Повторение · урок 3 из 10 · обобщение

Площадь: связи с подобием, Пифагором и четырёхугольниками

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · GEOM8U-095

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (10 ч), урок 3/10, единица R06.1. Тип урока — О.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка формул 3 · сводка отношений 2,5 · метод площадей 2 · схема связей 1,5 · пример учителя 2.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2 + 2 + 2,5 + 2 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 15/17/18 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Идея урока (ФРП R06: «решать задачи, иллюстрирующие связи между различными темами курса»): площадь — узел, где сходятся четырёхугольники, подобие, теорема Пифагора, тригонометрия и окружность. Каждую задачу начинать с вопроса «какая тема курса здесь работает?».
Если не успеваете: «сам» к образцу 6 и ОГЭ 24 — в ДЗ; сводки не сокращать, их ученики переносят в тетрадь как опорный конспект к экзамену.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать формулу площади

и находить недостающую высоту теоремой Пифагора (ПР-7, ПР-9)

Сравнивать площади

через общую высоту, общий угол и коэффициент подобия (ПР-5, ПР-8)

Применять метод площадей

и доказывать равенство площадей (ПР-7)

Решать задачи ОГЭ

линии 15, 17, 18, 23, 24 и задачи из жизни (ПР-11)

0,5 мин · теория
ПР-7: «Выводить и использовать простейшие формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции. Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур».
ПР-8: «Знать отношение площадей подобных фигур и применять при решении задач». ПР-5 — подобие треугольников и коэффициент подобия. ПР-9 — теорема Пифагора в геометрических и практических задачах. ПР-11 — математические модели реальных задач.
ФРП R06.1: повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов; вид деятельности — задачи на связи между темами.

повторение: подобие, площадь

Разминка · устно

Подобие и площадь — вспоминаем

Треугольники подобны, $k = 3$ . Отношение периметров? $3$
А отношение площадей? $9$
Средняя линия отсекает от треугольника какую часть площади? $\frac{1}{4}$
Катеты $5$ и $12$ . Гипотенуза? $13$

Треугольник: основание $10$ , высота $6$ . Площадь? $30$
Диагонали ромба $6$ и $8$ . Площадь? $24$
А сторона этого ромба? $5$
Квадрат с диагональю $4$ . Площадь? $8$

2 мин · практика
Ответы: 1) 3 — периметры относятся как k. 2) k² = 9. 3) Средняя линия отсекает подобный треугольник с k = ½, площадь — ¼ (а оставшаяся трапеция — ¾). 4) √(25 + 144) = 13.
5) ½ · 10 · 6 = 30. 6) ½ · 6 · 8 = 24. 7) Половины диагоналей 3 и 4 — катеты прямоугольного треугольника, сторона √(9 + 16) = 5 (связь «ромб → Пифагор»). 8) Квадрат — ромб: ½ · 4 · 4 = 8.
Задания 1–3 — подобие (R02) и средняя линия (прошлый урок повторения, GEOM8U-094), 4–8 — инструменты сегодняшнего урока. Вопрос к 7: какие две темы встретились в одной задаче? (Свойства ромба и теорема Пифагора.)

R06.1 · повторение R03.3, R05.3

Сводка · формулы площадей

Шесть формул — одна идея: основание и перпендикулярная высота

Параллелограмм

S = a h

Треугольник

S = \frac{1}{2} a h

Трапеция

S = \frac{a + b}{2} h

Диагонали $⊥$ (ромб)

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}

Прямоугольный треугольник

S = \frac{1}{2} a b

Описанный многоугольник

S = p r

3 мин · теория
Первый ряд — базовые формулы (GEOM8U-041–044). Цвета: основание — бирюзовое, высота — розовая, второе основание трапеции — фиолетовое. Высота всегда перпендикулярна основанию (или его продолжению).
Второй ряд по щелчку — «частные случаи»: у ромба и любого четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями S = ½d₁d₂ (разбиение диагональю на два треугольника); в прямоугольном треугольнике катет служит высотой к другому катету.
S = pr (p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности) — связь с темой R05 «вписанные и описанные многоугольники»: соединяем центр с вершинами, получаем треугольники с общей высотой r; ½ar + ½br + ½cr = pr.
Вопрос классу: какую формулу можно применить к квадрату со стороной a? (Все: a·a, ½d², pr с r = a/2: 2a · a/2 = a².)

R06.1 · повторение R02, R03.4

Сводка · отношения площадей

Площадь можно найти, не зная ни одной длины

Общая высота

\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{a _{1}}{a _{2}}

медиана делит треугольник на два равновеликих

Общий угол

\frac{S _{A MN}}{S _{A BC}} = \frac{A M \cdot A N}{A B \cdot A C}

треугольники с равным углом

Подобные фигуры

\frac{S _{2}}{S _{1}} = k^{2}

длины растут в

k

раз — площадь в

k^{2}

2,5 мин · теория
1) Треугольники ABD и ADC имеют общую высоту h из вершины A: S₁ = ½a₁h, S₂ = ½a₂h ⇒ S₁ : S₂ = a₁ : a₂. Частный случай — медиана (a₁ = a₂).
2) Теорема (GEOM8U, R03.2): если угол одного треугольника равен углу другого, то площади относятся как произведения сторон, заключающих эти углы. Доказательство в два шага через общую высоту: S_AMN : S_ABN = AM : AB, S_ABN : S_ABC = AN : AC — перемножаем.
3) Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия (R03.4, ПР-8). Обратная задача: по отношению площадей k = √(S₂ : S₁).
Ошибка: применять «общую высоту» к треугольникам, у которых высоты разные (вершина не общая или основания не на одной прямой).

R06.1 · R03 + R04

Метод площадей · вывод

Высота к гипотенузе: одна площадь — две записи

Дано:

∠ C = 9 0^{\circ}

,

a = 6

,

b = 8

,

C H ⊥ A B

.
Найти:

h = C H

.

1

S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24

катеты — основание и высота

2

c = 36 + 64 = 10

,

S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h

теорема Пифагора; гипотенуза — основание

3

5 h = 24 \Rightarrow h = 4, 8

· в общем виде

h = \frac{ab}{c}

одна и та же площадь

R06.1

Схема-конспект · связи тем курса

Чего не хватает для формулы — ищем в другой теме

Четырёхугольники

свойства дают основания и высоты: $A H = \frac{a - b}{2}$ в равнобедренной трапеции

Теорема Пифагора

находим высоту или сторону: $h = c^{2} - x^{2}$

Sплощадьоснование · высота
или отношение

Подобие

$S_{2} = k^{2} S_{1}$ ; диагонали трапеции: $S_{A OB}^{2} = S_{BOC} \cdot S_{A O D}$

Тригонометрия и окружность

$h = b sin A$ ; против угла $3 0^{\circ}$ — половина гипотенузы; $S = p r$

1,5 мин · теория
Опорная схема урока: прежде чем считать, ученик отвечает «каких данных не хватает для формулы и в какой теме их взять».
Четырёхугольники (R01): в равнобедренной трапеции высота отсекает от большего основания отрезок (a − b)/2; в параллелограмме противоположные стороны равны; в ромбе диагонали перпендикулярны и делятся пополам.
Подобие (R02): треугольники BOC и DOA в трапеции подобны — следующий слайд покажет, откуда S_AOB² = S_BOC · S_AOD.
Тригонометрия (R04): высота параллелограмма со стороной b и углом A равна b·sin A; частный случай 30° — катет против угла 30° равен половине гипотенузы.

R06.1 · R02 + R03

Пример учителя · подобие и площади

Площадь трапеции по площадям двух треугольников

Дано:

BC ∥ A D

,

A C \cap B D = O

,

S_{BOC} = 4

,

S_{A O D} = 9

Найти:

S_{A BC D}

.

1

△ BOC \sim △ D O A

,

k^{2} = \frac{4}{9}

,

\frac{OC}{O A} = \frac{2}{3}

два угла: вертикальные и накрест лежащие

2

S_{A OB}

= \frac{3}{2} \cdot 4 = 6

общая высота из

B

:

S_{A OB} : S_{BOC} = A O : OC

3

S_{CO D} = S_{A OB} = 6

S_{A B D} = S_{A C D}

(основание

A D

, равные высоты)

4

S = 4 + 9 + 6 + 6 = 25

свойство площади: сумма частей

2 мин · теория (решает учитель, класс отвечает на «почему?»)
1) ∠BOC = ∠DOA (вертикальные), ∠OBC = ∠ODA (накрест лежащие при BC ∥ AD и секущей BD) ⇒ подобие по двум углам. k² = 4/9 ⇒ k = 2/3 = OC : OA = BC : AD.
2) Треугольники AOB и COB имеют общую высоту из B к прямой AC ⇒ S_AOB = 4 · 3/2 = 6.
3) S_ABD = S_ACD (общее основание AD, высоты равны — расстояние между параллельными прямыми); вычитаем S_AOD ⇒ S_AOB = S_COD.
Обобщение (запомнить): S_AOB = S_COD = √(S_BOC · S_AOD), S_трапеции = (√S₁ + √S₂)². Проверка: (2 + 3)² = 25 ✓. Чертёж точный: BC = 6, AD = 9.

R06.1 · R01 + R04 + R03

Образец → сам · Пифагор находит высоту

Нет высоты — построй её и найди

Образец: равнобедренная трапеция, основания $6$ и $16$ , боковая сторона $13$ . Найдите $S$ .

$A H = \frac{16 - 6}{2} = 5$ свойство равнобедренной трапеции

$B H = 1 3^{2} - 5^{2} = 12$ теорема Пифагора

$S = \frac{6 + 16}{2} \cdot 12 = 132$

Сам

Равнобедренный треугольник: основание $10$ , боковая сторона $13$ . Найдите $S$ . $60$
Ромб: сторона $10$ , одна диагональ $12$ . Найдите $S$ . $96$
Прямоугольная трапеция: основания $4$ и $10$ , большая боковая сторона $10$ . Найдите $S$ . $56$

R06.1 · R03 + R04

Образец → сам · метод площадей

Обратная задача: по площади — высота

Образец: катеты $9$ и $12$ . Найдите высоту к гипотенузе.

$c = 81 + 144 = 15$ теорема Пифагора

$S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54$ через катеты

$h = \frac{2 S}{c} = \frac{108}{15} = 7, 2$ через гипотенузу

Сам

Катеты $15$ и $20$ . Найдите высоту к гипотенузе. $12$
Параллелограмм: стороны $10$ и $15$ , высота к стороне $15$ равна $8$ . Найдите высоту к стороне $10$ . $12$
Диагонали ромба $12$ и $16$ . Найдите высоту ромба. $9, 6$

R06.1 · R03.2

Образец → сам · отношение площадей

Длин нет — есть отношения

Образец: $B D : D C = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 40$ , $M$ — середина $A D$ . Найдите $S_{BM D}$ .

$S_{A B D} = 40 \cdot \frac{2}{5} = 16$ общая высота из $A$

$S_{BM D} = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ $BM$ — медиана $△ A B D$

Сам

$S_{A BC} = 36$ , $O$ — точка пересечения медиан. Найдите $S_{A OB}$ . $12$
$M \in A B$ , $N \in A C$ , $A M = 2$ , $A B = 5$ , $A N = 3$ , $A C = 4$ , $S_{A BC} = 30$ . Найдите $S_{A MN}$ . $9$
$A BC D$ — параллелограмм, $S = 60$ , $M$ — середина $BC$ . Найдите $S_{A M D}$ . $30$

2 мин · практика
Образец: треугольники ABD и ADC — общая высота из A, площади как 2 : 3 ⇒ S_ABD = 16; BM — медиана △ABD ⇒ делит его пополам: 8.
1) Медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (связь с R01.10 «центр масс»); AOB состоит из двух: 36 · 2/6 = 12. Другой путь: OM₃ = ⅓CM₃ ⇒ высота △AOB к AB — треть высоты △ABC ⇒ 36/3 = 12.
2) Общий угол A: S_AMN = 30 · (2 · 3)/(5 · 4) = 9.
3) Треугольник AMD и параллелограмм: общее основание AD и одна высота ⇒ S = ½ · 60 = 30 (положение M на BC не важно!).

R06.1 · R02 + R03.4

Образец → сам · подобие и площади

Отсечённый треугольник — подобный

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM : M A = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 75$ . Найдите $S_{MBN}$ и $S_{A MNC}$ .

$△ MBN \sim △ A BC$ , $k = \frac{BM}{B A} = \frac{2}{5}$ общий $∠ B$ , соответственные

$S_{MBN} = 75 \cdot \frac{4}{25} = 12$ , $S_{A MNC} = 63$

Сам

$S_{A BC} = 48$ . Средняя линия делит его на треугольник и трапецию. Найдите их площади. $12$ и $36$
Площади подобных треугольников $50$ и $32$ , сторона большего $15$ . Найдите сходственную сторону меньшего. $12$
Трапеция: $BC = 4$ , $A D = 10$ , $S_{BOC} = 8$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $98$

R06.1 · R03.1 + R04.1

Образец → сам · клетчатая бумага

Достроение до прямоугольника

Образец: $A (1; 1)$ , $B (7; 3)$ , $C (3; 6)$ , клетка $1 \times 1$ . Найдите $S_{A BC}$ .

прямоугольник $6 \cdot 5 = 30$ достроили

$S = 30 - (6 + 6 + 5) = 13$ вычли три прямоугольных треугольника

Сам: нарисуйте в тетради

$A (0; 0)$ , $B (5; 1)$ , $C (2; 4)$ . Найдите $S_{A BC}$ . $9$
Четырёхугольник $(1; 1)$ , $(6; 2)$ , $(5; 6)$ , $(2; 5)$ . Найдите $S$ . $16$
$A (1; 1)$ , $B (4; 5)$ , $C (9; 1)$ . Найдите $S_{A BC}$ и высоту к $A B$ . $16$ и $6, 4$

R06.1 · R01.1 + R03.2

Образец → сам · задача на доказательство

Равновеликие треугольники

Образец: докажите, что диагонали делят параллелограмм на четыре равновеликих треугольника.

$A O = OC \Rightarrow S_{A OB} = S_{COB}$ общая высота из $B$

$BO = O D \Rightarrow S_{A OB} = S_{A O D}$ общая высота из $A$

так же $S_{CO D} = S_{COB}$ ⇒ все по $\frac{1}{4} S$

Сам: план и обоснования

Докажите: медиана делит треугольник на два равновеликих. равные основания, общая высота
$A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$ , $O$ — точка пересечения диагоналей. Докажите: $S_{A OB} = S_{CO D}$ . $S_{A B D} = S_{A C D}$ , вычесть $S_{A O D}$
$M$ — любая точка внутри параллелограмма. Докажите: $S_{A MB} + S_{CM D} = \frac{1}{2} S$ . сумма высот = высота параллелограмма

2 мин · практика
Образец: свойство диагоналей параллелограмма (R01) + «общая высота» (R03). Цвета: треугольники одного цвета открываются по шагам.
1) Треугольники ABM и ACM (M — середина BC): основания BM = MC, высота из A общая ⇒ площади равны.
2) Треугольники ABD и ACD: общее основание AD, высоты равны (расстояние между BC и AD) ⇒ S_ABD = S_ACD; S_AOB = S_ABD − S_AOD = S_ACD − S_AOD = S_COD.
3) Высоты h₁, h₂ треугольников AMB и CMD к сторонам AB и CD (AB = CD = a) в сумме дают расстояние h между AB и CD: ½ah₁ + ½ah₂ = ½ah = ½S. Это задача формата ОГЭ 24.

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
Параллелограмм $8$ и $10$ : $S = 8 \cdot 10 = 80$	боковая сторона — не высота: она не перпендикулярна основанию	$S = ah$ , $h$ — перпендикуляр
$k = 3$ ⇒ площадь больше в $3$ раза	в $k$ раз растут длины, а площадь — произведение двух длин	в $k^{2} = 9$ раз
Ромб с диагоналями $6$ и $8$ : $S = 48$	забыли $\frac{1}{2}$ : ромб — половина прямоугольника со сторонами $d_{1}$ , $d_{2}$	$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$
$MN ∥ A C$ , $BM : M A = 2 : 3$ ⇒ $k = \frac{2}{3}$	сравнивают части, а не стороны подобных треугольников	$k = \frac{BM}{B A} = \frac{2}{5}$

R06.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Параллелограмм: стороны $8$ и $10$ , угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .

$h = 10 : 2 = 5$

$S = 10 \cdot 5 = 50$

к стороне $10$ : $h = 8 : 2 = 4$
$S = 10 \cdot 4 = 40$

б) Подобные треугольники: периметры $12$ и $18$ , $S_{1} = 20$ . Найдите $S_{2}$ .

$k = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

$S_{2} = 20 \cdot \frac{3}{2} = 30$

$S_{2} = 20 \cdot \frac{9}{4} = 45$

в) Катеты $6$ и $8$ . Найдите высоту к гипотенузе.

$c = 10$ , $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$

$h = \frac{S}{c} = 2, 4$

$S = \frac{1}{2} c h$ ⇒ $h = \frac{2 S}{c} = 4, 8$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибочную строку, затем открывать исправления.
а) Высота, опущенная на сторону 10, — катет против угла 30° в треугольнике с гипотенузой 8 (соседняя сторона!), значит h = 4, S = 10 · 4 = 40. Ученик взял половину той стороны, к которой проводит высоту. Проверка: к стороне 8 высота 5, 8 · 5 = 40 ✓.
б) Первая строка верна (периметры относятся как k), ошибка во второй: площади — как k², S₂ = 20 · 9/4 = 45.
в) Первая строка верна, во второй потеряна двойка: S = ½ch ⇒ h = 2S/c = 48/10 = 4,8.

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаПараллелограмм: сторона $14$ , высота к ней $5$ . Найдите $S$ . $70$
базаТрапеция: основания $7$ и $13$ , высота $6$ . Найдите $S$ . $60$
базаГипотенуза $17$ , катет $8$ . Найдите $S$ . $60$

базаРомб: сторона $13$ , диагональ $10$ . Найдите $S$ . $120$
базаПодобные треугольники, $k = 4$ , $S_{1} = 5$ . Найдите $S_{2}$ . $80$
базаДиагональ квадрата $6$ . Найдите $S$ . $18$

R06.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Равнобедренный треугольник: боковая сторона $10$ , основание $12$ . Найдите высоту к боковой стороне. $9, 6$
повыш.Трапеция: $BC : A D = 3 : 7$ , $S_{BOC} = 9$ ( $O$ — точка пересечения диагоналей). Найдите $S_{A BC D}$ . $100$
повыш.Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки $4$ и $9$ . Найдите $S$ . $39$
из жизниУчасток — прямоугольная трапеция: основания $30$ м и $50$ м, наклонная сторона $25$ м. Сколько это соток? $600$ м² $= 6$ соток

R06.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 17 и 18

Ответ — одно число

ОГЭ 15Катет прямоугольного треугольника $7$ , гипотенуза $25$ . Найдите площадь треугольника. $84$
ОГЭ 17Высота $B H$ ромба $A BC D$ делит сторону $A D$ на отрезки $A H = 5$ и $HD = 8$ . Найдите площадь ромба. $156$

ОГЭ 18 Клетка $1 \times 1$ . Найдите площадь трапеции.

$\frac{3 + 7}{2} \cdot 4 = 20$

R06.1 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Диагонали трапеции $A BC D$ ( $BC ∥ A D$ ) пересекаются в точке $O$ ; $S_{BOC} = 16$ , $S_{A O D} = 25$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

$S_{A OB} = S_{CO D} = 16 \cdot 25 = 20$

$S = 16 + 25 + 40 = 81$

ОГЭ 24 $E$ — середина боковой стороны $C D$ трапеции $A BC D$ . Докажите: $S_{A BE} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$ .

$A E \cap BC = F$ ; $△ E D A = △ ECF$ (II признак) ⇒ $S_{A BC D} = S_{A BF}$ , $A E = EF$

$BE$ — медиана $△ A BF$ ⇒ $S_{A BE} = \frac{1}{2} S_{A BF} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$

2,5 мин · практика
23) △BOC ∼ △DOA, k² = 16/25 ⇒ OC : OA = 4 : 5; S_AOB = 16 · 5/4 = 20 (общая высота из B); S_COD = S_AOB (S_ABD = S_ACD). S = 16 + 25 + 20 + 20 = 81 = (4 + 5)². Ответ: 81.
24) Полное решение на 2 балла: продлим AE до пересечения с прямой BC в точке F. ED = EC (условие), ∠AED = ∠FEC (вертикальные), ∠ADE = ∠FCE (накрест лежащие при AD ∥ BF и секущей CD) ⇒ △EDA = △ECF ⇒ S_ABCD = S_ABCE + S_ECF = S_ABF и AE = EF. BE — медиана △ABF ⇒ S_ABE = ½S_ABF = ½S_ABCD.
Связь тем: признак равенства (7 класс) + свойство площади + медиана (R03.2). На уроке — устный план (2 мин), запись 24 полностью — в ДЗ по желанию.

R06.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Параллелограмм: стороны $9$ и $12$ , высота к стороне $12$ равна $6$ . Найдите высоту к стороне $9$ . $8$
Равнобедренная трапеция: основания $4$ и $14$ , боковая сторона $13$ . Найдите $S$ . $108$
Подобные треугольники, $k = \frac{2}{3}$ , площадь большего $45$ . Найдите площадь меньшего. $20$
Катеты $15$ и $20$ . Найдите высоту к гипотенузе. $12$

Вариант 2

Параллелограмм: стороны $8$ и $14$ , высота к стороне $8$ равна $7$ . Найдите высоту к стороне $14$ . $4$
Равнобедренная трапеция: основания $5$ и $21$ , боковая сторона $17$ . Найдите $S$ . $195$
Подобные треугольники, $k = \frac{3}{4}$ , площадь большего $48$ . Найдите площадь меньшего. $27$
Катеты $12$ и $16$ . Найдите высоту к гипотенузе. $9, 6$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти высоту равнобедренной трапеции?
Во сколько раз растёт площадь при $k = 5$ ?
В чём суть метода площадей?

Домашнее задание

Ромб: сторона $17$ , диагональ $16$ . Найдите $S$ .
Трапеция: $S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 25$ . Найдите $S_{A BC D}$ .
* Запишите полностью решение ОГЭ 24 с урока.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_ploshchadi_parallelogramma_treugolnika_trapecii.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы на вопросы: построить высоту, отрезок у основания (a − b)/2, затем теорема Пифагора; в 25 раз; одну площадь записать двумя способами и приравнять.
Ответы ДЗ: 1) половина диагонали 8, вторая половина √(289 − 64) = 15, диагональ 30; S = ½ · 16 · 30 = 240. 2) S_AOB = S_COD = √(4 · 25) = 10, S = 4 + 25 + 20 = 49. 3) Решение — см. заметки к слайду ОГЭ 23/24.
Итоговый тренажёр раздела повторения: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_itogovoe_povtorenie.htm. Следующий урок повторения (GEOM8U-096) — теорема Пифагора и начала тригонометрии.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-095 · Повторение: площадь и связи тем курса

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 10 ч · урок 3/10 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний» → 2, 4–22 · разминка (подобие, площадь) → 3
Результаты	ПР-5 (подобие) → 5, 8, 12, 20 · ПР-7 (формулы площадей, способы вычисления) → 4–6, 9–11, 13–14, 17–21 · ПР-8 (площади подобных фигур) → 5, 8, 12, 16, 18, 20 · ПР-9 (теорема Пифагора) → 6, 9, 10, 17–19, 21 · ПР-11 (практические задачи) → 18
Вне урока	теорема Пифагора и тригонометрия — GEOM8U-096; углы и окружность — следующие уроки повторения; формула Герона и S = ½ab·sin C — 9 класс
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Площадь: связи с подобием, Пифагором и четырёхугольниками

Сегодня вы научитесь

Выбирать формулу площади

Сравнивать площади

Применять метод площадей

Решать задачи ОГЭ

Подобие и площадь — вспоминаем

Шесть формул — одна идея: основание и перпендикулярная высота

Параллелограмм

Треугольник

Трапеция

Диагонали ⊥ (ромб)

Прямоугольный треугольник

Описанный многоугольник

Площадь можно найти, не зная ни одной длины

Общая высота

Общий угол

Подобные фигуры

Высота к гипотенузе: одна площадь — две записи

Чего не хватает для формулы — ищем в другой теме

Четырёхугольники

Теорема Пифагора

Подобие

Тригонометрия и окружность

Площадь трапеции по площадям двух треугольников

Нет высоты — построй её и найди

Образец: равнобедренная трапеция, основания 6 и 16, боковая сторона 13. Найдите S.

Сам

Обратная задача: по площади — высота

Образец: катеты 9 и 12. Найдите высоту к гипотенузе.

Сам

Длин нет — есть отношения

Образец: BD:DC=2:3, SABC​=40, M — середина AD. Найдите SBMD​.

Сам

Отсечённый треугольник — подобный

Образец: MN∥AC, BM:MA=2:3, SABC​=75. Найдите SMBN​ и SAMNC​.

Сам

Достроение до прямоугольника

Образец: A(1;1), B(7;3), C(3;6), клетка 1×1. Найдите SABC​.

Сам: нарисуйте в тетради

Равновеликие треугольники

Образец: докажите, что диагонали делят параллелограмм на четыре равновеликих треугольника.

Сам: план и обоснования

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Параллелограмм: стороны 8 и 10, угол 30∘. Найдите S.

б) Подобные треугольники: периметры 12 и 18, S1​=20. Найдите S2​.

в) Катеты 6 и 8. Найдите высоту к гипотенузе.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 18 Клетка 1×1. Найдите площадь трапеции.

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-095 · Повторение: площадь и связи тем курса

Диагонали $⊥$ (ромб)

Образец: равнобедренная трапеция, основания $6$ и $16$ , боковая сторона $13$ . Найдите $S$ .

Образец: катеты $9$ и $12$ . Найдите высоту к гипотенузе.

Образец: $B D : D C = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 40$ , $M$ — середина $A D$ . Найдите $S_{BM D}$ .

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM : M A = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 75$ . Найдите $S_{MBN}$ и $S_{A MNC}$ .

Образец: $A (1; 1)$ , $B (7; 3)$ , $C (3; 6)$ , клетка $1 \times 1$ . Найдите $S_{A BC}$ .

а) Параллелограмм: стороны $8$ и $10$ , угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .

б) Подобные треугольники: периметры $12$ и $18$ , $S_{1} = 20$ . Найдите $S_{2}$ .

в) Катеты $6$ и $8$ . Найдите высоту к гипотенузе.

ОГЭ 18 Клетка $1 \times 1$ . Найдите площадь трапеции.