Повторение и обобщение · урок 9 из 10

Окружность и подобие: комплексные задачи

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · GEOM8U-101

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (10 ч), урок 9/10, единица R06.1. Тип урока — О (обобщение и систематизация).
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка углов 2,5 · хорды (доказательство) 2,5 · касательная и секущая (доказательство) 2 · «вижу → вспоминаю» 1,5 · пример учителя 3.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 × 5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 16/19 — 2 · ОГЭ 23/25 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Идея урока: окружность «поставляет» равные углы, а равные углы — подобные треугольники. Отсюда все метрические соотношения в окружности. Если не успеваете: третье задание «сам» в образцах 4–5 и ОГЭ 25 — в ДЗ.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить углы

вписанные, центральные, между касательной и хордой, хордами и секущими (ПР-10)

Видеть подобие в окружности

и выводить из него отношения отрезков хорд, касательных и секущих (ПР-5)

Доказывать

с обоснованием каждого шага: касание окружностей, вписанный четырёхугольник

Решать комплексные задачи

ОГЭ 16, 23, 25 и задачи из жизни — арка, горизонт, труба (ПР-9, ПР-11)

0,5 мин · теория
ПР-10: «Владеть понятием вписанного и центрального угла, угла между касательной и хордой, описанной и вписанной окружности треугольника и четырехугольника, применять их свойства при решении задач».
ПР-5: подобие треугольников, признаки подобия; ПР-9: теорема Пифагора, математическая модель практической задачи; ПР-11: практические задачи с подобием и тригонометрией.
Вид деятельности ФРП R06: «Решать задачи, иллюстрирующие связи между различными темами курса» — сегодня связываем R05 (окружность) с R02 (подобие) и R04 (Пифагор, косинус).

повторение R02, R05

Разминка · устно

Углы в окружности и подобие

$∠ A OB = 10 0^{\circ}$ . Чему равен $∠ A CB$ ? $5 0^{\circ}$
Вписанный угол опирается на диаметр. Он равен… $9 0^{\circ}$
$A BC D$ вписан в окружность, $∠ A = 7 0^{\circ}$ . $∠ C$ ? $11 0^{\circ}$
Угол между касательной и радиусом в точке касания? $9 0^{\circ}$
$△ A BC \sim △ K MN$ , $k = 3$ , $A B = 12$ . $K M$ ? $4$
Отношение площадей подобных фигур при $k = 2$ ? $4 : 1$

2 мин · практика
Ответы: 1) вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу: 100° : 2 = 50°. 2) 90° — опирается на полуокружность 180°. 3) 180° − 70° = 110° (сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника). 4) 90° — касательная перпендикулярна радиусу. 5) KM = AB : k = 12 : 3 = 4. 6) Отношение площадей равно k² = 4.
Всё это — инструменты сегодняшнего урока. В задании 5 спросить: а если $△ K MN \sim △ A BC$ с k = 3? (Тогда KM = 36 — порядок записи задаёт направление коэффициента.)

R06.1 · повторение R05.1–R05.4

Сводка · углы, связанные с окружностью

Шесть фактов — одна мера: дуга

Центральный угол

∠ A OB = A B ⌣

Вписанный угол

∠ A CB = \frac{1}{2} A B ⌣

Касательная и хорда

∠ = \frac{1}{2} A B ⌣

Хорды пересекаются

∠ A EC = \frac{1}{2} (A C ⌣ + B D ⌣)

Секущие из точки $M$

∠ M = \frac{1}{2} (B D ⌣ - A C ⌣)

Вписанный четырёхугольник

∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}

2,5 мин · теория
Первый ряд — базовые факты (GEOM8U-073): центральный угол измеряется дугой, вписанный и угол между касательной и хордой — половиной дуги, заключённой внутри угла (дуга выделена розовым).
Второй ряд по щелчку (GEOM8U-074, 076): вершина внутри круга — полусумма дуг; вершина вне круга — полуразность дальней и ближней дуг; вписанный четырёхугольник — сумма противоположных углов 180° (и обратно — признак).
Вопрос классу: как вывести «полусумму» из вписанного угла? (∠AEC — внешний угол △AED: ∠AEC = ∠ADC + ∠DAB = ½◡AC + ½◡BD.) Для описанного четырёхугольника напомнить устно: суммы противоположных сторон равны, a + c = b + d.

R06.1 · связь R05 и R02

Связь тем · доказательство

Пересекающиеся хорды: $A E \cdot EB = CE \cdot E D$

Дано: хорды

A B

и

C D

пересекаются в точке

E

.
Доказать:

A E \cdot EB = CE \cdot E D

.

1

∠ A C D = ∠ A B D

вписанные, опираются на одну дугу

A D

2

∠ A EC = ∠ D EB

вертикальные

3

△ A EC

\sim

△ D EB

по двум углам;

A \leftrightarrow D

,

C \leftrightarrow B

4

\frac{A E}{D E} = \frac{CE}{BE}

\Rightarrow

A E \cdot EB = CE \cdot E D

пропорция из подобия, «крест-накрест»

2,5 мин · теория
Ключевой ход урока: окружность даёт равные вписанные углы (одинаковые жёлтые дуги, пунктиром отмечена общая дуга AD), равные углы дают подобные треугольники, подобие даёт пропорцию.
Соответствие вершин выписывать по равным углам: угол C (жёлтый) ↔ угол B (жёлтый), угол E ↔ угол E, значит A ↔ D. Отсюда AE/DE = CE/BE = AC/DB.
Словами: произведения отрезков каждой хорды равны. Вопрос: что будет, если E — центр? (Обе хорды — диаметры, R · R = R · R.)

R06.1 · связь R05 и R02

Связь тем · касательная и секущая

Касательная и секущая из одной точки: $M T^{2} = M A \cdot MB$

Дано:

MT

— касательная,

M A B

— секущая.
Доказать:

M T^{2} = M A \cdot MB

.

1

∠ MT A = ∠ MBT

оба равны

\frac{1}{2} A T ⌣

: угол между касательной и хордой и вписанный угол

2

∠ M

— общийу треугольников

MT A

и

MBT

3

△ MT A

\sim

△ MBT

по двум углам;

T \leftrightarrow B

,

A \leftrightarrow T

4

\frac{MT}{MB} = \frac{M A}{MT}

\Rightarrow

M T^{2} = M A \cdot MB

пропорция из подобия

R06.1 · повторение R05.1

Образец → сам · углы на готовом чертеже

Углы с касательной, хордами и секущими

Образец: $A B$ — диаметр, $MC$ — касательная, $∠ C A B = 2 6^{\circ}$ . Найдите $∠ CMB$ .

$∠ COB = 2 \cdot 2 6^{\circ} = 5 2^{\circ}$ центральный, вдвое больше вписанного

$∠ OCM = 9 0^{\circ}$ касательная $⊥$ радиусу

$∠ CMB = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 5 2^{\circ} = 3 8^{\circ}$ из $△ OCM$

Сам

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ ; $A C ⌣ = 8 0^{\circ}$ , $B D ⌣ = 4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A EC$ . $6 0^{\circ}$
Угол между хордой $A B$ и касательной в точке $A$ равен $3 5^{\circ}$ . Найдите центральный угол $A OB$ . $7 0^{\circ}$
Секущие $M A B$ и $MC D$ : $B D ⌣ = 13 0^{\circ}$ , $A C ⌣ = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ M$ . $4 0^{\circ}$

R06.1 · связь R05 и R02

Образец → сам · отрезки хорд и секущих

Произведения отрезков — обратные задачи

Образец: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ , $A E = 4$ , $EB = 9$ , $CE : E D = 1 : 4$ . Найдите $C D$ .

$CE = x$ , $E D = 4 x$ вводим неизвестное по отношению

$x \cdot 4 x = 4 \cdot 9$ , $x^{2} = 9$ , $x = 3$ $CE \cdot E D = A E \cdot EB$

$C D = 5 x = 15$ $CE + E D$

Сам

Хорды пересекаются в $E$ : $A E = 6$ , $EB = 8$ , $CE = 12$ . Найдите $E D$ . $4$
$MT$ — касательная, $MT = 12$ ; секущая $M A B$ , $M A = 8$ . Найдите $A B$ . $10$
$MT = 6$ , секущая из $M$ проходит через центр, $M A = 4$ ( $A$ — ближняя точка). Найдите радиус. $2, 5$

R06.1

Сводка · вижу → вспоминаю

План комплексной задачи с окружностью

Вижу на чертеже	Вспоминаю	Что получаю
угол опирается на диаметр	вписанный угол $= 9 0^{\circ}$	прямоугольный $△$ : Пифагор, $sin$ , $cos$
касательная	радиус $⊥$ касательной; отрезки касательных равны	прямой угол, равнобедренный $△$
два угла на одну дугу	вписанные углы равны	подобие $\Rightarrow$ пропорция отрезков
четыре точки на окружности	$∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$	внешний угол $=$ внутреннему противоположному
окружности касаются	центры и точка касания на одной прямой	$O_{1} O_{2} = R \pm r$

R06.1 · связь R05, R02, R04

Пример учителя · окружность → подобие → косинус

Отрезок, соединяющий основания высот

Задача.

A A_{1}

и

B B_{1}

— высоты остроугольного

△ A BC

,

A B = 10

,

∠ C = 6 0^{\circ}

. Найдите

A_{1} B_{1}

.

1

A_{1}

,

B_{1}

лежат на окружности с диаметром

A B

∠ A A_{1} B = ∠ A B_{1} B = 9 0^{\circ}

— опираются на

A B

2

∠ C A_{1} B_{1} = ∠ C A B

A B A_{1} B_{1}

вписан: внешний угол равен внутреннему противоположному

3

△ A_{1} B_{1} C

\sim

△ A BC

по двум углам (

∠ C

— общий)

4

k = \frac{C A _{1}}{C A} = cos C

из прямоугольного

△ A A_{1} C

5

A_{1} B_{1} = A B cos 6 0^{\circ} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5

3 мин · теория (учитель решает сам, класс отвечает на «почему?»)
Это задача уровня ОГЭ 25: три темы курса в одной цепочке — окружность (шаги 1–2), подобие (шаг 3), тригонометрия (шаг 4).
Шаг 2 подробно: ∠B₁A₁B + ∠B₁AB = 180° (противоположные углы вписанного ABA₁B₁), ∠CA₁B₁ = 180° − ∠B₁A₁B = ∠B₁AB = ∠CAB. Соответствие: A₁ ↔ A, B₁ ↔ B, C ↔ C, поэтому A₁B₁ ↔ AB и CA₁ ↔ CA.
Проверено расчётом на точном чертеже: A₁B₁ = 5,000. Запомнить результат: отрезок между основаниями двух высот равен AB · cos C (следствие: △A₁B₁C подобен △ABC с k = cos C).

R06.1 · связь R05.3 и R02.2

Образец → сам · вписанный четырёхугольник и подобие

Чертёж строим сами: диагонали

Образец: $A BC D$ вписан, диагонали пересекаются в $E$ ; $A B = 6$ , $C D = 9$ , $A E = 4$ . Найдите $D E$ .

$∠ B A C = ∠ B D C$ , $∠ A EB = ∠ D EC$ на дугу $BC$ ; вертикальные

$△ A BE \sim △ D CE$ , $k = \frac{A B}{D C} = \frac{2}{3}$ $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow C$

$\frac{A E}{D E} = \frac{2}{3}$ , $D E = 6$ $A E \leftrightarrow D E$

Сам

Та же конфигурация: $A B = 8$ , $C D = 12$ , $BE = 6$ . Найдите $CE$ . $9$
$A BC D$ вписан, $∠ A D B = 3 5^{\circ}$ , $∠ B D C = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A BC$ . $9 5^{\circ}$
Лучи $A B$ и $D C$ вписанного $A BC D$ пересекаются в $M$ : $MB = 4$ , $B A = 5$ , $MC = 3$ . Найдите $C D$ . $9$

2,5 мин · практика
Ученики сначала сами строят чертёж в тетради (окружность, четыре точки по порядку, диагонали), затем сверяются с экраном. Чертёж на слайде построен по данным задачи: AB = 6, CD = 9, AE = 4, DE = 6, BE = 5, CE = 7,5; проверка AE · EC = BE · ED = 30.
1) BE ↔ CE: BE/CE = AB/DC = 8/12 ⇒ CE = 9. 2) ∠ADC = 35° + 50° = 85°, ∠ABC = 180° − 85° = 95°. 3) MB · MA = MC · MD (две секущие): 4 · 9 = 3 · MD, MD = 12, CD = 12 − 3 = 9.
Главная ошибка — неверное соответствие: «AE/BE = 6/9». Соответствие берём по равным углам, а не по расположению на рисунке.

R06.1 · повторение R05.6

Образец → сам · задача на доказательство (ОГЭ 24)

План доказательства и обоснование каждого шага

Образец: окружности касаются внешне в $K$ , прямая через $K$ пересекает их в $A$ и $B$ . Докажите: касательные в $A$ и $B$ параллельны.

$O_{1}$ , $K$ , $O_{2}$ на одной прямой; $∠ O_{1} K A = ∠ O_{2} K B$ касание; вертикальные

$∠ O_{1} A K = ∠ O_{1} K A = ∠ O_{2} K B = ∠ O_{2} B K$ $△ O_{1} A K$ , $△ O_{2} B K$ равнобедренные

$O_{1} A ∥ O_{2} B$ $\Rightarrow$ касательные $⊥$ им — параллельны накрест лежащие

Сам: составьте план

$M A$ и $MB$ — касательные к окружности с центром $O$ . Докажите, что $MO$ — биссектриса $∠ A MB$ . $△ M A O = △ MBO$ (гипотенуза и катет)
Докажите: трапеция, вписанная в окружность, — равнобедренная. $∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ} = ∠ B + ∠ D$ ⇒ $∠ A = ∠ D$
Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ , $A E = E D$ . Докажите: $CE = EB$ . $A E \cdot EB = CE \cdot E D$ , делим на $A E = E D$

2,5 мин · практика
Образец: при внешнем касании центры и точка касания лежат на одной прямой, поэтому ∠O₁KA и ∠O₂KB вертикальные (одинаковые жёлтые дуги при K). O₁A = O₁K, O₂B = O₂K — радиусы, треугольники равнобедренные, углы при основаниях равны. ∠O₁AK = ∠O₂BK — накрест лежащие при прямых O₁A и O₂B и секущей AB ⇒ O₁A ∥ O₂B. Касательные перпендикулярны параллельным прямым ⇒ параллельны.
1) ∠MAO = ∠MBO = 90°, OA = OB, MO — общая гипотенуза ⇒ треугольники равны ⇒ ∠AMO = ∠BMO. 2) Трапеция ABCD, AD ∥ BC: ∠A + ∠B = 180° (односторонние), ∠B + ∠D = 180° (вписанный четырёхугольник) ⇒ ∠A = ∠D — углы при основании AD равны ⇒ трапеция равнобедренная. 3) Из теоремы о хордах AE · EB = CE · ED, AE = ED ⇒ EB = CE.
Критерий ОГЭ 24: 2 балла — доказательство верное, все шаги обоснованы; «на рисунке видно» — 0 баллов.

R06.1 · ПР-9, ПР-11

Образец → сам · задача из жизни

Арка, тарелка, горизонт, труба

Образец: пролёт арки моста $A B = 24$ м, высота $M H = 6$ м. Найдите радиус дуги арки.

$O A^{2} = A H^{2} + O H^{2}$ $△ A H O$ прямоугольный, $A H = 12$

$R^{2} = 1 2^{2} + (R - 6)^{2}$ , $12 R = 180$ $O H = R - 6$

$R = 15$ м проверка: $12 \cdot 12 = 6 \cdot 24$

Сам

Осколок тарелки: хорда $16$ см, высота сегмента $4$ см. Найдите диаметр тарелки. $20$ см
Как далеко виден горизонт с вышки высотой $200$ м? $R_{Земли} = 6400$ км; ответ округлите до километра. $\approx 51$ км
В трубе радиуса $10$ см вода, ширина её поверхности $16$ см (воды меньше половины). Найдите глубину. $4$ см

2,5 мин · практика
Образец: R² = 144 + R² − 12R + 36 ⇒ 12R = 180 ⇒ R = 15 м. Проверка теоремой о хордах: хорда AB и диаметр через M пересекаются в H: AH · HB = MH · (2R − MH): 12 · 12 = 6 · 24. Два способа — две темы курса.
1) 8 · 8 = 4 · (D − 4) ⇒ D − 4 = 16 ⇒ D = 20 см. 2) Касательная из глаза к Земле: d² = h(2R + h) = 0,2 · 12 800,2 ≈ 2560 ⇒ d ≈ 50,6 ≈ 51 км (теорема о касательной и секущей; можно и Пифагором). 3) Расстояние от центра до поверхности воды √(10² − 8²) = 6 см, глубина 10 − 6 = 4 см.
Модель — главное: назвать окружность, хорду, касательную в реальном объекте и сделать чертёж.

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
вписанный угол $= A B ⌣$	так измеряется центральный угол	вписанный $= \frac{1}{2} A B ⌣$
$A E \cdot E D = CE \cdot EB$	перемножают отрезки одной хорды	$A E \cdot EB = CE \cdot E D$
$M T^{2} = M A \cdot A B$	секущая берётся целиком, от $M$	$M T^{2} = M A \cdot MB$
угол между секущими $= \frac{1}{2}$ (сумма дуг)	полусумма — если вершина внутри круга	вне круга — полуразность

1,5 мин · практика (ученики объясняют «почему», учитель открывает строку)
Строка 2: в ошибочной записи перемешаны отрезки разных хорд — так получается неверная пропорция. Проверка: каждый множитель должен начинаться в точке пересечения E и идти к концу одной хорды; пары — концы одной хорды.
Строка 4: вершина внутри — полусумма, на окружности — половина дуги, вне — полуразность. Мнемоника: «чем дальше вершина от центра, тем меньше угол».

R06.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Хорды пересекаются в $E$ : $A E = 3$ , $EB = 8$ , $CE = 4$ . Найдите $E D$ .

$E D = \frac{3 \cdot 4}{8} = 1, 5$

$CE \cdot E D = A E \cdot EB$ : $E D = \frac{3 \cdot 8}{4} = 6$

б) Касательная $MT$ , секущая $M A B$ : $M A = 4$ , $A B = 5$ . Найдите $MT$ .

$M T^{2} = 4 \cdot 5 = 20$ , $MT = 25$

$MB = 9$ : $M T^{2} = 4 \cdot 9 = 36$ , $MT = 6$

в) $A BC D$ вписан, $E$ — точка пересечения диагоналей; $A B = 6$ , $C D = 9$ , $BE = 4$ . Найдите $CE$ .

$△ A BE \sim △ D CE$ , $\frac{BE}{D E} = \frac{6}{9}$ , $D E = 6$ ; « $CE$ найти нельзя»

$B \leftrightarrow C$ : $\frac{BE}{CE} = \frac{6}{9}$ , $CE = 6$

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаЦентральный угол $6 4^{\circ}$ . Вписанный угол на ту же дугу? $3 2^{\circ}$
база $A BC D$ вписан, $∠ B = 10 5^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ . $7 5^{\circ}$
база $A BC D$ описан около окружности: $A B = 7$ , $C D = 11$ , $BC = 6$ . Найдите $A D$ . $12$

базаХорды пересекаются: $A E = 5$ , $EB = 6$ , $CE = 3$ . Найдите $E D$ . $10$
базаКасательная $MT = 8$ , секущая $M A B$ , $M A = 4$ . Найдите $MB$ . $16$
базаХорда $12$ удалена от центра на $8$ . Найдите радиус. $10$

R06.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ : $A E = 2$ , $EB = 18$ , $C D = 15$ , $CE < E D$ . Найдите $CE$ . $3$
повыш. $A A_{1}$ и $B B_{1}$ — высоты остроугольного $△ A BC$ , $A B = 12$ , $∠ C = 4 5^{\circ}$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ . $62$
повыш.Касательная $MT$ вдвое длиннее отрезка $M A$ секущей $M A B$ , $A B = 9$ . Найдите $M A$ . $3$
повыш.Окружности радиусов $4$ и $9$ касаются внешним образом. Найдите длину отрезка их общей внешней касательной между точками касания. $12$

R06.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 16Четырёхугольник $A BC D$ вписан в окружность. $∠ A B D = 1 6^{\circ}$ , $∠ C A D = 3 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A BC$ . $46$
ОГЭ 16Касательные в точках $A$ и $B$ к окружности с центром $O$ пересекаются под углом $7 2^{\circ}$ . Найдите $∠ A BO$ . $36$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
Центральный угол вдвое меньше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.
Около любого ромба можно описать окружность.
Если хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ , то $A E \cdot EB = CE \cdot E D$ .

Ответ: 14

R06.1 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 25

Вторая часть: окружность даёт подобие

ОГЭ 23 Окружность проходит через вершины $A$ и $C$ треугольника $A BC$ и пересекает $A B$ и $BC$ в точках $K$ и $P$ . $A C = 30$ , $BC = 24$ , $B K = 12$ . Найдите $K P$ .

$∠ B K P = ∠ BC A$ $A K PC$ вписан

$△ B K P \sim △ BC A$ $∠ B$ — общий

$K P = 30 \cdot \frac{12}{24} = 15$

ОГЭ 25 Окружность с центром на стороне $A C$ треугольника $A BC$ проходит через $C$ и касается прямой $A B$ в точке $B$ . Диаметр окружности $7, 5$ , $A B = 2$ . Найдите $A C$ .

$A B^{2} = A D \cdot A C$ касательная и секущая

$A D = x$ : $x (x + 7, 5) = 4$ $D C$ — диаметр

$x = 0, 5$ , $A C = 8$

2 мин · практика
23) В вписанном AKPC ∠AKP + ∠ACP = 180°, а ∠BKP = 180° − ∠AKP ⇒ ∠BKP = ∠BCA. С общим ∠B: △BKP ∼ △BCA (K ↔ C, P ↔ A). KP/CA = BK/BC = 12/24 ⇒ KP = 15. Ответ: 15. (Для чертежа взято AB = 20, тогда BP = 10; длина AB в решении не нужна.)
25) D — вторая точка пересечения AC с окружностью, DC — диаметр. AB² = AD · AC: x(x + 7,5) = 4 ⇒ 2x² + 15x − 8 = 0 ⇒ x = 0,5 (второй корень −8 не подходит). AC = 8. Ответ: 8. Другой путь — Пифагор в △ABO: AO² = 2² + 3,75² = 18,0625, AO = 4,25, AC = 4,25 + 3,75 = 8.
На уроке — устное обсуждение плана; полное оформление 25 — в ДЗ по желанию.

R06.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вписанный угол $3 8^{\circ}$ . Найдите центральный угол на ту же дугу. $7 6^{\circ}$
Хорды: $A E = 4$ , $EB = 15$ , $CE = 6$ . Найдите $E D$ . $10$
$MT = 10$ — касательная, секущая $M A B$ , $M A = 5$ . Найдите $A B$ . $15$
$A BC D$ вписан, диагонали пересекаются в $E$ : $A B = 10$ , $C D = 15$ , $A E = 6$ . Найдите $D E$ . $9$

Вариант 2

Центральный угол $14 6^{\circ}$ . Найдите вписанный угол на ту же дугу. $7 3^{\circ}$
Хорды: $A E = 9$ , $EB = 4$ , $E D = 12$ . Найдите $CE$ . $3$
$MT = 12$ — касательная, секущая $M A B$ , $M A = 9$ . Найдите $A B$ . $7$
$A BC D$ вписан, диагонали пересекаются в $E$ : $A B = 12$ , $C D = 8$ , $BE = 9$ . Найдите $CE$ . $6$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Откуда в окружности берутся подобные треугольники?
Чем угол с вершиной вне круга отличается от угла с вершиной внутри?
Что обозначает $MB$ в формуле $M T^{2} = M A \cdot MB$ ?

Домашнее задание

Хорды: $A E = 8$ , $EB = 3$ , $C D = 10$ , $CE < E D$ . Найдите $CE$ .
Пролёт арки $16$ м, высота $4$ м. Найдите радиус.
* Докажите: для секущих $M A B$ и $MC D$ верно $M A \cdot MB = MC \cdot M D$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_itogovoe_povtorenie.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-101 · Окружность и подобие: комплексные задачи

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 10 ч · урок 9/10 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний» → 2, 4–21 · разминка (R02, R05) → 3
Результаты	ПР-10 (вписанные и центральные углы, касательная и хорда, вписанные и описанные четырёхугольники) → 3, 4, 7, 9, 11, 12, 14–20 · ПР-5 (подобие) → 5, 6, 8, 10, 11, 15, 19, 20 · ПР-9 (Пифагор, модель) → 13, 16, 17, 19 · ПР-11 (практические задачи, тригонометрия) → 10, 13, 17
Вне урока	заключительное повторение — GEOM8U-102; теорема о двух секущих — ДЗ (сл. 21) как следствие; метрические соотношения в окружности в общем виде — 9 класс
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Окружность и подобие: комплексные задачи

Сегодня вы научитесь

Находить углы

Видеть подобие в окружности

Доказывать

Решать комплексные задачи

Углы в окружности и подобие

Шесть фактов — одна мера: дуга

Центральный угол

Вписанный угол

Касательная и хорда

Хорды пересекаются

Секущие из точки M

Вписанный четырёхугольник

Пересекающиеся хорды: AE⋅EB=CE⋅ED

Касательная и секущая из одной точки: MT2=MA⋅MB

Углы с касательной, хордами и секущими

Образец: AB — диаметр, MC — касательная, ∠CAB=26∘. Найдите ∠CMB.

Сам

Произведения отрезков — обратные задачи

Образец: хорды AB и CD пересекаются в E, AE=4, EB=9, CE:ED=1:4. Найдите CD.

Сам

План комплексной задачи с окружностью

Отрезок, соединяющий основания высот

Чертёж строим сами: диагонали

Образец: ABCD вписан, диагонали пересекаются в E; AB=6, CD=9, AE=4. Найдите DE.

Сам

План доказательства и обоснование каждого шага

Образец: окружности касаются внешне в K, прямая через K пересекает их в A и B. Докажите: касательные в A и B параллельны.

Сам: составьте план

Арка, тарелка, горизонт, труба

Образец: пролёт арки моста AB=24 м, высота MH=6 м. Найдите радиус дуги арки.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Хорды пересекаются в E: AE=3, EB=8, CE=4. Найдите ED.

б) Касательная MT, секущая MAB: MA=4, AB=5. Найдите MT.

в) ABCD вписан, E — точка пересечения диагоналей; AB=6, CD=9, BE=4. Найдите CE.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: окружность даёт подобие

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-101 · Окружность и подобие: комплексные задачи

Секущие из точки $M$

Пересекающиеся хорды: $A E \cdot EB = CE \cdot E D$

Касательная и секущая из одной точки: $M T^{2} = M A \cdot MB$

Образец: $A B$ — диаметр, $MC$ — касательная, $∠ C A B = 2 6^{\circ}$ . Найдите $∠ CMB$ .

Образец: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ , $A E = 4$ , $EB = 9$ , $CE : E D = 1 : 4$ . Найдите $C D$ .

Образец: $A BC D$ вписан, диагонали пересекаются в $E$ ; $A B = 6$ , $C D = 9$ , $A E = 4$ . Найдите $D E$ .

Образец: окружности касаются внешне в $K$ , прямая через $K$ пересекает их в $A$ и $B$ . Докажите: касательные в $A$ и $B$ параллельны.

Образец: пролёт арки моста $A B = 24$ м, высота $M H = 6$ м. Найдите радиус дуги арки.

а) Хорды пересекаются в $E$ : $A E = 3$ , $EB = 8$ , $CE = 4$ . Найдите $E D$ .

б) Касательная $MT$ , секущая $M A B$ : $M A = 4$ , $A B = 5$ . Найдите $MT$ .

в) $A BC D$ вписан, $E$ — точка пересечения диагоналей; $A B = 6$ , $C D = 9$ , $BE = 4$ . Найдите $CE$ .