Итоговое повторение · урок 7 из 10

Прямоугольный треугольник — узел курса: Пифагор, подобие, тригонометрия

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень · урок обобщения
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · GEOM8U-099

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (10 ч), урок 7/10, единица R06.1. Тип урока — О (обобщение и систематизация).
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · карта связей 1,5 · сводка «Пифагор» 2 · сводка «тригонометрия» 2 · доказательство «высота к гипотенузе» 2,5 · метод «площадь и окружности» 1,5 · «вижу → вспоминаю» 1,5.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 15/18/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Название темы в КТП общее для всех 10 уроков R06; этот урок — блок «прямоугольный треугольник»: теорема Пифагора и обратная к ней, синус, косинус, тангенс, пропорциональные отрезки, связь с площадью и окружностями (R03–R05).
Если не успеваете: третье задание «сам» к доказательству и ОГЭ 24 — в ДЗ.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить стороны

по теореме Пифагора и через синус, косинус, тангенс (ПР-9, ПР-11)

Видеть подобие

высота к гипотенузе делит треугольник на подобные (ПР-5)

Связывать темы

площадь, вписанная и описанная окружности прямоугольного треугольника (ПР-7, ПР-10)

Решать задачи ОГЭ

линии 15, 18, 19 и вторую часть — 23, 24

повторение: R04

Разминка · устно

Пифагор и табличные значения

Катеты $6$ и $8$ . Гипотенуза? $10$
Гипотенуза $13$ , катет $5$ . Другой катет? $12$
По рисунку: $sin A$ , $cos A$ , $tg A$ ? $0, 6$ ; $0, 8$ ; $0, 75$
$sin 3 0^{\circ}$ ? $\frac{1}{2}$
$cos 4 5^{\circ}$ ? $\frac{2}{2}$
$tg 6 0^{\circ}$ ? $3$
Диагональ квадрата со стороной $1$ ? $2$

R06.1

Сводка · карта связей

Где в курсе появляется прямой угол

Четырёхугольникидиагонали ромба, высота трапеции → прямоугольные треугольники

Прямоугольный треугольник

c^{2} = a^{2} + b^{2}

sin α, cos α, tg α

высота к гипотенузе

Подобиевысота делит его на два подобных ему треугольника

Площади

S = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} c h

— отсюда высота

h

Окружностькасательная

⊥

радиусу; угол на диаметр — прямой;

R = \frac{c}{2}

Сегодня метод один: найти или построить прямоугольный треугольник — и применить к нему нужный факт.

R06.1 · R04

Сводка · теорема Пифагора

Главные факты о прямоугольном треугольнике

Пифагор	$c^{2} = a^{2} + b^{2}$ — квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
Обратная	если $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , то угол против $c$ — прямой
Тройки	$3, 4, 5$ · $5, 12, 13$ · $8, 15, 17$ · $7, 24, 25$ и кратные
Площадь	$S = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} c h$ ⇒ $h = \frac{ab}{c}$
Проекции	$b_{c} + a_{c} = c$ — катеты проецируются на гипотенузу

R06.1

Образец → сам · Пифагор в четырёхугольнике

Найди прямоугольный треугольник внутри фигуры

Образец: диагонали ромба $A C = 16$ , $B D = 12$ . Найдите сторону.

$A O = 8$ , $BO = 6$ , $A C ⊥ B D$ диагонали ромба

$△ A OB$ : $A B^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 100$ Пифагор

$A B = 10$

Сам

Равнобедренная трапеция: основания $4$ и $16$ , боковая сторона $10$ . Найдите высоту. $8$
Равнобедренный треугольник: боковая сторона $17$ , основание $16$ . Высота к основанию? $15$
Прямоугольный ли треугольник со сторонами $9$ , $40$ , $41$ ? да: $81 + 1600 = 1681 = 4 1^{2}$

R06.1 · R04

Сводка · синус, косинус, тангенс

Отношения сторон для острого угла

sin α = \frac{BC}{A B}

,

cos α = \frac{A C}{A B}

,

tg α = \frac{BC}{A C}

	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$
$sin$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$
$cos$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tg$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

(это Пифагор!),

tg α = \frac{sin α}{cos α}

R06.1

Образец → сам · сторона через синус и косинус

Одна сторона и отношение — найдём остальные

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 20$ , $sin A = 0, 6$ . Найдите $A C$ .

$BC = A B \cdot sin A = 20 \cdot 0, 6 = 12$ определение синуса

$A C^{2} = 2 0^{2} - 1 2^{2} = 256$ Пифагор

$A C = 16$ проверка: $cos A = \frac{16}{20} = 0, 8$ , $0, 36 + 0, 64 = 1$ ✓

Сам

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 12$ , $cos A = 0, 8$ . Найдите $A B$ . $15$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $BC = 6$ , $tg A = 0, 75$ . Найдите $A C$ . $8$
$sin A = \frac{5}{13}$ , угол $A$ острый. Найдите $cos A$ и $tg A$ . $\frac{12}{13}$ и $\frac{5}{12}$

R06.1 · R02

Сводка · высота к гипотенузе (доказательство)

Подобие внутри прямоугольного треугольника

Дано:

∠ C = 9 0^{\circ}

,

C H ⊥ A B

.
Доказать:

C H^{2} = A H \cdot H B

,

A C^{2} = A B \cdot A H

.

1

∠ A C H = 9 0^{\circ} - ∠ A = ∠ B

сумма острых углов прямоугольного треугольника

2

△ A H C

\sim

△ C H B

по двум углам:

∠ H = 9 0^{\circ}

,

∠ A C H = ∠ B

3

\frac{A H}{C H} = \frac{C H}{H B}

⇒

C H^{2} = A H \cdot H B

отношение соответственных катетов

4

△ A H C \sim △ A CB

⇒

\frac{A H}{A C} = \frac{A C}{A B}

общий

∠ A

и прямые углы

5

A C^{2} = A B \cdot A H

; так же

B C^{2} = A B \cdot H B

. Сложим:

A C^{2} + B C^{2} = A B^{2}

— ещё одно доказательство Пифагора

R06.1

Образец → сам · пропорциональные отрезки

Высота делит гипотенузу на $9$ и $16$

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A H = 9$ , $H B = 16$ . Найдите $C H$ и $A C$ .

$C H^{2} = 9 \cdot 16 = 144$ , $C H = 12$ высота к гипотенузе

$A C^{2} = A B \cdot A H = 25 \cdot 9 = 225$ катет и проекция

$A C = 15$ проверка: $9^{2} + 1 2^{2} = 1 5^{2}$ ✓

Сам

$A H = 2$ , $H B = 8$ . Найдите $C H$ . $4$
$A B = 20$ , $A H = 5$ . Найдите катет $A C$ . $10$
$C H = 6$ , $A H = 4$ . Найдите гипотенузу $A B$ . $13$

R06.1 · R03 · R05

Сводка · площадь и окружности

Высота, $r$ и $R$ прямоугольного треугольника

Высота к гипотенузе

h = \frac{ab}{c}

площадь двумя способами: $\frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} c h$

Вписанная окружность

$r = \frac{a + b - c}{2}$

Описанная окружность

$R = \frac{c}{2}$ , центр — середина гипотенузы

R06.1

Сводка · вижу → вспоминаю

С чего начать решение

Вижу в условии	Вспоминаю или строю
прямой угол и две стороны	теорему Пифагора
прямой угол, сторону и острый угол	синус, косинус или тангенс этого угла
высоту к гипотенузе	подобные треугольники: $h^{2} = a_{c} b_{c}$ , $a^{2} = c \cdot a_{c}$
ромб, равнобедренную трапецию, равнобедренный треугольник	диагонали или высоты — получится прямоугольный треугольник
окружность и прямоугольный треугольник	$R = \frac{c}{2}$ ; касательные отрезки ⇒ $r = \frac{a + b - c}{2}$
угол $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ или $6 0^{\circ}$	табличные значения или «половину» правильной фигуры

R06.1

Образец → сам · задача на доказательство

Дважды Пифагор — и равенство доказано

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота. Докажите: $A C^{2} - B C^{2} = A H^{2} - B H^{2}$ .

$A C^{2} = A H^{2} + C H^{2}$ Пифагор в $△ A H C$

$B C^{2} = B H^{2} + C H^{2}$ Пифагор в $△ B H C$

вычтем: $A C^{2} - B C^{2} = A H^{2} - B H^{2}$ $C H^{2}$ сократилось

Сам: составьте план

Докажите: у ромба со стороной $a$ и диагоналями $d_{1}$ , $d_{2}$ верно $d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 4 a^{2}$ . половины диагоналей — катеты, $a$ — гипотенуза
Докажите: $A C \cdot BC = A B \cdot C H$ ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота). $2 S$ двумя способами
$C H ⊥ A B$ , $H$ между $A$ и $B$ , $C H^{2} = A H \cdot H B$ . Докажите: $∠ C = 9 0^{\circ}$ . $△ A H C \sim △ C H B$ ⇒ $∠ A C H = ∠ B$

3 мин · практика
Образец: высота делит треугольник на два прямоугольных; общий катет CH сокращается при вычитании. Факт верен для любой высоты (не только из прямого угла) — условие ∠C = 90° здесь не используется: хорошо обсудить с классом.
1) Диагонали ромба ⟂ и делятся пополам: (d₁/2)² + (d₂/2)² = a² ⇒ d₁² + d₂² = 4a².
2) S = ½ AC · BC (катеты) = ½ AB · CH (основание и высота) ⇒ AC · BC = AB · CH.
3) Обратное утверждение: AH/CH = CH/HB и ∠AHC = ∠CHB = 90° ⇒ △AHC ∼ △CHB (по двум сторонам и углу между ними) ⇒ ∠ACH = ∠CBH; ∠ACB = ∠ACH + ∠HCB = ∠CBH + ∠HCB = 90° (сумма острых углов △CHB).
Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования.

R06.1

Образец → сам · задача из жизни и клетки

Прямоугольный треугольник вокруг нас

Образец: лестница $6, 5$ м стоит в $2, 5$ м от стены. На какой высоте её верх?

стена $⊥$ полу ⇒ треугольник прямоугольный модель

$h^{2} = 6, 5^{2} - 2, 5^{2} = 42, 25 - 6, 25 = 36$ Пифагор

$h = 6$ м тройка $5, 12, 13$ , умноженная на $0, 5$

Сам

Отрезок на клетчатой бумаге: $5$ клеток вправо и $12$ вверх. Его длина (клетка $1 \times 1$ )? $13$
Пандус: $tg α = \frac{1}{12}$ , по горизонтали $6$ м. На какую высоту он поднимается? $0, 5$ м
Экран $48 \times 36$ см. Найдите его диагональ. $60$ см

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$sin A = \frac{A C}{A B}$ при $∠ C = 9 0^{\circ}$	$A C$ прилежит к углу $A$ — это косинус	$sin A = \frac{BC}{A B}$
Стороны $5$ и $13$ ⇒ третья $25 + 169$	не проверили, что $13$ может быть гипотенузой	если $13$ — гипотенуза: $169 - 25 = 12$
$C H^{2} = A C \cdot BC$	перепутаны катеты и отрезки гипотенузы	$C H^{2} = A H \cdot H B$ , $C H = \frac{A C \cdot BC}{A B}$
$sin 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$	перепутаны значения для $3 0^{\circ}$ и $6 0^{\circ}$	$sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ : больше угол — больше синус

R06.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ .

$A C$ лежит против $3 0^{\circ}$ ⇒ $A C = 10 : 2 = 5$ .

против $∠ A$ лежит $BC = 5$ ; $A C = A B cos 3 0^{\circ} = 53$

б) Стороны треугольника $5, 12, 13$ . Какой угол прямой?

$5^{2} + 1 3^{2} \neq = 1 2^{2}$ , но угол против стороны $12$ — прямой, он самый большой на рисунке.

$5^{2} + 1 2^{2} = 1 3^{2}$ ⇒ прямой угол лежит против $13$

в) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A H = 4$ , $H B = 16$ . Найдите $A C$ .

$A C^{2} = A H \cdot H B = 64$ , $A C = 8$ .

$8$ — это $C H$ ; $A C^{2} = A B \cdot A H = 20 \cdot 4 = 80$ , $A C = 45$

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаКатеты $9$ и $12$ . Гипотенуза? $15$
базаГипотенуза $26$ , катет $10$ . Другой катет? $24$
база $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 8$ , $sin A = 0, 25$ . Найдите $BC$ . $2$

базаСторона квадрата $52$ . Диагональ? $10$
базаКатеты $6$ и $8$ . Радиус описанной окружности? $5$
базаКатеты $6$ и $8$ . Высота к гипотенузе? $4, 8$

R06.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Свяжите две темы

повыш.Катеты $20$ и $21$ . Найдите радиус вписанной окружности. $6$
повыш.Равнобедренный треугольник: основание $10$ , тангенс угла при основании $2, 4$ . Найдите периметр. $36$
повыш.Диагонали ромба $12$ и $16$ . Найдите высоту ромба. $9, 6$
повыш.Прямоугольная трапеция: основания $7$ и $15$ , большая боковая сторона $10$ . Найдите площадь. $66$

R06.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ угол $C$ равен $9 0^{\circ}$ , $BC = 9$ и $cos B = 0, 6$ . Найдите $A B$ . $15$
ОГЭ 18Найдите тангенс угла $A OB$ , изображённого на клетчатой бумаге. $0, 75$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Ответ: 23

R06.1 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки $5, 4$ и $9, 6$ . Найдите радиус вписанной окружности.

$c = 15$ ; $a^{2} = 15 \cdot 9, 6 = 144$ , $b^{2} = 15 \cdot 5, 4 = 81$

$a = 12$ , $b = 9$ , $r = \frac{9 + 12 - 15}{2} = 3$

ОГЭ 24 В прямоугольной трапеции $A BC D$ ( $∠ A = 9 0^{\circ}$ , $BC ∥ A D$ ) диагонали перпендикулярны. Докажите: $A B^{2} = BC \cdot A D$ .

$∠ B A C = 9 0^{\circ} - ∠ A B D = ∠ A D B$
⇒ $△ A BC \sim △ D A B$ (по острому углу)

$\frac{BC}{A B} = \frac{A B}{A D}$ ⇒ $A B^{2} = BC \cdot A D$

2,5 мин · практика
23) AB = 5,4 + 9,6 = 15. Катет² = гипотенуза · проекция: BC² = 15 · 9,6 = 144 ⇒ BC = 12; AC² = 15 · 5,4 = 81 ⇒ AC = 9. Проверка: 81 + 144 = 225 = 15² ✓. r = (a + b − c)/2 = (9 + 12 − 15)/2 = 3. Ответ: 3.
24) Полное решение на 2 балла: ∠B = 90° (∠A + ∠B = 180°, односторонние при BC ∥ AD). В △ABO (∠AOB = 90°): ∠BAC = 90° − ∠ABD; в △ABD (∠A = 90°): ∠ADB = 90° − ∠ABD ⇒ ∠BAC = ∠ADB. Прямоугольные △ABC (∠B = 90°) и △DAB (∠A = 90°) подобны по острому углу; соответствие A ↔ D, B ↔ A, C ↔ B ⇒ BC/AB = AB/AD ⇒ AB² = BC · AD.
Чертёж к 24 точный: AB = 6, BC = 4, AD = 9 (6² = 4 · 9).

R06.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Катеты $8$ и $15$ . Гипотенуза? $17$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 25$ , $cos A = 0, 8$ . Найдите $A C$ . $20$
$C H$ — высота к гипотенузе, $A H = 4$ , $H B = 25$ . Найдите $C H$ . $10$
Катеты $5$ и $12$ . Радиус вписанной окружности? $2$

Вариант 2

Гипотенуза $25$ , катет $7$ . Другой катет? $24$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 9$ , $tg A = \frac{4}{3}$ . Найдите $BC$ . $12$
$C H$ — высота к гипотенузе, $C H = 6$ , $A H = 4$ . Найдите $H B$ . $9$
Катеты $9$ и $40$ . Радиус вписанной окружности? $4$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как из подобия получить теорему Пифагора?
Чем $C H^{2} = A H \cdot H B$ отличается от $A C^{2} = A B \cdot A H$ ?
Где центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника?

Домашнее задание

Сторона ромба $13$ , одна диагональ $10$ . Найдите другую.
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 6$ , $A B = 10$ , $C H$ — высота. Найдите $A H$ .
* Катеты $15$ и $20$ . Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_itogovoe_povtorenie.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-099 · Повторение: прямоугольный треугольник

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 10 ч · урок 7/10 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний» → 2–22 (повторение R04 → 3)
Результаты	ПР-9 (теорема Пифагора) → 3, 5, 6, 13, 14, 17, 21 · ПР-11 (тригонометрия, практические задачи) → 7, 8, 14, 15, 16, 19 · ПР-5 (пропорциональные отрезки) → 9, 10, 16, 20 · ПР-7 (площади) → 11, 18 · ПР-10 (вписанная и описанная окружности) → 11, 18, 20, 21
Вне урока	углы в окружности, вписанные четырёхугольники, касательные — следующие уроки повторения; тригонометрия произвольного угла — 9 класс
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Прямоугольный треугольник — узел курса: Пифагор, подобие, тригонометрия

Сегодня вы научитесь

Находить стороны

Видеть подобие

Связывать темы

Решать задачи ОГЭ

Пифагор и табличные значения

Где в курсе появляется прямой угол

Главные факты о прямоугольном треугольнике

Найди прямоугольный треугольник внутри фигуры

Образец: диагонали ромба AC=16, BD=12. Найдите сторону.

Сам

Отношения сторон для острого угла

Одна сторона и отношение — найдём остальные

Образец: ∠C=90∘, AB=20, sinA=0,6. Найдите AC.

Сам

Подобие внутри прямоугольного треугольника

Высота делит гипотенузу на 9 и 16

Образец: ∠C=90∘, CH — высота, AH=9, HB=16. Найдите CH и AC.

Сам

Высота, r и R прямоугольного треугольника

Высота к гипотенузе

Вписанная окружность

Описанная окружность

С чего начать решение

Дважды Пифагор — и равенство доказано

Образец: ∠C=90∘, CH — высота. Докажите: AC2−BC2=AH2−BH2.

Сам: составьте план

Прямоугольный треугольник вокруг нас

Образец: лестница 6,5 м стоит в 2,5 м от стены. На какой высоте её верх?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) ∠C=90∘, AB=10, ∠A=30∘. Найдите AC.

б) Стороны треугольника 5, 12, 13. Какой угол прямой?

в) ∠C=90∘, CH — высота, AH=4, HB=16. Найдите AC.

Решите и проверьте

Свяжите две темы

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-099 · Повторение: прямоугольный треугольник

Образец: диагонали ромба $A C = 16$ , $B D = 12$ . Найдите сторону.

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 20$ , $sin A = 0, 6$ . Найдите $A C$ .

Высота делит гипотенузу на $9$ и $16$

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A H = 9$ , $H B = 16$ . Найдите $C H$ и $A C$ .

Высота, $r$ и $R$ прямоугольного треугольника

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота. Докажите: $A C^{2} - B C^{2} = A H^{2} - B H^{2}$ .

Образец: лестница $6, 5$ м стоит в $2, 5$ м от стены. На какой высоте её верх?

а) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ .

б) Стороны треугольника $5, 12, 13$ . Какой угол прямой?

в) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A H = 4$ , $H B = 16$ . Найдите $A C$ .