Тригонометрия · урок 1 из 16

Синус, косинус и тангенс углов от 0° до 180°

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM9-001

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников» (16 ч), урок 1/16, единица R01.1. Тип урока — Н.
Теория (13): титул 0,5 · цели 0,5 · определение 2 · острый угол 1,5 · углы 0°, 90°, 180° 1,5 · знаки 1,5 · тождество 2 · координаты точки 1,5 · таблица значений 2.
Практика (32): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2 + 3 + 2,5 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 5 · итог 1.
Если не успеваете: задание «из жизни» (часы) и третье задание образца 5 — в ДЗ; определения и вывод тождества не сокращать.

R01.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Определять синус, косинус, тангенс

любого угла от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ — через единичную полуокружность (ПР-1)

Находить значения

для $0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ , $18 0^{\circ}$ и тупых углов по чертежу и таблице

Пользоваться тождеством

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ — находить одну функцию по другой (ПР-2)

Находить координаты точки

по длине отрезка $O A$ и углу с осью $O x$ ; решать задачи ОГЭ

0,5 мин · теория
ПР-1 (REQ-6.1): «Знать тригонометрические функции острых углов, находить с их помощью различные элементы прямоугольного треугольника… Находить (с помощью калькулятора) длины и углы для нетабличных значений».
ПР-2 (REQ-6.2): «Пользоваться формулами приведения и основным тригонометрическим тождеством для нахождения соотношений между тригонометрическими величинами».
Вид деятельности ФРП R01: «Формулировать определения тригонометрических функций тупых и прямых углов».

повторение: 8 класс

Разминка · устно

Синус, косинус и тангенс острого угла

$sin A$ $\frac{3}{5} = 0, 6$
$cos A$ $\frac{4}{5} = 0, 8$
$tg A$ $\frac{3}{4} = 0, 75$
$sin^{2} A + cos^{2} A$ $0, 36 + 0, 64 = 1$
$sin 3 0^{\circ}$ , $cos 6 0^{\circ}$ $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$
$cos 4 5^{\circ}$ , $tg 6 0^{\circ}$ $\frac{2}{2}$ и $3$
А чему равен $cos 12 0^{\circ}$ ? пока не знаем — узнаем сегодня

R01.1

Определение

Синус, косинус, тангенс на единичной полуокружности

Полуокружность радиуса

1

с центром

O

. Луч

OM

образует с лучом

O A

угол

α

,

0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}

.

sin α = y

ордината

M

cos α = x

абсцисса

M

tg α = \frac{sin α}{cos α}

α \neq = 9 0^{\circ}

2 мин · теория
Единичная полуокружность: центр в начале координат, радиус 1, расположена в верхней полуплоскости. A(1; 0) — правый конец. Угол α отсчитываем от луча OA (положительное направление оси Ox) против часовой стрелки.
Определение: синусом угла α называется ордината y точки M, косинусом — абсцисса x точки M, тангенсом — отношение sin α : cos α (при α ≠ 90°).
Вопрос: какие значения может принимать y на полуокружности? (от 0 до 1.) А x? (от −1 до 1.)
Ошибка: отсчитывать угол от оси Oy или по часовой стрелке.

R01.1

Почему так · доказательство

Для острого угла — те же значения, что в 8 классе

Дано:

0^{\circ} < α < 9 0^{\circ}

,

M (x; y)

на полуокружности,

M H ⊥ O x

.
Доказать: новые

sin α

,

cos α

,

tg α

— прежние.

1

OM = 1

,

△ O H M

— прямоугольныйрадиус;

M H ⊥ O x

2

sin α = \frac{M H}{OM} = y

определение 8 класса: противолежащий катет : гипотенуза

3

cos α = \frac{O H}{OM} = x

прилежащий катет : гипотенуза

4

tg α = \frac{M H}{O H} = \frac{y}{x}

— то женовые определения продолжают старые на

0^{\circ}

,

9 0^{\circ}

и тупые углы

R01.1

Свойство · особые углы

Углы $0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ и $18 0^{\circ}$

$α$	$sin α$	$cos α$	$tg α$
$0^{\circ}$ $A$	$0$	$1$	$0$
$9 0^{\circ}$ $C$	$1$	$0$	не сущ.
$18 0^{\circ}$ $B$	$0$	$- 1$	$0$

tg 9 0^{\circ}

не существует:

cos 9 0^{\circ} = 0

, а делить на

0

нельзя.

R01.1

Образец → сам · значения по чертежу

Найдите синус, косинус и тангенс тупого угла

Образец: найдите $sin 12 0^{\circ}$ , $cos 12 0^{\circ}$ , $tg 12 0^{\circ}$ .

$∠ MO H = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ смежные углы

$O H = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $M H = sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ $△ O H M$

$M (- \frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ $M$ левее оси $O y$

$cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ , $sin 12 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ , $tg 12 0^{\circ} = - 3$

Сам: постройте точку $M$

$sin 13 5^{\circ}$ , $cos 13 5^{\circ}$ $\frac{2}{2}$ и $- \frac{2}{2}$
$sin 15 0^{\circ}$ , $cos 15 0^{\circ}$ $\frac{1}{2}$ и $- \frac{3}{2}$
$tg 13 5^{\circ}$ , $tg 15 0^{\circ}$ $- 1$ и $- \frac{3}{3}$

R01.1

Свойство · знаки и границы

Какой знак у синуса, косинуса и тангенса

угол $α$	$sin$	$cos$	$tg$
острый	$+$	$+$	$+$
тупой	$+$	$-$	$-$

0 \leq sin α \leq 1, - 1 \leq cos α \leq 1

R01.1

Образец → сам · знак выражения

Определите знак, не вычисляя

Образец: какой знак у $sin 13 0^{\circ} \cdot cos 16 0^{\circ} \cdot tg 2 0^{\circ}$ ?

$sin 13 0^{\circ} > 0$ синус от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ неотрицателен

$cos 16 0^{\circ} < 0$ , $tg 2 0^{\circ} > 0$ тупой; острый

$(+) \cdot (-) \cdot (+)$ : выражение отрицательно

Сам

Знак $cos 9 5^{\circ} \cdot tg 17 0^{\circ}$ ? положительный: $(-) \cdot (-)$
$cos α = - 0, 2$ . Угол $α$ острый или тупой? тупой
Может ли $sin α = - 0, 5$ , если $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$ ? нет: $sin α \geq 0$

R01.1

Основное тождество · доказательство

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ для любого угла от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$

Дано:

0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}

,

M (x; y)

на единичной полуокружности.
Доказать:

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

.

1

OM = 1

,

x = cos α

,

y = sin α

радиус; определение

2

O H = ∣ x ∣

,

M H = y

,

O H^{2} + M H^{2} = O M^{2}

теорема Пифагора в

△ O H M

3

x^{2} + y^{2} = 1

∣ x ∣^{2} = x^{2}

— знак не важен

4

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

при

α = 0^{\circ}, 9 0^{\circ}, 18 0^{\circ}

— проверка по таблице

R01.1

Образец → сам · обратная задача

Известна одна функция — найдите остальные

Образец: $cos α = - 0, 6$ . Найдите $sin α$ и $tg α$ .

$sin^{2} α = 1 - 0, 36 = 0, 64$ основное тождество

$sin α = 0, 8$ $sin α \geq 0$ — знак «+»

$tg α = \frac{0 , 8}{- 0 , 6} = - \frac{4}{3}$

Сам

$cos α = 0, 8$ . Найдите $sin α$ , $tg α$ . $0, 6$ и $0, 75$
$sin α = \frac{5}{13}$ , $α$ тупой. $cos α$ , $tg α$ — ? $- \frac{12}{13}$ и $- \frac{5}{12}$
$sin α = 0, 6$ , $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$ . Найдите $cos α$ . $0, 8$ или $- 0, 8$

R01.1

Теорема · доказательство

Координаты точки через длину и угол

Дано:

O A = r

, угол между лучом

O A

и осью

O x

равен

α

Доказать:

A (r cos α; r sin α)

.

1

M (cos α; sin α)

— на луче

O A

,

OM = 1

определение

2

△ O K A \sim △ O H M

,

k = \frac{O A}{OM} = r

общий острый угол при

O

, прямые углы при

K

и

H

3

O K = r \cdot O H

,

K A = r \cdot H M

A

и

M

в одной четверти — знаки координат те же

4

A (r cos α; r sin α)

при

α = 0^{\circ}, 9 0^{\circ}, 18 0^{\circ}

— сразу:

A

на оси

R01.1

Образец → сам · координаты точки

Найдите координаты точки $A$

Образец: $O A = 6$ , угол между лучом $O A$ и осью $O x$ равен $15 0^{\circ}$ .

$x = 6 cos 15 0^{\circ} = 6 \cdot (- \frac{3}{2}) = - 33$

$y = 6 sin 15 0^{\circ} = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$

$A (- 33; 3)$ проверка: $△ O K A$ с углом $3 0^{\circ}$

Сам

$O A = 4$ , угол $6 0^{\circ}$ . $A (2; 23)$
$O A = 10$ , угол $13 5^{\circ}$ . $A (- 52; 52)$
$A (- 2; 2)$ . Найдите $O A$ и угол между лучом $O A$ и осью $O x$ . $O A = 22$ , угол $13 5^{\circ}$

R01.1

Сводка · таблица значений

Значения для «табличных» углов

$α$	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$12 0^{\circ}$	$13 5^{\circ}$	$15 0^{\circ}$	$18 0^{\circ}$
$sin$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$cos$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{2}{2}$	$- \frac{3}{2}$	$- 1$
$tg$	$0$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$	—	$- 3$	$- 1$	$- \frac{3}{3}$	$0$

Синусы углов

α

и

18 0^{\circ} - α

равны: таблица симметрична относительно

9 0^{\circ}

.

Косинусы и тангенсы этих углов противоположны: те же числа со знаком «−».

R01.1

Образец → сам · вычисления по таблице

Вычислите значение выражения

Образец: вычислите

2 sin 15 0^{\circ} + cos 12 0^{\circ} \cdot tg 13 5^{\circ}

$sin 15 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ , $tg 13 5^{\circ} = - 1$

$2 \cdot \frac{1}{2} + (- \frac{1}{2}) \cdot (- 1) = 1 + \frac{1}{2}$ минус на минус — плюс

$= 1, 5$

Сначала выпишите значения со знаками — потом считайте.

Сам

$4 cos 18 0^{\circ} - 2 sin 9 0^{\circ}$ $- 6$
$sin 12 0^{\circ} \cdot cos 15 0^{\circ}$ $- \frac{3}{4}$
$tg 13 5^{\circ} + sin^{2} 13 5^{\circ} + cos^{2} 4 5^{\circ}$ $0$

R01.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$cos 12 0^{\circ} = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$	у тупого угла точка $M$ левее оси $O y$ : $x < 0$	$cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$
$sin α = 0, 6 \Rightarrow cos α = 0, 8$	угол может быть и тупым — тогда косинус отрицателен	$cos α = \pm 0, 8$ : знак — по виду угла
$tg 9 0^{\circ} = 0$	$tg 9 0^{\circ} = \frac{1}{0}$ — делить на нуль нельзя	$tg 9 0^{\circ}$ не существует
$sin 15 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$	синус — ордината точки верхней полуокружности: $y \geq 0$	$sin 15 0^{\circ} = \frac{1}{2}$

R01.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $cos α = - 0, 6$ . Найдите $sin α$ .

$sin^{2} α = 1 - 0, 36 = 0, 64$

$sin α = - 0, 8$ , раз косинус отрицательный

$sin α = 0, 8$ : синус от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ не бывает отрицательным

б) Вычислите $tg 15 0^{\circ}$ .

$tg 15 0^{\circ} = \frac{sin 15 0 ^{\circ}}{cos 15 0 ^{\circ}}$

$= \frac{1}{2} : \frac{3}{2} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}$

потерян знак: $cos 15 0^{\circ} < 0$

$tg 15 0^{\circ} = - \frac{3}{3}$

в) $O A = 4$ , угол с $O x$ равен $12 0^{\circ}$ . Найдите координаты $A$ .

$A (4 sin 12 0^{\circ}; 4 cos 12 0^{\circ}) = (23; - 2)$

абсцисса — через косинус: $A (4 cos 12 0^{\circ}; 4 sin 12 0^{\circ}) = (- 2; 23)$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Первая строка верна, ошибка во второй: знак синуса не зависит от знака косинуса; sin α ≥ 0 всегда. Ответ 0,8.
б) Потерян знак косинуса тупого угла. tg 150° = (1/2) : (−√3/2) = −1/√3 = −√3/3.
в) Перепутаны абсцисса и ордината: x = r cos α, y = r sin α. Подсказка «на рисунке видно»: точка при 120° — над осью Ox, значит y > 0, а у ученика y = −2 — сразу видно, что неверно.

R01.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $sin 9 0^{\circ} + cos 0^{\circ}$ $2$
база $cos 18 0^{\circ} - tg 0^{\circ}$ $- 1$
база $cos 13 5^{\circ}$ $- \frac{2}{2}$
база $sin α = 0, 28$ , $α$ острый. $cos α$ ? $0, 96$
базаЗнак $sin 16 0^{\circ} \cdot cos 16 0^{\circ}$ ? «−»
база $O A = 2$ , угол $3 0^{\circ}$ . Координаты $A$ ? $(3; 1)$

R01.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $cos α = - 0, 28$ . Найдите $sin α$ и $tg α$ . $0, 96$ и $- \frac{24}{7}$
повыш. $sin α = \frac{3}{2}$ , $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$ . Найдите $α$ . $6 0^{\circ}$ или $12 0^{\circ}$
повыш.Докажите: $1 + tg^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}$ $(α \neq = 9 0^{\circ})$ . разделите тождество на $cos^{2} α$
из жизниМинутная стрелка длиной $15$ см показывает на «10». Насколько её конец выше центра циферблата и левее его? на $7, 5$ см выше, на $7, 53 \approx 13$ см левее

R01.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 18 и 19

Ответ — число или номера утверждений

ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ угол $C$ равен $9 0^{\circ}$ , $A B = 15$ , $sin A = 0, 8$ . Найдите $A C$ . $9$

ОГЭ 19Какие утверждения верны?

Синус тупого угла отрицателен.
Косинус тупого угла отрицателен.
$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ для любого угла $α$ от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ .

Ответ: 23

ОГЭ 18Найдите тангенс угла $A OB$ , изображённого на клетчатой бумаге.

Ответ: $- 1, 5$

R01.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$sin 18 0^{\circ} + cos 9 0^{\circ} + tg 13 5^{\circ}$ $- 1$
$cos α = - 0, 6$ . Найдите $sin α$ , $tg α$ . $0, 8$ ; $- \frac{4}{3}$
$O A = 6$ , угол с осью $O x$ равен $12 0^{\circ}$ . Координаты $A$ ? $(- 3; 33)$
Знак $sin 10 0^{\circ} \cdot cos 10 0^{\circ}$ ? «−»

Вариант 2

$cos 18 0^{\circ} + sin 9 0^{\circ} + tg 4 5^{\circ}$ $1$
$cos α = - 0, 8$ . Найдите $sin α$ , $tg α$ . $0, 6$ ; $- \frac{3}{4}$
$O A = 8$ , угол с осью $O x$ равен $13 5^{\circ}$ . Координаты $A$ ? $(- 42; 42)$
Знак $tg 15 0^{\circ} \cdot cos 17 0^{\circ}$ ? «+»

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое $sin α$ и $cos α$ на единичной полуокружности?
У какой функции тупого угла знак «−»?
Почему не существует $tg 9 0^{\circ}$ ?

Домашнее задание

$sin 12 0^{\circ}$ , $cos 13 5^{\circ}$ , $tg 15 0^{\circ}$ — по чертежу.
$sin α = \frac{12}{13}$ , $α$ тупой: $cos α$ , $tg α$ .
$O A = 12$ , угол $15 0^{\circ}$ : координаты $A$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_trigonometriya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-001 · Определение тригонометрических функций углов от 0° до 180°

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R01 «Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников», 16 ч · урок 1/16 · тип Н
Единицы → слайды	R01.1 «Определение тригонометрических функций углов от 0° до 180°» → 2, 4–22 · повторение 8 класса (тригонометрия острого угла) → 3
Результаты	ПР-1 / REQ-6.1 (тригонометрические функции, значения, калькулятор) → 4–9, 13–20 · ПР-2 / REQ-6.2 (основное тригонометрическое тождество) → 10, 11, 17–21
Вне урока	формулы приведения — GEOM9-002 (здесь только наблюдение по таблице, сл. 14); теоремы косинусов и синусов — GEOM9-003; решение треугольников — GEOM9-004
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Синус, косинус и тангенс углов от 0° до 180°

Сегодня вы научитесь

Определять синус, косинус, тангенс

Находить значения

Пользоваться тождеством

Находить координаты точки

Синус, косинус и тангенс острого угла

Синус, косинус, тангенс на единичной полуокружности

Для острого угла — те же значения, что в 8 классе

Углы 0∘, 90∘ и 180∘

Найдите синус, косинус и тангенс тупого угла

Образец: найдите sin120∘, cos120∘, tg120∘.

Сам: постройте точку M

Какой знак у синуса, косинуса и тангенса

Определите знак, не вычисляя

Образец: какой знак у sin130∘⋅cos160∘⋅tg20∘?

Сам

sin2α+cos2α=1 для любого угла от 0∘ до 180∘

Известна одна функция — найдите остальные

Образец: cosα=−0,6. Найдите sinα и tgα.

Сам

Координаты точки через длину и угол

Найдите координаты точки A

Образец: OA=6, угол между лучом OA и осью Ox равен 150∘.

Сам

Значения для «табличных» углов

Вычислите значение выражения

Образец: вычислите

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) cosα=−0,6. Найдите sinα.

б) Вычислите tg150∘.

в) OA=4, угол с Ox равен 120∘. Найдите координаты A.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — число или номера утверждений

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-001 · Определение тригонометрических функций углов от 0° до 180°

Углы $0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ и $18 0^{\circ}$

Образец: найдите $sin 12 0^{\circ}$ , $cos 12 0^{\circ}$ , $tg 12 0^{\circ}$ .

Сам: постройте точку $M$

Образец: какой знак у $sin 13 0^{\circ} \cdot cos 16 0^{\circ} \cdot tg 2 0^{\circ}$ ?

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ для любого угла от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$

Образец: $cos α = - 0, 6$ . Найдите $sin α$ и $tg α$ .

Найдите координаты точки $A$

Образец: $O A = 6$ , угол между лучом $O A$ и осью $O x$ равен $15 0^{\circ}$ .

а) $cos α = - 0, 6$ . Найдите $sin α$ .

б) Вычислите $tg 15 0^{\circ}$ .

в) $O A = 4$ , угол с $O x$ равен $12 0^{\circ}$ . Найдите координаты $A$ .