Итоговое повторение · урок 6 из 10

Подобие, площади и теорема Пифагора: связи тем

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень · урок обобщения
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · GEOM8U-098

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (10 ч), урок 6/10, единица R06.1. Тип урока — О (обобщение и систематизация).
Теория (13): титул 0,5 · цели 0,5 · карта методов 1,5 · метод площадей 2 · подобие и площади 2 · пропорциональные отрезки и Пифагор 3 · алгебраический метод 2 · «вижу → вспоминаю» 1,5.
Практика (32): разминка 2 · образцы → сам 2 + 2 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2 · повышенный 2,5 · ОГЭ 15/17/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 3,5 · итог 1.
Тема урока в КТП общая для всех 10 уроков R06. Уроки 1–5 повторяли темы по отдельности (треугольники и четырёхугольники, подобие, площади, Пифагор и тригонометрия, окружность); этот урок — связи между подобием, площадями и теоремой Пифагора: методы, которые работают вместе.
Если не успеваете: третье задание каждого «сам» и ОГЭ 24 — в ДЗ.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Метод площадей

считать одну площадь двумя способами и находить высоты (ПР-7)

Подобие и площади

$\frac{S _{1}}{S _{2}} = k^{2}$ в трапеции и треугольнике (ПР-5, ПР-8)

Пифагор + подобие

пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике (ПР-9)

Выбирать метод

по чертежу — и решать задачи ОГЭ 15, 17, 19, 23, 24

повторение: уроки 2–4

Разминка · устно

Подобие, площади, Пифагор

По рисунку: гипотенуза $A B$ ? $10$
Площадь этого треугольника? $24$
Коэффициент подобия $3$ . Отношение площадей? $9$
Площади подобных треугольников $4$ и $25$ . Отношение периметров? $2 : 5$
Сторона параллелограмма $7$ , высота к ней $4$ . $S$ ? $28$
Основания трапеции $3$ и $9$ , высота $4$ . $S$ ? $24$
$sin A = 0, 6$ , гипотенуза $10$ . Катет против $∠ A$ ? $6$

R06.1

Сводка · карта методов

Пять методов курса — и когда они нужны

Метод	Сигнал на чертеже	Главная формула
Площади	площадь можно найти двумя способами	$\frac{1}{2} a h_{a} = \frac{1}{2} b h_{b}$
Подобие	параллельные прямые, общий угол, высота к гипотенузе	$\frac{a _{1}}{a _{2}} = k$ , $\frac{S _{1}}{S _{2}} = k^{2}$
Пифагор	прямой угол и две известные стороны	$a^{2} + b^{2} = c^{2}$
Тригонометрия	прямоугольный треугольник и известный угол	$sin A = \frac{a}{c}$ , $cos A = \frac{b}{c}$
Уравнение	неизвестных несколько, связи между ними известны	обозначить $x$ , связать двумя фактами

R06.1 · R03

Сводка · метод площадей

Одна площадь — две формулы

Высота к гипотенузе

$S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} c h$ ⇒ $h = \frac{ab}{c}$

Общая высота

$\frac{S _{A B D}}{S _{D BC}} = \frac{A D}{D C}$

медиана делит треугольник на два равновеликих

2 мин · теория
Слева: площадь прямоугольного треугольника считаем через катеты и через гипотенузу с высотой — приравниваем. Цвета букв в формуле совпадают с чертежом.
Справа: у треугольников ABD и DBC общая высота BH (из вершины B на прямую AC), поэтому их площади относятся как основания AD : DC. Это не подобие — квадрата здесь нет.
Вопрос классу: как с помощью метода площадей сравнить две высоты параллелограмма? (a · h(a) = b · h(b) ⇒ высоты обратно пропорциональны сторонам.)

R06.1

Образец → сам · метод площадей на готовом чертеже

Высота к гипотенузе

Образец: катеты $15$ и $20$ . Найдите высоту $C H$ .

$A B = 1 5^{2} + 2 0^{2} = 25$ теорема Пифагора

$S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150$ через катеты

$C H = \frac{2 S}{A B} = \frac{300}{25} = 12$ через гипотенузу

Сам

Катеты $9$ и $12$ . Найдите высоту к гипотенузе. $7, 2$
Гипотенуза $10$ , высота к ней $4, 8$ , один катет $6$ . Найдите другой. $8$
Стороны параллелограмма $8$ и $12$ , высота к большей $6$ . Найдите высоту к меньшей. $9$

R06.1

Образец → сам · общая высота

Площади относятся как основания

Образец: $D \in A C$ , $A D : D C = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 40$ . Найдите $S_{A B D}$ .

$B H$ — общая высота $△ A B D$ и $△ D BC$ из $B$

$S_{A B D} : S_{D BC} = A D : D C = 2 : 3$ как основания

$S_{A B D} = 40 \cdot \frac{2}{5} = 16$ $2 + 3 = 5$ частей

Сам

$BM$ — медиана, $S_{A BM} = 13$ . Найдите $S_{A BC}$ . $26$
$S_{A B D} = 12$ , $S_{D BC} = 20$ , $A C = 16$ . Найдите $A D$ . $6$
$O$ — точка пересечения медиан, $S_{A BC} = 36$ . Найдите $S_{A OB}$ . $12$

R06.1 · R02 · R03

Сводка · подобие и площади

Трапеция с диагоналями: четыре треугольника

1

△ BOC

\sim

△ D O A

накрест лежащие углы при

BC ∥ A D

(II признак)

2

k = \frac{A D}{BC} = \frac{A O}{OC} = \frac{D O}{OB}

отношение соответственных сторон

3

\frac{S _{A O D}}{S _{BOC}} = k^{2}

площади подобных фигур

4

S_{A OB} = S_{CO D}

,

S_{A OB} = k \cdot S_{BOC}

общая высота:

A O : OC = k

(метод площадей)

R06.1

Образец → сам · подобие + площади

Площадь трапеции по одному треугольнику

Образец: $BC = 3$ , $A D = 6$ , $S_{BOC} = 5$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

$k = \frac{A D}{BC} = 2$ ⇒ $S_{A O D} = 2^{2} \cdot 5 = 20$ $△ A O D \sim △ COB$

$S_{A OB} = S_{CO D} = 2 \cdot 5 = 10$ $A O : OC = 2$ , общая высота

$S = 5 + 20 + 10 + 10 = 45$

Сам

Основания $4$ и $12$ , $S_{BOC} = 3$ . Найдите $S_{A O D}$ . $27$
$S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 25$ . Найдите $BC : A D$ . $2 : 5$
$S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 9$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $25$

R06.1 · R04

Сводка · подобие → теорема Пифагора

Высота к гипотенузе: три подобных треугольника

Дано:

∠ C = 9 0^{\circ}

,

C H ⊥ A B

. Доказать:

A C^{2} + B C^{2} = A B^{2}

,

C H^{2} = A H \cdot H B

.

1

△ A C H

\sim △ A BC

⇒

A C^{2} = A B \cdot A H

общий

∠ A

и прямой угол (II признак);

\frac{A C}{A B} = \frac{A H}{A C}

2

△ CB H

\sim △ A BC

⇒

B C^{2} = A B \cdot B H

общий

∠ B

и прямой угол

3

A C^{2} + B C^{2} = A B (A H + H B) = A B^{2}

сложили 1 и 2: теорема Пифагора

4

△ A C H

\sim

△ CB H

⇒

C H^{2} = A H \cdot H B

оба подобны

△ A BC

;

\frac{C H}{H B} = \frac{A H}{C H}

3 мин · теория (доказательство ведёт учитель, класс называет признаки подобия)
Цвета: △ACH — бирюзовый (общий с △ABC угол A — жёлтая дуга), △CBH — розовый (общий угол B — синяя двойная дуга).
Шаг 1 подробно: в △ACH и △ABC ∠A общий, ∠AHC = ∠ACB = 90° ⇒ подобны; соответствие: A ↔ A, H ↔ C, C ↔ B ⇒ AC/AB = AH/AC.
Главная мысль: теорема Пифагора следует из подобия — так связаны R02 и R04. Формулы AC² = AB · AH, CH² = AH · HB — «пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике» (R04.3).

R06.1

Образец → сам · пропорциональные отрезки

Отрезки гипотенузы → катеты и высота

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A H = 18$ , $H B = 32$ . Найдите $C H$ и $A C$ .

$C H^{2} = A H \cdot H B = 576$ ⇒ $C H = 24$ $△ A C H \sim △ CB H$

$A C^{2} = A B \cdot A H = 50 \cdot 18 = 900$ ⇒ $A C = 30$ $△ A C H \sim △ A BC$

проверка: $1 8^{2} + 2 4^{2} = 900 = 3 0^{2}$ ✓ Пифагор в $△ A C H$

Сам

$A H = 4$ , $H B = 9$ . Найдите $C H$ . $6$
$C H = 6$ , $A H = 3$ . Найдите $H B$ и $A B$ . $12$ и $15$
$A C = 10$ , $A H = 8$ . Найдите $A B$ и $C H$ . $12, 5$ и $6$

R06.1

Метод · уравнение по теореме Пифагора

Общая высота двух прямоугольных треугольников

Задача:

A B = 13

,

BC = 14

,

A C = 15

. Найдите высоту

A H

и площадь.

1

B H = x

,

H C = 14 - x

обозначили неизвестное

2

1 3^{2} - x^{2} = 1 5^{2} - (14 - x)^{2}

A H^{2}

из двух прямоугольных треугольников (Пифагор)

3

169 = 29 + 28 x

⇒

x = 5

x^{2}

сократились

4

A H = 169 - 25 = 12

,

S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12 = 84

и бонус:

sin B = \frac{12}{13}

R06.1

Сводка · вижу → вспоминаю

С чего начать решение

Вижу на чертеже	Вспоминаю или строю
высоту к гипотенузе	три подобных треугольника; $h = \frac{ab}{c}$ ; $h^{2} = A H \cdot H B$
трапецию с диагоналями	$△ BOC \sim △ D O A$ ; боковые треугольники равновелики
треугольники с общей вершиной, основания на одной прямой	площади относятся как основания
прямую, параллельную стороне треугольника	подобие: стороны — $k$ , площади — $k^{2}$
две стороны и высоту, нужна другая высота	площадь двумя способами
три стороны треугольника, нужна высота	уравнение по Пифагору для общей высоты

R06.1

Образец → сам · задача на доказательство

Метод площадей в доказательстве

Образец: $A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$ , $O$ — точка пересечения диагоналей. Докажите: $S_{A OB} = S_{CO D}$ .

$S_{A B D} = S_{A C D}$ общее основание $A D$ , $BC ∥ A D$

$S_{A OB} = S_{A B D} - S_{A O D}$ , $S_{CO D} = S_{A C D} - S_{A O D}$ свойство площадей

⇒ $S_{A OB} = S_{CO D}$ из равных вычли одно и то же

Сам: составьте план

Докажите: медиана делит треугольник на два равновеликих. общая высота, равные основания
$M$ — любая точка на $BC$ параллелограмма $A BC D$ . Докажите: $S_{A M D} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$ . основание $A D$ , высота — высота параллелограмма
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота. Докажите: $A C \cdot BC = A B \cdot C H$ . $2 S$ двумя способами

R06.1

Образец → сам · клетчатая бумага и задача из жизни

Площадь по клеткам — высота по формуле

Образец: клетка $1 \times 1$ . Найдите высоту к стороне $A C$ .

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ основание $A B$ и высота — по клеткам

$A C = 3^{2} + 4^{2} = 5$ Пифагор по клеткам

$h_{A C} = \frac{2 S}{A C} = \frac{24}{5} = 4, 8$ метод площадей

Сам

Равнобедренный треугольник на клетках: основание $12$ , высота к нему $8$ . Найдите боковую сторону и высоту к ней. $10$ и $9, 6$
Человек ростом $1, 8$ м стоит в $12$ м от фонаря, его тень $4$ м. Найдите высоту фонаря. $7, 2$ м
План квартиры в масштабе $1 : 200$ . Комната на плане — $4 см^{2}$ . Её площадь? $16 м^{2}$

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$k = 3$ ⇒ площади относятся как $3$	площадь — двумерная величина	$\frac{S _{1}}{S _{2}} = k^{2} = 9$
Общая высота ⇒ $\frac{S _{1}}{S _{2}} = (\frac{a _{1}}{a _{2}})^{2}$	треугольники не подобны, квадрат — только для подобных	$\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{a _{1}}{a _{2}}$
$S_{параллелограмма} = a \cdot b$	сторона $b$ не перпендикулярна $a$	$S = a \cdot h_{a}$
$sin A = \frac{прилежащий катет}{гипотенуза}$	это косинус	$sin A$ — противолежащий катет

R06.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Площади подобных треугольников $9$ и $16$ , периметр меньшего $12$ . Периметр большего?

$P = 12 \cdot \frac{16}{9} = 21 \frac{1}{3}$

$k = \frac{16}{9} = \frac{4}{3}$ , $P = 12 \cdot \frac{4}{3} = 16$

б) Сторона ромба $10$ , угол $3 0^{\circ}$ . Найдите площадь.

$S = 10 \cdot 10 = 100$

$h = 10 \cdot sin 3 0^{\circ} = 5$ , $S = 10 \cdot 5 = 50$

в) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A H = 4$ , $A B = 9$ . Найдите $A C$ .

$A C^{2} = A H \cdot H B = 4 \cdot 5 = 20$ , $A C = 25$

$A H \cdot H B = C H^{2}$ ; верно $A C^{2} = A B \cdot A H = 36$ , $A C = 6$

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаКатеты $7$ и $24$ . Высота к гипотенузе? $6, 72$
базаПодобные треугольники, $k = 4$ , площадь меньшего $3$ . Большего? $48$
база $BM$ — медиана, $S_{A BC} = 30$ . Найдите $S_{A BM}$ . $15$

база $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A H = 2$ , $H B = 8$ . Найдите $C H$ . $4$
базаОснования трапеции $2$ и $6$ , $S_{BOC} = 1$ . Найдите $S_{A O D}$ . $9$
базаСтороны параллелограмма $6$ и $10$ , угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $30$

R06.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Два метода в одной задаче

повыш.Высоты параллелограмма $4$ и $6$ , периметр $40$ . Найдите стороны. $12$ и $8$
повыш.Прямая $MN ∥ A C$ ( $M \in A B$ , $N \in BC$ ), $BM : M A = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 50$ . Найдите $S_{A MNC}$ . $42$
повыш.Стороны треугольника $10$ , $17$ и $21$ . Найдите высоту к большей стороне. $8$
повыш.Диагонали ромба $18$ и $24$ . Найдите высоту ромба. $14, 4$

R06.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 17 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ угол $C$ прямой, $C H$ — высота, $A H = 4$ , $B H = 25$ . Найдите $C H$ . $10$
ОГЭ 17Диагонали трапеции $A BC D$ с основаниями $BC = 3$ и $A D = 5$ пересекаются в точке $O$ , $A C = 24$ . Найдите $A O$ . $15$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Ответ: 23

R06.1 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Высота $A H$ ромба $A BC D$ делит сторону $C D$ на отрезки $DH = 8$ и $C H = 2$ . Найдите высоту ромба.

$A D = C D = 8 + 2 = 10$ стороны ромба равны

$A H = 1 0^{2} - 8^{2} = 6$

ОГЭ 24 $E$ — точка внутри параллелограмма $A BC D$ . Докажите: $S_{BEC} + S_{A E D} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$ .

$h_{1} + h_{2} = h$ точка $E$ лежит между $BC$ и $A D$

$\frac{1}{2} a h_{1} + \frac{1}{2} a h_{2} = \frac{1}{2} ah = \frac{1}{2} S_{A BC D}$

R06.1

Самостоятельная работа · 3,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Катеты $12$ и $16$ . Высота к гипотенузе? $9, 6$
$k = 3$ , площадь меньшего треугольника $5$ . Большего? $45$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A H = 4$ , $H B = 16$ . $C H$ ? $8$
Основания трапеции $2$ и $5$ , $S_{BOC} = 8$ . $S_{A O D}$ ? $50$

Вариант 2

Катеты $18$ и $24$ . Высота к гипотенузе? $14, 4$
$k = 5$ , площадь меньшего треугольника $2$ . Большего? $50$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A H = 9$ , $H B = 4$ . $C H$ ? $6$
Основания трапеции $3$ и $4$ , $S_{BOC} = 18$ . $S_{A O D}$ ? $32$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда площади относятся как основания, а когда — как $k^{2}$ ?
Как найти высоту к гипотенузе двумя способами?
Как из подобия получить теорему Пифагора?

Домашнее задание

Диагонали ромба $30$ и $40$ . Найдите его высоту.
$S_{BOC} = 9$ , $S_{A O D} = 16$ (трапеция). Найдите $S_{A BC D}$ .
* Докажите: сумма расстояний от точки основания равнобедренного треугольника до боковых сторон равна высоте к боковой стороне.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_itogovoe_povtorenie.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-098 · Повторение: подобие, площади и теорема Пифагора

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 10 ч · урок 6/10 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний» → 2–23 · повторение R02–R04 → 3
Результаты	ПР-5 (подобие) → 8–11, 15, 17, 20 · ПР-7 (площади) → 5–7, 12, 14, 15, 21 · ПР-8 (площади подобных) → 8, 9, 15, 16, 19 · ПР-9 (Пифагор) → 6, 10–12, 21 · ПР-11 (практические задачи, тригонометрия) → 12, 15, 17
Вне урока	четырёхугольники и средние линии — GEOM8U-093; углы в окружности, касание окружностей — отдельные уроки повторения
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Подобие, площади и теорема Пифагора: связи тем

Сегодня вы научитесь

Метод площадей

Подобие и площади

Пифагор + подобие

Выбирать метод

Подобие, площади, Пифагор

Пять методов курса — и когда они нужны

Одна площадь — две формулы

Высота к гипотенузе

Общая высота

Высота к гипотенузе

Образец: катеты 15 и 20. Найдите высоту CH.

Сам

Площади относятся как основания

Образец: D∈AC, AD:DC=2:3, SABC​=40. Найдите SABD​.

Сам

Трапеция с диагоналями: четыре треугольника

Площадь трапеции по одному треугольнику

Образец: BC=3, AD=6, SBOC​=5. Найдите SABCD​.

Сам

Высота к гипотенузе: три подобных треугольника

Отрезки гипотенузы → катеты и высота

Образец: ∠C=90∘, AH=18, HB=32. Найдите CH и AC.

Сам

Общая высота двух прямоугольных треугольников

С чего начать решение

Метод площадей в доказательстве

Образец: ABCD — трапеция, BC∥AD, O — точка пересечения диагоналей. Докажите: SAOB​=SCOD​.

Сам: составьте план

Площадь по клеткам — высота по формуле

Образец: клетка 1×1. Найдите высоту к стороне AC.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Площади подобных треугольников 9 и 16, периметр меньшего 12. Периметр большего?

б) Сторона ромба 10, угол 30∘. Найдите площадь.

в) ∠C=90∘, CH — высота, AH=4, AB=9. Найдите AC.

Решите и проверьте

Два метода в одной задаче

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-098 · Повторение: подобие, площади и теорема Пифагора

Образец: катеты $15$ и $20$ . Найдите высоту $C H$ .

Образец: $D \in A C$ , $A D : D C = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 40$ . Найдите $S_{A B D}$ .

Образец: $BC = 3$ , $A D = 6$ , $S_{BOC} = 5$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A H = 18$ , $H B = 32$ . Найдите $C H$ и $A C$ .

Образец: $A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$ , $O$ — точка пересечения диагоналей. Докажите: $S_{A OB} = S_{CO D}$ .

Образец: клетка $1 \times 1$ . Найдите высоту к стороне $A C$ .

а) Площади подобных треугольников $9$ и $16$ , периметр меньшего $12$ . Периметр большего?

б) Сторона ромба $10$ , угол $3 0^{\circ}$ . Найдите площадь.

в) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A H = 4$ , $A B = 9$ . Найдите $A C$ .