Повторение и обобщение · урок 5 из 10

Подобие треугольников и его применения

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · GEOM8U-097

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (10 ч), урок 5/10, единица R06.1. Тип урока — О (обобщение и систематизация).
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 1 · сводка признаков 3 · прямоугольный треугольник 3,5 · связи тем 3 · схема «где искать подобие» 1,5.
Практика (32,5): разминка 2,5 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2 · ОГЭ 15/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Фокус урока среди десяти уроков повторения: подобие (ПР-5, ПР-6, ПР-8) и его связи с другими темами 8 класса — средней линией, медианами, площадями, теоремой Пифагора, тригонометрией, окружностью.
Если не успеваете: задание «из жизни» со слайда повышенного уровня и ОГЭ 24 — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить подобные треугольники

и доказывать подобие по признакам (ПР-5)

Применять пропорции

в прямоугольном треугольнике с высотой к гипотенузе (ПР-5)

Сравнивать площади

подобных фигур через $k^{2}$ (ПР-8)

Решать практические задачи

и задачи ОГЭ 15, 19, 23, 24 (ПР-6)

1 мин · теория
ПР-5: «Владеть понятиями подобия треугольников, коэффициента подобия, соответственных элементов подобных треугольников… Пользоваться признаками подобия треугольников при решении геометрических задач. Доказывать и применять отношения пропорциональности в прямоугольных треугольниках».
ПР-6: «Применять подобие в практических задачах». ПР-8: «Знать отношение площадей подобных фигур и применять при решении задач».
Вид деятельности ФРП R06: решать задачи, иллюстрирующие связи между различными темами курса. Спросить: в каких темах 8 класса уже встречалось подобие? (Ответы собрать — сверим на слайде 6.)

повторение

Разминка · устно

Коэффициент подобия — главное число

$△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $k = 3$ , $A B = 4$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ . $12$
Периметры подобных треугольников $2 : 5$ . Отношение площадей? $4 : 25$
Площади подобных треугольников $9$ и $36$ . Коэффициент? $2$
Средняя линия треугольника равна $7$ . Параллельная ей сторона? $14$

Катеты $6$ и $8$ . Гипотенуза? $10$
В каком отношении медианы делятся точкой пересечения? $2 : 1$ , считая от вершины
Углы одного треугольника $5 0^{\circ}$ и $6 0^{\circ}$ , другого — $6 0^{\circ}$ и $7 0^{\circ}$ . Подобны? да: $5 0^{\circ}, 6 0^{\circ}, 7 0^{\circ}$ у обоих

R06.1 · сводка

Сводка · признаки подобия

Как доказать подобие и что оно даёт

I признак · два угла

$∠ A = ∠ A_{1}$ , $∠ B = ∠ B_{1}$

II признак · две стороны и угол между ними

$\frac{A _{1} B _{1}}{A B} = \frac{A _{1} C _{1}}{A C}$ , $∠ A = ∠ A_{1}$

III признак · три стороны

$\frac{A _{1} B _{1}}{A B} = \frac{B _{1} C _{1}}{BC} = \frac{A _{1} C _{1}}{A C}$

\frac{P _{1}}{P} = \frac{h _{1}}{h} = \frac{m _{1}}{m} = \frac{l _{1}}{l} = k

\frac{S _{1}}{S} = k^{2}

3 мин · теория
Сводка, не новый материал: ученики называют признак по чертежу, учитель открывает следствия. Одинаковые дуги — равные углы (одна — ∠A, две — ∠B).
Следствия: периметры, высоты, медианы, биссектрисы подобных треугольников относятся как k; площади — как k². Вопрос: во сколько раз увеличится площадь, если все стороны увеличить в 1,5 раза? (2,25.)
Типичная ошибка: во II признаке брать угол не между пропорциональными сторонами — такого признака нет.

R06.1 · сводка

Сводка · доказательство

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Дано:

∠ C = 9 0^{\circ}

,

C H ⊥ A B

.

1

△ A C H

\sim △ A BC

⇒

b^{2} = c \cdot b_{c}

∠ A

общий,

∠ A H C = ∠ A CB = 9 0^{\circ}

— I признак

2

△ CB H

\sim △ A BC

⇒

a^{2} = c \cdot a_{c}

∠ B

общий, прямые углы — I признак

3

△ A C H

\sim

△ CB H

⇒

h^{2} = a_{c} \cdot b_{c}

оба подобны

△ A BC

;

\frac{A H}{C H} = \frac{C H}{B H}

4

h = \frac{ab}{c}

площадь двумя способами:

\frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} c h

3,5 мин · теория
Повторяем доказательство целиком: на каждом щелчке — вопрос классу «почему подобны?». Цвета на чертеже совпадают с цветами в записи: фиолетовый △ACH, розовый △CBH.
Словами: катет — среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции; высота — среднее пропорциональное проекций катетов.
Связь с теоремой Пифагора: сложим п. 1 и 2: a² + b² = c(a_c + b_c) = c · c = c² — ещё одно доказательство теоремы Пифагора через подобие.
Числа на чертеже (масштаб): AH = 16, BH = 9, CH = 12, AC = 20, BC = 15 — их используем в образце 2.

R06.1 · связи тем

Сводка · подобие связывает темы курса

Где в 8 классе «работает» подобие

подобие:

k

для длин,

k^{2}

для площадей

Средняя линия

отсекает треугольник с $k = \frac{1}{2}$

Медианы

$△ A OB \sim △ A_{1} O B_{1}$ , $k = 2$ ⇒ $2 : 1$

Теорема Фалеса

параллельные прямые дают пропорциональные отрезки

Теорема Пифагора

$a^{2} + b^{2} = c (a_{c} + b_{c}) = c^{2}$

Тригонометрия

$sin A$ , $cos A$ не зависят от размеров: треугольники подобны

Окружность

хорды: $A E \cdot EB = CE \cdot E D$

3 мин · теория
Главный слайд урока обобщения (вид деятельности R06 — связи между темами). Сверить с ответами класса на вопрос со слайда 2.
Средняя линия MN ∥ AC: △MBN ∼ △ABC с k = 1/2 ⇒ MN = AC/2, площадь отсечённого треугольника — четверть. Медианы AA₁ и BB₁: A₁B₁ — средняя линия, △AOB ∼ △A₁OB₁ (накрест лежащие углы), k = AB : A₁B₁ = 2 ⇒ AO : OA₁ = 2 : 1.
Пифагор — из пропорциональных отрезков (слайд 5). Тригонометрия: прямоугольные треугольники с равным острым углом подобны (I признак) ⇒ отношение катета к гипотенузе зависит только от угла. Хорды: △AEC ∼ △DEB (вертикальные углы и вписанные углы, опирающиеся на одну дугу) — разберём в образце 4.

R06.1 · схема

Схема-конспект · где искать подобные треугольники

Четыре типичные ситуации

Параллельная прямая

$MN ∥ A C$ ⇒ $△ MBN \sim △ A BC$

Трапеция

$△ BOC \sim △ D O A$ , $k = \frac{A D}{BC}$

Общий угол

$∠ A B D = ∠ C$ ⇒ $△ A B D \sim △ A CB$

Хорды

$△ A EC \sim △ D EB$

R06.1

Образец → сам · параллельная прямая

Параллельная прямая отсекает подобный треугольник

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM = 6$ , $M A = 4$ , $A C = 15$ , $S_{A BC} = 50$ . Найдите $MN$ и $S_{A MNC}$ .

$△ MBN \sim △ A BC$ $∠ B$ общий, соответственные углы

$k = \frac{BM}{B A} = \frac{6}{10}$ , $MN = 15 \cdot 0, 6 = 9$ $B A = 6 + 4$

$S_{MBN} = 50 \cdot 0, 36 = 18$ , $S_{A MNC} = 32$ площади — $k^{2}$

Сам ( $MN ∥ A C$ )

$BN = 4$ , $NC = 8$ , $MN = 5$ . Найдите $A C$ . $15$
$MN = 6$ , $A C = 10$ , $BM = 9$ . Найдите $A B$ и $A M$ . $A B = 15$ , $A M = 6$
$BM : M A = 1 : 2$ , $S_{A BC} = 72$ . Найдите $S_{A MNC}$ . $64$

R06.1

Образец → сам · прямоугольный треугольник

Высота к гипотенузе: три формулы в действии

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A H = 16$ , $B H = 9$ . Найдите $C H$ , $A C$ , $BC$ .

$C H^{2} = A H \cdot B H = 144$ , $C H = 12$ $h^{2} = a_{c} b_{c}$

$A C^{2} = A B \cdot A H = 25 \cdot 16$ , $A C = 20$ $b^{2} = c b_{c}$

$B C^{2} = 25 \cdot 9$ , $BC = 15$ проверка: $1 5^{2} + 2 0^{2} = 2 5^{2}$

Сам

$A H = 4$ , $B H = 9$ . Найдите $C H$ . $6$
$A B = 25$ , $A C = 20$ . Найдите $A H$ и $C H$ . $A H = 16$ , $C H = 12$
Катеты $6$ и $8$ . Найдите высоту к гипотенузе и проекции катетов. $4, 8$ ; $3, 6$ и $6, 4$

R06.1

Образец → сам · трапеция и площади

Диагонали трапеции: подобие и площади

Образец: $BC ∥ A D$ , $BC = 4$ , $A D = 10$ , $S_{BOC} = 8$ . Найдите $S_{A O D}$ и $S_{A OB}$ .

$△ A O D \sim △ COB$ , $k = \frac{10}{4} = 2, 5$ вертикальные, накрест лежащие

$S_{A O D} = 8 \cdot 2, 5^{2} = 50$ площади — $k^{2}$

$\frac{A O}{OC} = 2, 5$ ⇒ $S_{A OB} = 2, 5 \cdot 8 = 20$ общая высота из $B$

Сам ( $BC ∥ A D$ )

$BC = 3$ , $A D = 7$ , $A C = 20$ . Найдите $A O$ . $14$
$S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 25$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $49$
$BO = 6$ , $O D = 15$ , $A D = 20$ . Найдите $BC$ . $8$

R06.1

Образец → сам · задача на доказательство

Доказываем через подобие: план и обоснования

Образец: $D \in A C$ , $∠ A B D = ∠ C$ . Докажите: $A B^{2} = A D \cdot A C$ .

$△ A B D \sim △ A CB$ $∠ A$ общий — I признак

$\frac{A B}{A C} = \frac{A D}{A B}$ стороны против равных углов

$A B^{2} = A D \cdot A C$ свойство пропорции

Сам: план доказательства

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ . Докажите: $A E \cdot EB = CE \cdot E D$ . $△ A EC \sim △ D EB$ : вертикальные + вписанные
$A A_{1}$ , $B B_{1}$ — высоты $△ A BC$ . Докажите: $C A_{1} \cdot CB = C B_{1} \cdot C A$ . $△ C A_{1} A \sim △ C B_{1} B$ : $∠ C$ общий, $9 0^{\circ}$
По задаче 1: $A E = 4$ , $EB = 6$ , $CE = 3$ . Найдите $E D$ . $8$

R06.1 · практика

Образец → сам · задача из жизни

Измеряем недоступное: тень, зеркало, карта

Образец: человек ростом $1, 8$ м стоит в $6$ м от фонаря, его тень $3$ м. Найдите высоту фонаря.

треугольники подобны общий угол, прямые углы

$\frac{x}{1 , 8} = \frac{6 + 3}{3} = 3$ стороны против равных углов

$x = 5, 4$ м

Сам

Дерево отбрасывает тень $12$ м, вертикальная палка $1$ м — тень $0, 8$ м. Высота дерева? $15$ м
Зеркало на земле в $2$ м от человека (глаза на высоте $1, 6$ м) и в $10$ м от дерева; в нём видна верхушка. Высота дерева? $8$ м
На карте $1 : 50000$ участок занимает $6 см^{2}$ . Его площадь? $1, 5 км^{2}$

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$MN ∥ A C$ : $\frac{MN}{A C} = \frac{BM}{M A}$	соответственная сторона — вся $B A$ , а не её часть	$\frac{MN}{A C} = \frac{BM}{B A}$
$\frac{S _{1}}{S} = k$	площадь — двумерная величина	$\frac{S _{1}}{S} = k^{2}$
$A C^{2} = A H \cdot B H$	так находят высоту, а не катет	$C H^{2} = A H \cdot B H$ , $A C^{2} = A B \cdot A H$
две стороны пропорциональны и какой-то угол равен ⇒ подобны	во II признаке угол — между этими сторонами	угол между пропорциональными сторонами

R06.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Трапеция: $BC = 4$ , $A D = 12$ , $S_{BOC} = 3$ . Найдите $S_{A O D}$ .

$k = 12 : 4 = 3$

$S_{A O D} = 3 \cdot 3 = 9$

$S_{A O D} = 3 \cdot 3^{2} = 27$

б) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A H = 2$ , $B H = 8$ . Найдите $C H$ и $A C$ .

$C H^{2} = 2 \cdot 8 = 16$ , $C H = 4$

$A C^{2} = 2 \cdot 8 = 16$ , $A C = 4$

$A C^{2} = A H \cdot A B = 20$ , $A C = 25$

в) $MN ∥ A C$ , $BM = 3$ , $M A = 6$ , $MN = 4$ . Найдите $A C$ .

$\frac{MN}{A C} = \frac{BM}{M A} = \frac{1}{2}$

$A C = 8$

$k = \frac{3}{9}$ , $A C = 12$

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $△ A BC \sim △ K MN$ , $A B = 6$ , $K M = 9$ , $BC = 8$ . Найдите $MN$ . $12$
базаПериметры подобных треугольников $12$ и $18$ , меньшая площадь $20$ . Большая? $45$
базаКатет $12$ , гипотенуза $16$ . Проекция катета на гипотенузу? $9$

базаВысота к гипотенузе делит её на $3$ и $12$ . Найдите высоту. $6$
базаТрапеция: $BC = 5$ , $A D = 15$ , $A C = 24$ . Найдите $A O$ . $18$
базаХорды пересекаются в $E$ : $A E = 5$ , $EB = 4$ , $CE = 2$ . Найдите $E D$ . $10$

R06.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Прямая $MN ∥ A C$ делит площадь $△ A BC$ пополам, $A B = 10$ . Найдите $BM$ . $52$
повыш.Высота прямоугольного треугольника равна $12$ и делит гипотенузу на отрезки, разность которых $7$ . Найдите гипотенузу. $25$
повыш. $D \in A C$ , $∠ A B D = ∠ C$ , $A D = 4$ , $D C = 5$ . Найдите $A B$ . $6$
из жизниФото $10 \times 15$ см увеличили, площадь выросла в $4$ раза. Новые размеры? $20 \times 30$ см

R06.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15Прямая, параллельная стороне $A C$ треугольника $A BC$ , пересекает $A B$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ ; $A B = 15$ , $A C = 25$ , $MN = 10$ . Найдите $A M$ . $9$
ОГЭ 15В $△ A BC$ $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A B = 25$ , $BC = 15$ . Найдите $B H$ . $9$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны.
Площади подобных треугольников относятся как коэффициент подобия.
Квадрат высоты, проведённой к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу.

Ответ: 13

R06.1 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Прямая, параллельная основаниям трапеции $A BC D$ , пересекает боковые стороны $A B$ и $C D$ в точках $E$ и $F$ ; $A D = 42$ , $BC = 14$ , $CF : D F = 4 : 3$ . Найдите $EF$ .

$△ C K F \sim △ C A D$ : $K F = 42 \cdot \frac{4}{7} = 24$

$△ A E K \sim △ A BC$ : $E K = 14 \cdot \frac{3}{7} = 6$

$EF = 24 + 6 = 30$

ОГЭ 24 Диагонали выпуклого четырёхугольника $A BC D$ пересекаются в $O$ , $∠ A B D = ∠ A C D$ . Докажите: $∠ C A D = ∠ CB D$ .

$△ A BO \sim △ D CO$ (два угла) ⇒ $\frac{A O}{D O} = \frac{BO}{CO}$

$△ A O D \sim △ BOC$ (II) ⇒ $∠ C A D = ∠ CB D$

2 мин · практика
23) Проведём диагональ AC, K = AC ∩ EF. По теореме о пропорциональных отрезках AE : EB = DF : FC = 3 : 4. △CKF ∼ △CAD (KF ∥ AD), k = CF : CD = 4/7 ⇒ KF = 24. △AEK ∼ △ABC (EK ∥ BC), k = AE : AB = 3/7 ⇒ EK = 6. EF = 30. Ответ: 30.
24) ∠ABO = ∠DCO (дано), ∠AOB = ∠DOC (вертикальные) ⇒ △ABO ∼ △DCO ⇒ AO/DO = BO/CO, т. е. AO/BO = DO/CO. В △AOD и △BOC: ∠AOD = ∠BOC (вертикальные), AO/BO = DO/CO ⇒ подобны по II признаку (A↔B, D↔C) ⇒ ∠OAD = ∠OBC, т. е. ∠CAD = ∠CBD. Полное решение на 2 балла — с названием признаков.
Сильным: другое решение — четырёхугольник вписанный (точки B и C видят AD под равными углами), см. R05.

R06.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$MN ∥ A C$ , $BM = 4$ , $M A = 6$ , $A C = 20$ . Найдите $MN$ . $8$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A H = 9$ , $B H = 16$ . Найдите $C H$ и $A C$ . $12$ и $15$
Трапеция: $BC = 6$ , $A D = 9$ , $S_{BOC} = 12$ . Найдите $S_{A O D}$ . $27$
Хорды: $A E = 6$ , $EB = 4$ , $CE = 3$ . Найдите $E D$ . $8$

Вариант 2

$MN ∥ A C$ , $BN = 3$ , $NC = 9$ , $MN = 5$ . Найдите $A C$ . $20$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A H = 18$ , $B H = 32$ . Найдите $C H$ и $A C$ . $24$ и $30$
Трапеция: $BC = 4$ , $A D = 10$ , $S_{A O D} = 75$ . Найдите $S_{BOC}$ . $12$
Хорды: $A E = 9$ , $EB = 4$ , $CE = 6$ . Найдите $E D$ . $6$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти коэффициент подобия по чертежу?
Почему площади относятся как $k^{2}$ ?
Какие темы курса держатся на подобии?

Домашнее задание

$MN ∥ A C$ , $BM : M A = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 50$ . Найдите $S_{A MNC}$ .
Катеты $9$ и $12$ . Найдите высоту к гипотенузе и проекции катетов.
* $A B = 8$ , $A C = 16$ , $D \in A C$ , $A D = 4$ . Докажите: $∠ A B D = ∠ C$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_itogovoe_povtorenie.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-097 · Подобие треугольников и его применения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 10 ч · урок 5/10 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний» → 2–20
Результаты	ПР-5 (подобие, пропорциональность в прямоугольном треугольнике) → 4, 5, 7–11, 13–19 · ПР-6 (подобие в практических задачах) → 12, 16 · ПР-8 (площади подобных фигур) → 4, 8, 10, 12, 14–16, 19 · связи тем (вид деятельности R06) → 3, 6
Вне урока	другие темы повторения — GEOM8U-093–096, 098–102
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Подобие треугольников и его применения

Сегодня вы научитесь

Находить подобные треугольники

Применять пропорции

Сравнивать площади

Решать практические задачи

Коэффициент подобия — главное число

Как доказать подобие и что оно даёт

I признак · два угла

II признак · две стороны и угол между ними

III признак · три стороны

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Где в 8 классе «работает» подобие

Средняя линия

Медианы

Теорема Фалеса

Теорема Пифагора

Тригонометрия

Окружность

Четыре типичные ситуации

Параллельная прямая

Трапеция

Общий угол

Хорды

Параллельная прямая отсекает подобный треугольник

Образец: MN∥AC, BM=6, MA=4, AC=15, SABC​=50. Найдите MN и SAMNC​.

Сам (MN∥AC)

Высота к гипотенузе: три формулы в действии

Образец: ∠C=90∘, CH — высота, AH=16, BH=9. Найдите CH, AC, BC.

Сам

Диагонали трапеции: подобие и площади

Образец: BC∥AD, BC=4, AD=10, SBOC​=8. Найдите SAOD​ и SAOB​.

Сам (BC∥AD)

Доказываем через подобие: план и обоснования

Образец: D∈AC, ∠ABD=∠C. Докажите: AB2=AD⋅AC.

Сам: план доказательства

Измеряем недоступное: тень, зеркало, карта

Образец: человек ростом 1,8 м стоит в 6 м от фонаря, его тень 3 м. Найдите высоту фонаря.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Трапеция: BC=4, AD=12, SBOC​=3. Найдите SAOD​.

б) ∠C=90∘, AH=2, BH=8. Найдите CH и AC.

в) MN∥AC, BM=3, MA=6, MN=4. Найдите AC.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-097 · Подобие треугольников и его применения

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM = 6$ , $M A = 4$ , $A C = 15$ , $S_{A BC} = 50$ . Найдите $MN$ и $S_{A MNC}$ .

Сам ( $MN ∥ A C$ )

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A H = 16$ , $B H = 9$ . Найдите $C H$ , $A C$ , $BC$ .

Образец: $BC ∥ A D$ , $BC = 4$ , $A D = 10$ , $S_{BOC} = 8$ . Найдите $S_{A O D}$ и $S_{A OB}$ .

Сам ( $BC ∥ A D$ )

Образец: $D \in A C$ , $∠ A B D = ∠ C$ . Докажите: $A B^{2} = A D \cdot A C$ .

Образец: человек ростом $1, 8$ м стоит в $6$ м от фонаря, его тень $3$ м. Найдите высоту фонаря.

а) Трапеция: $BC = 4$ , $A D = 12$ , $S_{BOC} = 3$ . Найдите $S_{A O D}$ .

б) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A H = 2$ , $B H = 8$ . Найдите $C H$ и $A C$ .

в) $MN ∥ A C$ , $BM = 3$ , $M A = 6$ , $MN = 4$ . Найдите $A C$ .