Повторение и обобщение · урок 2 из 10

Средние линии, теорема Фалеса и центр масс

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · GEOM8U-094

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (10 ч), урок 2/10, единица R06.1. Тип урока — О (обобщение и систематизация). Материал: средние линии, теоремы Фалеса и о пропорциональных отрезках, центр масс (R01) и их связи с подобием (R02) и площадями (R03).
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка «средние линии» 2 · теорема Вариньона 2 · сводка «Фалес» 2 · медианы 2,5 · связь тем (демонстрация) 2,5.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2 + 2 + 2 + 2 + 2,5 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2 · повышенный 2 · ОГЭ 15/17/19 — 1,5 · ОГЭ 23/25 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец 7 (клетчатая бумага) и ОГЭ 25 — в ДЗ; доказательства (Вариньон, медианы) не сокращать.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и свяжете

Средние линии

треугольника и трапеции — в вычислениях и доказательствах (ПР-3)

Фалес и пропорции

делить отрезки, находить длины на сторонах угла (ПР-3)

Центр масс

отношение $2 : 1$ на медианах, доказательство и задачи (ПР-2)

Связь тем

средняя линия → подобие → площади; задачи ОГЭ 23–25 (ПР-5, ПР-8)

0,5 мин · теория
ПР-2: «Использовать свойства точки пересечения медиан треугольника (центра масс) в решении задач». ПР-3: «Владеть понятием средней линии треугольника и трапеции, применять их свойства… Использовать теорему Фалеса и теорему о пропорциональных отрезках…». ПР-5 (подобие), ПР-8 (площади подобных фигур).
Деятельность ФРП R06: «Решать задачи, иллюстрирующие связи между различными темами курса» — поэтому на каждом шаге спрашиваем: какой факт из другой темы здесь работает?

R06.1 · повторение R01–R03

Разминка · устно

Вспомним факты

$M$ , $N$ — середины $A B$ и $BC$ , $A C = 18$ . $MN$ ? $9$
$∠ A = 5 0^{\circ}$ . Чему равен $∠ BMN$ ? $5 0^{\circ}$ — соответственные
Основания трапеции $4$ и $10$ . Средняя линия? $7$
Медиана $12$ . От вершины до точки пересечения медиан? $8$
Периметр треугольника $30$ . Периметр треугольника из средних линий? $15$
$k = 3$ , площадь меньшего треугольника $5$ . Площадь большего? $45$

R06.1 · R01.3, R01.7

Сводка · средние линии

Средняя линия треугольника и трапеции

Треугольник: $M$ , $N$ — середины $A B$ , $BC$

MN ∥ A C, MN = \frac{1}{2} A C

Трапеция: $M$ , $N$ — середины боковых сторон

MN ∥ A D, MN = \frac{a + b}{2}

2 мин · теория
Определение: средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон; трапеции — середины боковых сторон. У треугольника три средние линии, у трапеции — одна.
Вопрос классу: как доказывали свойство средней линии треугольника? (Через признак параллелограмма с продолжением MN на свою длину; на этом уроке покажем ещё доказательство через подобие, сл. 12.) Трапеции — через среднюю линию треугольника ABN′ после продолжения BN до пересечения с AD.
Следствия, которые нужны сегодня: средняя линия трапеции делится диагоналями на отрезки a/2, (b − a)/2, a/2 (сл. 5); три средние линии делят треугольник на 4 равных треугольника.

R06.1 · R01.7

Образец → сам · средние линии в трапеции

Основания и отрезок между диагоналями

Образец: средняя линия $MN = 11$ , $A D$ на $6$ больше $BC$ . Найдите основания и $PQ$ .

$BC + A D = 22$ , $A D - BC = 6$ ⇒ $BC = 8$ , $A D = 14$

$MP = \frac{1}{2} BC = 4$ , $MQ = \frac{1}{2} A D = 7$ ср. линии $△ A BC$ , $△ A B D$

$PQ = 7 - 4 = 3$ полуразность оснований

Сам

Стороны треугольника $6$ , $8$ , $10$ . Найдите периметр треугольника с вершинами в серединах сторон. $12$
Основания трапеции $5$ и $17$ . Найдите отрезок средней линии между диагоналями. $6$
Диагональ делит среднюю линию трапеции, равную $9$ , на два отрезка, разность которых $3$ . Найдите основания. $6$ и $12$

R06.1 · R01.1, R01.3

Связь тем · доказательство

Середины сторон любого четырёхугольника

Дано:

K, L, M, N

— середины

A B, BC, C D, D A

.
Доказать:

K L MN

— параллелограмм,

P_{K L MN} = A C + B D

.

1

K L ∥ A C

,

K L = \frac{1}{2} A C

средняя линия

△ A BC

2

NM ∥ A C

,

NM = \frac{1}{2} A C

средняя линия

△ A D C

3

K L ∥ NM

,

K L = NM

⇒

K L MN

— параллелограммпризнак 1: две стороны равны и параллельны

4

K N = L M = \frac{1}{2} B D

⇒

P = A C + B D

средние линии

△ A B D

и

△ CB D

2 мин · теория
Теорема Вариньона — пример «связи тем»: средняя линия (R01.3) + признак параллелограмма (R01.1). Каждый шаг — вопрос классу «почему?».
Следствия (углублённый уровень): если AC ⟂ BD — KLMN прямоугольник; если AC = BD — ромб; если и то, и другое — квадрат. S(KLMN) = ½ S(ABCD): каждая «угловая» часть — четверть треугольника, отсекаемого диагональю (подобие с k = ½).
Ошибка: считать, что KLMN — параллелограмм «потому что так нарисовано». Чертёж нарочно неправильный четырёхугольник.

R06.1 · R01.2, R01.3

Образец → сам · середины сторон четырёхугольника

Какой получится четырёхугольник?

Образец: $A C ⊥ B D$ , $A C = 10$ , $B D = 14$ . Найдите $P$ и $S$ четырёхугольника $K L MN$ .

$K L = \frac{1}{2} A C = 5$ , $L M = \frac{1}{2} B D = 7$ средние линии

$K L ∥ A C$ , $L M ∥ B D$ , $A C ⊥ B D$ ⇒ $K L MN$ — прямоугольник

$P = 2 (5 + 7) = 24$ , $S = 5 \cdot 7 = 35$

Сам

Диагонали четырёхугольника равны $8$ . Каким будет $K L MN$ ? Найдите его периметр. ромб, $16$
Стороны прямоугольника $6$ и $8$ . Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в серединах его сторон. ромб, $20$
Докажите: середины сторон ромба — вершины прямоугольника. $K L ∥ A C$ , $L M ∥ B D$ , $A C ⊥ B D$ ⇒ $∠ K L M = 9 0^{\circ}$

2 мин · практика
Образец: чертёж в масштабе (AC = 10, BD = 14, AC ⟂ BD). Стороны KLMN параллельны диагоналям ⇒ угол между соседними сторонами равен углу между диагоналями = 90°. S = 35 = ½ · ½ · 10 · 14 — проверка: половина площади ABCD (S(ABCD) = ½ · d₁d₂ = 70).
1) Все стороны KLMN равны ½ · 8 = 4 ⇒ ромб, P = 16. 2) Диагонали прямоугольника равны √(36 + 64) = 10 ⇒ стороны KLMN по 5 ⇒ ромб, P = 20. 3) План: KLMN — параллелограмм (Вариньон); KL ∥ AC, LM ∥ BD и AC ⟂ BD (свойство ромба) ⇒ KL ⟂ LM ⇒ прямоугольник.

R06.1 · R01.8, R01.9

Сводка · теорема Фалеса и пропорциональные отрезки

Параллельные прямые пересекают стороны угла

Фалес: если на одной стороне угла отложены равные отрезки и через их концы проведены параллельные прямые, то на другой стороне тоже равные отрезки.

\frac{O A}{A B} = \frac{O A _{1}}{A _{1} B _{1}}

теорема о пропорциональных отрезках

\frac{A A _{1}}{B B _{1}} = \frac{O A}{OB}

△ O A A_{1} \sim △ OB B_{1}

; берём всю сторону

OB

R06.1 · R01.9, R02.2

Образец → сам · пропорциональные отрезки

Длины на сторонах угла

Образец: $A A_{1} ∥ B B_{1}$ , $O A = 4$ , $A B = 6$ , $O A_{1} = 6$ , $A A_{1} = 4$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ и $B B_{1}$ .

$\frac{4}{6} = \frac{6}{A _{1} B _{1}}$ ⇒ $A_{1} B_{1} = 9$ о пропорциональных отрезках

$\frac{B B _{1}}{A A _{1}} = \frac{OB}{O A} = \frac{10}{4}$ ⇒ $B B_{1} = 10$ подобие

Сам (тот же чертёж)

$O A = 5$ , $O A_{1} = 7$ , $A_{1} B_{1} = 14$ . Найдите $A B$ . $10$
$O A = 3$ , $A B = 9$ , $O A_{1} = 4$ . Найдите $O B_{1}$ . $16$
$A A_{1} = 6$ , $O A = 4$ , $A B = 2$ . Найдите $B B_{1}$ . $9$

R06.1 · R01.10

Центр масс · доказательство

Медианы делятся в отношении $2 : 1$

Дано:

A N

,

CM

— медианы,

G = A N \cap CM

.
Доказать:

A G : GN = 2 : 1

.

1

K

,

L

— середины

A G

и

CG

дополнительное построение

2

MN ∥ A C

,

MN = \frac{1}{2} A C

средняя линия

△ A BC

3

K L ∥ A C

,

K L = \frac{1}{2} A C

средняя линия

△ A GC

4

MN L K

— параллелограмм ⇒

K G = GN

признак 1; диагонали делятся пополам

5

A K = K G = GN

⇒

A G : GN = 2 : 1

третья медиана тоже делится точкой

G

так ⇒ проходит через

G

2,5 мин · теория
Доказательство полностью опирается на две темы: средняя линия треугольника и признак параллелограмма — снова «связь тем».
Шаг 5: так же CG : GM = 2 : 1. Медиана из B пересекает AN в точке, делящей AN в отношении 2 : 1, — это та же точка G ⇒ три медианы пересекаются в одной точке — центре масс (если в вершины поставить равные грузы, треугольник уравновесится в G — связь с физикой, R01.10).
Дополнительно: медиана делит треугольник на два равновеликих; три медианы — на 6 равновеликих треугольников ⇒ S(AGB) = S(BGC) = S(AGC) = S/3.

R06.1 · R01.10

Образец → сам · точка пересечения медиан

Части медиан и площади

Образец: $A A_{1} = 18$ , $G B_{1} = 4$ . Найдите $A G$ , $G A_{1}$ и $B B_{1}$ .

$A G = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12$ , $G A_{1} = 6$ $A G : G A_{1} = 2 : 1$

$BG = 2 \cdot G B_{1} = 8$ то же отношение

$B B_{1} = 8 + 4 = 12$

Сам

$A G = 8$ . Найдите медиану $A A_{1}$ . $12$
$S_{△ A BC} = 36$ . Найдите $S_{△ A GB}$ . $12$
Медиана $C C_{1} = 15$ . На сколько $CG$ больше $G C_{1}$ ? на $5$

R06.1 · R02.1, R03.4

Связь тем · средняя линия → подобие → площади

Что отсекает средняя линия

Пример:

MN

— средняя линия,

S_{△ A BC} = 48

. Найдите

S_{△ MBN}

и

S_{A MNC}

.

1

∠ B

— общий,

\frac{BM}{B A} = \frac{BN}{BC} = \frac{1}{2}

⇒

△ MBN \sim △ A BC

II признак подобия,

k = \frac{1}{2}

⇒ ещё раз

MN = \frac{1}{2} A C

2

S_{△ MBN} = k^{2} \cdot 48 = \frac{1}{4} \cdot 48 = 12

площади подобных фигур

3

S_{A MNC} = 48 - 12 = 36

свойство площади

4

MN ∥ A C

,

BM : B A = k

⇒

MN = k \cdot A C

,

S_{△ MBN} = k^{2} S_{△ A BC}

общий случай

R06.1 · R02.2, R03.4

Образец → сам · отрезок, параллельный стороне

Длина отрезка и площадь трапеции

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM : M A = 2 : 1$ , $A C = 12$ , $S_{△ A BC} = 27$ . Найдите $MN$ и $S_{A MNC}$ .

$k = \frac{BM}{B A} = \frac{2}{3}$ , $MN = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ $△ MBN \sim △ A BC$

$S_{△ MBN} = \frac{4}{9} \cdot 27 = 12$ , $S_{A MNC} = 27 - 12 = 15$

Сам

$MN ∥ A C$ , $BM : M A = 3 : 1$ , $A C = 16$ . Найдите $MN$ . $12$
$S_{△ A BC} = 50$ , $MN$ — средняя линия. Найдите $S_{A MNC}$ . $37, 5$
Основания трапеции $A D = 12$ , $BC = 4$ , диагонали пересекаются в $O$ , $S_{△ BOC} = 2$ . Найдите $S_{△ A O D}$ . $18$

R06.1 · R01.1, R01.8

Образец → сам · доказательство (ОГЭ 24)

Диагональ делится на три равные части

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $M$ , $N$ — середины $BC$ и $A D$ . Докажите: $BP = PQ = Q D$

$A N ∥ MC$ , $A N = MC$ ⇒ $A MCN$ — параллелограмм ⇒ $A M ∥ CN$ признак 1

$△ BQC$ : $M$ — середина $BC$ , $MP ∥ CQ$ ⇒ $BP = PQ$ Фалес

$△ A P D$ : $N$ — середина $A D$ , $NQ ∥ A P$ ⇒ $PQ = Q D$ Фалес

Сам: план доказательства

$M$ , $N$ — середины $A B$ и $BC$ , $B K$ — медиана $△ A BC$ . Докажите: $MN$ делит $B K$ пополам. $MN ∥ A K$ , $M$ — середина $A B$ ⇒ Фалес в $△ A B K$
Докажите: середины диагоналей трапеции лежат на её средней линии. прямая через середину $A B$ , $∥ BC$ , делит $A C$ и $B D$ пополам (Фалес)

2,5 мин · практика
Образец (чертёж в масштабе: P и Q делят BD точно на трети). Запись в формате ОГЭ 24: каждое равенство — с обоснованием. Шаг 1: AN = ½AD = ½BC = MC и AN ∥ MC. Шаги 2–3 — теорема Фалеса для угла с вершиной B (стороны BC и BD) и для угла с вершиной D.
1) MN — средняя линия ⇒ MN ∥ AC ∥ AK. В △ABK прямая через середину M стороны AB параллельно AK пересекает BK в середине (Фалес). 2) Через середину M боковой стороны AB проведём прямую ∥ основаниям: по Фалесу она проходит через середины AC и BD и через середину CD, то есть это средняя линия.
Критерий на 2 балла ОГЭ: доказательство верное, все шаги обоснованы.

R06.1 · R01.10, ОГЭ 18

Образец → сам · центр масс на клетчатой бумаге

Найдите точку пересечения медиан

Образец: $A (1; 1)$ , $B (4; 7)$ , $C (7; 1)$ . Найдите центр масс $G$ .

середина $A C$ : $K (4; 1)$ 3 клетки от $A$

медиана $B K$ — 6 клеток, $BG : G K = 2 : 1$ ⇒ $G (4; 3)$

Сам: нарисуйте в тетради

$A (0; 0)$ , $B (6; 0)$ , $C (3; 9)$ . Найдите $G$ . $G (3; 3)$
$A (0; 0)$ , $B (6; 6)$ , $C (6; 0)$ . Найдите $G$ . $G (4; 2)$
Трапеция на клетках: основания $4$ и $10$ клеток. Длина средней линии? $7$ клеток

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
Средняя линия трапеции $= \frac{A B + C D}{2}$	средняя линия — полусумма оснований, а не боковых сторон	$MN = \frac{BC + A D}{2}$
$MN ∥ A C$ ⇒ $MN = \frac{1}{2} A C$	так только если $M$ — середина $A B$	$MN = k \cdot A C$ , $k = \frac{BM}{B A}$
$\frac{A A _{1}}{B B _{1}} = \frac{O A}{A B}$	параллельные отрезки относятся как стороны подобных треугольников	$\frac{A A _{1}}{B B _{1}} = \frac{O A}{OB}$
$G A_{1} = \frac{2}{3} A A_{1}$	отношение $2 : 1$ считается от вершины	$A G = \frac{2}{3} A A_{1}$ , $G A_{1} = \frac{1}{3} A A_{1}$

R06.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Средняя линия трапеции $12$ , основания относятся как $1 : 3$ . Найдите основания.

$x + 3 x = 12$ , $x = 3$

основания $3$ и $9$

$\frac{x + 3 x}{2} = 12$ , $x = 6$ : основания $6$ и $18$

б) Медиана $B B_{1} = 18$ , $G$ — точка пересечения медиан. Найдите $G B_{1}$ .

$G B_{1} = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12$

$G B_{1} = \frac{1}{3} \cdot 18 = 6$ — меньшая часть у стороны

в) $A A_{1} ∥ B B_{1}$ , $O A = 4$ , $A B = 6$ , $A A_{1} = 5$ . Найдите $B B_{1}$ .

$\frac{B B _{1}}{5} = \frac{6}{4}$ , $B B_{1} = 7, 5$

$\frac{B B _{1}}{5} = \frac{OB}{O A} = \frac{10}{4}$ , $B B_{1} = 12, 5$

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаСтороны треугольника $7$ , $9$ , $12$ . Периметр треугольника из средних линий? $14$
базаОснования трапеции $7$ и $15$ . Средняя линия? $11$
базаСредняя линия трапеции $12$ , одно основание $9$ . Другое? $15$

базаМедиана $21$ . От вершины до точки пересечения медиан? $14$
база $A A_{1} ∥ B B_{1}$ (стороны угла $O$ ): $O A = 3$ , $A B = 6$ , $O A_{1} = 4$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ . $8$
базаСредняя линия отсекает треугольник площади $7$ . Площадь всего треугольника? $28$

R06.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Диагонали четырёхугольника $12$ и $18$ . Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в серединах его сторон. $30$
повыш.Диагональ делит среднюю линию трапеции, равную $10$ , на отрезки, один из которых на $4$ больше другого. Найдите основания. $6$ и $14$
повыш.Катеты прямоугольного треугольника $6$ и $8$ . Найдите расстояние от вершины прямого угла до точки пересечения медиан. $\frac{10}{3}$
из жизниНожки стремянки внизу разведены на $1, 2$ м, ограничительная планка прикреплена к их серединам. Длина планки? $0, 6$ м

R06.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 17 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ отмечены середины $M$ и $N$ сторон $A B$ и $BC$ . Площадь треугольника $MBN$ равна $12$ . Найдите площадь четырёхугольника $A MNC$ . $36$
ОГЭ 17Основания трапеции равны $3$ и $9$ . Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию одна из диагоналей. $4, 5$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении $1 : 2$ , считая от вершины.
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон.

Ответ: 13

R06.1 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 25

Вторая часть: связи тем в одной задаче

ОГЭ 23 Диагонали трапеции $A BC D$ ( $A D ∥ BC$ ) пересекаются в точке $O$ . Площади треугольников $A O D$ и $BOC$ равны $25$ и $16$ . Найдите площадь трапеции.

$△ A O D \sim △ COB$ , $k^{2} = \frac{25}{16}$ ⇒ $\frac{A O}{OC} = \frac{5}{4}$

$S_{A OB} = \frac{4}{5} \cdot 25 = 20$ , $S_{CO D} = 20$ общая высота из $B$ (и из $D$ )

$S = 25 + 16 + 20 + 20 = 81$

ОГЭ 25 $K$ — середина медианы $BM$ треугольника $A BC$ , прямая $A K$ пересекает $BC$ в точке $P$ . Найдите $BP : PC$ .

Проведём $MT ∥ A P$ ( $T \in BC$ ). $△ A PC$ : $M$ — середина $A C$ ⇒ $PT = TC$ (Фалес)

$△ BMT$ : $K$ — середина $BM$ , $K P ∥ MT$ ⇒ $BP = PT$ (Фалес)

$BP = PT = TC$ ⇒ $BP : PC = 1 : 2$

2 мин · практика
23) △AOD ∼ △COB (вертикальные углы при O, накрест лежащие при AD ∥ BC), k² = 25/16 ⇒ k = 5/4 = AO/OC. △AOB и △COB имеют общую высоту из B ⇒ S(AOB) : S(COB) = AO : OC = 5 : 4 ⇒ S(AOB) = 16 · 5/4 = 20. Так же S(COD) = 20 (или: S(ABD) = S(ACD), общее основание AD и одна высота). Ответ: 81. Общая формула: S(AOB) = √(S₁S₂).
25) Метод «дополнительная параллельная прямая» + Фалес дважды. Проверка вычислением (координаты, как на чертеже): B(0; 0), C(3; 0), A(1; 2) ⇒ M(2; 1), K(1; 0,5), P(1; 0), BP : PC = 1 : 2 ✓. Полная запись — в ДЗ по желанию.

R06.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Основания трапеции $5$ и $13$ . Найдите среднюю линию. $9$
Стороны треугольника $8$ , $10$ , $14$ . Найдите периметр треугольника из средних линий. $16$
Медиана $A A_{1} = 15$ , $G$ — точка пересечения медиан. Найдите $A G$ . $10$
$A A_{1} ∥ B B_{1}$ (стороны угла $O$ ): $O A = 2$ , $A B = 5$ , $O A_{1} = 3$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ . $7, 5$

Вариант 2

Средняя линия трапеции $8$ , одно основание $5$ . Найдите другое. $11$
Диагонали четырёхугольника $9$ и $13$ . Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в серединах сторон. $22$
$G B_{1} = 4$ , $G$ — точка пересечения медиан. Найдите медиану $B B_{1}$ . $12$
Средняя линия отсекает треугольник площади $9$ . Найдите площадь оставшейся трапеции. $27$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие темы связаны в доказательстве о медианах?
Чему равен отрезок средней линии трапеции между диагоналями?
Во сколько раз средняя линия уменьшает площадь?

Домашнее задание

Основания трапеции $8$ и $20$ . Найдите отрезки, на которые диагонали делят среднюю линию.
$MN ∥ A C$ , $BM : M A = 1 : 2$ , $S_{△ A BC} = 45$ . Найдите $S_{△ MBN}$ .
* Запишите полностью решение ОГЭ 25 со слайда.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_itogovoe_povtorenie.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: 1) Средняя линия 14; отрезки 4, 6, 4 (a/2 = 4, (20 − 8)/2 = 6). 2) k = 1/3 ⇒ S = 45/9 = 5. 3) См. заметки к сл. 21.
Ответы рефлексии: средняя линия + признак параллелограмма; полуразность оснований; в 4 раза (k = ½, площадь — k²).
Дополнительный тренажёр по средним линиям и трапеции: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_parallelogramm_i_trapeciya.htm. Следующие уроки повторения — подобие, площади, теорема Пифагора и тригонометрия, окружность (GEOM8U-095 и далее).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-094 · Повторение: средние линии, теорема Фалеса, центр масс

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 10 ч · урок 2/10 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний» → 2–23 (материал R01.3, R01.7–R01.10, связи с R02.1–R02.2, R03.4)
Результаты	ПР-2 (центр масс) → 10, 11, 15; ПР-3 (средние линии, Фалес, пропорциональные отрезки) → 3–9, 14; ПР-5, ПР-8 (подобие, площади подобных фигур) → 12, 13, 20, 21
Вне урока	параллелограмм и его виды — GEOM8U-093; подобие, площади, Пифагор, тригонометрия, окружность — следующие уроки R06; центральная симметрия R01.11 — не повторяется здесь
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Средние линии, теорема Фалеса и центр масс

Сегодня вы повторите и свяжете

Средние линии

Фалес и пропорции

Центр масс

Связь тем

Вспомним факты

Средняя линия треугольника и трапеции

Треугольник: M, N — середины AB, BC

Трапеция: M, N — середины боковых сторон

Основания и отрезок между диагоналями

Образец: средняя линия MN=11, AD на 6 больше BC. Найдите основания и PQ.

Сам

Середины сторон любого четырёхугольника

Какой получится четырёхугольник?

Образец: AC⊥BD, AC=10, BD=14. Найдите P и S четырёхугольника KLMN.

Сам

Параллельные прямые пересекают стороны угла

Длины на сторонах угла

Образец: AA1​∥BB1​, OA=4, AB=6, OA1​=6, AA1​=4. Найдите A1​B1​ и BB1​.

Сам (тот же чертёж)

Медианы делятся в отношении 2:1

Части медиан и площади

Образец: AA1​=18, GB1​=4. Найдите AG, GA1​ и BB1​.

Сам

Что отсекает средняя линия

Длина отрезка и площадь трапеции

Образец: MN∥AC, BM:MA=2:1, AC=12, S△ABC​=27. Найдите MN и SAMNC​.

Сам

Диагональ делится на три равные части

Образец: ABCD — параллелограмм, M, N — середины BC и AD. Докажите: BP=PQ=QD

Сам: план доказательства

Найдите точку пересечения медиан

Образец: A(1;1), B(4;7), C(7;1). Найдите центр масс G.

Сам: нарисуйте в тетради

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Средняя линия трапеции 12, основания относятся как 1:3. Найдите основания.

б) Медиана BB1​=18, G — точка пересечения медиан. Найдите GB1​.

в) AA1​∥BB1​, OA=4, AB=6, AA1​=5. Найдите BB1​.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: связи тем в одной задаче

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-094 · Повторение: средние линии, теорема Фалеса, центр масс

Треугольник: $M$ , $N$ — середины $A B$ , $BC$

Трапеция: $M$ , $N$ — середины боковых сторон

Образец: средняя линия $MN = 11$ , $A D$ на $6$ больше $BC$ . Найдите основания и $PQ$ .

Образец: $A C ⊥ B D$ , $A C = 10$ , $B D = 14$ . Найдите $P$ и $S$ четырёхугольника $K L MN$ .

Образец: $A A_{1} ∥ B B_{1}$ , $O A = 4$ , $A B = 6$ , $O A_{1} = 6$ , $A A_{1} = 4$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ и $B B_{1}$ .

Медианы делятся в отношении $2 : 1$

Образец: $A A_{1} = 18$ , $G B_{1} = 4$ . Найдите $A G$ , $G A_{1}$ и $B B_{1}$ .

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM : M A = 2 : 1$ , $A C = 12$ , $S_{△ A BC} = 27$ . Найдите $MN$ и $S_{A MNC}$ .

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $M$ , $N$ — середины $BC$ и $A D$ . Докажите: $BP = PQ = Q D$

Образец: $A (1; 1)$ , $B (4; 7)$ , $C (7; 1)$ . Найдите центр масс $G$ .

а) Средняя линия трапеции $12$ , основания относятся как $1 : 3$ . Найдите основания.

б) Медиана $B B_{1} = 18$ , $G$ — точка пересечения медиан. Найдите $G B_{1}$ .

в) $A A_{1} ∥ B B_{1}$ , $O A = 4$ , $A B = 6$ , $A A_{1} = 5$ . Найдите $B B_{1}$ .