Углы и четырёхугольники, связанные с окружностью · урок 20 из 20 · обобщение

Обобщение: углы и четырёхугольники, связанные с окружностью

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM8U-092

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью» (20 ч), урок 20/20, единицы R05.1–R05.7. Тип урока — О (обобщение и систематизация всей строки): теория — три опорных конспекта и один разбор у доски, всё остальное — практика на смешанные задания.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · конспект «углы и дуги» 3 · конспект «четырёхугольники» 2,5 · конспект «две окружности» 3 · разбор ОГЭ 25 — 3.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 16/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: задание 3 в каждом «Образец → сам» — в ДЗ; ОГЭ 24 — устно план. Самостоятельную не сокращать: она — срез по всей строке R05 перед повторением (GEOM8U-093).

R05.1–R05.7

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать формулу угла

по положению вершины: центр, окружность, внутри, снаружи (ПР-10)

Узнавать вписанный и описанный

четырёхугольник по признаку и пользоваться свойствами

Определять расположение

двух окружностей по $d$ , $R$ , $r$ и считать общие касательные

Решать задачи ОГЭ

16, 19, 23–25 — вычисление и доказательство (ПР-10)

0,5 мин · теория
ПР-10: «Владеть понятием вписанного и центрального угла, угла между касательной и хордой, описанной и вписанной окружности треугольника и четырехугольника, применять их свойства при решении задач».
Виды деятельности ФРП R05: находить вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, вычислять углы с помощью теорем о вписанных углах, о вписанном четырёхугольнике, о центральном угле; выводить свойства и признаки вписанных и описанных четырёхугольников и использовать их при решении задач.

повторение: R05.1–R05.7

Разминка · устно

По одной формуле на вопрос

На чертеже: найдите $∠1$ . $5 5^{\circ}$
Найдите $∠2$ . $12 5^{\circ}$
Хорды пересекаются, дуги $7 0^{\circ}$ и $5 0^{\circ}$ . Угол? $6 0^{\circ}$
$A BC D$ вписан, $∠ A = 7 5^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $10 5^{\circ}$
$A BC D$ описан: $A B = 5$ , $BC = 4$ , $C D = 7$ . $A D$ ? $8$
$R = 5$ , $r = 3$ , $d = 8$ . Как расположены окружности? касаются внешним образом

R05.1, R05.2

Опорный конспект · углы и дуги

Где вершина угла — такая и формула

В центре

$∠ A OB = A B ⌣$

На окружности

$∠ A CB = \frac{1}{2} A B ⌣$

Касательная и хорда

$∠ = \frac{1}{2} A B ⌣$

Внутри круга

$\frac{1}{2} (A B ⌣ + C D ⌣)$

Вне круга: секущие

$\frac{1}{2} (дальняя - ближняя)$

Две касательные

$∠ P = 18 0^{\circ} - A B ⌣$

3 мин · теория
Сводка уроков GEOM8U-073 и 074. Ученики по мини-чертежу называют формулу, учитель уточняет. Розовым и бирюзовым — дуги, которые входят в формулу.
Логика одна: вершина в центре — вся дуга; на окружности — половина; внутри — полусумма дуг, которые «видят» угол и вертикальный ему; снаружи — полуразность дальней и ближней дуг.
Две касательные — частный случай «снаружи»: ½((360° − x) − x) = 180° − x, где x — меньшая дуга AB. Проверка через четырёхугольник OAPB: два прямых угла, ∠AOB = x ⇒ ∠P = 180° − x.
Вопрос: угол между касательной и хордой — это «вершина на окружности»: та же половина дуги, что у вписанного.

R05.3, R05.4

Опорный конспект · вписанный и описанный четырёхугольник

Свойство и признак — одно и то же равенство

Вписанный: окружность через вершины

Свойство и признак: $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ , $∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}$

Можно вписать: прямоугольник, равнобедренную трапецию; ромб — нельзя (кроме квадрата)

Описанный: окружность касается сторон

Свойство и признак: $A B + C D = BC + A D$ (для выпуклого)

Можно описать около окружности: ромб; прямоугольник — нельзя (кроме квадрата)

2,5 мин · теория
Сводка уроков GEOM8U-075, 076. Слева: противоположные углы опираются на дуги, дающие вместе всю окружность, поэтому их сумма 180°. Обратное утверждение — признак: если сумма противоположных углов 180°, около четырёхугольника можно описать окружность.
Ещё один признак (будет в образце 5): если отрезок виден из двух точек, лежащих по одну сторону от него, под равными углами, то четыре точки лежат на одной окружности.
Справа: отрезки касательных из одной вершины равны (одинаковые цвета чёрточек). Каждая сторона — сумма двух отрезков разных цветов, поэтому AB + CD и BC + AD состоят из одних и тех же четырёх пар. Обратное — признак (для выпуклого четырёхугольника).
Вопрос: у какого параллелограмма есть обе окружности? (Квадрат.) У какой трапеции может быть обе? (Равнобедренная, у которой сумма оснований равна сумме боковых сторон.)

R05.5, R05.6, R05.7

Опорный конспект · две окружности

Сравни $d$ с $R + r$ и $R - r$ — и считай касательные

не пересекаются

$d > R + r$

4 касательные

внешнее касание

$d = R + r$

3 касательные

пересекаются

$R - r < d < R + r$

2 касательные

внутреннее касание

$d = R - r$

1 касательная

одна внутри другой

$d < R - r$

0 касательных

Касание: точка касания лежит на линии центров

Внешняя касательная: $A B = d^{2} - (R - r)^{2}$

Внутренняя касательная: $A B = d^{2} - (R + r)^{2}$

3 мин · теория
Сводка уроков GEOM8U-077–079. Чертежи точные: R = 2,5, r = 1,3, d = 6,2; 4; 2,6; 1,2; 0,5 (в условных единицах). Розовые прямые — все общие касательные.
Вопрос по каждой карточке: куда «исчезла» касательная при переходе к следующей? (При касании две внутренние сливаются в одну — общую касательную в точке касания; при пересечении внутренних нет совсем.)
Формулы длин отрезков касательных — из прямоугольной трапеции O₁ABO₂: провести через O₂ прямую, параллельную AB, получится прямоугольный треугольник с гипотенузой d и катетом R − r (для внутренней — R + r). При внешнем касании d = R + r: AB = 2√(Rr).

R05.2

Образец → сам · углы между хордами и секущими

Внутри — полусумма, снаружи — полуразность

Образец: хорды $A C$ и $B D$ пересекаются в $M$ , $A B ⌣ = 10 0^{\circ}$ , $C D ⌣ = 4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A MB$ и $∠ A M D$ .

$∠ A MB = \frac{1}{2} (10 0^{\circ} + 4 0^{\circ}) = 7 0^{\circ}$ вершина внутри круга

$∠ A M D = 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 11 0^{\circ}$ смежные

Сам

Две секущие из точки $P$ : дальняя дуга $13 0^{\circ}$ , ближняя $5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ P$ . $4 0^{\circ}$
Хорды пересекаются под углом $6 5^{\circ}$ , одна из дуг, на которые опирается угол, $8 0^{\circ}$ . Вторая? $5 0^{\circ}$
Из $P$ проведены две касательные, $∠ P = 5 0^{\circ}$ . Найдите меньшую дугу между точками касания. $13 0^{\circ}$

R05.1, R05.4

Образец → сам · вписанный четырёхугольник

Свойство углов плюс углы на одну дугу

Образец: $A BC D$ вписан в окружность, $∠ A BC = 10 5^{\circ}$ , $∠ C A D = 3 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A B D$ .

$∠ A D C = 18 0^{\circ} - 10 5^{\circ} = 7 5^{\circ}$ вписанный четырёхугольник

$∠ A C D = 18 0^{\circ} - 7 5^{\circ} - 3 5^{\circ} = 7 0^{\circ}$ из $△ A C D$

$∠ A B D = ∠ A C D = 7 0^{\circ}$ опираются на дугу $A D$

Сам

$A BC D$ вписан, $∠ A : ∠ C = 2 : 3$ . Найдите $∠ A$ . $7 2^{\circ}$
$A BC D$ вписан, $∠ A = 8 0^{\circ}$ , $∠ B = 11 0^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ и $∠ D$ . $10 0^{\circ}$ и $7 0^{\circ}$
Углы четырёхугольника по порядку: $7 0^{\circ}$ , $13 0^{\circ}$ , $11 0^{\circ}$ , $5 0^{\circ}$ . Можно ли описать около него окружность? да: $7 0^{\circ} + 11 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$

R05.3

Образец → сам · описанный четырёхугольник

Суммы противоположных сторон равны

Образец: в трапецию $A BC D$ ( $BC ∥ A D$ ) вписана окружность, $A B = 7$ , $C D = 9$ , $BC = 4$ . Найдите $A D$ и среднюю линию.

$4 + A D = 7 + 9$ , $A D = 12$ $BC + A D = A B + C D$

$m = \frac{4 + 12}{2} = 8$ $= \frac{A B + C D}{2}$

Сам

$A BC D$ описан около окружности: $A B = 6$ , $BC = 9$ , $C D = 10$ . Найдите $A D$ . $7$
Периметр описанного четырёхугольника $40$ , $A B = 8$ . Найдите $C D$ . $12$
Равнобедренная трапеция с основаниями $4$ и $16$ описана около окружности. Найдите боковую сторону и радиус. $10$ и $4$

R05.5, R05.6, R05.7

Образец → сам · касание и общие касательные

Линия центров, радиусы ⟂ касательной, Пифагор

Образец: окружности радиусов $9$ и $4$ касаются внешним образом, $A B$ — общая внешняя касательная. Найдите $A B$ .

$OQ = 9 + 4 = 13$ касание: точка на линии центров

$O A ⊥ A B$ , $QB ⊥ A B$ ; $Q H ∥ A B$ , $O H = 9 - 4 = 5$ радиус ⟂ касательной

$A B = Q H = 1 3^{2} - 5^{2} = 12$ $△ O H Q$

Сам

$R = 7$ , $r = 3$ , $d = 5$ . Расположение и число общих касательных? пересекаются, $2$
Окружности касаются внутренним образом, $R = 10$ , $d = 4$ . Найдите $r$ . $6$
$R = 5$ , $r = 3$ , $d = 10$ . Найдите длину общей внутренней касательной. $6$

R05.1, R05.4

Образец → сам · задача на доказательство

Признак вписанного четырёхугольника в треугольнике

Образец: $A A_{1}$ , $B B_{1}$ — высоты остроугольного $△ A BC$ , $∠ A = 6 5^{\circ}$ . Докажите, что $A$ , $B$ , $A_{1}$ , $B_{1}$ лежат на одной окружности, и найдите $∠ C A_{1} B_{1}$ .

$∠ A A_{1} B = ∠ A B_{1} B = 9 0^{\circ}$ ⇒ $A_{1}$ , $B_{1}$ на окружности с диаметром $A B$ вписанный угол на диаметр

$∠ B A_{1} B_{1} = 18 0^{\circ} - 6 5^{\circ}$ ⇒ $∠ C A_{1} B_{1} = 6 5^{\circ}$ $A B A_{1} B_{1}$ вписанный; смежные

Сам: план и обоснования

Высоты $A A_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются в $H$ . Докажите: $B$ , $A_{1}$ , $H$ , $C_{1}$ на одной окружности. $∠ B A_{1} H + ∠ B C_{1} H = 18 0^{\circ}$ ⇒ признак
Докажите: трапеция, вписанная в окружность, — равнобедренная. $∠ A + ∠ B = ∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}$ ⇒ $∠ A = ∠ D$
Окружности касаются внешним образом в $K$ , прямая через $K$ пересекает их в $A$ и $B$ . Докажите: касательные в $A$ и $B$ параллельны. $O_{1} A ∥ O_{2} B$ ⇒ касательные ⟂ одной прямой

2,5 мин · практика
Образец: чертёж точный (∠A = 65°, ∠B = 60°, ∠C = 55°), пунктир — окружность с диаметром AB, точки A₁ и B₁ на ней. Сумма противоположных углов вписанного ABA₁B₁: ∠BAB₁ + ∠BA₁B₁ = 180°, значит ∠BA₁B₁ = 115°, а смежный ∠CA₁B₁ = 65° = ∠A. Следствие: △A₁B₁C ∼ △ABC (два угла) — пригодится в ОГЭ 25.
1) ∠BA₁H = ∠BC₁H = 90° — противоположные углы четырёхугольника BA₁HC₁ в сумме 180° ⇒ около него можно описать окружность.
2) Трапеция ABCD, AD ∥ BC: ∠A + ∠B = 180° (односторонние), ∠B + ∠D = 180° (вписанный) ⇒ ∠A = ∠D — трапеция равнобедренная (углы при основании AD равны).
3) O₁, K, O₂ на одной прямой (касание). △O₁AK и △O₂BK равнобедренные, ∠O₁KA = ∠O₂KB (вертикальные) ⇒ ∠O₁AK = ∠O₂BK — накрест лежащие при прямых O₁A, O₂B и секущей AB ⇒ O₁A ∥ O₂B; касательные перпендикулярны параллельным радиусам ⇒ параллельны.

R05.6, R05.7 · ОГЭ, ч. 2

Разбор у доски · ОГЭ 25

Две касающиеся окружности и общая касательная

Окружности радиусов $4$ и $1$ касаются внешним образом в $K$ ; $A B$ — общая касательная, $B K$ пересекает первую окружность в $D$ , $A K$ — вторую в $C$ . а) Докажите: $A D ∥ BC$ . б) Найдите $S_{△ A K B}$ .

1

∠ A K B = 9 0^{\circ}

касательная в

K

делит

A B

пополам:

M A = M K = MB

2

A D

,

BC

— диаметры

∠ A KD = ∠ B K C = 9 0^{\circ}

— вписанные на диаметр

3

A D ⊥ A B

,

BC ⊥ A B

⇒

A D ∥ BC

радиус ⟂ касательной

4

A B = 2 4 \cdot 1 = 4

,

A D = 8

,

B D = 45

внешняя касательная; Пифагор в

△ D A B

5

B K = \frac{A B ^{2}}{B D} = \frac{4}{5}

,

A K = \frac{A B \cdot A D}{B D} = \frac{8}{5}

A K

— высота к гипотенузе

△ D A B

6

S_{△ A K B} = \frac{1}{2} A K \cdot B K = \frac{16}{5} = 3, 2

∠ A K B = 9 0^{\circ}

3 мин · теория (учитель решает у доски, класс отвечает «почему?»)
Шаг 1: общая касательная в точке K пересекает AB в точке M (на чертеже не показана — нарисовать мелом). Отрезки касательных из M: MA = MK = MB ⇒ в △AKB медиана KM равна половине AB ⇒ ∠AKB = 90°.
Шаг 2: ∠AKD смежный с прямым ∠AKB, значит 90°; вписанный угол 90° опирается на диаметр ⇒ AD — диаметр. Так же BC. Шаг 3 — оба диаметра перпендикулярны общей касательной AB.
Шаг 4: длина внешней касательной √(5² − 3²) = 4 = 2√(Rr). BD = √(64 + 16) = √80 = 4√5. Шаг 5: в прямоугольном △DAB высота AK: BK = AB²/BD = 16/(4√5) = 4/√5 ≈ 1,79; AK = 32/(4√5) = 8/√5 ≈ 3,58; S = ½ · 32/5 = 3,2. Ответ: 3,2.
Чертёж точный (R = 4, r = 1); розовым — △AKB. Критерии ОГЭ: а) — 1 балл за доказательство с обоснованиями, б) — верный ответ с решением.

R05.1–R05.7

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
Угол между хордами $= \frac{1}{2} (A B ⌣ - C D ⌣)$	разность — для вершины вне круга	внутри круга — полусумма дуг
Вписанный $A BC D$ : $∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$	$∠ A$ и $∠ B$ — соседние, а не противоположные	$∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}$
«Около ромба можно описать окружность»	у ромба $∠ A + ∠ C \neq = 18 0^{\circ}$ , если он не квадрат	в ромб вписывают окружность, около — нет
«Окружности касаются ⇒ $d = R + r$ »	касание бывает и внутреннее	$d = R + r$ или $d = R - r$

R05.2, R05.3, R05.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Две секущие из $P$ , дуги $11 0^{\circ}$ и $3 0^{\circ}$ . Найдите $∠ P$ .

$∠ P = \frac{1}{2} (11 0^{\circ} + 3 0^{\circ}) = 7 0^{\circ}$

вершина вне круга: $\frac{1}{2} (11 0^{\circ} - 3 0^{\circ}) = 4 0^{\circ}$

б) $A BC D$ описан: $A B = 5$ , $BC = 8$ , $C D = 7$ . Найдите $A D$ .

$A D = A B + BC - C D = 5 + 8 - 7 = 6$

$A B + C D = BC + A D$ : $A D = 5 + 7 - 8 = 4$

в) $R = 5$ , $r = 3$ , $d = 2$ . Сколько общих касательных?

$d < R + r$ ⇒ пересекаются ⇒ $2$ касательные

$d = R - r$ ⇒ внутреннее касание ⇒ $1$ касательная

R05.1–R05.7

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаВписанный угол опирается на дугу $14 0^{\circ}$ . Найдите угол. $7 0^{\circ}$
базаХорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $M$ , $A C ⌣ = 8 0^{\circ}$ , $B D ⌣ = 6 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A MC$ . $7 0^{\circ}$
база $A BC D$ вписан, $∠ B = 11 8^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ . $6 2^{\circ}$

база $A BC D$ описан: $A B = 11$ , $C D = 13$ , $BC = 9$ . Найдите $A D$ . $15$
база $R = 8$ , $r = 5$ , $d = 13$ . Как расположены окружности? внешнее касание
база $R = 8$ , $r = 5$ , $d = 2$ . Сколько общих касательных? $0$

R05.1–R05.7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Точки $A$ , $B$ , $C$ делят окружность в отношении $3 : 4 : 5$ . Найдите больший угол $△ A BC$ . $7 5^{\circ}$
повыш.В равнобедренную трапецию с боковой стороной $13$ вписана окружность радиуса $6$ . Найдите основания. $8$ и $18$
повыш.Окружности радиусов $6$ и $2$ касаются внешним образом. Найдите длину общей внешней касательной. $43$
из жизниПерекрёстная ременная передача: шкивы радиусов $30$ и $10$ см, между осями $50$ см. Найдите длину прямого участка ремня. $30$ см

R05.1–R05.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 16Четырёхугольник $A BC D$ вписан в окружность. $∠ A BC = 11 0^{\circ}$ , $∠ A B D = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ C A D$ . $40$
ОГЭ 16Около окружности описана трапеция, её периметр равен $40$ . Найдите среднюю линию трапеции. $10$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вписанный угол $3 0^{\circ}$ опирается на дугу $6 0^{\circ}$ .
Около любого ромба можно описать окружность.
Если $d > R + r$ , то окружности не имеют общих точек.
В любой четырёхугольник можно вписать окружность.

Ответ: 13

R05.1, R05.4 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Окружность проходит через вершины $A$ и $C$ треугольника $A BC$ и пересекает $A B$ и $BC$ в точках $K$ и $E$ . Отрезки $A E$ и $C K$ перпендикулярны. Найдите $∠ K CB$ , если $∠ A BC = 2 0^{\circ}$ .

$∠ K A E = ∠ K CE = x$ (на дугу $K E$ ); $∠ A EB = 9 0^{\circ} + x$

$x + 2 0^{\circ} + 9 0^{\circ} + x = 18 0^{\circ}$ ⇒ $∠ K CB = 3 5^{\circ}$

ОГЭ 24 В выпуклом четырёхугольнике $A BC D$ углы $BC A$ и $B D A$ равны. Докажите, что углы $A B D$ и $A C D$ также равны.

$A B$ виден из $C$ и $D$ (по одну сторону от $A B$ ) под равными углами

⇒ $A$ , $B$ , $C$ , $D$ лежат на одной окружности

$∠ A B D = ∠ A C D$ — вписанные, опираются на дугу $A D$

2 мин · практика
23) Пусть P = AE ∩ CK, ∠KCB = x. ∠KAE = ∠KCE = x (вписанные на дугу KE). В прямоугольном △PEC: ∠PEC = 90° − x, значит смежный ∠AEB = 90° + x. В △ABE: x + 20° + (90° + x) = 180° ⇒ x = 35°. Чертёж построен численно (∠B = 20°, AE ⟂ CK) — ∠KCB на нём 35°. Ответ: 35.
24) Полное решение на 2 балла: C и D по одну сторону от AB (четырёхугольник выпуклый), из них AB виден под равными углами ⇒ C и D лежат на одной дуге окружности, проходящей через A и B (признак ГМТ / вписанного четырёхугольника) ⇒ ∠ABD и ∠ACD — вписанные, опираются на дугу AD ⇒ равны.
На уроке — план 24 устно, запись — в ДЗ по желанию.

R05.1–R05.7

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Хорды пересекаются, угол «видит» дуги $10 0^{\circ}$ и $4 0^{\circ}$ . Найдите угол. $7 0^{\circ}$
$A BC D$ вписан, $∠ A = 6 4^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $11 6^{\circ}$
$A BC D$ описан: $A B = 9$ , $BC = 7$ , $C D = 6$ . Найдите $A D$ . $8$
$R = 8$ , $r = 2$ , внешнее касание. Длина общей внешней касательной? $8$

Вариант 2

Две секущие из $P$ : дуги $15 0^{\circ}$ и $5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ P$ . $5 0^{\circ}$
$A BC D$ вписан, $∠ B = 9 7^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ . $8 3^{\circ}$
$A BC D$ описан: $A B = 8$ , $BC = 11$ , $A D = 10$ . Найдите $C D$ . $13$
$R = 9$ , $r = 1$ , внешнее касание. Длина общей внешней касательной? $6$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти угол, если вершина внутри круга? вне круга?
Когда около четырёхугольника можно описать окружность, а когда — вписать?
Сколько общих касательных у пересекающихся окружностей?

Домашнее задание

Секущие из $P$ : $∠ P = 3 5^{\circ}$ , ближняя дуга $4 0^{\circ}$ . Найдите дальнюю.
В прямоугольную трапецию с основаниями $4$ и $12$ вписана окружность. Найдите радиус.
* Окружности касаются внешне в $K$ , $A B$ — общая внешняя касательная. Докажите: $∠ A K B = 9 0^{\circ}$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_centralnye_i_vpisannye_ugly.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-092 · Обобщение: углы и четырёхугольники, связанные с окружностью

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью», 20 ч · урок 20/20 · тип О
Единицы → слайды	R05.1 → 3, 4, 8, 11 · R05.2 → 4, 7, 14 · R05.3 → 5, 9, 14 · R05.4 → 5, 8, 11, 18 · R05.5 → 6, 10, 14 · R05.6 → 6, 10, 12 · R05.7 → 6, 10, 12, 16 · все → 13, 15, 17, 19, 20
Результаты	ПР-10 (вписанный и центральный угол, угол между касательной и хордой, вписанные и описанные четырёхугольники) → 2–20; ПР-5 (пропорциональность в прямоугольном треугольнике) → 12
Вне урока	теоремы о пропорциональных отрезках хорд и секущих (степень точки) — не входят в единицы R05; вписанная и описанная окружности треугольника — повторение R06 (GEOM8U-093–094)
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Обобщение: углы и четырёхугольники, связанные с окружностью

Сегодня вы научитесь

Выбирать формулу угла

Узнавать вписанный и описанный

Определять расположение

Решать задачи ОГЭ

По одной формуле на вопрос

Где вершина угла — такая и формула

В центре

На окружности

Касательная и хорда

Внутри круга

Вне круга: секущие

Две касательные

Свойство и признак — одно и то же равенство

Вписанный: окружность через вершины

Описанный: окружность касается сторон

Сравни d с R+r и R−r — и считай касательные

не пересекаются

внешнее касание

пересекаются

внутреннее касание

одна внутри другой

Внутри — полусумма, снаружи — полуразность

Образец: хорды AC и BD пересекаются в M, AB⌣=100∘, CD⌣=40∘. Найдите ∠AMB и ∠AMD.

Сам

Свойство углов плюс углы на одну дугу

Образец: ABCD вписан в окружность, ∠ABC=105∘, ∠CAD=35∘. Найдите ∠ABD.

Сам

Суммы противоположных сторон равны

Образец: в трапецию ABCD (BC∥AD) вписана окружность, AB=7, CD=9, BC=4. Найдите AD и среднюю линию.

Сам

Линия центров, радиусы ⟂ касательной, Пифагор

Образец: окружности радиусов 9 и 4 касаются внешним образом, AB — общая внешняя касательная. Найдите AB.

Сам

Признак вписанного четырёхугольника в треугольнике

Образец: AA1​, BB1​ — высоты остроугольного △ABC, ∠A=65∘. Докажите, что A, B, A1​, B1​ лежат на одной окружности, и найдите ∠CA1​B1​.

Сам: план и обоснования

Две касающиеся окружности и общая касательная

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Две секущие из P, дуги 110∘ и 30∘. Найдите ∠P.

б) ABCD описан: AB=5, BC=8, CD=7. Найдите AD.

в) R=5, r=3, d=2. Сколько общих касательных?

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-092 · Обобщение: углы и четырёхугольники, связанные с окружностью

Сравни $d$ с $R + r$ и $R - r$ — и считай касательные

Образец: хорды $A C$ и $B D$ пересекаются в $M$ , $A B ⌣ = 10 0^{\circ}$ , $C D ⌣ = 4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A MB$ и $∠ A M D$ .

Образец: $A BC D$ вписан в окружность, $∠ A BC = 10 5^{\circ}$ , $∠ C A D = 3 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A B D$ .

Образец: в трапецию $A BC D$ ( $BC ∥ A D$ ) вписана окружность, $A B = 7$ , $C D = 9$ , $BC = 4$ . Найдите $A D$ и среднюю линию.

Образец: окружности радиусов $9$ и $4$ касаются внешним образом, $A B$ — общая внешняя касательная. Найдите $A B$ .

Образец: $A A_{1}$ , $B B_{1}$ — высоты остроугольного $△ A BC$ , $∠ A = 6 5^{\circ}$ . Докажите, что $A$ , $B$ , $A_{1}$ , $B_{1}$ лежат на одной окружности, и найдите $∠ C A_{1} B_{1}$ .

а) Две секущие из $P$ , дуги $11 0^{\circ}$ и $3 0^{\circ}$ . Найдите $∠ P$ .

б) $A BC D$ описан: $A B = 5$ , $BC = 8$ , $C D = 7$ . Найдите $A D$ .

в) $R = 5$ , $r = 3$ , $d = 2$ . Сколько общих касательных?