Углы и четырёхугольники, связанные с окружностью · урок 15 из 20 · практикум

Практикум: вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM8U-087

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью» (20 ч), урок 15/20, единица R05.1. Тип урока — П (второй практикум по R05.1 после GEOM8U-080): теория — сводка, ГМТ «отрезок виден под углом» и два разбора у доски; задания — новых типов (касательная к описанной окружности, дуги в отношении, построение, касательная и секущая, касающиеся окружности).
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · опорный конспект 2,5 · ГМТ 2,5 · разбор: касательная и секущая 3,5 · разбор ОГЭ 25 — 2,5.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 16/19 — 2 · ОГЭ 24 — 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец «построение» (сл. 8) — задания 2–3 в ДЗ; повышенный уровень — выборочно; разбор ОГЭ 25 не сокращать.

R05.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить нужную дугу

для вписанного, центрального угла и угла между касательной и хордой (ПР-10)

Строить

множество точек, из которых отрезок виден под данным углом, и треугольник по углу

Применять подобие

касательная и секущая: $D A^{2} = D B \cdot D C$ (ПР-10, ПР-5)

Доказывать и решать ОГЭ

касающиеся окружности, задачи 16, 19, 24, 25

0,5 мин · теория
ПР-10: «Владеть понятием вписанного и центрального угла, угла между касательной и хордой, описанной и вписанной окружности треугольника и четырёхугольника, применять их свойства при решении задач». ПР-5 — признаки подобия (R02), используются в разборе «касательная и секущая».
Виды деятельности ФРП R05: находить вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, вычислять углы с помощью теоремы о вписанных углах и теоремы о центральном угле.

повторение: R05.1, R05.6

Разминка · устно

Углы и дуги — без записи

На чертеже: найдите $∠ A CB$ . $5 0^{\circ}$
Найдите $∠ A D B$ . $13 0^{\circ}$
Угол между касательной и хордой $3 5^{\circ}$ . Дуга внутри угла? $7 0^{\circ}$
Точки делят окружность в отношении $1 : 2 : 3$ . Углы треугольника? $3 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$
Вписанный угол прямой. Чем является хорда? диаметром
Два угла одного треугольника равны двум углам другого. Что можно сказать? подобны

R05.1

Опорный конспект

Шесть фактов об углах и дугах

Центральный

$∠ A OB = A B ⌣$

Вписанный

$∠ A CB = \frac{1}{2} A B ⌣$

Касательная и хорда

$∠ (t, A B) = \frac{1}{2} A B ⌣$

На одну дугу

вписанные углы равны

На диаметр

$∠ A CB = 9 0^{\circ}$

По разные стороны хорды

$α + β = 18 0^{\circ}$

2,5 мин · теория
Сводка доказанного на уроке GEOM8U-073. Ученики по мини-чертежу называют факт, учитель уточняет формулировку. Розовым — дуга, на которую опирается угол.
Карточка 3: дуга — та, что лежит внутри угла между касательной и хордой. Карточка 6: вершины по разные стороны от хорды — углы опираются на дуги, дающие в сумме 360°, поэтому α + β = 180°.
Главный вопрос любой задачи урока: «на какую дугу опирается угол?» — отметить её цветом на своём чертеже.

R05.1

Образец → сам · касательная к описанной окружности

Угол с касательной = вписанный угол

Образец: $△ A BC$ вписан, $∠ A = 6 4^{\circ}$ , $∠ B = 4 8^{\circ}$ , касательная в $C$ . Найдите углы между касательной и $CB$ , $C A$ .

с $CB$ : $\frac{1}{2} CB ⌣ = ∠ A = 6 4^{\circ}$ вписанный на дугу $CB$

с $C A$ : $\frac{1}{2} C A ⌣ = ∠ B = 4 8^{\circ}$ вписанный на дугу $C A$

проверка: $6 4^{\circ} + 6 8^{\circ} + 4 8^{\circ} = 18 0^{\circ}$ развёрнутый угол

Сам

$∠ A = 5 0^{\circ}$ , $∠ C = 7 0^{\circ}$ , касательная в $B$ . Углы касательной с $B A$ и $BC$ ? $7 0^{\circ}$ и $5 0^{\circ}$
Касательная в $A$ образует с $A B$ угол $3 5^{\circ}$ , с $A C$ — $8 0^{\circ}$ . Углы $△ A BC$ ? $∠ C = 3 5^{\circ}$ , $∠ B = 8 0^{\circ}$ , $∠ A = 6 5^{\circ}$
Касательная в $C$ параллельна $A B$ , $∠ A = 5 2^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $7 6^{\circ}$ , так как $∠ A = ∠ B$

2,5 мин · практика
Образец: дуги на чертеже — CB = 128°, CA = 96°, AB = 136°; угол касательной с CB содержит дугу CB, её половина равна вписанному ∠A. Чертёж точный, углы на нём 64° и 48°.
1) С BA: ½ дуги BA = ∠C = 70°; с BC: ½ дуги BC = ∠A = 50°; ∠B = 60°, сумма 70 + 60 + 50 = 180 ✓.
2) Обратная задача: ∠C = 35° (вписанный на дугу AB), ∠B = 80° (на дугу AC), ∠A = 180° − 35° − 80° = 65°.
3) Касательная ∥ AB: угол касательной с CA равен ∠CAB (накрест лежащие) и равен ∠B (касательная и хорда) ⇒ ∠A = ∠B = 52°, ∠C = 76°, CA = CB. Вывод: касательная в C параллельна AB ⇔ C — середина дуги AB.

R05.1

Образец → сам · дуги в отношении

Сначала одна часть дуги — потом углы

Образец: $A$ , $B$ , $C$ , $D$ делят окружность: $A B ⌣ : BC ⌣ : C D ⌣ : D A ⌣ = 3 : 4 : 5 : 6$ . Найдите $∠ A BC$ и $∠ A C D$ .

$36 0^{\circ} : 18 = 2 0^{\circ}$ ; дуги $6 0^{\circ}$ , $8 0^{\circ}$ , $10 0^{\circ}$ , $12 0^{\circ}$ одна часть

$∠ A BC = \frac{1}{2} (C D ⌣ + D A ⌣) = 11 0^{\circ}$ дуга $A D C$

$∠ A C D = \frac{1}{2} A D ⌣ = 6 0^{\circ}$ вписанный

Сам

$A$ , $B$ , $C$ делят окружность в отношении $2 : 3 : 7$ . Наибольший угол $△ A BC$ ? $10 5^{\circ}$
Хорда делит окружность на дуги $5 : 13$ . Вписанные углы, опирающиеся на хорду? $5 0^{\circ}$ и $13 0^{\circ}$
$A_{1} A_{2} \dots A_{12}$ — правильный 12-угольник. Найдите $∠ A_{2} A_{5} A_{11}$ . $4 5^{\circ}$

R05.1

Ключевая конфигурация · ГМТ

Откуда отрезок виден под углом $α$

Точки по одну сторону от

A B

, из которых

A B

виден под углом

α

, лежат на дуге окружности.

1серединный перпендикуляр к

A B

центр равноудалён от

A

и

B

2луч из

A

под углом

9 0^{\circ} - α

к

A B

даёт центр

O

∠ A OB = 2 α

— центральный

3дуга с центром

O

радиуса

O A

её точки — нужное множество

4

∠ A CB = \frac{1}{2} ∠ A OB = α

вписанный угол

2,5 мин · теория
Пример на чертеже: α = 60°, значит ∠OAB = 90° − 60° = 30°, ∠AOB = 120°. Шаги на чертеже открываются вместе со строками.
Обоснование: для любой точки C дуги ∠ACB — вписанный, опирается на дугу AB, равную ∠AOB = 2α. Обратно: точки внутри круга видят AB под большим углом, вне — под меньшим (без доказательства, наглядно).
По другую сторону от AB — симметричная дуга. Вместе это всё множество точек, из которых AB виден под углом α. Частный случай α = 90°: окружность с диаметром AB.
Второй способ найти центр — через угол между касательной и хордой: касательная в A образует с AB угол α, а центр лежит на перпендикуляре к касательной в A.

R05.1

Образец → сам · построение

Треугольник по стороне, углу и высоте

Образец: постройте $△ A BC$ : $A B = 6$ см, $∠ C = 6 0^{\circ}$ , $h_{C} = 4$ см.

дуга, из которой $A B$ виден под $6 0^{\circ}$ ГМТ, $∠ O A B = 3 0^{\circ}$

прямая $∥ A B$ на расстоянии $4$ см все точки с $h_{C} = 4$

$C$ — пересечение; две точки, треугольники равны симметричны

Сам

$A B = 5$ см, $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $h_{C} = 2$ см. Какие два множества пересечь? Есть ли решение? окружность с диаметром $A B$ и прямая; есть: $2 < 2, 5$
$A B = 6$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . При каком наибольшем $h_{C}$ треугольник существует? $33 \approx 5, 2$ — равносторонний
$△ A BC$ по $A B$ , $∠ C$ и медиане $m_{C}$ : какие два множества пересечь? дугу ГМТ и окружность с центром в середине $A B$ радиуса $m_{C}$

2,5 мин · практика
Образец: R = AB : (2 sin 60°) = 2√3 ≈ 3,46 см — проверка для учителя; на уроке достаточно построить угол 30° при A транспортиром или циркулем (угол 60° пополам). Вершина дуги на высоте √3 + 2√3 = 3√3 ≈ 5,2 см > 4, поэтому прямая пересекает дугу в двух точках; треугольники ABC₁ и ABC симметричны относительно серединного перпендикуляра, т. е. решение одно с точностью до равенства.
1) ГМТ для 90° — окружность с диаметром AB, радиус 2,5; прямая на расстоянии 2 < 2,5 пересекает её — решение есть.
2) Наибольшая высота — в вершине дуги: h = √3 + 2√3 = 3√3 ≈ 5,2; тогда CA = CB, треугольник равносторонний.
3) Медиана m_C — расстояние от C до середины M отрезка AB, поэтому C на окружности (M; m_C); пересекаем её с дугой ГМТ.

R05.1 · R02

Разбор у доски · доказательство

Касательная и секущая: $D A^{2} = D B \cdot D C$

Дано:

D A

— касательная, секущая

D C

пересекает окружность в

B

и

C

.
Доказать:

D A^{2} = D B \cdot D C

.

1

∠1 = \frac{1}{2} A B ⌣

угол между касательной

D A

и хордой

A B

2

∠2 = \frac{1}{2} A B ⌣

вписанный

∠ A CB

на ту же дугу

3

△ D A B

\sim

△ D C A

∠1 = ∠2

,

∠ D

— общий

4

\frac{D A}{D C} = \frac{D B}{D A} = \frac{A B}{C A}

\Rightarrow

D A^{2} = D B \cdot D C

3,5 мин · теория (учитель доказывает у доски, класс отвечает «почему?» на каждом шаге)
Ключ — угол между касательной и хордой (R05.1) и признак подобия по двум углам (R02). Соответствие вершин: D → D, A → C, B → A (угол 1 при A соответствует углу 2 при C) — проговорить, это главная ошибка в записи отношений.
Шаг 3 открывает заливку треугольников на чертеже: фиолетовый DAB и розовый DCA.
Следствия: 1) DA² = DB · DC — квадрат касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть; 2) AB : CA = DA : DC — пригодится в ОГЭ 25 и в ДЗ.

R05.1

Образец → сам · касательная и секущая

Квадрат касательной = секущая × внешняя часть

Образец: $D A$ — касательная, $D B = 4$ , $BC = 5$ . Найдите $D A$ и $A C : A B$ .

$D C = 4 + 5 = 9$ вся секущая

$D A^{2} = 4 \cdot 9 = 36$ , $D A = 6$ $D A^{2} = D B \cdot D C$

$A C : A B = D A : D B = 3 : 2$ $△ D C A \sim △ D A B$

Сам

$D A = 12$ , $D B = 8$ . Найдите $BC$ . $10$
$D A = 10$ , $BC = 15$ . Найдите $D B$ . $5$
Касательная в $A$ к описанной окружности $△ A BC$ пересекает $CB$ в $D$ ; $A B = 6$ , $A C = 9$ , $BC = 10$ . Найдите $D B$ . $8$

R05.1

Образец → сам · задача на доказательство

Касающиеся окружности: план и обоснования

Образец: окружности касаются внешним образом в $K$ , прямая через $K$ пересекает их в $A$ и $B$ . Докажите: касательные $a$ и $b$ в $A$ и $B$ параллельны.

$t$ — общая касательная в $K$ ; $∠1 = ∠2$ оба $= \frac{1}{2}$ дуги $A K$

$∠2 = ∠3$ ; $∠3 = ∠4$ вертикальные; $\frac{1}{2}$ дуги $B K$

$∠1 = ∠4$ $\Rightarrow$ $a ∥ b$ накрест лежащие, секущая $A B$

Сам

Окружности касаются внутренним образом в $K$ , прямая через $K$ пересекает их в $A$ и $B$ . Докажите: касательные в $A$ и $B$ параллельны. углы с общей касательной в $K$ — соответственные
В образце докажите, что $O_{1} A ∥ O_{2} B$ , не используя касательные. $△ O_{1} A K$ , $△ O_{2} B K$ равнобедренные, углы при $K$ вертикальные
Окружности пересекаются в $P$ и $Q$ , прямая через $P$ пересекает их в $A$ и $B$ . Докажите: $∠ A QB$ не зависит от прямой. $∠ Q A P$ , $∠ QBP$ — вписанные на постоянные дуги $QP$

3 мин · практика
Образец: связь с уроками GEOM8U-078–079 (касание окружностей, общая касательная). Чертёж точный: r₁ : r₂ = 3 : 2, касательные a и b параллельны (проверено вычислением). Угол 1 — между a и хордой AK, угол 2 — между t и той же хордой KA: оба равны половине дуги AK в первой окружности.
1) Внутреннее касание: те же рассуждения, только углы при K у прямых a и b с общей касательной t совпадают (один и тот же угол между t и прямой AB), поэтому получаются соответственные углы.
2) O₁A = O₁K, O₂B = O₂K ⇒ ∠O₁AK = ∠O₁KA = ∠O₂KB = ∠O₂BK (вертикальные при K, точки O₁, K, O₂ на одной прямой) — накрест лежащие при прямых O₁A, O₂B и секущей AB.
3) ∠QAB = ½ дуги QP первой окружности, ∠QBA = ½ дуги QP второй — обе дуги не зависят от прямой ⇒ углы △AQB постоянны (при P между A и B). Сильным — разобрать и другое расположение.

R05.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
Угол между касательной и хордой $4 0^{\circ}$ ⇒ дуга $4 0^{\circ}$	угол равен половине дуги, как вписанный	дуга внутри угла $8 0^{\circ}$
$D A^{2} = D B \cdot BC$	берётся вся секущая, а не её внутренняя часть	$D A^{2} = D B \cdot D C$
$△ D A B \sim △ D C A$ ⇒ $\frac{D A}{D B} = \frac{A B}{C A}$	не то соответствие: $D A \to D C$ , $D B \to D A$ , $A B \to C A$	$\frac{D A}{D B} = \frac{C A}{A B}$
« $A B$ виден под $6 0^{\circ}$ из любой точки окружности через $A$ , $B$ »	с другой дуги угол $18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}$	только с одной дуги (и симметричной ей)

1,5 мин · практика (ученики сами объясняют «почему», учитель открывает строку)
Строка 1 — путают с центральным углом. Строка 2 — внутренняя часть BC вместо всей секущей DC. Строка 3 — «не тот угол / не та сторона в соответствии подобия»: записывать подобие только по порядку соответствующих вершин (D–D, A–C, B–A). Из DA : DC = DB : DA = AB : CA следует DA : DB = DC : DA = CA : AB, а не AB : CA.
Строка 4 — ГМТ: на окружности через A и B угол 60° только на одной дуге, на другой — 120°; полное ГМТ — две дуги, симметричные относительно AB.

R05.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $D A$ — касательная, $D B = 3$ , $BC = 9$ . Найдите $D A$ .

$D A^{2} = 3 \cdot 9 = 27$

$D A = 33$

$D C = 12$ , $D A^{2} = 36$ , $D A = 6$

б) Касательная в $C$ образует с $CB$ угол $7 0^{\circ}$ , $∠ B = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A$ $△ A BC$ .

$∠ A = 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$

$∠ A = \frac{1}{2} CB ⌣ = 7 0^{\circ}$ , а $∠ C = 6 0^{\circ}$

в) Доказательство $a ∥ b$ (образец про касающиеся окружности):

$∠1 = \frac{1}{2} A K ⌣$ , $∠4 = \frac{1}{2} B K ⌣$ , дуги равны ⇒ $a ∥ b$

почему дуги равны? Нужна общая касательная: $∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Взята внутренняя часть секущей: DC = DB + BC = 12, DA² = 3 · 12 = 36, DA = 6.
б) Ученик решил, что 70° — это ∠C. Угол между касательной в C и хордой CB равен вписанному углу на дугу CB, т. е. ∠A = 70°; тогда ∠C = 180° − 70° − 50° = 60°.
в) Пропущен шаг: дуги AK и BK лежат на разных окружностях, их равенство (в градусах) надо доказать — через общую касательную t и вертикальные углы. «На рисунке видно» — не обоснование.

R05.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаКасательная в $A$ и хорда $A B$ образуют угол $2 8^{\circ}$ . Найдите $∠ A OB$ . $5 6^{\circ}$
базаТот же угол равен $11 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A OB$ . $13 0^{\circ}$
база $D A$ — касательная, $D B = 2$ , $D C = 8$ . Найдите $D A$ . $4$

базаДуги $A B : BC : C A = 4 : 5 : 9$ . Наименьший угол $△ A BC$ ? $4 0^{\circ}$
база $A B$ — диаметр, касательная в $A$ образует с хордой $A C$ угол $6 4^{\circ}$ . Найдите $∠ B A C$ . $2 6^{\circ}$
базаИз точки $C$ отрезок $A B = 8$ виден под прямым углом. Наибольшее расстояние от $C$ до $A B$ ? $4$

R05.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Касательная в $A$ к описанной окружности $△ A BC$ пересекает прямую $CB$ в $D$ ( $B$ между $D$ и $C$ ), $∠ A D C = 2 4^{\circ}$ , $∠ A CB = 3 8^{\circ}$ . Найдите $∠ B A C$ . $8 0^{\circ}$
повыш.Окружности касаются внешним образом в $K$ , $A B$ — их общая внешняя касательная ( $A$ , $B$ — точки касания). Найдите $∠ A K B$ . $9 0^{\circ}$
повыш.Отрезок $A B = 10$ виден из точки $C$ под углом $3 0^{\circ}$ . Найдите радиус окружности, на дуге которой лежит $C$ . $10$
из жизниНападающий бежит вдоль прямой. Где ворота видны под наибольшим углом? в точке касания этой прямой с окружностью через стойки ворот

2,5 мин · практика
1) ∠DAB = ∠ACB = 38° (касательная и хорда AB; вписанный на ту же дугу). ∠ABC — внешний угол △ABD: 38° + 24° = 62°. ∠BAC = 180° − 62° − 38° = 80°.
2) Общая касательная в K пересекает AB в M: MA = MK = MB (отрезки касательных) ⇒ K на окружности с диаметром AB ⇒ ∠AKB = 90° (связь с GEOM8U-079).
3) Центральный ∠AOB = 2 · 30° = 60°, △AOB равносторонний ⇒ R = AB = 10.
4) Задача Региомонтана: точки прямой внутри окружности через стойки видят ворота под большим углом, вне — под меньшим. Наибольший угол — у окружности через стойки, касающейся прямой бега: прямая не заходит внутрь, а точка касания лежит на окружности. Обсудить устно, без вычислений.

R05.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 16Касательная в точке $A$ к окружности с центром $O$ и хорда $A B$ образуют угол $3 4^{\circ}$ . Найдите угол $OB A$ . $56$
ОГЭ 16Точки $A$ , $B$ , $C$ , $D$ лежат на окружности в указанном порядке, $∠ A B D = 4 7^{\circ}$ , $∠ C A D = 3 1^{\circ}$ . Найдите угол $A BC$ . $78$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны.
Если угол между касательной и хордой прямой, то хорда — диаметр.
Центральный угол вдвое больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

Ответ: 23

R05.1 · ОГЭ, ч. 2

Разбор у доски · ОГЭ 25

Окружность касается $A B$ , центр на $A C$

Окружность с центром на

A C

проходит через

C

и касается

A B

в точке

B

. Найдите диаметр, если

A B = 9

,

A C = 15

.

1

A B^{2} = A K \cdot A C

,

A K = 81 : 15 = 5, 4

касательная и секущая

2

C K = 15 - 5, 4 = 9, 6

C K

— диаметр: центр на

A C

✓иначе:

(15 - r)^{2} = 9^{2} + r^{2}

,

r = 4, 8

OB ⊥ A B

, теорема Пифагора в

△ A BO

2,5 мин · теория (учитель решает у доски двумя способами)
Способ 1 — по теореме о касательной и секущей (слайд 9): секущая AC пересекает окружность в K и C, AB² = AK · AC ⇒ AK = 81 : 15 = 5,4; KC = 9,6 — диаметр, так как центр лежит на AC. Ответ: 9,6.
Способ 2 (проверка): OB ⟂ AB (радиус в точку касания), AO = 15 − r; (15 − r)² = 81 + r² ⇒ 225 − 30r = 81 ⇒ r = 4,8, d = 9,6 ✓. Чертёж точный: AB = 9, OB = 4,8.
Критерии ОГЭ 25 (2 балла): верный ход, обоснованы касательная ⟂ радиусу или теорема о касательной и секущей, верный ответ.

R05.1 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линия 24

Две прямые через точку касания

ОГЭ 24 Окружности касаются внешним образом в

K

. Две прямые через

K

пересекают первую окружность в

A

и

C

, вторую — в

B

и

D

. Докажите:

A C ∥ B D

.

1

t

— общая касательная в

K

;

∠ K A C

=

угол

(t, K C)

оба

= \frac{1}{2}

дуги

K C

2угол

(t, K C)

=

угол

(t, KD)

=

∠ K B D

вертикальные; касательная и хорда

KD

3

∠ K A C = ∠ K B D

\Rightarrow

A C ∥ B D

накрест лежащие при секущей

A B

2,5 мин · практика (ученики составляют план в парах, учитель открывает шаги)
Это обобщение образца со слайда 11: там прямая одна, здесь две. Чертёж точный (r₁ : r₂ = 3 : 2), AC ∥ BD проверено вычислением.
Полное решение на 2 балла: назвать общую касательную в K; ∠KAC — вписанный в первую окружность, опирается на дугу KC, равен углу между t и хордой KC; этот угол вертикален углу между t и KD, который равен вписанному ∠KBD во второй окружности; ∠KAC = ∠KBD — накрест лежащие при прямых AC, BD и секущей AB ⇒ AC ∥ BD.
Запись полностью — в ДЗ по желанию (критерий: каждое равенство углов с обоснованием).

R05.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Касательная в $C$ и хорда $CB$ образуют угол $4 2^{\circ}$ . Найдите $∠ BOC$ . $8 4^{\circ}$
$A$ , $B$ , $C$ делят окружность в отношении $3 : 4 : 5$ . Наибольший угол $△ A BC$ ? $7 5^{\circ}$
$D A$ — касательная, $D B = 4$ , $BC = 12$ . Найдите $D A$ . $8$
$△ A BC$ вписан, $∠ B = 7 0^{\circ}$ , $∠ C = 4 5^{\circ}$ . Угол между касательной в $A$ и хордой $A B$ (дуга $A B$ внутри угла)? $4 5^{\circ}$

Вариант 2

Касательная в $C$ и хорда $CB$ образуют угол $3 7^{\circ}$ . Найдите $∠ BOC$ . $7 4^{\circ}$
$A$ , $B$ , $C$ делят окружность в отношении $2 : 3 : 4$ . Наибольший угол $△ A BC$ ? $8 0^{\circ}$
$D A$ — касательная, $D B = 5$ , $BC = 15$ . Найдите $D A$ . $10$
$△ A BC$ вписан, $∠ A = 6 5^{\circ}$ , $∠ C = 5 0^{\circ}$ . Угол между касательной в $B$ и хордой $BC$ (дуга $BC$ внутри угла)? $6 5^{\circ}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чему равен угол между касательной и хордой?
Как найти центр дуги, из которой $A B$ виден под углом $α$ ?
Какие треугольники подобны в теореме о касательной и секущей?

Домашнее задание

Касательная в $A$ к описанной окружности $△ A BC$ пересекает $CB$ в $D$ ; $A B = 4$ , $A C = 6$ , $BC = 5$ . Найдите $D B$ .
Постройте $△ A BC$ : $A B = 7$ см, $∠ C = 4 5^{\circ}$ , $h_{C} = 6$ см.
* $D A$ — касательная, $D BC$ — секущая. Докажите: $A B \cdot D C = A C \cdot D A$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_centralnye_i_vpisannye_ugly.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-087 · Практикум: вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью», 20 ч · урок 15/20 · тип П
Единицы → слайды	R05.1 «Вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой» → 2, 4–20 · повторение R05.1, R05.6 → 3
Результаты	ПР-10 (вписанный и центральный угол, угол между касательной и хордой) → 2–20 · ПР-5 (признаки подобия) → 9, 10, 17
Вне урока	углы между хордами и секущими — GEOM8U-088; вписанные и описанные четырёхугольники — GEOM8U-089–090; первый практикум по R05.1 — GEOM8U-080 (задания не повторяются)
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой

Сегодня вы научитесь

Находить нужную дугу

Строить

Применять подобие

Доказывать и решать ОГЭ

Углы и дуги — без записи

Шесть фактов об углах и дугах

Центральный

Вписанный

Касательная и хорда

На одну дугу

На диаметр

По разные стороны хорды

Угол с касательной = вписанный угол

Образец: △ABC вписан, ∠A=64∘, ∠B=48∘, касательная в C. Найдите углы между касательной и CB, CA.

Сам

Сначала одна часть дуги — потом углы

Образец: A, B, C, D делят окружность: AB⌣:BC⌣:CD⌣:DA⌣=3:4:5:6. Найдите ∠ABC и ∠ACD.

Сам

Откуда отрезок виден под углом α

Треугольник по стороне, углу и высоте

Образец: постройте △ABC: AB=6 см, ∠C=60∘, hC​=4 см.

Сам

Касательная и секущая: DA2=DB⋅DC

Квадрат касательной = секущая × внешняя часть

Образец: DA — касательная, DB=4, BC=5. Найдите DA и AC:AB.

Сам

Касающиеся окружности: план и обоснования

Образец: окружности касаются внешним образом в K, прямая через K пересекает их в A и B. Докажите: касательные a и b в A и B параллельны.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) DA — касательная, DB=3, BC=9. Найдите DA.

б) Касательная в C образует с CB угол 70∘, ∠B=50∘. Найдите ∠A △ABC.

в) Доказательство a∥b (образец про касающиеся окружности):

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Окружность касается AB, центр на AC

Две прямые через точку касания

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-087 · Практикум: вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой

Образец: $△ A BC$ вписан, $∠ A = 6 4^{\circ}$ , $∠ B = 4 8^{\circ}$ , касательная в $C$ . Найдите углы между касательной и $CB$ , $C A$ .

Образец: $A$ , $B$ , $C$ , $D$ делят окружность: $A B ⌣ : BC ⌣ : C D ⌣ : D A ⌣ = 3 : 4 : 5 : 6$ . Найдите $∠ A BC$ и $∠ A C D$ .

Откуда отрезок виден под углом $α$

Образец: постройте $△ A BC$ : $A B = 6$ см, $∠ C = 6 0^{\circ}$ , $h_{C} = 4$ см.

Касательная и секущая: $D A^{2} = D B \cdot D C$

Образец: $D A$ — касательная, $D B = 4$ , $BC = 5$ . Найдите $D A$ и $A C : A B$ .

Образец: окружности касаются внешним образом в $K$ , прямая через $K$ пересекает их в $A$ и $B$ . Докажите: касательные $a$ и $b$ в $A$ и $B$ параллельны.

а) $D A$ — касательная, $D B = 3$ , $BC = 9$ . Найдите $D A$ .

б) Касательная в $C$ образует с $CB$ угол $7 0^{\circ}$ , $∠ B = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A$ $△ A BC$ .

в) Доказательство $a ∥ b$ (образец про касающиеся окружности):

Окружность касается $A B$ , центр на $A C$