Окружность · урок 18 из 20 · практикум

Практикум: свойства и признаки вписанного четырёхугольника

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM8U-090

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью» (20 ч), урок 18/20, единица R05.4. Тип урока — П (практикум), второй практикум по этой единице.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка 2,5 · признак через отрезки диагоналей (доказательство) 3 · пример учителя (высоты) 2,5 · дополнительно: теорема Птолемея 3.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 16/19 — 2 · ОГЭ 24/25 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Опора — GEOM8U-076 (свойство и признаки с доказательствами) и GEOM8U-083 (первый практикум: углы через диагонали, подобие, скрытая окружность). Сегодня — новые типы: отношение дуг, признак с параметром, обратная теорема о хордах, радиус описанной окружности трапеции, Птолемей.
Если не успеваете: слайд «Дополнительно» (Птолемей) — бегло или в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R05.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Считать углы по дугам

когда дуги заданы отношением (ПР-10)

Применять признаки

с параметром и через отрезки $A O \cdot OC = BO \cdot O D$

Находить радиус

описанной окружности трапеции и четырёхугольника с прямыми углами

Доказывать

что четыре точки лежат на одной окружности; ОГЭ 16, 19, 24, 25

повторение: R05.1–R05.4

Разминка · устно

Вписанный четырёхугольник $A BC D$

$∠ A = 3∠ C$ . Найдите $∠ A$ . $13 5^{\circ}$
Внешний угол при вершине $B$ равен $7 5^{\circ}$ . Чему равен $∠ D$ ? $7 5^{\circ}$
$A O = 5$ , $OC = 6$ , $BO = 3$ . Найдите $O D$ . $10$
Дуга $A B$ (без $C$ и $D$ ) равна $10 0^{\circ}$ . Чему равен $∠ A CB$ ? $5 0^{\circ}$
$∠ A B D = 3 5^{\circ}$ , $∠ D BC = 4 5^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ . $10 0^{\circ}$
Можно ли описать окружность около прямоугольной трапеции? нет

R05.4

Сводка · свойства и признаки

Одно условие — в обе стороны

Условие для $A BC D$	вписан ⇒	⇒ вписан
$∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$	✓	✓
внешний угол $∠ D CE = ∠ A$	✓	✓
$∠ A B D = ∠ A C D$ , $B$ и $C$ по одну сторону от $A D$	✓	✓
$A O \cdot OC = BO \cdot O D$ (диагонали)	✓	✓ сегодня

Вписан параллелограмм → только прямоугольник; трапеция → только равнобедренная.

2,5 мин · теория
Таблица — главная мысль практикума: каждое условие работает и как свойство (знаем, что вписан, — получаем равенство), и как признак (знаем равенство — получаем окружность). На первых трёх строках спросить класс: «Где это доказывали?» (GEOM8U-076).
Четвёртая строка: «⇒» — свойство отрезков хорд (подобие △AOB и △DOC, GEOM8U-083); «⇐» — новый признак, доказательство на слайде 8. Аналогично для продолжений сторон: PB · PA = PC · PD.
На чертеже: α — ∠A и равный ему внешний угол DCE (сам ∠C = 180° − α); φ — равные углы ABD и ACD, опирающиеся на дугу AD.

R05.4

Образец → сам · углы по отношению дуг

Дуги заданы отношением

Образец: вершины $A BC D$ делят окружность на дуги $A B : BC : C D : D A = 3 : 4 : 5 : 6$ . Найдите углы.

$18 x = 36 0^{\circ}$ , $x = 2 0^{\circ}$ : дуги $6 0^{\circ}$ , $8 0^{\circ}$ , $10 0^{\circ}$ , $12 0^{\circ}$

$∠ A = \frac{1}{2} (8 0^{\circ} + 10 0^{\circ}) = 9 0^{\circ}$ дуга $BC D$ — без вершины $A$

$∠ B = \frac{1}{2} (10 0^{\circ} + 12 0^{\circ}) = 11 0^{\circ}$ дуга $C D A$

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ D = 7 0^{\circ}$ противоположные: сумма $18 0^{\circ}$

Сам

Дуги $A B : BC : C D : D A = 1 : 2 : 3 : 4$ . Найдите наибольший угол $A BC D$ . $12 6^{\circ}$
$∠ A = 10 0^{\circ}$ , $∠ B = 7 0^{\circ}$ , дуга $A B$ (без $C$ , $D$ ) $= 6 0^{\circ}$ . Найдите дугу $C D$ . $4 0^{\circ}$
Дуги $2 : 3 : 3 : 4$ (по порядку $A B$ , $BC$ , $C D$ , $D A$ ). Найдите угол $A OB$ между диагоналями. $7 5^{\circ}$

2,5 мин · практика
Образец: вписанный угол при вершине A опирается на дугу BCD — ту, что не содержит A. ∠A = (80 + 100)/2 = 90°, ∠B = (100 + 120)/2 = 110°, ∠C = (120 + 60)/2 = 90°, ∠D = (60 + 80)/2 = 70°. Проверка свойством: 90 + 90 = 180, 110 + 70 = 180. Чертёж точный (дуги 60°, 80°, 100°, 120°).
1) x = 36°: дуги 36°, 72°, 108°, 144°. ∠A = (72 + 108)/2 = 90°, ∠B = (108 + 144)/2 = 126°, ∠C = 90°, ∠D = 54°. Наибольший — 126°.
2) ∠A = ½(BC + CD) ⇒ BC + CD = 200°; ∠B = ½(CD + DA) ⇒ CD + DA = 140°. Все дуги: 60 + BC + CD + DA = 360 ⇒ BC + CD + DA = 300 ⇒ DA = 100°, CD = 40°, BC = 160°. Ответ: 40°.
3) x = 30°: дуги 60°, 90°, 90°, 120°. Угол между хордами (R05.2): ∠AOB = ½(AB + CD) = ½(60 + 90) = 75°; смежный — 105°.

R05.4

Образец → сам · признак с параметром

Можно ли описать окружность?

Образец: углы $A BC D$ : $∠ A = 3 x$ , $∠ B = 4 x$ , $∠ C = 6 x$ , $∠ D = 5 x$ . Можно ли описать около него окружность?

$3 x + 4 x + 6 x + 5 x = 36 0^{\circ}$ , $x = 2 0^{\circ}$ сумма углов

$∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$ : $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$

Можно признак: сумма противоположных углов $18 0^{\circ}$

Сам

Углы по порядку: $2 x$ , $5 x$ , $7 x$ , $4 x$ . Можно ли описать окружность? да: $4 0^{\circ} + 14 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$
Углы по порядку: $x$ , $2 x$ , $4 x$ , $5 x$ . Можно ли? нет: $3 0^{\circ} + 12 0^{\circ} \neq = 18 0^{\circ}$
В $△ A BC$ $K \in A B$ , $M \in BC$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . При каком $∠ B K M$ четырёхугольник $A K MC$ вписан? $6 0^{\circ}$

2,5 мин · практика
Образец: 18x = 360°, x = 20°; углы 60°, 80°, 120°, 100°; ∠A + ∠C = 180° (и ∠B + ∠D = 180° — достаточно одной пары, вторая следует из суммы 360°). Чертёж построен по этим углам (дуги AB = 140°, BC = 60°, CD = 60°, DA = 100°); окружность — после ответа, мелом.
1) 18x = 360, x = 20: 40°, 100°, 140°, 80°; 40 + 140 = 180 — да.
2) 12x = 360, x = 30: 30°, 60°, 120°, 150°; 30 + 120 = 150 ≠ 180 — нет. Ловушка: 30 + 150 = 180, но это соседние углы.
3) ∠AKM = 180° − ∠BKM; нужно ∠AKM + ∠C = 180° ⇒ ∠BKM = ∠C = 60°. Это «антипараллель»: прямая KM отсекает треугольник, у которого угол при K равен углу C. Пригодится в ОГЭ 25.

R05.4

Образец → сам · радиус описанной окружности

Центр — на оси симметрии трапеции

Образец: трапеция вписана, основания $A D = 8$ , $BC = 6$ , высота $7$ . Найдите $R$ .

$O$ на оси симметрии; $O A$ $=$ $OB$ трапеция равнобедренная

$4^{2} + y^{2} = 3^{2} + (7 - y)^{2}$ , $14 y = 42$ , $y = 3$ Пифагор

$R = 4^{2} + 3^{2} = 5$

Сам

$∠ B = ∠ D = 9 0^{\circ}$ , $A B = 5$ , $BC = 12$ . Найдите $R$ . $6, 5$
Стороны прямоугольника $7$ и $24$ . Найдите $R$ . $12, 5$
Трапеция вписана, основания $8$ и $6$ , высота $1$ . Найдите $R$ . Где центр? $R = 5$ , вне трапеции

2,5 мин · практика
Образец: вписанная трапеция равнобедренная, центр O лежит на её оси симметрии MN (серединный перпендикуляр к основаниям). y = OM — расстояние от O до AD; OA² = 4² + y², OB² = 3² + (7 − y)². 16 + y² = 9 + 49 − 14y + y², 14y = 42, y = 3, R² = 16 + 9 = 25, R = 5. Проверка: 3² + 4² = 25. Чертёж в масштабе.
1) ∠B + ∠D = 180° ⇒ вписан; AC виден под прямым углом ⇒ AC — диаметр. AC = 13, R = 6,5.
2) Диагональ √(49 + 576) = 25, R = 12,5.
3) 16 + y² = 9 + (1 − y)² ⇒ 2y = −6, y = −3: центр на 3 ниже AD, вне трапеции; R² = 16 + 9 = 25, R = 5. Та же окружность, что в образце: хорды 8 и 6 по одну сторону от центра (h = 4 − 3 = 1) или по разные (h = 4 + 3 = 7).

R05.4

Признак · доказательство

Если $A O \cdot OC = BO \cdot O D$ , то $A BC D$ вписан

Дано: диагонали выпуклого

A BC D

пересекаются в

O

A O \cdot OC = BO \cdot O D

.
Доказать:

A BC D

вписан.

\frac{A O}{D O} = \frac{BO}{CO}

делим равенство на

D O \cdot CO

∠ A OB = ∠ D OC

вертикальные

△ A OB

\sim

△ D OC

II признак подобия: две стороны пропорциональны, углы между ними равны

∠ B A C = ∠ B D C

⇒

A BC D

вписан

A

D

по одну сторону от

BC

BC

виден под равными углами

3 мин · теория
Это теорема, обратная свойству отрезков пересекающихся хорд (AO · OC = BO · OD). Порядок букв в подобии: A ↔ D, O ↔ O, B ↔ C — по равным углам.
Шаг 4: из подобия ∠OAB = ∠ODC, то есть ∠BAC = ∠BDC; точки A и D лежат по одну сторону от прямой BC (четырёхугольник выпуклый) ⇒ признак «отрезок виден под равными углами» (GEOM8U-076).
Так же для продолжений сторон: если AB ∩ DC = P и PB · PA = PC · PD, то △PBC ∼ △PDA (∠P общий) ⇒ ∠PBC = ∠PDA — внешний угол равен противоположному внутреннему ⇒ ABCD вписан. Попросить сильных провести это рассуждение устно.

R05.4

Образец → сам · признак через отрезки

Произведения равны — окружность есть

Образец: $A O = 4$ , $OC = 9$ , $BO = 3$ , $O D = 12$ , $A B = 5$ . Докажите, что $A BC D$ вписан, и найдите $C D$ .

$4 \cdot 9 = 3 \cdot 12 = 36$ ⇒ вписан признак

$△ A OB \sim △ D OC$ , $k = \frac{D O}{A O} = \frac{CO}{BO} = 3$

$C D = 3 \cdot A B = 15$

Сам

$A O = 5$ , $OC = 8$ , $BO = 4$ , $O D = 10$ , $∠ B D C = 3 0^{\circ}$ . Найдите $∠ B A C$ . $3 0^{\circ}$
$A O = 6$ , $OC = 5$ , $BO = 4$ , $O D = 8$ . Можно ли описать окружность? нет: $30 \neq = 32$
$A B \cap D C = P$ , $PB = 4$ , $P A = 9$ , $PC = 3$ , $P D = 12$ , $∠ PBC = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A D C$ . $7 0^{\circ}$

2,5 мин · практика
Образец: 36 = 36 ⇒ вписан. Подобие △AOB ∼ △DOC: AO/DO = BO/CO = 1/3 ⇒ CD = 3 · AB = 15. На чертеже: 3, 4, 5 — египетский треугольник, диагонали перпендикулярны; проверка: CD² = 9² + 12² = 225, CD = 15.
1) 5 · 8 = 40 = 4 · 10 ⇒ вписан ⇒ ∠BAC = ∠BDC = 30° (опираются на дугу BC).
2) 6 · 5 = 30, 4 · 8 = 32 — не равны ⇒ нельзя (по свойству хорд у вписанного произведения обязаны быть равны).
3) 4 · 9 = 36 = 3 · 12 ⇒ вписан (признак для секущих) ⇒ внешний угол ∠PBC равен противоположному внутреннему ∠ADC = 70°.

R05.4

Пример · решает учитель

Скрытая окружность в треугольнике с высотами

A A_{1}

C C_{1}

— высоты

△ A BC

A B = A C = 10

BC = 12

. Найдите

B C_{1}

A_{1} C_{1}

A

C

A_{1}

C_{1}

на окружности

A C

виден из

A_{1}

C_{1}

под

9 0^{\circ}

B C_{1} \cdot B A = B A_{1} \cdot BC

секущие из

B

;

B A_{1} = 6

— высота

A A_{1}

и медиана

B C_{1} = \frac{6 \cdot 12}{10} = 7, 2

△ A_{1} B C_{1} \sim △ A BC

k = \frac{6}{10}

⇒

A_{1} C_{1} = 6

∠ B

общий,

\frac{B A _{1}}{B A} = \frac{B C _{1}}{BC} = 0, 6

2,5 мин · теория (демонстрационный пример: решает учитель, класс отвечает на «почему?»)
△ABC равнобедренный (AB = AC), поэтому высота AA₁ — медиана: BA₁ = 6. Окружность с диаметром AC проходит через A₁ и C₁ (прямые углы). Из точки B проведены две секущие: B–C₁–A и B–A₁–C ⇒ BC₁ · BA = BA₁ · BC ⇒ BC₁ = 72/10 = 7,2.
Подобие: BA₁/BA = 6/10 = 0,6, BC₁/BC = 7,2/12 = 0,6, ∠B общий ⇒ △A₁BC₁ ∼ △ABC (A₁ ↔ A, C₁ ↔ C), A₁C₁ = 0,6 · AC = 6. Проверено координатами: B(0; 0), C(12; 0), A(6; 8), C₁(4,32; 5,76), A₁C₁ = 6.
Вывод для ОГЭ 25: высоты отсекают треугольник, подобный данному, с коэффициентом BA₁/BA (в 9 классе — это cos B).

R05.4

Образец → сам · задача на доказательство

Четыре точки на одной окружности

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $D \in A B$ , $D E ⊥ A B$ , $E \in BC$ . Докажите: $A$ , $C$ , $E$ , $D$ на одной окружности и $∠ C D E = ∠ C A E$ .

$∠ A CE + ∠ A D E = 9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ противоположные углы $A CE D$

$A CE D$ вписан ( $A E$ — диаметр) признак

$∠ C D E = ∠ C A E$ вписанные, опираются на дугу $CE$

Сам: план и обоснования

На том же чертеже докажите: $B D \cdot B A = BE \cdot BC$ . секущие из $B$ к окружности $A CE D$
$K \in A B$ , $M \in A C$ , $∠ A K M = ∠ A CB$ . Докажите: $B$ , $K$ , $M$ , $C$ на одной окружности. $∠ B K M + ∠ C = 18 0^{\circ}$
На сторонах угла $P$ : $P A = 3$ , $PB = 8$ ; $PC = 4$ , $P D = 6$ . Докажите: $A$ , $B$ , $C$ , $D$ на одной окружности. $3 \cdot 8 = 4 \cdot 6$ — признак

3 мин · практика
Образец: ∠ACE = ∠ACB = 90° (E лежит на катете BC), ∠ADE = 90° (DE ⊥ AB). Это противоположные углы четырёхугольника ACED ⇒ сумма 180° ⇒ вписан; AE видна из C и D под прямым углом ⇒ AE — диаметр. ∠CDE и ∠CAE опираются на дугу CE ⇒ равны. Чертёж точный: C(0; 0), A(0; 6), B(8; 0), D(4,8; 2,4), E(3; 0), центр (1,5; 3).
1) Прямые BA и BC — секущие к окружности ACED из точки B: BD · BA = BE · BC (или △BDE ∼ △BCA: ∠B общий, ∠BDE = ∠BCA = 90°). Числа на чертеже: 4 · 10 = 5 · 8.
2) ∠BKM = 180° − ∠AKM = 180° − ∠C ⇒ в четырёхугольнике BKMC противоположные углы K и C в сумме 180° ⇒ вписан.
3) PA · PB = 24 = PC · PD ⇒ △PAC ∼ △PDB (∠P общий, PA/PD = PC/PB = 1/2) ⇒ ∠PAC = ∠PDB ⇒ внешний угол четырёхугольника ABDC при A равен противоположному внутреннему ⇒ вписан. Требовать запись: что дано → какой признак.

R05.4 · сверх программы

Дополнительно · теорема Птолемея

$A C \cdot B D = A B \cdot C D + BC \cdot A D$

Дано:

A BC D

вписан. Возьмём

K \in A C

∠ A B K = ∠ D BC

△ A B K

\sim

△ D BC

∠ B A C = ∠ B D C

(дуга

BC

) ⇒

A K \cdot B D = A B \cdot C D

△ K BC \sim △ A B D

∠ K BC = ∠ A B D

∠ BC A = ∠ B D A

⇒

K C \cdot B D = BC \cdot A D

3Сложим:

(A K + K C) \cdot B D = A C \cdot B D

получили формулу Птолемея

Прямоугольник

a \times b

d \cdot d = a \cdot a + b \cdot b

— теорема Пифагора.

3 мин · теория (дополнительно, для сильного класса; можно дать как задачу на дом)
Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон. Доказательство — два подобия, которые мы уже умеем находить.
1) ∠ABK = ∠DBC по построению, ∠BAK = ∠BAC = ∠BDC (опираются на дугу BC) ⇒ подобие по двум углам: AK/DC = AB/DB. 2) ∠KBC = ∠ABC − ∠ABK = ∠ABC − ∠DBC = ∠ABD; ∠BCK = ∠BCA = ∠BDA (дуга AB) ⇒ KC/AD = BC/BD.
Чертёж построен точно: K найдена по условию ∠ABK = ∠DBC, равенство Птолемея проверено численно.
Применение — задача 3 повышенного уровня (правильный треугольник: PA = PB + PC).

R05.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$ ⇒ вписан	$∠ A$ и $∠ B$ соседние — так у любой трапеции	нужна пара противоположных: $∠ A + ∠ C$
$∠ B A C = ∠ B D C$ ⇒ вписан, хотя $A$ и $D$ по разные стороны от $BC$	признак — для точек по одну сторону	по разные стороны: $∠ B A C + ∠ B D C = 18 0^{\circ}$
$A O \cdot BO = OC \cdot O D$	перемножают отрезки одной хорды	$A O \cdot OC = BO \cdot O D$
центр описанной окружности трапеции — середина высоты	центр может лежать вне трапеции	уравнение $O A = OB$ , знак $y$

1,5 мин · практика (ученики сами объясняют «почему», учитель открывает строку)
1) Сумма соседних углов 180° — признак параллельности (AD ∥ BC), а не вписанности. 2) Если A и D по разные стороны от BC, то ABDC — четырёхугольник с противоположными вершинами A и D: нужна сумма 180°. 3) Свойство хорд: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой. 4) Пример из образца: основания 8 и 6, высота 1 — центр на 3 ниже большего основания.

R05.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Дуги $A B : BC : C D : D A = 2 : 3 : 4 : 3$ . Найдите $∠ A$ .

$x = 3 0^{\circ}$ : дуги $6 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ , $12 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$

$∠ A = \frac{1}{2} (⌣ D A + ⌣ A B) = 7 5^{\circ}$

$∠ A = \frac{1}{2} (⌣ BC + ⌣ C D) = 10 5^{\circ}$ — дуга без $A$

б) Трапеция вписана, основания $8$ и $6$ , высота $1$ . Найдите $R$ .

$O$ — середина высоты, $y = 0, 5$

$R = 4^{2} + 0, 5^{2} = 16, 25$

$16 + y^{2} = 9 + (1 - y)^{2}$ , $y = - 3$ , $R = 5$

в) $A O = 2$ , $OC = 6$ , $BO = 3$ , $O D = 4$ . Вписан ли $A BC D$ ?

$\frac{A O}{OC} = \frac{1}{3}$ , $\frac{BO}{O D} = \frac{3}{4}$

не равны ⇒ не вписан

$A O \cdot OC = 12 = BO \cdot O D$ ⇒ вписан

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Первая строка верна (12 частей, x = 30°). Ошибка: взяты дуги, прилежащие к A. Вписанный угол A опирается на дугу BCD: ½(90 + 120) = 105°. Ученик получил ∠C = 75°.
б) Центр не обязан быть внутри и тем более в середине высоты. OA² = 16 + y², OB² = 9 + (1 − y)² ⇒ 16 = 10 − 2y ⇒ y = −3 (центр ниже AD), R² = 16 + 9 = 25, R = 5. Проверка: 9 + 4² = 25.
в) Признак — равенство произведений AO · OC = BO · OD, а не отношений отрезков одной хорды. 2 · 6 = 12 = 3 · 4 ⇒ вписан. Пропорция верна в виде AO/BO = OD/OC: 2/3 = 4/6.

R05.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $A BC D$ вписан, $∠ B = 3∠ D$ . Найдите $∠ D$ . $4 5^{\circ}$
базаДуги $A B : BC : C D : D A = 5 : 4 : 3 : 6$ . Найдите $∠ C$ . $11 0^{\circ}$
базаСтороны прямоугольника $10$ и $24$ . Найдите $R$ . $13$

база $∠ B = ∠ D = 9 0^{\circ}$ , $A B = 9$ , $BC = 12$ . Найдите $R$ . $7, 5$
база $A O = 3$ , $OC = 8$ , $BO = 4$ , $O D = 6$ . Вписан ли $A BC D$ ? да
базаТрапеция $A BC D$ ( $A D ∥ BC$ ) вписана, $∠ A = 6 4^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $11 6^{\circ}$

R05.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Трапеция с основаниями $10$ и $24$ вписана в окружность радиуса $13$ . Найдите высоту. $7$ или $17$
повыш. $A O = 4$ , $OC = 6$ , $BO = 3$ , $O D = 8$ , $A B = 5$ . Найдите $C D$ . $10$
повыш. $△ A BC$ правильный, вписан в окружность; $P$ — точка дуги $BC$ , $PB = 3$ , $PC = 5$ . Найдите $P A$ . $8$
из жизниОбъектив снимает под углом $9 0^{\circ}$ . Откуда фасад шириной $30$ м ровно заполнит кадр? с полуокружности радиуса $15$ м на фасаде как на диаметре

2,5 мин · практика
1) Расстояния от центра до хорд: √(169 − 144) = 5 и √(169 − 25) = 12. Хорды по одну сторону от центра: h = 12 − 5 = 7; по разные: h = 12 + 5 = 17. Оба ответа.
2) 4 · 6 = 24 = 3 · 8 ⇒ вписан; △AOB ∼ △DOC: AO/DO = BO/CO = 1/2 ⇒ CD = 2 · AB = 10. (Здесь 3, 4, 5 ⇒ диагонали перпендикулярны; проверка: √(36 + 64) = 10.)
3) Птолемей для ABPC: PA · BC = PB · AC + PC · AB, все стороны треугольника равны ⇒ PA = PB + PC = 8. Без Птолемея: отложить на PA отрезок PM = PB, △BPM равносторонний (∠BPA = ∠BCA = 60°), △BMA = △BPC ⇒ MA = PC.
4) Из точки, откуда отрезок виден под 90°, — окружность с диаметром на этом отрезке (признак: отрезок виден под равными углами). Фотограф может стоять в любой точке полуокружности радиуса 15 м с центром в середине фасада; так же ищут места, откуда ворота видны под заданным углом.

R05.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 16Четырёхугольник $A BC D$ вписан в окружность. Угол $A BC$ равен $10 4^{\circ}$ , угол $C A D$ равен $6 6^{\circ}$ . Найдите угол $A B D$ . $38$
ОГЭ 16Четырёхугольник $A BC D$ вписан в окружность. Угол $A B D$ равен $1 6^{\circ}$ , угол $C A D$ равен $3 0^{\circ}$ . Найдите угол $A BC$ . $46$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Около любого ромба можно описать окружность.
Если сумма двух противоположных углов четырёхугольника равна $18 0^{\circ}$ , то около него можно описать окружность.
Около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Ответ: 23

R05.4 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 24 и 25

Вторая часть: доказательство и вычисление

ОГЭ 24 В выпуклом четырёхугольнике $A BC D$ углы $A B D$ и $A C D$ равны. Докажите, что углы $D A C$ и $D BC$ также равны.

$B$ , $C$ по одну сторону от $A D$ , $∠ A B D = ∠ A C D$ ⇒ $A BC D$ вписан

$∠ D A C = ∠ D BC$ — опираются на дугу $D C$

ОГЭ 25 Окружность проходит через $A$ и $C$ треугольника $A BC$ и пересекает $A B$ в $K$ , $BC$ в $M$ . $A B = 18$ , $BC = 12$ , $A C = 15$ , $B K = 4$ . Найдите $K M$ .

$B K \cdot B A = BM \cdot BC$ : $72 = 12 \cdot BM$ , $BM = 6$

$△ B K M \sim △ BC A$ , $k = \frac{1}{3}$ ⇒ $K M = 5$

2 мин · практика
24) Полное решение на 2 балла: точки B и C лежат по одну сторону от прямой AD, отрезок AD виден из них под равными углами ⇒ A, B, C, D лежат на одной окружности (признак). Вписанные углы DAC и DBC опираются на одну дугу DC ⇒ равны. Обязательно назвать признак.
25) Секущие из B: BK · BA = BM · BC ⇒ 4 · 18 = 12 · BM ⇒ BM = 6. △BKM ∼ △BCA: ∠B общий, BK/BC = 4/12 = 1/3, BM/BA = 6/18 = 1/3 (соответствие K ↔ C, M ↔ A) ⇒ KM = AC/3 = 5. Ответ: 5. Чертёж построен по этим длинам, M лежит на окружности (проверено).
Типичная ошибка в 25: подобие △BKM ∼ △BAC (K ↔ A) ⇒ KM = 15 · 4/18 — неверно: AKMC вписан, поэтому ∠BKM = ∠C.

R05.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$A BC D$ вписан, $∠ A : ∠ C = 7 : 2$ . Найдите $∠ A$ . $14 0^{\circ}$
Дуги $A B : BC : C D : D A = 1 : 3 : 5 : 3$ . Найдите $∠ B$ . $12 0^{\circ}$
$∠ B = ∠ D = 9 0^{\circ}$ , $A B = 8$ , $BC = 15$ . Найдите $R$ . $8, 5$
$A O = 2$ , $OC = 9$ , $BO = 3$ , $O D = 6$ , $∠ A B D = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A C D$ . $5 0^{\circ}$

Вариант 2

$A BC D$ вписан, $∠ B : ∠ D = 5 : 4$ . Найдите $∠ B$ . $10 0^{\circ}$
Дуги $A B : BC : C D : D A = 2 : 1 : 4 : 5$ . Найдите $∠ C$ . $10 5^{\circ}$
$∠ A = ∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 12$ , $A D = 16$ . Найдите $R$ . $10$
$A O = 3$ , $OC = 8$ , $BO = 4$ , $O D = 6$ , $∠ B D C = 2 5^{\circ}$ . Найдите $∠ B A C$ . $2 5^{\circ}$

4 мин · практика
Вариант 1: 1) 9 частей по 20°: ∠A = 140°. 2) x = 30°: дуги 30°, 90°, 150°, 90°; ∠B = ½(CD + DA) = ½(150 + 90) = 120°. 3) AC — диаметр, AC = √(64 + 225) = 17, R = 8,5. 4) 2 · 9 = 18 = 3 · 6 ⇒ вписан ⇒ ∠ACD = ∠ABD = 50° (дуга AD).
Вариант 2: 1) 9 частей по 20°: ∠B = 100°. 2) x = 30°: дуги 60°, 30°, 120°, 150°; ∠C = ½(DA + AB) = ½(150 + 60) = 105°. 3) BD — диаметр, BD = √(144 + 256) = 20, R = 10. 4) 3 · 8 = 24 = 4 · 6 ⇒ вписан ⇒ ∠BAC = ∠BDC = 25° (дуга BC).
В задании 4 требовать запись признака. Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3». Взаимопроверка по ответам (по щелчку).

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Назовите четыре признака вписанного четырёхугольника.
На какую дугу опирается угол $A$ вписанного $A BC D$ ?
Где лежит центр окружности, описанной около трапеции?

Домашнее задание

Дуги $4 : 5 : 3 : 6$ . Найдите углы $A BC D$ .
Трапеция с основаниями $12$ и $16$ вписана в окружность радиуса $10$ . Найдите высоту.
* Докажите: если $A B \cap D C = P$ и $PB \cdot P A = PC \cdot P D$ , то $A BC D$ вписан.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_vpisannaya_i_opisannaya_okruzhnosti.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы на вопросы: сумма противоположных углов 180°; внешний угол равен противоположному внутреннему; отрезок виден под равными углами из точек по одну сторону; AO · OC = BO · OD (или PB · PA = PC · PD). Угол A — на дугу BCD, не содержащую A. Центр — на оси симметрии, может быть вне трапеции.
Ответы ДЗ: 1) x = 20°: дуги 80°, 100°, 60°, 120°; ∠A = 80°, ∠B = 90°, ∠C = 100°, ∠D = 90°. 2) Расстояния до хорд √(100 − 64) = 6 и √(100 − 36) = 8: h = 2 или 14. 3) △PBC ∼ △PDA (∠P общий, PB/PD = PC/PA) ⇒ ∠PBC = ∠PDA — внешний угол при B равен внутреннему углу D ⇒ ∠ABC + ∠ADC = 180° ⇒ вписан.
Следующий урок — практикум «Взаимное расположение двух окружностей» (GEOM8U-091).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-090 · Практикум: свойства и признаки вписанного четырёхугольника

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью», 20 ч · урок 18/20 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R05.4 «Свойства и признаки вписанного четырехугольника» → 2, 4–20 · повторение R05.1–R05.4 → 3
Результаты	ПР-10 (вписанный и центральный угол, описанная окружность четырёхугольника, применение свойств) → 2–20
Вне урока	взаимное расположение окружностей — GEOM8U-091; описанные четырёхугольники — GEOM8U-089; теорема Птолемея — сверх ФРП (слайд 12 «Дополнительно»)
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: свойства и признаки вписанного четырёхугольника

Сегодня вы научитесь

Считать углы по дугам

Применять признаки

Находить радиус

Доказывать

Вписанный четырёхугольник ABCD

Одно условие — в обе стороны

Дуги заданы отношением

Образец: вершины ABCD делят окружность на дуги AB:BC:CD:DA=3:4:5:6. Найдите углы.

Сам

Можно ли описать окружность?

Образец: углы ABCD: ∠A=3x, ∠B=4x, ∠C=6x, ∠D=5x. Можно ли описать около него окружность?

Сам

Центр — на оси симметрии трапеции

Образец: трапеция вписана, основания AD=8, BC=6, высота 7. Найдите R.

Сам

Если AO⋅OC=BO⋅OD, то ABCD вписан

Произведения равны — окружность есть

Образец: AO=4, OC=9, BO=3, OD=12, AB=5. Докажите, что ABCD вписан, и найдите CD.

Сам

Скрытая окружность в треугольнике с высотами

Четыре точки на одной окружности

Образец: ∠C=90∘, D∈AB, DE⊥AB, E∈BC. Докажите: A, C, E, D на одной окружности и ∠CDE=∠CAE.

Сам: план и обоснования

AC⋅BD=AB⋅CD+BC⋅AD

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Дуги AB:BC:CD:DA=2:3:4:3. Найдите ∠A.

б) Трапеция вписана, основания 8 и 6, высота 1. Найдите R.

в) AO=2, OC=6, BO=3, OD=4. Вписан ли ABCD?

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: доказательство и вычисление

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-090 · Практикум: свойства и признаки вписанного четырёхугольника

Вписанный четырёхугольник $A BC D$

Образец: вершины $A BC D$ делят окружность на дуги $A B : BC : C D : D A = 3 : 4 : 5 : 6$ . Найдите углы.

Образец: углы $A BC D$ : $∠ A = 3 x$ , $∠ B = 4 x$ , $∠ C = 6 x$ , $∠ D = 5 x$ . Можно ли описать около него окружность?

Образец: трапеция вписана, основания $A D = 8$ , $BC = 6$ , высота $7$ . Найдите $R$ .

Если $A O \cdot OC = BO \cdot O D$ , то $A BC D$ вписан

Образец: $A O = 4$ , $OC = 9$ , $BO = 3$ , $O D = 12$ , $A B = 5$ . Докажите, что $A BC D$ вписан, и найдите $C D$ .

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $D \in A B$ , $D E ⊥ A B$ , $E \in BC$ . Докажите: $A$ , $C$ , $E$ , $D$ на одной окружности и $∠ C D E = ∠ C A E$ .

$A C \cdot B D = A B \cdot C D + BC \cdot A D$

а) Дуги $A B : BC : C D : D A = 2 : 3 : 4 : 3$ . Найдите $∠ A$ .

б) Трапеция вписана, основания $8$ и $6$ , высота $1$ . Найдите $R$ .

в) $A O = 2$ , $OC = 6$ , $BO = 3$ , $O D = 4$ . Вписан ли $A BC D$ ?