Углы и четырёхугольники, связанные с окружностью · урок 16 из 20 · практикум

Практикум: углы между хордами и секущими

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM8U-088

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью» (20 ч), урок 16/20, единица R05.2. Тип урока — П (второй практикум по теме после GEOM8U-081): теория — короткая сводка и два разбора у доски; задачи сложнее — системы условий, комбинации формул, доказательства.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · опорный конспект 2,5 · через вписанные углы 2,5 · разбор у доски: система 3 · разбор у доски: доказательство 3,5.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2 · ОГЭ 16/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец 5 (задача из жизни) и повышенный уровень — в ДЗ; разборы у доски не сокращать.

R05.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать формулу

по положению вершины угла: внутри, на, вне круга (ПР-10)

Решать системы

когда даны два угла или отношение дуг (ПР-10)

Доказывать

равенство углов и отрезков через дуги

Решать задачи ОГЭ

16, 19, 23, 24 и задачу из жизни

повторение: GEOM8U-074, 081

Разминка · устно

Где вершина — такая формула

На чертеже: найдите $∠ A EC$ . $7 0^{\circ}$
Найдите $∠ A E D$ . $11 0^{\circ}$
Секущие из $P$ высекают дуги $13 0^{\circ}$ и $5 0^{\circ}$ . $∠ P$ ? $4 0^{\circ}$
Две касательные, меньшая дуга $14 0^{\circ}$ . $∠ P$ ? $4 0^{\circ}$
Касательная и хорда, дуга внутри угла $7 6^{\circ}$ . Угол? $3 8^{\circ}$
Хорды перпендикулярны, одна из дуг $7 0^{\circ}$ . Дуга вертикального угла? $11 0^{\circ}$

R05.2

Опорный конспект

Четыре случая — две формулы

Стороны угла	Вершина	Величина
две хорды	внутри круга	$\frac{β + α}{2}$ — полусумма
две секущие	вне круга	$\frac{β - α}{2}$ — полуразность
касательная и секущая	вне круга	$\frac{β - α}{2}$
две касательные	вне круга	$\frac{β - α}{2} = 18 0^{\circ} - α$

R05.2

Ключевые конфигурации · через вписанные углы

Три картинки, которые решают задачи

1. Хорды: сумма

$∠ A EC = ∠ A BC + ∠ BC D$

внешний угол $△ EBC$

2. Секущие: разность

$∠ P = ∠ B A D - ∠ A D C$

$∠ B A D$ — внешний угол $△ P A D$

3. Хорды $⊥$

$A C ⌢ + B D ⌢ = 18 0^{\circ}$

полусумма дуг равна $9 0^{\circ}$

R05.2

Образец → сам · две формулы на одном чертеже

Дуги заданы отношением

Образец: $A B ⌢ : BC ⌢ : C D ⌢ : D A ⌢ = 2 : 3 : 5 : 8$ . Найдите $∠ A EB$ и $∠ P$ .

$18 x = 36 0^{\circ}$ , $x = 2 0^{\circ}$ дуги $4 0^{\circ}, 6 0^{\circ}, 10 0^{\circ}, 16 0^{\circ}$

$∠ A EB = \frac{4 0 ^{\circ} + 10 0 ^{\circ}}{2} = 7 0^{\circ}$ хорды

$∠ P = \frac{16 0 ^{\circ} - 6 0 ^{\circ}}{2} = 5 0^{\circ}$ секущие

Сам

$A B ⌢ : BC ⌢ : C D ⌢ : D A ⌢ = 1 : 2 : 3 : 4$ . Найдите $∠ P$ ( $A B \cap D C$ ). $3 6^{\circ}$
В образце прямые $A D$ и $BC$ пересекаются в $Q$ . Найдите $∠ Q$ . $3 0^{\circ}$
$A B ⌢ = 5 0^{\circ}$ , $BC ⌢ = 7 0^{\circ}$ , $∠ A EB = 8 0^{\circ}$ . Найдите $C D ⌢$ и $∠ P$ . $11 0^{\circ}$ и $3 0^{\circ}$

R05.2

Образец → сам · секущие через вписанные углы

Внешний угол вместо дуг

Образец: секущие $P A B$ и $PC D$ , $∠ P = 3 5^{\circ}$ , $∠ A D C = 2 0^{\circ}$ . Найдите $∠ B A D$ и $B D ⌢$ .

$∠ B A D = 3 5^{\circ} + 2 0^{\circ} = 5 5^{\circ}$ внешний угол $△ P A D$

$B D ⌢ = 2 \cdot 5 5^{\circ} = 11 0^{\circ}$ вписанный угол

Проверка: $A C ⌢ = 4 0^{\circ}$ , $\frac{11 0 ^{\circ} - 4 0 ^{\circ}}{2} = 3 5^{\circ}$ ✓

Сам

$∠ P = 4 0^{\circ}$ , $∠ A BC = 1 5^{\circ}$ . Найдите $∠ BC D$ . $5 5^{\circ}$
$∠ B A D = 7 0^{\circ}$ , $∠ A D C = 2 5^{\circ}$ . Найдите $∠ P$ . $4 5^{\circ}$
$∠ P = 3 0^{\circ}$ , $A C ⌢ : B D ⌢ = 1 : 4$ . Найдите $∠ B A D$ . $4 0^{\circ}$

R05.2

Разбор у доски · два угла — система

Дуги по углу между хордами и углу между секущими

A, B, C, D

на окружности по порядку,

A B \cap D C = P

,

A C \cap B D = E

,

∠ P = 3 0^{\circ}

,

∠ A EB = 7 0^{\circ}

. Найдите

∠ A B D

и

∠ B A C

.

1

A B ⌢ + C D ⌢ = 14 0^{\circ}

∠ A EB

— полусумма дуг

2

A D ⌢

+

BC ⌢

= 22 0^{\circ}

вся окружность

36 0^{\circ}

3

A D ⌢

-

BC ⌢

= 6 0^{\circ}

∠ P

— полуразность дуг

4

A D ⌢ = 14 0^{\circ}

,

BC ⌢ = 8 0^{\circ}

сложили и вычли уравнения

5

∠ A B D = 7 0^{\circ}

,

∠ B A C = 4 0^{\circ}

вписанные углы на дуги

A D

и

BC

R05.2

Образец → сам · касательная и секущая

Углы треугольника по углу между касательной и секущей

Образец: $P A$ — касательная, $PBC$ — секущая, $∠ P = 4 0^{\circ}$ , $A B ⌢ : A C ⌢ = 1 : 2$ . Найдите углы $△ A BC$ .

$\frac{2 x - x}{2} = 4 0^{\circ}$ , $x = 8 0^{\circ}$ $A B ⌢ = 8 0^{\circ}$ , $A C ⌢ = 16 0^{\circ}$

$BC ⌢ = 36 0^{\circ} - 24 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$ дуга без точки $A$

$∠ C = 4 0^{\circ}$ , $∠ B = 8 0^{\circ}$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ половины дуг

Сам

$P A$ — касательная, $PBC$ — секущая, $A B ⌢ = 5 0^{\circ}$ , $A C ⌢ = 13 0^{\circ}$ . Найдите $∠ P$ и $∠ P A B$ . $4 0^{\circ}$ и $2 5^{\circ}$
$P A$ , $PB$ — касательные, $∠ P = 6 4^{\circ}$ , $C$ — на меньшей дуге $A B$ . Найдите $∠ A CB$ . $12 2^{\circ}$
$P A$ — касательная, секущая $PBC$ проходит через центр, $∠ P = 3 0^{\circ}$ . Найдите $A B ⌢$ . $6 0^{\circ}$

2,5 мин · практика
Образец: дуги AB и AC — те, что не содержат третьей точки (AB — ближняя, AC — дальняя). Проверка: 40° + 80° + 60° = 180° ✓. Заметим: ∠C = ∠PAB = 40° — угол между касательной и хордой равен вписанному на ту же дугу (пригодится в разборе у доски).
1) ∠P = (130° − 50°) : 2 = 40°; ∠PAB — угол между касательной и хордой: 50° : 2 = 25°.
2) Меньшая дуга AB = 180° − 64° = 116°; C на ней, значит, ∠ACB опирается на большую дугу 360° − 116° = 244°: ∠ACB = 122°.
3) BC — диаметр: AB + AC = 180°, AC − AB = 60° ⇒ AB = 60°. Проверка через △PAO: ∠AOP = 90° − 30° = 60° — центральный угол на дугу AB ✓.

R05.2

Разбор у доски · доказательство

Биссектриса угла между касательной и секущей

Дано:

P A

— касательная,

PBC

— секущая,

P L

— биссектриса

∠ A PC

,

K \in A B

,

L \in A C

.
Доказать:

A K = A L

.

1

∠ P A B = ∠ A CB

оба равны

\frac{1}{2} A B ⌢

: касательная и хорда, вписанный

2

∠ A K L = ∠ A P K + ∠ P A K

внешний угол

△ A P K

3

∠ A L K = ∠ L PC + ∠ PC L

внешний угол

△ P L C

4

∠ A K L = ∠ A L K

∠ A P K = ∠ L PC

(биссектриса), п. 1

5

A K = A L

△ A K L

— равнобедренный

3,5 мин · теория (учитель доказывает у доски, класс отвечает «почему?» на каждом шаге)
Цвета: фиолетовые дуги — равные половины ∠P; бирюзовые двойные — ∠PAB и ∠ACB (оба опираются на дугу AB); розовые — углы при основании KL.
Шаг 3: точка K лежит на отрезке PL, поэтому ∠ALK = ∠ALP, а это внешний угол треугольника PLC при вершине L. Шаг 2: ∠PAK = ∠PAB.
Вывод для задач ОГЭ 24: «угол между касательной и хордой = вписанному углу на ту же дугу» — главный мост между касательной и треугольником.

R05.2

Образец → сам · задача на доказательство

План и обоснование каждого шага

Образец: $M$ — середина дуги $A B$ , хорда $MC$ пересекает $A B$ в $K$ . Докажите: $∠ M K B = ∠ MBC$ .

$∠ M K B = \frac{1}{2} (MB ⌢ + A C ⌢)$ угол между хордами

$= \frac{1}{2} (M A ⌢ + A C ⌢) = \frac{1}{2} M A C ⌢$ $MB ⌢ = M A ⌢$

$= ∠ MBC$ вписанный, опирается на дугу $M A C$

Сам: план и обоснования

В образце докажите: $M B^{2} = M K \cdot MC$ . $△ M K B \sim △ MBC$ : $∠ M$ общий, $∠ M K B = ∠ MBC$
$P A$ , $PB$ — касательные, $C$ — на меньшей дуге $A B$ . Докажите: $∠ A CB = 9 0^{\circ} + \frac{1}{2} ∠ P$ . меньшая дуга $18 0^{\circ} - ∠ P$ , $∠ A CB = \frac{1}{2} (18 0^{\circ} + ∠ P)$
Хорды $A C$ и $B D$ пересекаются в $E$ , $A B = C D$ . Докажите: $EB = EC$ . $A B ⌢ = C D ⌢$ ⇒ $∠ A CB = ∠ D BC$

3 мин · практика (работа в парах: один пишет план, другой — обоснования)
Образец: ∠MKB «видит» дугу MB, а вертикальный ему ∠AKC — дугу AC. Замена MB на равную MA собирает дугу MAC целиком.
1) Треугольники MKB и MBC: ∠KMB = ∠BMC (общий), ∠MKB = ∠MBC (образец) ⇒ подобны по двум углам (R02) ⇒ MK : MB = MB : MC.
2) В четырёхугольнике OAPB: ∠AOB = 180° − ∠P — это меньшая дуга. ∠ACB вписанный и опирается на большую дугу 360° − (180° − ∠P) = 180° + ∠P, т. е. ∠ACB = 90° + ∠P : 2.
3) Равные хорды стягивают равные дуги; ∠ACB и ∠DBC — вписанные на эти дуги ⇒ равны ⇒ в △EBC углы при B и C равны ⇒ EB = EC.

R05.2

Образец → сам · задача из жизни

Под каким углом видны ворота

Образец: окружность через штанги $A$ и $B$ , $A B ⌢ = 6 0^{\circ}$ , $MN ⌢ = 2 0^{\circ}$ , $K L ⌢ = 4 0^{\circ}$ . Под каким углом видят ворота $P$ и $Q$ ?

$∠ P = \frac{6 0 ^{\circ} - 2 0 ^{\circ}}{2} = 2 0^{\circ}$ вне круга

$∠ Q = \frac{6 0 ^{\circ} + 4 0 ^{\circ}}{2} = 5 0^{\circ}$ внутри круга

Сам

Игрок $C$ стоит на самой окружности. Под каким углом он видит ворота? Сравните с $P$ и $Q$ . $3 0^{\circ}$ ; $Q > C > P$
$A B ⌢ = 8 0^{\circ}$ , игрок вне круга, $MN ⌢ = 3 0^{\circ}$ . Найдите угол. $2 5^{\circ}$
Игрок внутри круга видит ворота под углом $5 5^{\circ}$ , $A B ⌢ = 7 0^{\circ}$ . Найдите $K L ⌢$ . $4 0^{\circ}$

2,5 мин · практика
Окружность через штанги — «линия равного обзора»: все точки дуги видят ворота под одним углом (вписанный угол). Внутри круга угол больше, снаружи — меньше. Отсюда правило футболистов: бить, сместившись внутрь этой окружности.
1) 60° : 2 = 30°; 50° > 30° > 20°. 2) (80° − 30°) : 2 = 25°. 3) 2 · 55° − 70° = 40°.
Вопрос сильным: из какой точки бровки поля ворота видны под наибольшим углом? (Из точки касания бровки с окружностью через штанги — задача 9 класса.)

R05.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
Секущие: $∠ P = \frac{β + α}{2}$	вершина вне круга — разность дуг	$∠ P = \frac{β - α}{2}$
Хорды: $∠ A EC = \frac{1}{2} A C ⌢$	вершина не на окружности — это не вписанный угол	$∠ A EC = \frac{1}{2} (A C ⌢ + B D ⌢)$
Касательные, меньшая дуга $10 0^{\circ}$ ⇒ $∠ P = 5 0^{\circ}$	$∠ P$ не вписанный, вершина вне круга	$∠ P = 18 0^{\circ} - 10 0^{\circ} = 8 0^{\circ}$
$∠ A EC = \frac{1}{2} (A D ⌢ + BC ⌢)$	взяли дуги смежного угла $A E D$	дуги угла и вертикального ему: $A C$ и $B D$

R05.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Секущие $P A B$ , $PC D$ , $∠ P = 2 5^{\circ}$ , $A C ⌢ = 4 0^{\circ}$ . Найдите $B D ⌢$ .

$B D ⌢ - 4 0^{\circ} = 2 5^{\circ}$

$B D ⌢ = 6 5^{\circ}$

$B D ⌢ - 4 0^{\circ} = 2 \cdot 2 5^{\circ}$ , $B D ⌢ = 9 0^{\circ}$

б) Хорды $A B$ , $C D$ пересекаются в $E$ , $∠ A EC = 7 0^{\circ}$ , $A C ⌢ = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A D ⌢$ .

$B D ⌢ = 8 0^{\circ}$

$A D ⌢ = 36 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 8 0^{\circ} = 22 0^{\circ}$

$22 0^{\circ}$ — это $A D ⌢ + BC ⌢$ ; отдельно $A D ⌢$ не найти

в) $P A$ , $PB$ — касательные, $∠ P = 5 0^{\circ}$ , $C$ — на меньшей дуге. Найдите $∠ A CB$ .

$A B ⌢ = 13 0^{\circ}$

$∠ A CB = 13 0^{\circ} : 2 = 6 5^{\circ}$

$C$ на меньшей дуге ⇒ $∠ A CB = 23 0^{\circ} : 2 = 11 5^{\circ}$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Забыт множитель 2: из ∠P = (BD − AC) : 2 следует BD − AC = 50°, BD = 90°.
б) Первая строка верна: BD = 2 · 70° − 60° = 80°. Ошибка — «на рисунке видно»: 360° − 140° = 220° даёт сумму двух дуг AD и BC; данных для каждой по отдельности нет (можно найти только ∠AED = 110°).
в) Меньшая дуга найдена верно (180° − 50° = 130°), но вписанный угол с вершиной на меньшей дуге опирается на большую дугу 360° − 130° = 230°: ∠ACB = 115°.

R05.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаХорды пересекаются, дуги угла и вертикального $11 2^{\circ}$ и $4 8^{\circ}$ . Найдите угол. $8 0^{\circ}$
базаУгол между хордами $6 4^{\circ}$ , одна из его дуг $9 0^{\circ}$ . Найдите другую. $3 8^{\circ}$
базаСекущие из $P$ высекают дуги $14 6^{\circ}$ и $5 4^{\circ}$ . Найдите $∠ P$ . $4 6^{\circ}$

базаКасательная и секущая: дальняя дуга $16 8^{\circ}$ , ближняя $6 2^{\circ}$ . Найдите $∠ P$ . $5 3^{\circ}$
базаДве касательные, большая дуга $23 0^{\circ}$ . Найдите $∠ P$ . $5 0^{\circ}$
базаХорды $A B ⊥ C D$ , $A C ⌢ = 2 B D ⌢$ . Найдите $A C ⌢$ . $12 0^{\circ}$

R05.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A B ⌢ : BC ⌢ : C D ⌢ : D A ⌢ = 3 : 4 : 5 : 6$ , $A C \cap B D = E$ , $A B \cap D C = P$ . Найдите $∠ A E D$ и $∠ P$ . $10 0^{\circ}$ и $2 0^{\circ}$
повыш.Секущие $P A B$ и $PC D$ , хорды $A D$ и $BC$ пересекаются в $E$ , $∠ P = 2 4^{\circ}$ , $∠ A EC = 7 0^{\circ}$ . Найдите $A C ⌢$ и $B D ⌢$ . $4 6^{\circ}$ и $9 4^{\circ}$
повыш. $P A$ — касательная, $PBC$ — секущая, $∠ P = 3 6^{\circ}$ , $∠ B A C = 10 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A BC$ . $5 8^{\circ}$
повыш. $A, B, C, D$ на окружности по порядку, $A B \cap D C = P$ , $A C \cap B D = E$ . Докажите: $∠ A EB + ∠ P = 18 0^{\circ} - BC ⌢$ . сложить формулы, $A B ⌢ + C D ⌢ + D A ⌢ = 36 0^{\circ} - BC ⌢$

R05.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 16Секущие $P A B$ и $PC D$ ( $A$ , $C$ ближе к $P$ ), $A C ⌢ = 3 8^{\circ}$ , $∠ B A D = 6 1^{\circ}$ . Найдите угол $A PC$ . $42$
ОГЭ 16Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $E$ , $∠ A EC = 8 4^{\circ}$ , $∠ A BC = 3 2^{\circ}$ . Найдите угол $BC D$ . $52$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Угол между двумя секущими из одной точки равен полуразности высекаемых ими дуг.
Угол между пересекающимися хордами равен половине дуги между его сторонами.
Угол между двумя касательными из одной точки равен $18 0^{\circ}$ минус меньшая дуга между точками касания.

Ответ: 13

R05.2 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 $P A$ — касательная, секущая $PBC$ проходит через центр $O$ , $∠ A PC = 3 0^{\circ}$ , радиус $5$ . Найдите $PB$ и дугу $A B$ .

$O A ⊥ P A$ , катет против $3 0^{\circ}$ ⇒ $PO = 2 \cdot 5 = 10$

$PB = 10 - 5 = 5$ , $A B ⌢ = ∠ A OP = 6 0^{\circ}$

ОГЭ 24 Хорды $A C$ и $B D$ пересекаются в $E$ , $A B ∥ C D$ . Докажите, что $A E = BE$ .

$∠ A B D = ∠ B D C$ (накрест, $A B ∥ C D$ ), $∠ B D C = ∠ B A C$ (вписанные на дугу $BC$ )

$∠ A BE = ∠ B A E$ ⇒ $A E = BE$

2,5 мин · практика
23) Радиус в точку касания перпендикулярен касательной ⇒ △PAO прямоугольный, ∠P = 30° ⇒ PO = 2 · OA = 10, PB = PO − OB = 5. ∠AOP = 60° — центральный угол на дугу AB ⇒ AB = 60°. Проверка формулой: AC = 180° − 60° = 120°, (120° − 60°) : 2 = 30° ✓. В бланк ОГЭ — одно число по вопросу задачи (PB = 5).
24) Полное решение на 2 балла: равенство ∠ABD = ∠BDC (накрест лежащие при AB ∥ CD и секущей BD), ∠BDC = ∠BAC (вписанные, опираются на одну дугу BC) ⇒ в △ABE углы при A и B равны ⇒ треугольник равнобедренный, AE = BE. Обосновать каждое равенство.
На уроке — устное обсуждение плана, полная запись 24 — в ДЗ по желанию.

R05.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Хорды пересекаются, дуги угла и вертикального $10 2^{\circ}$ и $3 8^{\circ}$ . Найдите угол. $7 0^{\circ}$
Секущие из $P$ : $∠ P = 3 2^{\circ}$ , ближняя дуга $4 4^{\circ}$ . Найдите дальнюю. $10 8^{\circ}$
$P A$ , $PB$ — касательные, $∠ P = 7 0^{\circ}$ , $C$ — на меньшей дуге. Найдите $∠ A CB$ . $12 5^{\circ}$
$A B ⌢ : BC ⌢ : C D ⌢ : D A ⌢ = 2 : 3 : 4 : 6$ , $A B \cap D C = P$ . Найдите $∠ P$ . $3 6^{\circ}$

Вариант 2

Хорды пересекаются, дуги угла и вертикального $12 4^{\circ}$ и $4 6^{\circ}$ . Найдите угол. $8 5^{\circ}$
Секущие из $P$ : $∠ P = 2 7^{\circ}$ , ближняя дуга $3 6^{\circ}$ . Найдите дальнюю. $9 0^{\circ}$
$P A$ , $PB$ — касательные, $∠ P = 5 0^{\circ}$ , $C$ — на меньшей дуге. Найдите $∠ A CB$ . $11 5^{\circ}$
$A B ⌢ : BC ⌢ : C D ⌢ : D A ⌢ = 1 : 2 : 4 : 5$ , $A B \cap D C = P$ . Найдите $∠ P$ . $4 5^{\circ}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по вершине угла выбрать формулу?
Как найти угол между секущими без дуг?
Откуда ворота видны под большим углом?

Домашнее задание

$A B ⌢ : BC ⌢ : C D ⌢ : D A ⌢ = 1 : 3 : 5 : 6$ , $A D \cap BC = Q$ . Найдите $∠ Q$ .
$P A$ — касательная, $PBC$ — секущая, $∠ P = 4 0^{\circ}$ , $∠ B A C = 11 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A BC$ .
* В образце 4 хорда $M D$ пересекает $A B$ в $L$ . Докажите: $∠ M K L = ∠ M D C$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_centralnye_i_vpisannye_ugly.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: 1) x = 24°: AB = 24°, CD = 120°; прямые AD и BC «зажимают» дуги AB и CD: ∠Q = (120° − 24°) : 2 = 48°. 2) BC = 220°, AB + AC = 140°, AC − AB = 80° ⇒ AC = 110°, ∠ABC = 55°.
3*) Как в образце: ∠MKL = ∠MKB = ½ дуги MAC, ∠MDC — вписанный на ту же дугу MAC ⇒ равны. Значит, внешний угол четырёхугольника KLDC равен внутреннему противолежащему — это признак вписанного четырёхугольника (уроки GEOM8U-089, 090).
Следующий урок — практикум «Вписанные и описанные четырехугольники» (GEOM8U-089).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-088 · Практикум: углы между хордами и секущими

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью», 20 ч · урок 16/20 · тип П
Единицы → слайды	R05.2 «Углы между хордами и секущими» → 2, 4–20 · повторение GEOM8U-074, 081 → 3
Результаты	ПР-10 (вписанный и центральный угол, угол между касательной и хордой, применение свойств) → 4–20
Вне урока	вписанные и описанные четырёхугольники — GEOM8U-089, 090 (R05.3, R05.4; задача ДЗ* — подводка); подобие в сл. 11 — повторение R02
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: углы между хордами и секущими

Сегодня вы научитесь

Выбирать формулу

Решать системы

Доказывать

Решать задачи ОГЭ

Где вершина — такая формула

Четыре случая — две формулы

Три картинки, которые решают задачи

1. Хорды: сумма

2. Секущие: разность

3. Хорды ⊥

Дуги заданы отношением

Образец: AB⌢:BC⌢:CD⌢:DA⌢=2:3:5:8. Найдите ∠AEB и ∠P.

Сам

Внешний угол вместо дуг

Образец: секущие PAB и PCD, ∠P=35∘, ∠ADC=20∘. Найдите ∠BAD и BD⌢.

Сам

Дуги по углу между хордами и углу между секущими

Углы треугольника по углу между касательной и секущей

Образец: PA — касательная, PBC — секущая, ∠P=40∘, AB⌢:AC⌢=1:2. Найдите углы △ABC.

Сам

Биссектриса угла между касательной и секущей

План и обоснование каждого шага

Образец: M — середина дуги AB, хорда MC пересекает AB в K. Докажите: ∠MKB=∠MBC.

Сам: план и обоснования

Под каким углом видны ворота

Образец: окружность через штанги A и B, AB⌢=60∘, MN⌢=20∘, KL⌢=40∘. Под каким углом видят ворота P и Q?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Секущие PAB, PCD, ∠P=25∘, AC⌢=40∘. Найдите BD⌢.

б) Хорды AB, CD пересекаются в E, ∠AEC=70∘, AC⌢=60∘. Найдите AD⌢.

в) PA, PB — касательные, ∠P=50∘, C — на меньшей дуге. Найдите ∠ACB.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-088 · Практикум: углы между хордами и секущими

3. Хорды $⊥$

Образец: $A B ⌢ : BC ⌢ : C D ⌢ : D A ⌢ = 2 : 3 : 5 : 8$ . Найдите $∠ A EB$ и $∠ P$ .

Образец: секущие $P A B$ и $PC D$ , $∠ P = 3 5^{\circ}$ , $∠ A D C = 2 0^{\circ}$ . Найдите $∠ B A D$ и $B D ⌢$ .

Образец: $P A$ — касательная, $PBC$ — секущая, $∠ P = 4 0^{\circ}$ , $A B ⌢ : A C ⌢ = 1 : 2$ . Найдите углы $△ A BC$ .

Образец: $M$ — середина дуги $A B$ , хорда $MC$ пересекает $A B$ в $K$ . Докажите: $∠ M K B = ∠ MBC$ .

Образец: окружность через штанги $A$ и $B$ , $A B ⌢ = 6 0^{\circ}$ , $MN ⌢ = 2 0^{\circ}$ , $K L ⌢ = 4 0^{\circ}$ . Под каким углом видят ворота $P$ и $Q$ ?

а) Секущие $P A B$ , $PC D$ , $∠ P = 2 5^{\circ}$ , $A C ⌢ = 4 0^{\circ}$ . Найдите $B D ⌢$ .

б) Хорды $A B$ , $C D$ пересекаются в $E$ , $∠ A EC = 7 0^{\circ}$ , $A C ⌢ = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A D ⌢$ .

в) $P A$ , $PB$ — касательные, $∠ P = 5 0^{\circ}$ , $C$ — на меньшей дуге. Найдите $∠ A CB$ .