Повторение и обобщение · урок 8 из 10

Прямоугольный треугольник: Пифагор, подобие, тригонометрия

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · GEOM8U-100

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (10 ч), урок 8/10, единица R06.1. Тип урока — О (обобщение и систематизация). Материал: теорема Пифагора и обратная (R04.1, R04.2), пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике (R04.3) через признаки подобия (R02.2), синус, косинус, тангенс и значения для 30°, 45°, 60° (R04.4, R04.5), формулы площадей (R03.3) — и их связи.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка «прямоугольный треугольник» 2,5 · доказательство через подобие 3 · сводка «тригонометрия» 2,5 · демонстрация «три темы в одной задаче» 3.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 × 5 + 2 (клетчатая бумага) · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2 · ОГЭ 15/17/19 — 1,5 · ОГЭ 23/25 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец 6 (клетчатая бумага) и ОГЭ 25 — в ДЗ; доказательство пропорциональных отрезков не сокращать.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и свяжете

Теорема Пифагора

прямая и обратная — находить стороны в любой фигуре (ПР-9)

Подобие внутри

высота к гипотенузе и пропорциональные отрезки (ПР-5)

Синус, косинус, тангенс

находить стороны и углы, площади фигур (ПР-7, ПР-11)

Модель задачи

чертёж к задаче из жизни, задачи ОГЭ 23–25 (ПР-6, ПР-9)

0,5 мин · теория
ПР-5: «…Доказывать и применять отношения пропорциональности в прямоугольных треугольниках». ПР-9: «…Пифагора для решения геометрических и практических задач. Строить математическую модель в практических задачах, самостоятельно проводить чертеж и находить соответствующие длины». ПР-11: «…строить математические модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с применением подобия и тригонометрии». ПР-7 — площади, ПР-6 — подобие на практике.
Деятельность ФРП R06: «Решать задачи, иллюстрирующие связи между различными темами курса» — прямоугольный треугольник связывает подобие, Пифагора, тригонометрию и площади.

R06.1 · повторение R02–R04

Разминка · устно

Вспомним факты

Найдите гипотенузу $A B$ . $10$
$sin A =$ ? $\frac{6}{10} = 0, 6$
$cos A =$ ? $0, 8$
$tg B =$ ? $\frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
Медиана из $C$ к гипотенузе? $5$
Стороны $5$ , $12$ , $13$ — треугольник прямоугольный? да: $25 + 144 = 169$
$sin 3 0^{\circ} =$ ? $\frac{1}{2}$

2 мин · практика
Чертёж в масштабе: ∠C = 90°, AC = 8, BC = 6.
Ответы: 1) √(64 + 36) = 10. 2) sin A = BC/AB (противолежащий катет / гипотенуза) = 0,6. 3) cos A = AC/AB = 0,8. 4) tg B = AC/BC (противолежащий углу B / прилежащий) = 4/3. 5) медиана к гипотенузе равна её половине: 5 (C — на окружности с диаметром AB). 6) да, по теореме, обратной теореме Пифагора. 7) ½ — катет против угла 30° равен половине гипотенузы.
Вопрос к заданию 4: почему tg B ≠ tg A? (tg A = 3/4: противолежащий и прилежащий катеты меняются местами; tg A · tg B = 1.)

R06.1 · R04.1, R04.3

Сводка · прямоугольный треугольник

Всё, что связано с высотой к гипотенузе

c^{2} = a^{2} + b^{2}

теорема Пифагора и обратная к ней

b^{2} = c \cdot b_{c}, a^{2} = c \cdot a_{c}

катет — среднее пропорциональное

h^{2} = a_{c} \cdot b_{c}, h = \frac{ab}{c}

высота к гипотенузе

S = \frac{1}{2} ab

· медиана к гипотенузе

= \frac{c}{2}

2,5 мин · теория
Обозначения: a = BC, b = AC — катеты, c = AB — гипотенуза, h = CH — высота, a_c = HB и b_c = AH — проекции катетов на гипотенузу. Цвет катета совпадает с цветом его проекции: так легче не перепутать (b² = c · b_c — проекция «своего» катета).
Чертёж в масштабе: AH = 9, HB = 16, CH = 12, AC = 15, BC = 20 (он же в образце на сл. 7).
Вопрос классу: какие из формул следуют из подобия? (Пропорциональные отрезки — сл. 6.) Откуда h = ab/c? (Площадь двумя способами: ½ab = ½ch.) Почему медиана к гипотенузе равна её половине? (Достроить до прямоугольника: диагонали равны и делятся пополам.)

R06.1 · R04.1, R01.5

Образец → сам · теорема Пифагора в четырёхугольнике

Найдите прямоугольный треугольник

Образец: равнобедренная трапеция, $BC = 7$ , $A D = 25$ , $A B = 15$ . Найдите высоту и диагональ $A C$ .

$A H = \frac{25 - 7}{2} = 9$ высоты отсекают равные отрезки

$B H = 1 5^{2} - 9^{2} = 12$ Пифагор в $△ A B H$

$A K = 25 - 9 = 16$ , $C K = 12$ $C K$ — высота из $C$

$A C = 1 6^{2} + 1 2^{2} = 20$ Пифагор в $△ A C K$

Сам

Диагонали ромба $10$ и $24$ . Найдите его сторону. $13$
Сторона прямоугольника $9$ , диагональ $15$ . Найдите площадь. $108$
Стороны треугольника $7$ , $24$ , $25$ . Докажите, что он прямоугольный, и найдите высоту к большей стороне. $49 + 576 = 625$ ; $h = 6, 72$

2,5 мин · практика
Образец ученики решают по шагам вслух (чертёж в масштабе: трапеция, две высоты BH и CK, диагональ AC). Ключ: найти в четырёхугольнике прямоугольный треугольник. Проверка: AC² = 256 + 144 = 400.
1) Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам: √(5² + 12²) = 13. 2) Вторая сторона √(225 − 81) = 12, S = 9 · 12 = 108. 3) 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25² ⇒ прямоугольный (обратная теорема); h = 7 · 24 / 25 = 168/25 = 6,72.
Ошибка в образце: AH = 25 − 7 = 18 (забыли разделить на 2).

R06.1 · R02.2, R04.3

Связь тем · доказательство через подобие

Три подобных треугольника

Дано:

∠ C = 9 0^{\circ}

,

C H ⊥ A B

.
Доказать:

b^{2} = c b_{c}

,

a^{2} = c a_{c}

,

h^{2} = a_{c} b_{c}

,

a^{2} + b^{2} = c^{2}

.

1

△ A C H \sim △ A BC

⇒

\frac{A C}{A B} = \frac{A H}{A C}

,

b^{2} = c b_{c}

∠ A

— общий,

∠ A H C = ∠ A CB = 9 0^{\circ}

(I признак)

2

△ CB H \sim △ A BC

⇒

a^{2} = c a_{c}

∠ B

— общий, прямые углы

3

△ A C H \sim △ CB H

⇒

\frac{C H}{A H} = \frac{H B}{C H}

,

h^{2} = a_{c} b_{c}

оба подобны

△ A BC

4

a^{2} + b^{2} = c (a_{c} + b_{c}) = c^{2}

сложили 1 и 2 — ещё одно доказательство теоремы Пифагора

3 мин · теория
Цвет на чертеже: △ACH — розовый, △CBH — бирюзовый. Каждый шаг — вопрос классу «почему?». Шаг 3 подробнее: ∠ACH = 90° − ∠A = ∠B, значит △ACH ∼ △CBH по двум углам.
Правило соответствия: в подобных треугольниках против равных углов — соответственные стороны. В △ACH против ∠A лежит CH, против прямого — AC; в △ABC против прямого — AB. Отсюда AC/AB = AH/AC.
Связь тем: подобие (R02) → пропорциональные отрезки → Пифагор (R04). В 7–8 классе Пифагора доказывали через площади; здесь — через подобие.

R06.1 · R04.3

Образец → сам · пропорциональные отрезки

Высота делит гипотенузу на 9 и 16

Образец: $C H$ — высота, $A H = 9$ , $H B = 16$ . Найдите $C H$ , $A C$ , $BC$ .

$C H^{2} = 9 \cdot 16 = 144$ , $C H = 12$ $h^{2} = a_{c} b_{c}$

$A C^{2} = 25 \cdot 9$ , $A C = 15$ $b^{2} = c b_{c}$ , $c = 25$

$B C^{2} = 25 \cdot 16$ , $BC = 20$ проверка: $1 5^{2} + 2 0^{2} = 2 5^{2}$

Сам (тот же чертёж)

$C H = 6$ , $A H = 4$ . Найдите $H B$ . $9$
$A C = 6$ , $A B = 9$ . Найдите $A H$ . $4$
$A C = 15$ , $BC = 20$ . Найдите $C H$ , $A H$ и $H B$ . $12$ ; $9$ и $16$

R06.1 · R04.4, R04.5

Сводка · синус, косинус, тангенс

Отношения сторон зависят только от угла

sin α = \frac{a}{c}, cos α = \frac{b}{c}, tg α = \frac{a}{b}

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

из теоремы Пифагора

$α$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$
$sin$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$
$cos$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tg$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$

2,5 мин · теория
Чертёж: a — противолежащий углу α катет (розовый), b — прилежащий (бирюзовый), c — гипотенуза (фиолетовая). Масштаб: b = 8, a = 6, c = 10.
Почему отношения зависят только от угла: два прямоугольных треугольника с равным острым углом подобны (I признак) ⇒ отношения соответственных сторон равны — снова связь с подобием.
Выводы: sin² + cos² = (a² + b²)/c² = 1 (Пифагор); tg α = sin α / cos α; sin α = cos(90° − α). Таблицу значений — из треугольников 30°–60°–90° (катет против 30° = ½ гипотенузы) и равнобедренного прямоугольного.

R06.1 · R04.4

Образец → сам · стороны по синусу, косинусу, тангенсу

Известны гипотенуза и синус

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 20$ , $sin A = 0, 6$ . Найдите $BC$ , $A C$ и $tg B$ .

$BC = A B \cdot sin A = 20 \cdot 0, 6 = 12$ $sin A = \frac{BC}{A B}$

$A C = 2 0^{2} - 1 2^{2} = 16$ Пифагор

$tg B = \frac{A C}{BC} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$ противолежащий $B$ / прилежащий

Сам

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 8$ , $cos A = 0, 8$ . Найдите $A B$ . $10$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $BC = 7$ , $tg A = \frac{7}{24}$ . Найдите $A B$ . $25$
$cos A = \frac{5}{13}$ ( $A$ — острый угол). Найдите $sin A$ и $tg A$ . $\frac{12}{13}$ и $\frac{12}{5}$

R06.1 · R03.3, R04.1, R04.4

Связь тем · Пифагор → площадь → синус

Одна высота — двумя способами

Пример:

A B = BC = 10

,

A C = 12

. Найдите высоту

A K

к боковой стороне.

1

A H = 6

,

B H = 1 0^{2} - 6^{2} = 8

высота равнобедренного

△

— медиана; Пифагор

2

S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48

площадь треугольника

3

A K = \frac{2 S}{BC} = \frac{96}{10} = 9, 6

та же площадь через другую высоту

4

sin C = \frac{8}{10}

⇒

A K = A C sin C = 12 \cdot 0, 8 = 9, 6

второй способ:

△ A K C

прямоугольный

R06.1 · R03.3, R04.5

Образец → сам · углы, высоты и площади

Трапеция с углом $6 0^{\circ}$

Образец: равнобедренная трапеция, основания $4$ и $12$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ и площадь.

$A H = \frac{12 - 4}{2} = 4$ , $A B = \frac{A H}{cos 6 0 ^{\circ}} = 8$ $△ A B H$

$B H = A B sin 6 0^{\circ} = 43$ противолежащий катет

$S = \frac{4 + 12}{2} \cdot 43 = 323$

Сам: начертите сами

Сторона ромба $6$ , угол $3 0^{\circ}$ . Найдите площадь. $18$
Гипотенуза $10$ , острый угол $3 0^{\circ}$ . Найдите катеты и площадь. $5$ , $53$ ; $S = \frac{25 3}{2}$
Прямоугольная трапеция: основания $5$ и $11$ , острый угол $4 5^{\circ}$ . Найдите площадь. $48$

R06.1 · R03.3, R04.3, ОГЭ 24

Образец → сам · доказательство (ОГЭ 24)

Произведение катетов

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота. Докажите: $A C \cdot BC = A B \cdot C H$ .

$S_{△ A BC} = \frac{1}{2} A C \cdot BC$ катеты перпендикулярны

$S_{△ A BC} = \frac{1}{2} A B \cdot C H$ основание и высота

Приравняли ⇒ $A C \cdot BC = A B \cdot C H$ ∎

Сам: план доказательства

Докажите то же через подобие. $△ CB H \sim △ A BC$ ⇒ $\frac{C H}{A C} = \frac{BC}{A B}$
Медиана $CM$ равна $\frac{1}{2} A B$ . Докажите: $∠ C = 9 0^{\circ}$ . $△ A MC$ , $△ BMC$ равнобедренные ⇒ $2∠ A + 2∠ B = 18 0^{\circ}$
Докажите: $sin^{2} A + cos^{2} A = 1$ . $\frac{a ^{2} + b ^{2}}{c ^{2}} = 1$ — Пифагор

R06.1 · R04.4, ОГЭ 18

Образец → сам · клетчатая бумага (ОГЭ 18)

Тангенс угла на клетках

Образец: $O (1; 1)$ , $A (8; 1)$ , $B (5; 4)$ . Найдите $tg ∠ A OB$ и $cos ∠ A OB$ .

$B H ⊥ O A$ : $O H = 4$ , $B H = 3$ клетки прямоугольный $△ O H B$

$tg = \frac{3}{4} = 0, 75$ , $OB = 5$ , $cos = \frac{4}{5} = 0, 8$

Сам: нарисуйте в тетради

$O (0; 0)$ , $A (6; 0)$ , $B (2; 5)$ . Найдите $tg ∠ A OB$ . $2, 5$
Найдите длину отрезка с концами $(1; 2)$ и $(6; 14)$ . $13$
$A (0; 0)$ , $B (6; 0)$ , $C (3; 4)$ . Найдите $sin A$ . $0, 8$

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$sin A = \frac{A C}{A B}$	синус — противолежащий катет к гипотенузе	$sin A = \frac{BC}{A B}$ , $cos A = \frac{A C}{A B}$
гипотенуза $13$ , катет $5$ ⇒ $1 3^{2} + 5^{2}$	катет меньше гипотенузы — квадраты вычитают	$169 - 25 = 12$
$A C^{2} = A B \cdot H B$	катет связан с проекцией своего катета	$A C^{2} = A B \cdot A H$
высота трапеции $h = A B cos A$	высота лежит против угла $A$	$h = A B sin A$

R06.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 13$ , $A C = 12$ . Найдите $tg A$ .

$BC = 169 - 144 = 5$

$tg A = \frac{A C}{BC} = \frac{12}{5}$

$tg A = \frac{BC}{A C} = \frac{5}{12}$

б) $C H$ — высота к гипотенузе, $A H = 4$ , $H B = 16$ . Найдите $A C$ .

$A C^{2} = 4 \cdot 16 = 64$ , $A C = 8$

$A C^{2} = A H \cdot A B = 4 \cdot 20 = 80$ , $A C = 45$

в) Трапеция равнобедренная, основания $2$ и $10$ , боковая $5$ . Найдите высоту.

$A H = 10 - 2 = 8$ , $h^{2} = 25 - 64$ — отрицательно: «такой трапеции нет»

$A H = \frac{10 - 2}{2} = 4$ , $h = 3$

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаКатеты $9$ и $12$ . Найдите гипотенузу. $15$
базаГипотенуза $17$ , катет $8$ . Найдите другой катет. $15$
база $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 10$ , $sin A = 0, 3$ . Найдите $BC$ . $3$

база $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 6$ , $tg A = 1, 5$ . Найдите $BC$ . $9$
база $C H$ — высота к гипотенузе, $A H = 2$ , $H B = 8$ . Найдите $C H$ . $4$
базаДиагонали ромба $6$ и $8$ . Найдите сторону. $5$

R06.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $cos A = 0, 6$ . Найдите $sin A$ и $tg A$ . $0, 8$ и $\frac{4}{3}$
повыш.Катеты $6$ и $8$ . Найдите высоту к гипотенузе и отрезки, на которые она делит гипотенузу. $4, 8$ ; $3, 6$ и $6, 4$
повыш.Сторона ромба $10$ , синус острого угла $0, 6$ . Найдите высоту и площадь ромба. $6$ и $60$
из жизниЛестница длиной $5$ м приставлена к стене, нижний конец — в $1, 4$ м от стены. На какой высоте верхний конец? $4, 8$ м

R06.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 17 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ угол $C$ равен $9 0^{\circ}$ , $A C = 9$ , $cos A = 0, 6$ . Найдите $A B$ . $15$
ОГЭ 17Сторона ромба равна $13$ , одна из диагоналей — $10$ . Найдите площадь ромба. $120$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других, то треугольник прямоугольный.

Ответ: 13

R06.1 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 25

Вторая часть: связи тем в одной задаче

ОГЭ 23 В прямоугольном треугольнике $A BC$ с прямым углом $C$ катет $A C = 20$ , высота $C H = 12$ . Найдите $A B$ и $cos B$ .

$A H = 2 0^{2} - 1 2^{2} = 16$ (Пифагор в $△ A C H$ )

$H B = \frac{C H ^{2}}{A H} = \frac{144}{16} = 9$ ⇒ $A B = 25$ $h^{2} = a_{c} b_{c}$

$BC = 25 \cdot 9 = 15$ , $cos B = \frac{15}{25} = 0, 6$

ОГЭ 25 Диагонали равнобедренной трапеции $A BC D$ перпендикулярны, основания $BC = 6$ и $A D = 14$ . Найдите площадь трапеции.

$O = A C \cap B D$ ; $OB = OC$ , $O A = O D$ ⇒ $△ BOC$ , $△ A O D$ — прямоугольные равнобедренные (симметрия трапеции)

Высоты из $O$ — медианы к гипотенузам: $3$ и $7$ ⇒ $h = 10$ (медиана $= \frac{c}{2}$ )

$S = \frac{6 + 14}{2} \cdot 10 = 100$

R06.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Катеты $7$ и $24$ . Найдите гипотенузу. $25$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 15$ , $cos A = 0, 8$ . Найдите $A C$ . $12$
$C H$ — высота к гипотенузе, $A H = 9$ , $H B = 4$ . Найдите $C H$ . $6$
Равнобедренная трапеция: основания $3$ и $13$ , боковая $13$ . Найдите высоту. $12$

Вариант 2

Гипотенуза $26$ , катет $10$ . Найдите другой катет. $24$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 12$ , $tg A = 0, 75$ . Найдите $BC$ . $9$
$C H$ — высота к гипотенузе, $A C = 6$ , $A B = 12$ . Найдите $A H$ . $3$
Диагонали ромба $10$ и $24$ . Найдите периметр. $52$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие три подобных треугольника даёт высота к гипотенузе?
Как не перепутать синус и косинус?
Как найти высоту треугольника двумя способами?

Домашнее задание

Высота делит гипотенузу на отрезки $5$ и $20$ . Найдите высоту и катеты.
Равнобедренная трапеция: основания $10$ и $24$ , боковая $25$ . Найдите площадь.
* Докажите: если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, её высота равна средней линии.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_itogovoe_povtorenie.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: 1) h = √(5 · 20) = 10; катеты √(5 · 25) = 5√5 и √(20 · 25) = 10√5. 2) AH = 7, h = √(625 − 49) = 24, S = (10 + 24)/2 · 24 = 408. 3) См. заметки к сл. 19: h = a/2 + b/2.
Ответы рефлексии: △ABC, △ACH, △CBH; синус — противолежащий катет («против угла»); через площадь (2S : сторона) и через синус соседнего угла.
Дополнительные тренажёры: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_teorema_pifagora.htm и 8_geometry_sootnosheniya_v_pryamougolnom_treugolnike.htm. Следующий урок повторения (GEOM8U-101) — окружность: углы, касательные, вписанные и описанные фигуры.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-100 · Повторение: прямоугольный треугольник — Пифагор, подобие, тригонометрия

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 10 ч · урок 8/10 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний» → 2–21 (материал R04.1–R04.5 — теорема Пифагора, пропорциональные отрезки, синус, косинус, тангенс; связи с R02.2 — признаки подобия, R03.3 — формулы площадей, R01.5 — равнобедренная трапеция)
Результаты	ПР-5 (пропорциональность в прямоугольных треугольниках) → 4, 6, 7, 12, 15, 19; ПР-9 (Пифагор, модель, чертёж) → 3, 5, 11, 13, 16, 17; ПР-7 (площади) → 10, 11, 18, 19; ПР-11 (тригонометрия, практика) → 8, 9, 11, 13, 17
Вне урока	четырёхугольники, средние линии, центр масс — GEOM8U-093, 094; углы и окружности — следующие уроки R06; центральная симметрия — не повторяется здесь
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Прямоугольный треугольник: Пифагор, подобие, тригонометрия

Сегодня вы повторите и свяжете

Теорема Пифагора

Подобие внутри

Синус, косинус, тангенс

Модель задачи

Вспомним факты

Всё, что связано с высотой к гипотенузе

Найдите прямоугольный треугольник

Образец: равнобедренная трапеция, BC=7, AD=25, AB=15. Найдите высоту и диагональ AC.

Сам

Три подобных треугольника

Высота делит гипотенузу на 9 и 16

Образец: CH — высота, AH=9, HB=16. Найдите CH, AC, BC.

Сам (тот же чертёж)

Отношения сторон зависят только от угла

Известны гипотенуза и синус

Образец: ∠C=90∘, AB=20, sinA=0,6. Найдите BC, AC и tgB.

Сам

Одна высота — двумя способами

Трапеция с углом 60∘

Образец: равнобедренная трапеция, основания 4 и 12, ∠A=60∘. Найдите AB и площадь.

Сам: начертите сами

Произведение катетов

Образец: ∠C=90∘, CH — высота. Докажите: AC⋅BC=AB⋅CH.

Сам: план доказательства

Тангенс угла на клетках

Образец: O(1;1), A(8;1), B(5;4). Найдите tg∠AOB и cos∠AOB.

Сам: нарисуйте в тетради

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) ∠C=90∘, AB=13, AC=12. Найдите tgA.

б) CH — высота к гипотенузе, AH=4, HB=16. Найдите AC.

в) Трапеция равнобедренная, основания 2 и 10, боковая 5. Найдите высоту.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: связи тем в одной задаче

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-100 · Повторение: прямоугольный треугольник — Пифагор, подобие, тригонометрия

Образец: равнобедренная трапеция, $BC = 7$ , $A D = 25$ , $A B = 15$ . Найдите высоту и диагональ $A C$ .

Образец: $C H$ — высота, $A H = 9$ , $H B = 16$ . Найдите $C H$ , $A C$ , $BC$ .

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 20$ , $sin A = 0, 6$ . Найдите $BC$ , $A C$ и $tg B$ .

Трапеция с углом $6 0^{\circ}$

Образец: равнобедренная трапеция, основания $4$ и $12$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ и площадь.

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота. Докажите: $A C \cdot BC = A B \cdot C H$ .

Образец: $O (1; 1)$ , $A (8; 1)$ , $B (5; 4)$ . Найдите $tg ∠ A OB$ и $cos ∠ A OB$ .

а) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 13$ , $A C = 12$ . Найдите $tg A$ .

б) $C H$ — высота к гипотенузе, $A H = 4$ , $H B = 16$ . Найдите $A C$ .

в) Трапеция равнобедренная, основания $2$ и $10$ , боковая $5$ . Найдите высоту.