Повторение · урок 4 из 10

Площади многоугольников: формулы и связи тем

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · GEOM8U-096

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (10 ч), урок 4/10, единица R06.1. Тип урока — О (обобщение и систематизация): теория — только сводка, практики больше.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка формул 3 · отношения площадей 2,5 · медианы 2,5 · перпендикулярные диагонали 1,5 · схема «как найти площадь» 1,5.
Практика (33): разминка 1,5 · образцы → сам 2,5 + 2 + 2 + 2,5 + 2 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 17–19 — 2,5 · ОГЭ 23, 25 — 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец 6 (доказательство) — только план устно, задачи «сам» к нему — в ДЗ.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать формулу площади

треугольника, параллелограмма, ромба, трапеции (ПР-7)

Находить высоту

по теореме Пифагора и свойствам фигур (ПР-9)

Сравнивать площади

без вычислений: общая высота, медианы, подобие (ПР-2, ПР-8)

Решать задачи ОГЭ

на клетчатой бумаге и второй части: 17, 18, 23, 25

0,5 мин · теория
ПР-7: «Выводить и использовать простейшие формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции. Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур».
ПР-8: «Знать отношение площадей подобных фигур и применять при решении задач». ПР-2: свойства точки пересечения медиан. ПР-9: теорема Пифагора для геометрических и практических задач.
Вид деятельности ФРП R06: «Решать задачи, иллюстрирующие связи между различными темами курса» — сегодня площадь связываем с Пифагором, медианами, подобием и трапецией.

повторение: R03, R04

Разминка · устно

Прямоугольный треугольник и площади

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , катеты $6$ и $8$ . Найдите $S$ . $24$
Найдите гипотенузу $A B$ . $10$
Найдите высоту $h = C H$ . $4, 8$
Диагональ квадрата $6$ . Площадь? $18$
Фигуры подобны, $k = 3$ . Во сколько раз отличаются площади? в $9$ раз
Средняя линия трапеции $7$ , высота $4$ . $S$ ? $28$

R06.1 · R03

Сводка · формулы площадей

Шесть формул — одна идея: основание × высота

Прямоугольник

S = a b

Параллелограмм

S = a h_{a}

Треугольник

S = \frac{1}{2} a h_{a}

Прямоугольный треугольник

S = \frac{1}{2} a b

Ромб

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}

Трапеция

S = \frac{a + b}{2} \cdot h

3 мин · теория
Вопрос перед каждым щелчком: «Как эта формула получается из предыдущей?» Параллелограмм → прямоугольник (перенос треугольника), треугольник → половина параллелограмма, прямоугольный — катет служит высотой, ромб — два треугольника с основанием d₁ (см. сл. 7), трапеция — два треугольника с общей высотой.
Для ромба верна и общая формула S = a · h (он параллелограмм). Трапеция: (a + b)/2 — средняя линия, S = m · h.
Главное: высота проводится к той стороне, которую берём основанием.

R06.1 · R02, R03

Сводка · отношения площадей

Сравниваем площади, не зная их

Общая высота

\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{B K}{K C}

отношение оснований

Медиана

S_{A BM} = S_{A MC}

делит на две равновеликие части

Подобные фигуры

\frac{S _{2}}{S _{1}} = k^{2}

стороны в $k$ раз — площадь в $k^{2}$

Общий угол

\frac{S _{A MN}}{S _{A BC}} = \frac{A M \cdot A N}{A B \cdot A C}

2,5 мин · теория
1) Треугольники ABK и AKC имеют общую высоту из A ⇒ площади относятся как основания. 2) Частный случай: медиана, BM = MC.
3) Теорема об отношении площадей подобных треугольников (R02): S₂ : S₁ = k². 4) Теорема (R03): если угол одного треугольника равен углу другого, площади относятся как произведения сторон, заключающих эти углы. Доказательство — через п. 1 дважды: S(AMN) : S(ABN) = AM : AB, S(ABN) : S(ABC) = AN : AC.
Вопрос: AM = ½AB, AN = ⅓AC. Какую часть S(ABC) составляет S(AMN)? (1/6.)

R06.1 · R01, R03

Свойство · доказательство

Медианы делят треугольник на 6 равновеликих

Дано:

A A_{1}

,

B B_{1}

,

C C_{1}

— медианы,

M

— точка пересечения.
Доказать: шесть треугольников с вершиной

M

равновелики.

1Пары с общей вершиной

M

равны:

x

,

y

,

z

равные основания (

B A_{1} = A_{1} C

…) и общая высота из

M

2

S_{A B A_{1}} = S_{A C A_{1}}

:

2 z + x = 2 y + x

медиана

A A_{1}

⇒

z = y

3

S_{B A B_{1}} = S_{BC B_{1}}

:

2 z + y = 2 x + y

медиана

B B_{1}

⇒

z = x

4

x = y = z = \frac{S _{A BC}}{6}

все шесть частей равны

R06.1 · R03

Вывод формулы · доказательство

Диагонали перпендикулярны: $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$

Дано:

A BC D

— выпуклый,

A C ⊥ B D

,

O

— точка пересечения.
Доказать:

S = \frac{1}{2} A C \cdot B D

.

1

S = S_{A BC} + S_{A D C}

диагональ

A C

делит четырёхугольник на два треугольника

2

S = \frac{1}{2} A C \cdot BO + \frac{1}{2} A C \cdot D O

BO

и

D O

— высоты к

A C

, так как

B D ⊥ A C

3

S = \frac{1}{2} A C (BO + D O) = \frac{1}{2} A C \cdot B D

вынесли общий множитель

R06.1

Схема-конспект · как найти площадь

Четыре пути к ответу

Шаг 1

Есть формула?

Определите вид фигуры и что дано.

Не хватает высоты — шаг 2.

формулы — сл. 4, 7

Шаг 2

Найти высоту

Опустить перпендикуляр → прямоугольный треугольник → Пифагор, катет против $3 0^{\circ}$ .

Или площадь двумя способами.

образцы 1, 2

Шаг 3

Фигура неудобная

Разбить на части или достроить до прямоугольника и вычесть лишнее.

образец 5

Шаг 4

Дана другая площадь

Отношения: общая высота, медиана, общий угол, подобие $k^{2}$ .

образцы 3, 4, 6

R06.1 · R03, R04

Образец → сам · высота по Пифагору

Площадь трапеции: сначала высота

Образец: $A BC D$ — равнобедренная трапеция, $BC = 4$ , $A D = 10$ , $A B = 5$ . Найдите $S$ .

$A H = \frac{10 - 4}{2} = 3$ трапеция равнобедренная

$h = 5^{2} - 3^{2} = 4$ Пифагор в $△ A B H$

$S = \frac{4 + 10}{2} \cdot 4 = 28$

Сам

Прямоугольная трапеция: основания $7$ и $13$ , большая боковая сторона $10$ . Найдите $S$ . $80$
Параллелограмм: стороны $6$ и $10$ , угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $30$
Равнобедренный треугольник: основание $16$ , боковая сторона $10$ . Найдите $S$ . $48$

R06.1 · R03

Образец → сам · обратная задача

Известна площадь — найдите элемент

Образец: ромб $A BC D$ , $S = 24$ , $B D = 6$ . Найдите $A C$ , сторону и высоту $B H$ .

$A C = \frac{2 S}{B D} = \frac{48}{6} = 8$ $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$

$A B = 4^{2} + 3^{2} = 5$ диагонали ромба $⊥$ , делятся пополам

$B H = \frac{S}{A D} = \frac{24}{5} = 4, 8$ $S = ah$

Сам

Параллелограмм: $S = 40$ , стороны $8$ и $10$ . Найдите обе высоты. $5$ и $4$
Трапеция: $S = 60$ , высота $5$ , одно основание $9$ . Найдите другое. $15$
Катеты $9$ и $12$ . Найдите высоту к гипотенузе. $7, 2$

R06.1 · R01, R03

Образец → сам · отношение площадей

Общая высота и медиана

Образец: $S_{A BC} = 30$ , $K \in BC$ , $B K : K C = 2 : 3$ , $M$ — середина $A K$ . Найдите $S_{A K C}$ и $S_{BM K}$ .

$S_{A B K} : S_{A K C} = 2 : 3$ общая высота из $A$

$S_{A B K} = 12$ , $S_{A K C} = 18$ $30 : 5 = 6$ на часть

$S_{BM K} = \frac{1}{2} S_{A B K} = 6$ $BM$ — медиана $△ A B K$

Сам

$S_{A BC} = 40$ , $BM$ — медиана. Найдите $S_{A BM}$ . $20$
$K \in A C$ , $A K : K C = 1 : 3$ , $S_{A B K} = 7$ . Найдите $S_{A BC}$ . $28$
Медианы пересекаются в точке $M$ , $S_{A BC} = 42$ . Найдите $S_{A MB}$ . $14$

R06.1 · R02, R03

Образец → сам · подобие и площади

Треугольники при диагоналях трапеции

Образец: трапеция $A BC D$ , $BC = 3$ , $A D = 6$ , $S_{BOC} = 4$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

$△ BOC \sim △ D O A$ , $k = 2$ ⇒ $S_{A O D} = 4 \cdot 2^{2} = 16$ накрест лежащие углы

$A O : OC = 2$ ⇒ $S_{A OB} = 2 \cdot 4 = 8 = S_{CO D}$ общая высота из $B$ / $D$

$S = 4 + 16 + 8 + 8 = 36$

Сам

Треугольники подобны, $k = 3$ , площадь меньшего $5$ . Площадь большего? $45$
$MN$ — средняя линия $△ A BC$ , $MN ∥ A C$ , $S_{A BC} = 48$ . Найдите $S_{MBN}$ . $12$
Трапеция: основания $2$ и $5$ , $S_{BOC} = 8$ . Найдите $S_{A O D}$ и $S_{A BC D}$ . $50$ и $98$

R06.1 · R03

Образец → сам · клетчатая бумага

Достроить до прямоугольника и вычесть

Образец: клетка $1 \times 1$ . Найдите площадь четырёхугольника.

прямоугольник $6 \times 5 = 30$ достроили

углы: $2 + 3 + 4 + 4 = 13$ $\frac{1}{2} \cdot$ катет $\cdot$ катет

$S = 30 - 13 = 17$

Сам: нарисуйте в тетради

Треугольник $(1; 1)$ , $(6; 3)$ , $(3; 5)$ . $8$
Трапеция $(0; 0)$ , $(8; 0)$ , $(6; 4)$ , $(2; 4)$ . $24$
Параллелограмм $(0; 0)$ , $(5; 0)$ , $(7; 3)$ , $(2; 3)$ . $15$

R06.1 · R01, R03

Образец → сам · задача на доказательство

Равновеликие части: план и обоснования

Образец: $M$ — точка внутри параллелограмма $A BC D$ . Докажите: $S_{A M D} + S_{BMC} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$ .

$h_{1} + h_{2} = h$ расстояние между $A D ∥ BC$

$S_{A M D} + S_{BMC} = \frac{1}{2} A D (h_{1} + h_{2})$ $BC = A D$

$= \frac{1}{2} A D \cdot h = \frac{1}{2} S_{A BC D}$

Сам: составьте план

Диагонали делят параллелограмм на 4 равновеликих треугольника. $A O = OC$ ⇒ общая высота: $S_{A OB} = S_{BOC}$ …
Трапеция $A BC D$ , диагонали пересекаются в $O$ . Докажите: $S_{A OB} = S_{CO D}$ . $S_{A B D} = S_{A C D}$ , вычесть $S_{A O D}$
$M$ — середина $C D$ трапеции. Докажите: $S_{A BM} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$ . $A M \cap BC = F$ : $△ A M D = △ FMC$

2 мин · практика
Образец: перпендикуляры из M к AD и BC лежат на одной прямой (AD ∥ BC), их сумма — высота параллелограмма h. BC = AD (свойство параллелограмма) ⇒ ½·AD·h₁ + ½·BC·h₂ = ½·AD·h.
1) AO = OC (свойство) ⇒ S(AOB) = S(BOC) (общая высота из B); BO = OD ⇒ S(BOC) = S(COD); и т. д.
2) △ABD и △ACD: общее основание AD, высоты равны (B и C на прямой BC ∥ AD) ⇒ S(ABD) = S(ACD); вычитаем S(AOD).
3) Продлить AM до пересечения с прямой BC в F: △AMD = △FMC (II признак: MD = MC, вертикальные углы, накрест лежащие) ⇒ S(ABCD) = S(ABF), AM = MF ⇒ BM — медиана △ABF ⇒ S(ABM) = ½ S(ABF). Сильным — все три, остальным — 1 и 2.

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$S_{пар .} = a \cdot b$ (две стороны)	боковая сторона — не высота, если угол не прямой	$S = a h_{a}$
$S = 8 \cdot h$ , где $h$ проведена к стороне $6$	высота и основание должны «смотреть» друг на друга	$S = 6 \cdot h_{6} = 8 \cdot h_{8}$
$k = 3$ ⇒ площадь больше в $3$ раза	площадь — двумерная величина	в $k^{2} = 9$ раз
$S_{ромба} = d_{1} \cdot d_{2}$	это площадь прямоугольника вокруг ромба	$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$

R06.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Параллелограмм: стороны $8$ и $12$ , угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .

$h = 12 : 2 = 6$

$S = 12 \cdot 6 = 72$

$h = 8 : 2 = 4$ (гипотенуза — сторона $8$ ), $S = 12 \cdot 4 = 48$

б) Площади подобных треугольников $12$ и $27$ . Найдите отношение периметров.

$27 : 12 = 9 : 4$

$k^{2} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}$ ⇒ $k = \frac{3}{2}$

в) Равнобедренная трапеция: основания $5$ и $11$ , боковая $5$ . Найдите $S$ .

$h = 5$

$S = \frac{5 + 11}{2} \cdot 5 = 40$

$h = 25 - 9 = 4$ , $S = 32$

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаРомб: диагонали $10$ и $24$ . Найдите $S$ . $120$
базаСторона треугольника $14$ , высота к ней $9$ . $S$ ? $63$
базаПлощадь квадрата $50$ . Найдите диагональ. $10$

базаТрапеция: основания $6$ и $14$ , высота $5$ . $S$ ? $50$
базаПрямоугольник: сторона $9$ , диагональ $15$ . $S$ ? $108$
базаПараллелограмм: $S = 72$ , сторона $9$ . Высота к ней? $8$

R06.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A B = 12$ , $BC = 18$ , высота к $A B$ равна $9$ . Найдите высоту к $BC$ . $6$
повыш.Ромб: сторона $10$ , диагональ $12$ . Найдите высоту ромба. $9, 6$
повыш. $M \in A B$ , $N \in A C$ , $A M = 2$ , $MB = 4$ , $A N = 3$ , $NC = 1$ , $S_{A BC} = 48$ . Найдите $S_{A MN}$ . $12$
из жизниСкат крыши — трапеция: основания $6$ м и $10$ м, высота $4$ м. Лист кровли закрывает $1, 5$ м². Сколько листов нужно на два ската? $43$

R06.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17, 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 17Основания трапеции $18$ и $6$ , боковая сторона $8$ образует с одним из оснований угол $15 0^{\circ}$ . Найдите площадь трапеции. $48$
ОГЭ 18На клетчатой бумаге с клеткой $1 \times 1$ изображён треугольник. Найдите его площадь. $8$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.
Площадь параллелограмма равна произведению двух его соседних сторон.

Ответ: 12

R06.1 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 25

Вторая часть: высота и отношения площадей

ОГЭ 23 Найдите площадь трапеции $A BC D$ с основаниями $A D$ и $BC$ , если $A B = 12$ , $BC = 14$ , $A D = 30$ , $∠ B = 15 0^{\circ}$ .

$∠ A = 18 0^{\circ} - 15 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$ ⇒ $h = 12 : 2 = 6$

$S = \frac{14 + 30}{2} \cdot 6 = 132$

ОГЭ 25 Диагонали трапеции $A BC D$ ( $A D ∥ BC$ ) пересекаются в точке $O$ . $S_{BOC} = 9$ , $S_{A O D} = 25$ . Найдите площадь трапеции.

$△ BOC \sim △ D O A$ : $k^{2} = \frac{25}{9}$ ⇒ $\frac{A O}{OC} = \frac{5}{3}$

$S_{A OB} = 9 \cdot \frac{5}{3} = 15 = S_{CO D}$ общая высота

$S = 9 + 25 + 15 + 15 = 64$

R06.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Ромб: диагонали $14$ и $6$ . Найдите $S$ . $42$
Равнобедренная трапеция: основания $3$ и $13$ , боковая $13$ . Найдите $S$ . $96$
$BM$ — медиана, $K$ — середина $BM$ , $S_{A BC} = 50$ . Найдите $S_{A B K}$ . $12, 5$
Периметры подобных треугольников $10$ и $15$ , площадь меньшего $8$ . Площадь большего? $18$

Вариант 2

Ромб: диагонали $10$ и $8$ . Найдите $S$ . $40$
Равнобедренная трапеция: основания $4$ и $20$ , боковая $10$ . Найдите $S$ . $72$
$K \in BC$ , $B K : K C = 1 : 4$ , $S_{A BC} = 45$ . Найдите $S_{A K C}$ . $36$
Периметры подобных треугольников $12$ и $20$ , площадь большего $75$ . Площадь меньшего? $27$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какой отрезок нужен в любой формуле площади?
Как найти высоту, если дана площадь?
Во сколько раз меняется площадь при подобии?

Домашнее задание

Ромб: сторона $17$ , диагональ $16$ . Найдите $S$ .
Трапеция: $S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 49$ . Найдите $S_{A BC D}$ .
* Докажите: отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит её на две равновеликие части.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_ploshchadi_parallelogramma_treugolnika_trapecii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-096 · Площади многоугольников: формулы и связи тем

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 10 ч · урок 4/10 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний» → 2–22 · повторение R03, R04 → 3
Результаты	ПР-7 (формулы площадей) → 4, 7–10, 13, 17–21 · ПР-8 (площади подобных фигур) → 5, 12, 16, 20, 21 · ПР-2 (медианы) → 6, 11 · ПР-9 (Пифагор) → 3, 9, 10, 16
Вне урока	четырёхугольники, подобие, окружность — другие уроки повторения R06 (GEOM8U-093–102); формула площади через синус — 9 класс
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Площади многоугольников: формулы и связи тем

Сегодня вы научитесь

Выбирать формулу площади

Находить высоту

Сравнивать площади

Решать задачи ОГЭ

Прямоугольный треугольник и площади

Шесть формул — одна идея: основание × высота

Прямоугольник

Параллелограмм

Треугольник

Прямоугольный треугольник

Ромб

Трапеция

Сравниваем площади, не зная их

Общая высота

Медиана

Подобные фигуры

Общий угол

Медианы делят треугольник на 6 равновеликих

Диагонали перпендикулярны: S=21​d1​d2​

Четыре пути к ответу

Есть формула?

Найти высоту

Фигура неудобная

Дана другая площадь

Площадь трапеции: сначала высота

Образец: ABCD — равнобедренная трапеция, BC=4, AD=10, AB=5. Найдите S.

Сам

Известна площадь — найдите элемент

Образец: ромб ABCD, S=24, BD=6. Найдите AC, сторону и высоту BH.

Сам

Общая высота и медиана

Образец: SABC​=30, K∈BC, BK:KC=2:3, M — середина AK. Найдите SAKC​ и SBMK​.

Сам

Треугольники при диагоналях трапеции

Образец: трапеция ABCD, BC=3, AD=6, SBOC​=4. Найдите SABCD​.

Сам

Достроить до прямоугольника и вычесть

Образец: клетка 1×1. Найдите площадь четырёхугольника.

Сам: нарисуйте в тетради

Равновеликие части: план и обоснования

Образец: M — точка внутри параллелограмма ABCD. Докажите: SAMD​+SBMC​=21​SABCD​.

Сам: составьте план

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Параллелограмм: стороны 8 и 12, угол 30∘. Найдите S.

б) Площади подобных треугольников 12 и 27. Найдите отношение периметров.

в) Равнобедренная трапеция: основания 5 и 11, боковая 5. Найдите S.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: высота и отношения площадей

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-096 · Площади многоугольников: формулы и связи тем

Диагонали перпендикулярны: $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$

Образец: $A BC D$ — равнобедренная трапеция, $BC = 4$ , $A D = 10$ , $A B = 5$ . Найдите $S$ .

Образец: ромб $A BC D$ , $S = 24$ , $B D = 6$ . Найдите $A C$ , сторону и высоту $B H$ .

Образец: $S_{A BC} = 30$ , $K \in BC$ , $B K : K C = 2 : 3$ , $M$ — середина $A K$ . Найдите $S_{A K C}$ и $S_{BM K}$ .

Образец: трапеция $A BC D$ , $BC = 3$ , $A D = 6$ , $S_{BOC} = 4$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

Образец: клетка $1 \times 1$ . Найдите площадь четырёхугольника.

Образец: $M$ — точка внутри параллелограмма $A BC D$ . Докажите: $S_{A M D} + S_{BMC} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$ .

а) Параллелограмм: стороны $8$ и $12$ , угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .

б) Площади подобных треугольников $12$ и $27$ . Найдите отношение периметров.

в) Равнобедренная трапеция: основания $5$ и $11$ , боковая $5$ . Найдите $S$ .