолежащий угол	$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B}$
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos B$	угол должен лежать между сторонами $b$ и $c$	$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$

1,5 мин · практика (ученики сами объясняют «почему», учитель открывает строку)
Строка 1 — самая частая ошибка урока: знак косинуса тупого угла (формула приведения cos(180° − α) = −cos α).
Строка 2: «радиус» вместо «диаметра» — ответ в 2 раза больше верного.
Строки 3–4 — не тот угол: проверять по чертежу, какой угол лежит против стороны (теорема синусов) и между сторонами (теорема косинусов). «На рисунке видно» — не обоснование: по буквам: a = BC, угол A — между AB и AC.

R01.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A B = 4$ , $A C = 6$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ .

$B C^{2} = 52 - 48 cos 12 0^{\circ}$

$B C^{2} = 52 - 24 = 28$

$BC = 27$

$48 cos 12 0^{\circ} = - 24$ :
$B C^{2} = 52 + 24 = 76$ ,
$BC = 219$

б) $BC = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $R$ .

$R = \frac{BC}{sin A} = \frac{10}{\frac{1}{2}} = 20$

$\frac{BC}{sin A} = 2 R$ — диаметр:
$2 R = 20$ , $R = 10$

в) Стороны $4$ , $5$ , $7$ . Определите вид треугольника.

$5^{2} = 25 < 4^{2} + 7^{2} = 65$

остроугольный

проверяем наибольшую сторону: $49 > 16 + 25 = 41$ — тупоугольный

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Знак: −2·4·6·(−1/2) = +24, BC² = 16 + 36 + 24 = 76, BC = √76 = 2√19. Проверка здравым смыслом: против тупого угла — наибольшая сторона, а 2√7 ≈ 5,3 < 6 = AC — так быть не может.
б) Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру: 2R = 20, R = 10.
в) Сравнивать надо квадрат наибольшей стороны: против неё наибольший угол. 7² = 49 > 16 + 25 = 41 ⇒ угол против стороны 7 тупой.

R01.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $A C = 3$ , $A B = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $7$
база $A B = 2$ , $A C = 3$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $19$
базаСтороны $3$ , $5$ , $7$ . Найдите наибольший угол. $12 0^{\circ}$
база $BC = 8$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $8$
база $R = 6$ , $∠ A = 15 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $6$
база $BC = 22$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $23$

R01.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Стороны параллелограмма $4$ и $6$ , острый угол $6 0^{\circ}$ . Найдите обе диагонали. $27$ и $219$
повыш.Стороны треугольника $6$ , $10$ , $14$ . Найдите наибольший угол и $R$ . $12 0^{\circ}$ ; $R = \frac{14 3}{3}$
повыш.Основание равнобедренного треугольника $63$ , угол при вершине $12 0^{\circ}$ . Найдите боковую сторону. $6$
повыш.Хорда $A B = 83$ окружности радиуса $8$ . Найдите вписанный угол, опирающийся на $A B$ . $6 0^{\circ}$ или $12 0^{\circ}$

R01.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 16

Ответ — одно число

ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ $A B = 6$ , $BC = 10$ , $∠ B = 12 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $14$
ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ $BC = 32$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 3 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $3$

ОГЭ 16Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $A BC$ , если $A C = 43$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . $4$
ОГЭ 16Радиус окружности, описанной около треугольника $A BC$ , равен $7$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $7$

R01.3 · из жизни

Задача из жизни · расстояние до недоступной точки

Как измерить ширину озера

Из точки $C$ измерили: $C A = 300$ м, $CB = 500$ м, $∠ A CB = 12 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $700$ м
До буя $B$ не дойти. На берегу $A C = 100$ м, $∠ A = 7 5^{\circ}$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ (калькулятор). $506 \approx 122, 5$ м

R01.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$A C = 3$ , $A B = 5$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $19$
Стороны $7$ , $8$ , $13$ . Найдите наибольший угол. $12 0^{\circ}$
$A B = 10$ , $∠ C = 15 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $10$
$BC = 4$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 3 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $22$

Вариант 2

$A C = 4$ , $A B = 5$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $61$
Стороны $3$ , $7$ , $8$ . Найдите угол против стороны $7$ . $6 0^{\circ}$
$R = 5$ , $∠ A = 13 5^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $52$
$BC = 5$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $52$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Сформулируйте теорему косинусов.
Чему равно $\frac{a}{sin A}$ ?
Как по трём сторонам узнать, тупой ли угол?

Домашнее задание

$A C = 5$ , $A B = 8$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ .
Стороны $3$ , $5$ , $7$ . Найдите $R$ .
$A B = 12$ , $∠ C = 4 5^{\circ}$ . Найдите $R$ .
Тренажёры: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_navyk_teorema-kosinusov.htm, …9_geometry_navyk_teorema-sinusov.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-003 · Теорема косинусов, теорема синусов

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R01 «Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников», 16 ч · урок 3/16 · тип Н
Единицы → слайды	R01.3 «Теорема косинусов, теорема синусов» → 2, 4–22 · повторение R01.1–R01.2 и вписанных углов 8 класса → 3
Результаты	ПР-3 (использовать теоремы синусов и косинусов для нахождения элементов треугольника) → 4–22
Вне урока	решение треугольников (все случаи, калькулятор) — GEOM9-004; площадь $S = \frac{1}{2} ab sin C$ и через диагонали — GEOM9-004–005; практические задачи — GEOM9-005
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Теорема косинусов, теорема синусов

Сегодня вы научитесь

Доказывать теорему косинусов

Доказывать теорему синусов

Выбирать нужную теорему

Решать задачи

Синус, косинус, формулы приведения

Квадрат стороны через две другие и угол между ними

Через высоту и теорему Пифагора

Пифагор, угол по трём сторонам, вид треугольника

Если ∠A=90∘

Угол по трём сторонам

Вид треугольника

Найдите третью сторону

Образец: AC=5, AB=8, ∠A=60∘. Найдите BC.

Сам

Обратная задача: найдите угол

Образец: стороны треугольника 3, 5 и 7. Найдите угол против стороны 7.

Сам

Стороны пропорциональны синусам противолежащих углов

Через диаметр описанной окружности

Теорема синусов: найдите сторону

Образец: BC=42​, ∠A=45∘, ∠B=30∘. Найдите AC.

Сам

Найдите R и обратно

Образец: ∠C=120∘, AB=63​. Найдите радиус описанной окружности.

Сам

Смотрим, что дано

Сначала сторона, потом радиус

Образец: AC=3, AB=5, ∠A=120∘. Найдите BC и R.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) AB=4, AC=6, ∠A=120∘. Найдите BC.

б) BC=10, ∠A=30∘. Найдите R.

в) Стороны 4, 5, 7. Определите вид треугольника.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Как измерить ширину озера

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-003 · Теорема косинусов, теорема синусов

Если $∠ A = 9 0^{\circ}$

Образец: $A C = 5$ , $A B = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ .

Образец: стороны треугольника $3$ , $5$ и $7$ . Найдите угол против стороны $7$ .

Образец: $BC = 42$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 3 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ .

Найдите $R$ и обратно

Образец: $∠ C = 12 0^{\circ}$ , $A B = 63$ . Найдите радиус описанной окружности.

Образец: $A C = 3$ , $A B = 5$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ и $R$ .

а) $A B = 4$ , $A C = 6$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ .

б) $BC = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $R$ .

в) Стороны $4$ , $5$ , $7$ . Определите вид треугольника.