Итоговое повторение · урок 10 из 10

Итоговый урок: одна задача — разные методы

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · GEOM8U-102

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (10 ч), урок 10/10, единица R06.1. Тип урока — О (заключительный урок курса).
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · формулы 2,5 · пример учителя «три метода» 3 · окружность 2 · вижу → вспоминаю 2 · план решения 1,5.
Практика (33): разминка 2,5 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 15–19 — 2 · ОГЭ 23/25 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Идея урока: задачи на стыке тем — подобие, площади, Пифагор, тригонометрия, окружность. Если не успеваете: задание 3 «сам» на слайдах 6–7 и ОГЭ 25 — в ДЗ; самостоятельную не сокращать (итог года).

R06.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать метод

по чертежу узнавать опорную фигуру и нужный факт (ПР-1, ПР-5, ПР-7)

Решать разными способами

одну задачу — площадями, подобием, тригонометрией (ПР-5, ПР-8, ПР-9)

Применять окружность

вписанные углы, хорды, касательные — в комбинированных задачах (ПР-10)

Доказывать и моделировать

задачи ОГЭ 23–25 и задачи из жизни (ПР-6, ПР-11)

R06.1 · весь курс

Разминка · устно

По одному факту из каждой темы

Углы параллелограмма относятся как $1 : 2$ . Больший угол? $12 0^{\circ}$
Основания трапеции $6$ и $14$ . Средняя линия? $10$
Катеты $5$ и $12$ . Гипотенуза? $13$
Диагонали ромба $6$ и $8$ . Площадь? $24$

$k = 3$ . Во сколько раз площади различаются? в $9$ раз
$sin 3 0^{\circ} =$ ? $\frac{1}{2}$
Вписанный угол опирается на дугу $11 0^{\circ}$ . Угол? $5 5^{\circ}$
В каком отношении медианы делятся точкой пересечения? $2 : 1$ от вершины

R06.1

Сводка · формулы курса

Три набора инструментов

Площади

$S_{пар} = a h_{a}$

$S_{△} = \frac{1}{2} a h_{a}$

$S_{трап} = \frac{a + b}{2} h$

$S_{ромб} = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$

Подобие

$\frac{a _{1}}{a} = k$

$\frac{P _{1}}{P} = k$

$\frac{S _{1}}{S} = k^{2}$

Прямоугольный треугольник

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$

$h^{2} = a_{c} b_{c}$ , $a^{2} = c a_{c}$

$sin A = \frac{a}{c}$ , $cos A = \frac{b}{c}$ , $tg A = \frac{a}{b}$

	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$
$sin$ / $cos$ / $tg$	$\frac{1}{2}$ / $\frac{3}{2}$ / $\frac{3}{3}$	$\frac{2}{2}$ / $\frac{2}{2}$ / $1$	$\frac{3}{2}$ / $\frac{1}{2}$ / $3$

2,5 мин · теория
Учитель называет формулу — класс отвечает, для какой фигуры и какие элементы нужны (высота — перпендикуляр к стороне, к которой проведена).
Подобие: отношение длин (сторон, высот, медиан, периметров) равно k, отношение площадей — k². В прямоугольном треугольнике: a_c, b_c — проекции катетов на гипотенузу; h² = a_c·b_c и a² = c·a_c — следствия подобия трёх треугольников.
Таблица значений — для ОГЭ 15 и задач из жизни; sin 30° = cos 60°, sin 60° = cos 30°.

R06.1

Пример учителя · одна задача — три метода

Высота к гипотенузе: $A C = 6$ , $BC = 8$ , $∠ C = 9 0^{\circ}$

$A B = 36 + 64 = 10$ теорема Пифагора

1. Площадями

$\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot C H$ , $C H = 4, 8$

2. Подобием

$△ A C H \sim △ A BC$ : $\frac{C H}{BC} = \frac{A C}{A B}$ , $C H = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4, 8$

3. Тригонометрией

$sin A = \frac{8}{10} = 0, 8$ , $C H = A C sin A = 4, 8$

3 мин · теория
Учитель решает сам, по щелчку — каждый метод. Вывод: CH = ab/c — запомнить как готовый результат.
1) Площадь прямоугольного треугольника — половина произведения катетов, и та же площадь — половина гипотенузы на высоту. 2) △ACH ∼ △ABC по двум углам (∠A общий, ∠AHC = ∠ACB = 90°): CH/BC = AC/AB. 3) В △ACH: sin A = CH/AC; в △ABC: sin A = BC/AB.
Попутно: AH = AC²/AB = 3,6, BH = 6,4; проверка CH² = 3,6 · 6,4 = 23,04 = 4,8² ✓.
Вопрос классу: какой метод короче? (площадей). Какой даёт ещё и AH, BH? (подобие).

R06.1

Образец → сам · трапеция: Пифагор и площадь

Найдите высоту и площадь

Образец: $A BC D$ — равнобедренная трапеция, $A D = 20$ , $BC = 8$ , $A B = 10$ . Найдите $S$ .

$A H = \frac{20 - 8}{2} = 6$ трапеция равнобедренная

$h = B H = 1 0^{2} - 6^{2} = 8$ $△ A B H$ , Пифагор

$S = \frac{20 + 8}{2} \cdot 8 = 112$

Сам

Равнобедренная трапеция: основания $7$ и $17$ , боковая сторона $13$ . Найдите $S$ . $144$
Прямоугольная трапеция: основания $9$ и $15$ , большая боковая сторона $10$ . Найдите $S$ . $96$
Равнобедренная трапеция: основания $4$ и $10$ , угол при основании $4 5^{\circ}$ . Найдите $S$ . $21$

R06.1

Образец → сам · подобие и площади

Прямая, параллельная стороне

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM : M A = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 50$ . Найдите $S_{MBN}$ и $S_{A MNC}$ .

$△ MBN \sim △ A BC$ , $k = \frac{BM}{B A} = \frac{2}{5}$ по двум углам

$S_{MBN} = 50 \cdot \frac{4}{25} = 8$ $\frac{S _{1}}{S} = k^{2}$

$S_{A MNC} = 50 - 8 = 42$

Сам

$MN$ — средняя линия, $S_{A BC} = 36$ . Найдите $S_{MBN}$ и площадь трапеции. $9$ и $27$
$MN ∥ A C$ , $S_{MBN} = 18$ , $S_{A BC} = 50$ , $A C = 15$ . Найдите $MN$ . $9$
Трапеция: $BC = 4$ , $A D = 10$ , диагонали пересекаются в $O$ , $S_{BOC} = 8$ . Найдите $S_{A O D}$ . $50$

R06.1

Сводка · углы и окружность

Всё измеряется дугой

центральный $= A C ⌢ = 14 0^{\circ}$ , вписанный $= \frac{1}{2} A C ⌢ = 7 0^{\circ}$

касательная и хорда: $\frac{1}{2} A C ⌢ = 7 0^{\circ}$ касательная $⊥$ радиусу в точке касания

между хордами: $\frac{1}{2} (⌣_{1} + ⌣_{2})$ ; между секущими: $\frac{1}{2} (⌣_{1} - ⌣_{2})$

вписанный четырёхугольник: $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$
описанный: $a + c = b + d$

касание окружностей: $O_{1} O_{2} = R + r$ или $R - r$

2 мин · теория
Чертёж точный: A, B, C на окружности, дуга AC (не содержащая B) = 140°; ∠ABC = 70°, угол между касательной в точке C и хордой CA = 70°.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (частный случай). Угол между пересекающимися хордами — полусумма дуг, заключённых между его сторонами и их продолжениями; между секущими с вершиной вне круга — полуразность.
Около четырёхугольника можно описать окружность ⇔ суммы противоположных углов 180°; вписать — ⇔ суммы противоположных сторон равны.

R06.1

Образец → сам · окружность и подобие

Пересекающиеся хорды

Образец: хорды $A C$ и $B D$ пересекаются в $E$ ; $A E = 4$ , $EC = 9$ , $BE = 6$ . Найдите $E D$ .

$∠ B A C = ∠ B D C$ , $∠ A EB = ∠ D EC$ вписанные, вертик.

$△ A BE \sim △ D CE$ ⇒ $\frac{A E}{D E} = \frac{BE}{CE}$ по двум углам

$A E \cdot EC = BE \cdot E D$ : $36 = 6 \cdot E D$ , $E D = 6$

Сам

$A E = 5$ , $EC = 8$ , $BE = 10$ . Найдите $E D$ . $4$
$A E = EC = 6$ , $B D = 13$ . Найдите $BE$ и $E D$ . $4$ и $9$
Хорда $16$ , радиус $10$ . Расстояние от центра до хорды? $6$

R06.1

Схема-конспект · вижу на чертеже → вспоминаю

Шесть «сигналов» на чертеже

$MN ∥ A C$ → $△ MBN \sim △ A BC$

высота из прямого угла → 3 подобных, $h^{2} = a_{c} b_{c}$

биссектриса в параллелограмме → $A B = B K$

опирается на диаметр → $∠ C = 9 0^{\circ}$

касательные из точки → $⊥$ радиусу, отрезки равны

хорды пересеклись → $A E \cdot EC = BE \cdot E D$

2 мин · теория
Каждая карточка — «сигнал» и что из него следует. Спросить класс: какой факт вы использовали в задачах года чаще всего? (подобие по параллельной прямой).
1) Параллельная прямая отсекает подобный треугольник. 2) Высота из прямого угла: △ACH ∼ △CBH ∼ △ABC. 3) Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник (∠BAK = ∠KAD = ∠AKB). 4) Вписанный угол на диаметр — 90° (половина дуги 180°). 5) Касательная ⟂ радиусу; отрезки касательных из одной точки равны. 6) Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.

R06.1

Метод · план решения комбинированной задачи

Четыре шага к решению

Чертёжпо условию, данные — на чертёж

→

Опорная фигурапрямоугольный, подобные, равнобедренный

→

Методдополнительное построение, если нужно

→

Проверкаправдоподобие, все условия

ищем длину	Пифагор · подобие · $sin$ , $cos$ , $tg$ · хорды и касательные
ищем площадь	формула · отношение $k^{2}$ · разбиение и вычитание
ищем угол	параллельные прямые · сумма углов · вписанные углы
строим	высоту · радиус в точку касания · прямую $∥$ стороне

R06.1

Образец → сам · задача на доказательство

Докажите — с обоснованием каждого шага

Образец (ОГЭ 24): трапеция $A BC D$ , $A D ∥ BC$ , $O$ — точка пересечения диагоналей. Докажите: $S_{A OB} = S_{CO D}$ .

$S_{A B D} = S_{A C D}$ основание $A D$ общее, высоты равны

$S_{A OB} = S_{A B D} - S_{A O D}$ , $S_{CO D} = S_{A C D} - S_{A O D}$ свойство площадей

$S_{A OB} = S_{CO D}$ равенство разностей

Сам: план и обоснования

Медиана делит треугольник на два равновеликих. основания равны, высота общая
Середины сторон ромба — вершины прямоугольника. стороны $∥$ диагоналям, диагонали ромба $⊥$
Хорды $A B ∥ C D$ . Докажите: $A C = B D$ . $∠ A BC = ∠ BC D$ ⇒ дуги равны ⇒ хорды равны

3 мин · практика
Образец: высоты треугольников ABD и ACD к стороне AD — расстояние между параллельными прямыми AD и BC, поэтому равны (на чертеже h). Метод площадей — «вычесть общую часть» △AOD.
1) S = ½ · (a/2) · h для обоих треугольников. 2) Средние линии треугольников ABD и CBD параллельны BD, треугольников ABC и ADC — параллельны AC (получается параллелограмм), AC ⟂ BD ⇒ его углы прямые ⇒ прямоугольник. 3) ∠ABC = ∠BCD (накрест лежащие, AB ∥ CD, секущая BC); это вписанные углы, опирающиеся на дуги AC и BD ⇒ дуги равны ⇒ хорды AC = BD.
Критерий ОГЭ 24: 2 балла — доказательство верное, все шаги обоснованы; 1 балл — верная идея с неточностями.

R06.1

Образец → сам · задача из жизни

Тригонометрия, подобие, Пифагор на практике

Образец: с вышки высотой $12$ м лодку видно под углом $3 0^{\circ}$ к горизонту (вниз). Как далеко лодка?

угол при лодке $= 3 0^{\circ}$ накрест лежащие

$tg 3 0^{\circ} = \frac{12}{d}$ , $d = \frac{12}{3 /3} = 123$

$d \approx 20, 8$ м

Сам

Человек ростом $1, 8$ м стоит в $6$ м от фонаря, его тень $3$ м. Высота фонаря? $5, 4$ м
Лестница $6, 5$ м, низ — в $2, 5$ м от стены. На какой высоте верх? $6$ м
Дорога поднимается под углом $3 0^{\circ}$ . На сколько метров поднимешься, пройдя $400$ м? $200$ м

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$k = 3$ ⇒ $S_{1} = 3 S$	площади относятся как квадрат $k$	$S_{1} = 9 S$
$S_{трап} = \frac{a + b}{2} \cdot$ боковая	нужна высота — перпендикуляр к основаниям	сначала $h$ (Пифагор), потом $S$
$sin A = \frac{A C}{A B}$ при $∠ C = 9 0^{\circ}$	$A C$ — прилежащий катет к $∠ A$	$sin A = \frac{BC}{A B}$ , $cos A = \frac{A C}{A B}$
вписанный угол $=$ дуге	равен дуге центральный угол	вписанный $= \frac{1}{2}$ дуги

R06.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A BC$ , $\frac{A _{1} B _{1}}{A B} = 3$ , $S_{A BC} = 12$ . Найдите $S_{A_{1} B_{1} C_{1}}$ .

$k = 3$

$S_{A_{1} B_{1} C_{1}} = 12 \cdot 3 = 36$

$S = 12 \cdot 3^{2} = 108$

б) Равнобедренная трапеция: основания $4$ и $10$ , боковая $5$ . Найдите $S$ .

$h = 5$

$S = \frac{4 + 10}{2} \cdot 5 = 35$

$h = 25 - 9 = 4$
$S = 7 \cdot 4 = 28$

в) Центральный $∠ A OC = 8 0^{\circ}$ . Найдите вписанный $∠ A BC$ , опирающийся на дугу $A C$ .

$A C ⌢ = 8 0^{\circ}$

$∠ A BC = 2 \cdot 8 0^{\circ} = 16 0^{\circ}$

$∠ A BC = \frac{1}{2} \cdot 8 0^{\circ} = 4 0^{\circ}$

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаДиагонали ромба $10$ и $24$ . Найдите сторону. $13$
базаСтороны параллелограмма $8$ и $5$ , угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $20$
база $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 20$ , $sin A = 0, 6$ . Найдите $BC$ . $12$

базаЦентральный угол $13 0^{\circ}$ . Вписанный угол на ту же дугу? $6 5^{\circ}$
базаТреугольники подобны, $k = 2$ , $P$ меньшего $15$ . $P$ большего? $30$
базаЧетырёхугольник $A BC D$ вписан в окружность, $∠ A = 7 5^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $10 5^{\circ}$

R06.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Задачи на стыке тем

повыш.Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки $4$ и $9$ . Найдите высоту и площадь. $6$ и $39$
повыш.В трапецию с боковыми сторонами $5$ и $7$ вписана окружность. Найдите среднюю линию. $6$
повыш.Медианы $A A_{1}$ и $B B_{1}$ пересекаются в $M$ , $S_{A BC} = 54$ . Найдите $S_{A MB}$ . $18$
повыш.Окружности радиусов $5$ и $3$ касаются внешним образом. Найдите длину их общей внешней касательной (между точками касания). $215$

R06.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 16, 17 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 12$ , $tg A = 0, 75$ . Найдите $A B$ . $15$
ОГЭ 16Четырёхугольник $A BC D$ вписан в окружность, $∠ A B D = 3 8^{\circ}$ , $∠ C A D = 5 4^{\circ}$ . Найдите $∠ A BC$ . $92$
ОГЭ 17Сторона ромба $10$ , один из углов $15 0^{\circ}$ . Найдите площадь ромба. $50$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.
Вписанный угол равен центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Ответ: 13

R06.1 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 25

Вторая часть: комбинированные задачи

ОГЭ 23 Высота $A H$ ромба $A BC D$ делит сторону $C D$ на отрезки $DH = 21$ и $C H = 8$ . Найдите высоту ромба.

$A D = C D = 21 + 8 = 29$ стороны ромба равны

$A H = 2 9^{2} - 2 1^{2} = 20$

ОГЭ 25 Диагонали трапеции $A BC D$ ( $A D ∥ BC$ ) пересекаются в $O$ ; $S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 25$ . Найдите площадь трапеции.

$k = \frac{25}{4} = \frac{5}{2}$ , $S_{A OB} = \frac{5}{2} S_{BOC} = 10 = S_{CO D}$

$S = 4 + 25 + 10 + 10 = 49$

R06.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Катеты $9$ и $12$ . Найдите гипотенузу и высоту к ней. $15$ ; $7, 2$
$MN ∥ A C$ , $BM : B A = 1 : 3$ , $S_{A BC} = 45$ . Найдите $S_{MBN}$ . $5$
Хорды $A C$ и $B D$ пересекаются в $E$ : $A E = 3$ , $EC = 8$ , $BE = 4$ . Найдите $E D$ . $6$
Равнобедренная трапеция: основания $6$ и $16$ , боковая $13$ . Найдите $S$ . $132$

Вариант 2

Катеты $12$ и $16$ . Найдите гипотенузу и высоту к ней. $20$ ; $9, 6$
$MN ∥ A C$ , $BM : B A = 2 : 5$ , $S_{A BC} = 75$ . Найдите $S_{MBN}$ . $12$
Хорды $A C$ и $B D$ пересекаются в $E$ : $A E = 6$ , $EC = 4$ , $BE = 3$ . Найдите $E D$ . $8$
Равнобедренная трапеция: основания $5$ и $21$ , боковая $10$ . Найдите $S$ . $78$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Итог урока и курса 8 класса

Ответьте одной фразой

Какие три способа найти высоту к гипотенузе вы знаете?
Какая тема года связана с наибольшим числом других?
Что из курса вам понадобится в ОГЭ чаще всего?

Домашнее задание

Диагонали ромба $12$ и $16$ . Найдите высоту ромба.
Трапеция: $S_{BOC} = 9$ , $S_{A O D} = 16$ . Найдите $S$ .
* $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A H = 2$ , $B H = 8$ . Найдите $tg A$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_itogovoe_povtorenie.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-102 · Итоговый урок: одна задача — разные методы

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 10 ч · урок 10/10 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний» → 2–21
Результаты	ПР-1 → 2, 3, 12, 16, 19 · ПР-2 → 3, 17 · ПР-3 → 3, 7, 12 · ПР-5, ПР-6 → 5, 7, 9, 13 · ПР-7, ПР-8 → 4, 6, 7, 12, 19 · ПР-9 → 5, 6, 13, 20 · ПР-10 → 8–10, 16–18 · ПР-11 → 13
Вне урока	курс 9 класса: теоремы синусов и косинусов, векторы, метод координат
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Итоговый урок: одна задача — разные методы

Сегодня вы научитесь

Выбирать метод

Решать разными способами

Применять окружность

Доказывать и моделировать

По одному факту из каждой темы

Три набора инструментов

Площади

Подобие

Прямоугольный треугольник

Высота к гипотенузе: AC=6, BC=8, ∠C=90∘

1. Площадями

2. Подобием

3. Тригонометрией

Найдите высоту и площадь

Образец: ABCD — равнобедренная трапеция, AD=20, BC=8, AB=10. Найдите S.

Сам

Прямая, параллельная стороне

Образец: MN∥AC, BM:MA=2:3, SABC​=50. Найдите SMBN​ и SAMNC​.

Сам

Всё измеряется дугой

Пересекающиеся хорды

Образец: хорды AC и BD пересекаются в E; AE=4, EC=9, BE=6. Найдите ED.

Сам

Шесть «сигналов» на чертеже

Четыре шага к решению

Докажите — с обоснованием каждого шага

Образец (ОГЭ 24): трапеция ABCD, AD∥BC, O — точка пересечения диагоналей. Докажите: SAOB​=SCOD​.

Сам: план и обоснования

Тригонометрия, подобие, Пифагор на практике

Образец: с вышки высотой 12 м лодку видно под углом 30∘ к горизонту (вниз). Как далеко лодка?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) △A1​B1​C1​∼△ABC, ABA1​B1​​=3, SABC​=12. Найдите SA1​B1​C1​​.

б) Равнобедренная трапеция: основания 4 и 10, боковая 5. Найдите S.

в) Центральный ∠AOC=80∘. Найдите вписанный ∠ABC, опирающийся на дугу AC.

Решите и проверьте

Задачи на стыке тем

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: комбинированные задачи

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Итог урока и курса 8 класса

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-102 · Итоговый урок: одна задача — разные методы

Высота к гипотенузе: $A C = 6$ , $BC = 8$ , $∠ C = 9 0^{\circ}$

Образец: $A BC D$ — равнобедренная трапеция, $A D = 20$ , $BC = 8$ , $A B = 10$ . Найдите $S$ .

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM : M A = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 50$ . Найдите $S_{MBN}$ и $S_{A MNC}$ .

Образец: хорды $A C$ и $B D$ пересекаются в $E$ ; $A E = 4$ , $EC = 9$ , $BE = 6$ . Найдите $E D$ .

Образец (ОГЭ 24): трапеция $A BC D$ , $A D ∥ BC$ , $O$ — точка пересечения диагоналей. Докажите: $S_{A OB} = S_{CO D}$ .

Образец: с вышки высотой $12$ м лодку видно под углом $3 0^{\circ}$ к горизонту (вниз). Как далеко лодка?

а) $△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A BC$ , $\frac{A _{1} B _{1}}{A B} = 3$ , $S_{A BC} = 12$ . Найдите $S_{A_{1} B_{1} C_{1}}$ .

б) Равнобедренная трапеция: основания $4$ и $10$ , боковая $5$ . Найдите $S$ .

в) Центральный $∠ A OC = 8 0^{\circ}$ . Найдите вписанный $∠ A BC$ , опирающийся на дугу $A C$ .