Углы и четырёхугольники, связанные с окружностью · урок 19 из 20 · практикум

Практикум: взаимное расположение двух окружностей

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM8U-091

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью» (20 ч), урок 19/20, единица R05.5. Тип урока — П (второй практикум по теме; первый — GEOM8U-084). Теория — короткая сводка и два разбора у доски.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · опорный конспект 2,5 · ключевые идеи 2,5 · разбор у доски: диаметры из общей точки 3,5 · разбор у доски: ОГЭ 25 — 3.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 3 + 3 + 2 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 16/19 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Отличие от GEOM8U-084: там — расположение по d, отрезки на линии центров, общая хорда «в лоб», построение по двум расстояниям. Сегодня новые типы: сравнение через квадраты (координаты), наибольшая общая хорда, хорда через площадь треугольника центров, диаметры из общей точки, множество центров (кольцо, прямая), подвижная окружность.
Если не успеваете: образец 6 (подвижная окружность) — в ДЗ; разбор ОГЭ 25 не сокращать.

R05.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Сравнивать точно

$d^{2}$ с $(R \pm r)^{2}$ , когда центры заданы координатами (ПР-10)

Находить общую хорду

новыми способами: через площадь и через наибольшее значение

Доказывать

свойства пересекающихся окружностей с вписанными углами и средней линией

Искать центры

окружностей с заданным расположением и решать ОГЭ 16, 19, 25

повторение: R05.5

Разминка · устно

Радиусы $8$ и $3$ : где на шкале $d$ ?

$d = 12$ . Сколько общих точек? $0$ — вне
$d = 11$ ? $1$ — внешнее касание
$d = 5$ ? $1$ — внутреннее касание
$d = 40$ ? $2$ : $25 < 40 < 121$
Диаметры $16$ и $6$ , $d = 4$ ? $0$ — одна внутри другой
Центры $(0; 0)$ и $(6; 8)$ . Чему равно $d$ ? $10$

R05.5

Опорный конспект

Расположение по $d$ и общая хорда $(R \geq r)$

Условие	Расположение	Точек
$d > R + r$	вне друг друга	0
$d = R + r$	внешнее касание	1
$R - r < d < R + r$	пересекаются	2
$d = R - r$	внутреннее касание	1
$d < R - r$	одна внутри другой	0

A B ⊥ O_{1} O_{2}

,

A H = H B

;

R^{2} - x^{2} = r^{2} - (d - x)^{2}

R05.5

Ключевые идеи · три опоры практикума

Кольцо центров, наибольшая хорда, хорда через площадь

1. Где центры?

Центры окружностей радиуса $r$ , пересекающих данную, — в кольце $R - r < d < R + r$

2. Наибольшая хорда

$A B \leq 2 r$ ; равенство, если $H = O_{2}$ : $d^{2} = R^{2} - r^{2}$

3. Через площадь

$A H$ — высота $△ O_{1} A O_{2}$ : $A H = \frac{2 S}{d}$

2,5 мин · теория
1) Окружность (O₂; r) пересекает (O₁; R) ⇔ R − r < O₁O₂ < R + r (при r ≤ R) — множество центров O₂ есть кольцо между пунктирными окружностями (границы — касание). Для касания центры лежат на самих пунктирных окружностях — это пригодится в образце 5.
2) AB — хорда меньшей окружности, а хорда не длиннее диаметра: AB ≤ 2r. Равенство — когда AB — диаметр меньшей окружности, т. е. H = O₂ и △O₁O₂A прямоугольный: d² = R² − r². Чертёж: R = 13, r = 5, d = 12.
3) AH ⟂ O₁O₂, поэтому AH — высота треугольника центров: S = ½·d·AH. Удобно, когда площадь △O₁AO₂ легко найти другим способом (например, он равнобедренный). Чертёж: R = 5, окружность (O₂; 6) с центром на первой окружности, d = 5.

R05.5

Образец → сам · центры заданы координатами

Сравниваем квадраты, а не приближения

Образец: $O_{1} (0; 0)$ , $R = 5$ ; $O_{2} (6; 3)$ , $r = 3$ . Как расположены окружности?

$d^{2} = 6^{2} + 3^{2} = 45$ теорема Пифагора по клеткам

$(R - r)^{2} = 4$ , $(R + r)^{2} = 64$ опорные числа

$4 < 45 < 64$ ⇒ пересекаются 2 точки

Сам

$O_{1} (0; 0)$ , $R = 4$ ; $O_{2} (5; 5)$ , $r = 3$ . Расположение? вне: $50 > 49$
$O_{1} (1; 2)$ , $R = 6$ ; $O_{2} (3; 3)$ , $r = 4$ . Расположение? пересекаются: $4 < 5 < 100$
$O_{1} (0; 0)$ , $R = 10$ ; $O_{2} (6; 8)$ . При каком $r$ окружности касаются? $r = 20$ (внутреннее)

2,5 мин · практика
Образец разбирает учитель (по щелчку — шаги), затем ученики решают 1–3 в тетради. Почему квадраты: все величины положительные, а возведение в квадрат сохраняет порядок; приближение √45 ≈ 6,7 здесь тоже сработает, но в задании 1 — нет.
1) d² = 25 + 25 = 50; (R + r)² = 49. 50 > 49 ⇒ вне, 0 общих точек. Ловушка: «√50 ≈ 7 = R + r ⇒ касание» — неверно.
2) d² = 2² + 1² = 5; (R − r)² = 4, (R + r)² = 100: 4 < 5 < 100 ⇒ пересекаются (почти касание изнутри).
3) d = 10. Внешнее касание: 10 + r = 10 ⇒ r = 0 — не окружность. Внутреннее: |r − 10| = 10 ⇒ r = 20 (r = 0 не годится). Ответ: r = 20, тогда O₁ лежит на второй окружности, касание в точке (−6; −8).

R05.5

Образец → сам · наибольшая общая хорда

Хорда меньшей окружности не длиннее её диаметра

Образец: $R = 13$ , $r = 5$ . При каком $d$ общая хорда наибольшая? Найдите её.

$A B \leq 2 r = 10$ хорда меньшей окружности ≤ диаметра

$A B = 10$ , если $A B$ — диаметр: $H = O_{2}$ , $O_{1} O_{2} ⊥ A B$

$d = 1 3^{2} - 5^{2} = 12$ из $△ O_{1} O_{2} A$

Сам

$R = 17$ , $r = 8$ . Наибольшая общая хорда и $d$ для неё? $A B = 16$ при $d = 15$
$R = 10$ , $d = 8$ , общая хорда $12$ . Найдите $r$ . $6$ или $273$
Может ли общая хорда окружностей радиусов $6$ и $9$ равняться $13$ ? нет: $A B \leq 12$

2,5 мин · практика
Образец: чертёж точный (R = 13, r = 5, d = 12). Прямой угол при O₂: радиус O₁A — гипотенуза, 5² + 12² = 13² ✓.
1) AB ≤ 2 · 8 = 16; d = √(289 − 64) = 15.
2) AH = 6, O₁H = √(100 − 36) = 8. Если H по ту же сторону от O₁, что и O₂, то O₁H = d ⇒ H = O₂, r = AH = 6 (хорда — диаметр меньшей). Если H по другую сторону от O₁, то O₂H = 8 + 8 = 16, r = √(256 + 36) = √292 = 2√73 ≈ 17,1; проверка: 2√73 − 10 ≈ 7,1 < 8 — пересекаются ✓. Сильным — оба случая, остальным достаточно первого.
3) Общая хорда — хорда меньшей окружности радиуса 6, она не длиннее 12; 13 > 12 — нельзя.

R05.5

Образец → сам · окружность через центр другой

Общая хорда — удвоенная высота треугольника центров

Образец: окружность $(O_{1}; 5)$ проходит через центр $O_{2}$ окружности радиуса $6$ . Найдите $A B$ .

$d = O_{1} O_{2} = O_{1} A = 5$ , $A O_{2} = 6$ $O_{2}$ на окружности

$O_{1} K = 25 - 9 = 4$ , $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$

$A H = \frac{2 S}{d} = 4, 8$ , $A B = 9, 6$

Сам

Окружность $(O_{1}; 10)$ проходит через центр окружности радиуса $12$ . Найдите $A B$ . $19, 2$
Окружность $(O_{1}; 25)$ проходит через центр $O_{2}$ , $A B = 48$ . Найдите $r$ . $30$ или $40$
Две окружности радиуса $6$ , каждая проходит через центр другой. Найдите $A B$ . $63$

3 мин · практика
Образец: K — середина AO₂ (высота равнобедренного △O₁AO₂ к основанию — медиана). Проверка уравнением: 25 − x² = 36 − (5 − x)² ⇒ x = 1,4; AH = √(25 − 1,96) = 4,8 ✓. Чертёж точный.
1) △O₁AO₂: 10, 10, 12; высота к основанию 12: √(100 − 36) = 8; S = 48; AH = 96 : 10 = 9,6; AB = 19,2.
2) AH = 24, O₁H = √(625 − 576) = 7. Центры по разные стороны от AB: O₂H = 25 − 7 = 18, r = √(18² + 24²) = 30. По одну сторону: O₂H = 25 + 7 = 32, r = √(32² + 24²) = 40. Оба случая — пересечение (5 < 25 < 55; 15 < 25 < 65).
3) d = 6, △O₁AO₂ равносторонний со стороной 6, AH — его высота: 3√3; AB = 6√3. Классика построения циркулем — так строят угол 60° и серединный перпендикуляр.

R05.5 · R05.1

Разбор у доски · доказательство

Диаметры $A C$ и $A D$ из общей точки

Дано: окружности пересекаются в

A

и

B

,

A C

и

A D

— их диаметры.
Доказать:

C

,

B

,

D

на одной прямой,

C D = 2 O_{1} O_{2}

.

1

∠ A BC = 9 0^{\circ}

вписанный угол опирается на диаметр

A C

2

∠ A B D = 9 0^{\circ}

вписанный угол опирается на диаметр

A D

3

∠ CB D = 9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

угол развёрнутый ⇒

C

,

B

,

D

на одной прямой

4

O_{1} O_{2}

— средняя линия

△ A C D

:

C D = 2 O_{1} O_{2}

O_{1}

,

O_{2}

— середины

A C

и

A D

3,5 мин · теория (учитель ведёт, ученики называют обоснования)
Чертёж точный: O₁(0; 0), R = 5; O₂(8; 0), r = √41; A(3; 4), B(3; −4), C(−3; −4), D(13; −4). CD = 16 = 2 · 8 ✓. Щелчки подсвечивают прямые углы при B и среднюю линию.
Шаг 3 — для расположения, как на чертеже (центры по разные стороны от AB, лучи BC и BD противоположны). Следствия: CD ∥ O₁O₂ и AB ⟂ CD, т. е. AB — высота △ACD. Всё это используем в ОГЭ 25 (сл. 18).
Вопрос классу: какой ещё отрезок равен 2·O₁O₂? (Никакой из видимых; но O₁O₂ делит AB пополам — средняя линия делит высоту AB пополам, согласуется с AH = HB.)

R05.5

Образец → сам · задача на доказательство

Симметрия относительно линии центров

Образец: окружности пересекаются в $A$ и $B$ . Докажите: $∠ O_{1} A O_{2} = ∠ O_{1} B O_{2}$ и $A B ⊥ O_{1} O_{2}$ .

$△ O_{1} A O_{2} = △ O_{1} B O_{2}$ III признак: $R$ , $r$ , $O_{1} O_{2}$ — общая

$∠ O_{1} A O_{2} = ∠ O_{1} B O_{2}$ , $∠ A O_{1} H = ∠ B O_{1} H$

$O_{1} H$ — биссектриса ⇒ высота: $A B ⊥ O_{1} O_{2}$

Сам: план и обоснования

Докажите: $R = r$ ⇒ $O_{1} A O_{2} B$ — ромб. все стороны равны $R$
$∠ O_{1} A O_{2} = 9 0^{\circ}$ . Докажите: $O_{2} A$ касается первой окружности. $O_{2} A ⊥$ радиусу $O_{1} A$ в точке окружности
$∠ A O_{1} B = 2∠ A O_{2} B$ . Докажите: $∠ A O_{1} O_{2} = ∠ A O_{2} B$ . $O_{1} O_{2}$ — биссектриса $∠ A O_{1} B$

3 мин · практика
Образец: равные отрезки отмечены одинаковыми чёрточками (O₁A = O₁B = R, O₂A = O₂B = r). Чертёж точный: R = 5, r = 4, d = 6.
1) O₁A = O₁B = R, O₂A = O₂B = r = R ⇒ четыре равные стороны ⇒ ромб; его диагонали AB и O₁O₂ перпендикулярны — ещё одно доказательство AB ⟂ O₁O₂ для равных окружностей.
2) Прямая O₂A проходит через точку A первой окружности перпендикулярно радиусу O₁A ⇒ касательная (признак касательной). Аналогично O₁A касается второй окружности: «окружности пересекаются под прямым углом».
3) По образцу ∠AO₁O₂ = ∠BO₁O₂ = ½∠AO₁B = ½ · 2∠AO₂B = ∠AO₂B. Оформить: равенство треугольников (образец) ⇒ биссектриса ⇒ подстановка.

R05.5

Образец → сам · где лежат центры

Центр на прямой: пересекаем прямую с окружностями $R \pm r$

Образец: окружность $(O; 5)$ , прямая $l$ на расстоянии $6$ от $O$ . Сколько окружностей радиуса $2$ с центром на $l$ касаются данной?

внешнее: центр на $(O; 7)$ , $7 > 6$ ⇒ $2$ точки на $l$

внутреннее: центр на $(O; 3)$ , $3 < 6$ ⇒ $0$ точек ⇒ 2 окружности

Сам (окружность $(O; 5)$ , прямая на расстоянии $6$ )

Радиус $12$ . Сколько окружностей? $4$
Радиус $1$ . Сколько окружностей? $1$
При каком радиусе таких окружностей ровно три? $r = 11$

2 мин · практика
Образец: касание извне ⇔ OC = 5 + 2 = 7, изнутри ⇔ OC = |5 − 2| = 3. Прямая l на расстоянии 6 пересекает окружность (O; 7) в двух точках (C = (±√13; −6)), окружность (O; 3) не пересекает. Красные точки на чертеже — точки касания. Построение циркулем: окружность радиуса 7 с центром O, засечки на l.
1) r = 12: OC = 17 (17 > 6 — 2 точки) или OC = 12 − 5 = 7 (данная окружность внутри, 7 > 6 — 2 точки) ⇒ 4.
2) r = 1: OC = 6 — прямая касается окружности (O; 6), 1 точка; OC = 4 < 6 — 0 ⇒ 1 окружность.
3) Внешних: 2 при r > 1. Внутренних (r > 5): |r − 5| = 6 даёт 1 при r = 11, 2 при r > 11; при r < 5 |5 − r| < 5 < 6 — 0. Итого 3 только при r = 11.

R05.5

Образец → сам · подвижная окружность

Центр движется по прямой: когда пересекаются?

Образец: $R = 21$ ; центр окружности радиуса $4$ движется по прямой $l$ , $O_{1} P = 15$ . При каких $t = P O_{2}$ окружности пересекаются?

$17 < d < 25$ , $d^{2} = 1 5^{2} + t^{2}$ $R \pm r$ ; Пифагор

$289 < 225 + t^{2} < 625$ ⇒ $8 < ∣ t ∣ < 20$

Сам

$R = 28$ , $r = 13$ , $O_{1} P = 9$ . При каких $t$ пересекаются? $12 < ∣ t ∣ < 40$
В образце: при каких $t$ меньшая окружность внутри большей? $∣ t ∣ < 8$
$R = 10$ , $r = 3$ , $O_{1} P = 8$ . Может ли меньшая окружность оказаться внутри? нет: $d \geq 8 > 7$

R05.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$d = 50 \approx 7 = R + r$ ⇒ касание	приближение скрывает разницу $50$ и $49$	сравнить квадраты: $50 > 49$ ⇒ вне
$O_{1} H = \frac{d}{2}$ при $R \neq = r$	$H$ — середина $O_{1} O_{2}$ только при $R = r$	$R^{2} - x^{2} = r^{2} - (d - x)^{2}$
«Общая хорда может быть любой длины»	это хорда меньшей окружности	$A B \leq 2 r$
$(O_{1}; R)$ проходит через $O_{2}$ ⇒ $d = r$	$O_{2}$ лежит на первой окружности	$d = R$

R05.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $O_{1} (0; 0)$ , $R = 6$ ; $O_{2} (7; 7)$ , $r = 4$ . Расположение?

$d = 98 \approx 10 = R + r$

Ответ: внешнее касание

$98 < 100$ , $98 > 4$ ⇒ пересекаются, $2$ точки

б) $R = 20$ , $r = 13$ , $d = 21$ . Найдите $A B$ .

$O_{1} H = 21 : 2 = 10, 5$

$A H = 400 - 110, 25 = 289, 75$

$400 - x^{2} = 169 - (21 - x)^{2}$ ⇒ $x = 16$ , $A H = 12$ , $A B = 24$

в) $A C$ , $A D$ — диаметры. «Докажем», что $∠ A BC = 9 0^{\circ}$ .

$A B ⊥ O_{1} O_{2}$ , значит, $∠ A BC = 9 0^{\circ}$

$BC$ не обязана быть параллельна $O_{1} O_{2}$ — это ещё не доказано; верно: вписанный угол опирается на диаметр $A C$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) d² = 49 + 49 = 98, (R + r)² = 100, (R − r)² = 4: 4 < 98 < 100 ⇒ пересекаются. Ошибка — округление √98 ≈ 9,9 до 10.
б) Середина O₁O₂ — не основание общей хорды при разных радиусах. Верно: 400 − x² = 169 − 441 + 42x − x² ⇒ 42x = 672 ⇒ x = 16; AH = √(400 − 256) = 12; AB = 24. Проверка: O₂H = 5, 5² + 12² = 13² ✓.
в) Логический круг: «C, B, D на одной прямой, параллельной O₁O₂» — это следствие того, что мы доказываем. Обоснование ∠ABC = 90° — только вписанный угол, опирающийся на диаметр (сл. 9, шаг 1).

R05.5

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $R = 7$ , $r = 2$ , $d = 30$ . Расположение? пересекаются
база $O_{1} (0; 0)$ , $R = 10$ ; $O_{2} (9; 12)$ , $r = 5$ . Расположение? внешнее касание
база $R = r = 10$ , $d = 16$ . Найдите $A B$ . $12$

базаРадиусы $6$ и $8$ . Наибольшая общая хорда? $12$
база $(O_{1}; 8)$ проходит через центр $O_{2}$ . Чему равно $d$ ? $8$
базаДиаметры $20$ и $12$ , $d = 4$ . Расположение? внутреннее касание

R05.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $R = 27$ , $r = 7$ , центр $O_{2}$ движется по прямой на расстоянии $16$ от $O_{1}$ . Какова общая длина участков, где окружности пересекаются? $36$
повыш.Три окружности попарно касаются внешним образом, расстояния между центрами $7$ , $8$ и $9$ . Найдите радиусы. $3$ , $4$ , $5$
повыш. $∠ O_{1} A O_{2} = 9 0^{\circ}$ , $A B = 24$ , $R = 15$ . Найдите $r$ и $d$ . $r = 20$ , $d = 25$
из жизниДве поливальные установки поливают круги радиусов $17$ м и $10$ м, расстояние между ними $21$ м. Прямая дорожка проходит через обе точки, где сходятся границы полива. Какая её часть поливается обеими? $16$ м

2,5 мин · практика
1) R − r = 20, R + r = 34: 400 < 256 + t² < 1156 ⇒ 144 < t² < 900 ⇒ 12 < |t| < 30: два участка по 18, всего 36.
2) x + y = 7, y + z = 9, x + z = 8 (d = сумма радиусов при внешнем касании); сложив, x + y + z = 12 ⇒ радиусы 3, 4, 5 (против сторон 9, 8, 7 соответственно).
3) AH = 12, O₁H = √(225 − 144) = 9. В прямоугольном △O₁AO₂ высота AH: AH² = O₁H · O₂H ⇒ O₂H = 144 : 9 = 16; r = √(144 + 256) = 20, d = 9 + 16 = 25 (проверка 15² + 20² = 25² ✓).
4) Дорожка — общая хорда. 289 − x² = 100 − (21 − x)² ⇒ 289 = −341 + 42x ⇒ x = 15; AH = √(289 − 225) = 8; AB = 16 м. Двойной полив — внутри «линзы», а на прямой это ровно отрезок AB.

R05.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 16Окружности радиусов $25$ и $17$ пересекаются в точках $A$ и $B$ , расстояние между центрами равно $28$ . Найдите $A B$ . $30$
ОГЭ 16Окружности радиусов $6$ и $2$ касаются внутренним образом. Найдите расстояние между их центрами. $4$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Если $d = R - r$ $(R > r)$ , то окружности касаются внутренним образом.
Линия центров делит общую хорду пополам.
Если окружности имеют одну общую точку, то $d = R + r$ .
Если $d > R - r$ , то окружности пересекаются.

Ответ: 12

R05.5 · ОГЭ, ч. 2

Разбор у доски · ОГЭ 25

Площадь треугольника из двух диаметров

Окружности радиусов

13

и

15

пересекаются в

A

и

B

,

O_{1} O_{2} = 14

.

A C

и

A D

— диаметры. Найдите площадь

△ A C D

.

1

C

,

B

,

D

на одной прямой,

C D = 2 \cdot 14 = 28

разбор у доски: вписанные углы, средняя линия

2

A B

— высота

△ A C D

A B ⊥ O_{1} O_{2}

,

O_{1} O_{2} ∥ C D

3

169 - x^{2} = 225 - (14 - x)^{2}

⇒

x = 5

,

A H = 12

,

A B = 24

два прямоугольных треугольника

4

S = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 24 = 336

3 мин · теория (учитель решает, ученики подсказывают обоснования)
Чертёж точный: O₁(0; 0), O₂(14; 0), A(5; 12), B(5; −12), C(−5; −12), D(23; −12): CD = 28 ✓, AB = 24 ✓, B на CD, ∠ABD = 90°.
Шаг 3: 169 − x² = 225 − 196 + 28x − x² ⇒ 28x = 140 ⇒ x = 5; AH = √(169 − 25) = 12. Проверка со стороны O₂: O₂H = 9, 9² + 12² = 15² ✓.
Оформление на 2 балла: шаг 1 — с доказательством (вписанные углы на диаметры, развёрнутый угол), шаг 2 — с обоснованием перпендикулярности. Без шага 1 решение неполное.
Общий вывод (задача * в ДЗ): S(ACD) = ½ · 2d · AB = d · AB.

R05.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$O_{1} (0; 0)$ , $R = 5$ ; $O_{2} (8; 6)$ , $r = 4$ . Сколько общих точек? $0$ — вне
$(O_{1}; 15)$ проходит через центр окружности радиуса $18$ . Найдите $A B$ . $28, 8$
$R = 10$ , $r = 6$ . Наибольшая общая хорда и $d$ для неё? $12$ при $d = 8$
Радиусы $2$ , $3$ , $4$ , попарно касаются внешним образом. Периметр треугольника центров? $18$

Вариант 2

$O_{1} (0; 0)$ , $R = 7$ ; $O_{2} (6; 8)$ , $r = 4$ . Сколько общих точек? $2$ — пересекаются
$(O_{1}; 20)$ проходит через центр окружности радиуса $24$ . Найдите $A B$ . $38, 4$
$R = 25$ , $r = 7$ . Наибольшая общая хорда и $d$ для неё? $14$ при $d = 24$
Радиусы $1$ , $4$ , $6$ , попарно касаются внешним образом. Периметр треугольника центров? $22$

4 мин · практика
Вариант 1: 1) d = 10 > 9 = R + r — вне, 0 точек. 2) △O₁AO₂: 15, 15, 18; высота к основанию √(225 − 81) = 12; S = 108; AH = 216 : 15 = 14,4; AB = 28,8. 3) AB ≤ 12; d = √(100 − 36) = 8. 4) Стороны 5, 6, 7; P = 18.
Вариант 2: 1) d = 10; 3 < 10 < 11 — пересекаются, 2 точки. 2) △O₁AO₂: 20, 20, 24; высота √(400 − 144) = 16; S = 192; AH = 384 : 20 = 19,2; AB = 38,4. 3) AB ≤ 14; d = √(625 − 49) = 24. 4) Стороны 5, 10, 7; P = 22.
Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3». Задание 2 засчитывать и при решении уравнением (x = 4,2 и x = 5,6 соответственно). Взаимопроверка по ответам (по щелчку).

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как сравнить $50$ и $7$ без калькулятора?
Когда общая хорда наибольшая?
Где лежат центры окружностей радиуса $r$ , касающихся данной?

Домашнее задание

$O_{1} (1; 1)$ , $O_{2} (7; 9)$ , $R = r = 5$ . Расположение и общие точки?
$R = 41$ , $r = 9$ . Наибольшая общая хорда? При каком $d$ ?
* $A C$ , $A D$ — диаметры. Докажите: $S_{A C D} = A B \cdot O_{1} O_{2}$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_centralnye_i_vpisannye_ugly.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-091 · Практикум: взаимное расположение двух окружностей

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью», 20 ч · урок 19/20 · тип П
Единицы → слайды	R05.5 «Взаимное расположение двух окружностей» → 2–20 · R05.1 (вписанный угол на диаметр) как инструмент → 9, 14, 18
Результаты	ПР-10 (вписанные и центральные углы, окружности, применение свойств при решении задач) → 3–20
Вне урока	теория R05.5 — GEOM8U-077; первый практикум — GEOM8U-084; касание (R05.6) и общие касательные (R05.7) — GEOM8U-078, 079, 085, 086 (касание здесь только как граничный случай расположения); обобщение — GEOM8U-092
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: взаимное расположение двух окружностей

Сегодня вы научитесь

Сравнивать точно

Находить общую хорду

Доказывать

Искать центры

Радиусы 8 и 3: где на шкале d?

Расположение по d и общая хорда (R≥r)

Кольцо центров, наибольшая хорда, хорда через площадь

1. Где центры?

2. Наибольшая хорда

3. Через площадь

Сравниваем квадраты, а не приближения

Образец: O1​(0;0), R=5; O2​(6;3), r=3. Как расположены окружности?

Сам

Хорда меньшей окружности не длиннее её диаметра

Образец: R=13, r=5. При каком d общая хорда наибольшая? Найдите её.

Сам

Общая хорда — удвоенная высота треугольника центров

Образец: окружность (O1​;5) проходит через центр O2​ окружности радиуса 6. Найдите AB.

Сам

Диаметры AC и AD из общей точки

Симметрия относительно линии центров

Образец: окружности пересекаются в A и B. Докажите: ∠O1​AO2​=∠O1​BO2​ и AB⊥O1​O2​.

Сам: план и обоснования

Центр на прямой: пересекаем прямую с окружностями R±r

Образец: окружность (O;5), прямая l на расстоянии 6 от O. Сколько окружностей радиуса 2 с центром на l касаются данной?

Сам (окружность (O;5), прямая на расстоянии 6)

Центр движется по прямой: когда пересекаются?

Образец: R=21; центр окружности радиуса 4 движется по прямой l, O1​P=15. При каких t=PO2​ окружности пересекаются?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) O1​(0;0), R=6; O2​(7;7), r=4. Расположение?

б) R=20, r=13, d=21. Найдите AB.

в) AC, AD — диаметры. «Докажем», что ∠ABC=90∘.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Площадь треугольника из двух диаметров

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-091 · Практикум: взаимное расположение двух окружностей

Радиусы $8$ и $3$ : где на шкале $d$ ?

Расположение по $d$ и общая хорда $(R \geq r)$

Образец: $O_{1} (0; 0)$ , $R = 5$ ; $O_{2} (6; 3)$ , $r = 3$ . Как расположены окружности?

Образец: $R = 13$ , $r = 5$ . При каком $d$ общая хорда наибольшая? Найдите её.

Образец: окружность $(O_{1}; 5)$ проходит через центр $O_{2}$ окружности радиуса $6$ . Найдите $A B$ .

Диаметры $A C$ и $A D$ из общей точки

Образец: окружности пересекаются в $A$ и $B$ . Докажите: $∠ O_{1} A O_{2} = ∠ O_{1} B O_{2}$ и $A B ⊥ O_{1} O_{2}$ .

Центр на прямой: пересекаем прямую с окружностями $R \pm r$

Образец: окружность $(O; 5)$ , прямая $l$ на расстоянии $6$ от $O$ . Сколько окружностей радиуса $2$ с центром на $l$ касаются данной?

Сам (окружность $(O; 5)$ , прямая на расстоянии $6$ )

Образец: $R = 21$ ; центр окружности радиуса $4$ движется по прямой $l$ , $O_{1} P = 15$ . При каких $t = P O_{2}$ окружности пересекаются?

а) $O_{1} (0; 0)$ , $R = 6$ ; $O_{2} (7; 7)$ , $r = 4$ . Расположение?

б) $R = 20$ , $r = 13$ , $d = 21$ . Найдите $A B$ .

в) $A C$ , $A D$ — диаметры. «Докажем», что $∠ A BC = 9 0^{\circ}$ .