Углы и четырёхугольники, связанные с окружностью · урок 14 из 20 · практикум

Практикум: общие касательные к двум окружностям

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM8U-086

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью» (20 ч), урок 14/20, единица R05.7. Тип урока — П (практикум после урока GEOM8U-079).
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · опорный конспект 2,5 · ключевые конфигурации 2 · разбор у доски: лемма MN = AB 3,5 · разбор у доски: ОГЭ 25 3,5.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 16/19 — 2 · ОГЭ 24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец 4 (построение) — выполнить дома по слайду; ОГЭ 25 разобрать только пункт а). Самостоятельную не сокращать.

R05.7

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Считать через трапецию

отрезки касательных, площадь и периметр $O_{1} A B O_{2}$ , обратные задачи (ПР-9, ПР-10)

Находить углы

между общими касательными — из прямоугольного треугольника $O_{1} H O_{2}$

Доказывать

свойства отрезков касательных и касающихся окружностей, применять подобие (ПР-5)

Строить и применять

общую касательную циркулем и линейкой; задачи из жизни и ОГЭ 24–25

0,5 мин · теория
ПР-10: «Владеть понятием вписанного и центрального угла, угла между касательной и хордой, описанной и вписанной окружности… применять их свойства при решении задач».
ПР-9: теорема Пифагора для геометрических и практических задач, «строить математическую модель… самостоятельно проводить чертёж». ПР-5: признаки подобия, отношения пропорциональности в прямоугольных треугольниках.
Практикум: теория только сводкой (сл. 4–5), всё остальное — решение задач. Новые типы по сравнению с GEOM8U-079: площадь трапеции центров, угол между касательными, лемма MN = AB, диаметр через точку касания, внутренняя касательная построением, брёвна.

повторение: GEOM8U-079

Разминка · устно

Касательные за 10 секунд

$R = 5$ , $r = 2$ , $d = 10$ . Сколько общих касательных? $4$
$R = 5$ , $r = 2$ , $d = 7$ . Сколько? $3$ — касание внешнее
Для внешней касательной — $R - r$ или $R + r$ ? $R - r$
$R = 7$ , $r = 2$ , $d = 13$ . Отрезок $A B$ ? $12$
$R = 7$ , $r = 1$ , $d = 10$ . Отрезок $C D$ ? $6$
Радиусы $4$ и $1$ , касание внешнее. $A B$ ? $4$
Радиусы равны, $d = 10$ . Отрезок $A B$ ? $10$

R05.7

Опорный конспект

Две формулы — два прямоугольных треугольника

Внешняя касательная $A B$

$A B^{2} = d^{2} - (R - r)^{2}$

есть при $d \geq R - r$

Внутренняя касательная $C D$

$C D^{2} = d^{2} - (R + r)^{2}$

есть при $d \geq R + r$

Касание внешнее: $d = R + r$

$A B = 2 R r$ ; число общих касательных при уменьшении $d$ : $4 \to 3 \to 2 \to 1 \to 0$

R05.7

Ключевые конфигурации

Три картинки, которые решают задачи

Трапеция центров

$O_{1} A B O_{2}$ — прямоугольная трапеция: основания $R$ и $r$ , высота $A B$

Касание: прямой угол

$M A = M K = MB$ ⇒ $∠ A K B = 9 0^{\circ}$

Подобие в точке $P$

$△ P O_{1} A \sim △ P O_{2} B$ ⇒ $P O_{1} : P O_{2} = R : r$

2 мин · теория
1) Радиусы в точки касания перпендикулярны AB ⇒ O₁A ∥ O₂B ⇒ трапеция с прямыми углами A и B; её высота — AB, боковая сторона O₁O₂ = d. Отсюда площадь (R + r)/2 · AB.
2) Касательная в K пересекает AB в M: MA = MK = MB (отрезки касательных из одной точки) ⇒ медиана KM равна половине AB ⇒ ∠AKB = 90°.
3) Внешние касательные пересекаются в P на прямой O₁O₂ (центры на биссектрисе угла P); треугольники подобны по острому углу. Для внутренних — точка Q внутри O₁O₂, тоже QO₁ : QO₂ = R : r.

R05.7

Образец → сам · трапеция центров

Площадь и периметр через отрезок касательной

Образец: $R = 9$ , $r = 4$ , $d = 13$ , $A B$ — общая внешняя касательная. Найдите $S$ и $P$ четырёхугольника $O_{1} A B O_{2}$ .

$A B^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 144$ , $A B = 12$ $R - r = 5$

$O_{1} A ∥ O_{2} B$ , оба $⊥ A B$ трапеция, высота $A B$

$S = \frac{9 + 4}{2} \cdot 12 = 78$ , $P = 9 + 12 + 4 + 13 = 38$

Сам

$R = 7$ , $r = 2$ , $d = 13$ . Найдите площадь $O_{1} A B O_{2}$ . $54$
$S_{O_{1} A B O_{2}} = 66$ , $R = 8$ , $r = 3$ . Найдите $d$ . $13$
Радиусы $8$ и $2$ , окружности касаются внешне. Найдите площадь $O_{1} A B O_{2}$ . $40$

R05.7

Образец → сам · угол между касательными

Катет, равный половине гипотенузы

Образец: окружности радиусов $6$ и $2$ касаются внешне. Найдите угол между их общими внешними касательными.

$d = 6 + 2 = 8$ , $O_{1} H = 6 - 2 = 4$ касание внешнее

$O_{1} H = \frac{d}{2}$ ⇒ $∠ O_{1} O_{2} H = 3 0^{\circ}$ катет против угла $3 0^{\circ}$

$A B ∥ H O_{2}$ , по симметрии угол $= 2 \cdot 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$

Сам

$R = 5$ , $r = 1$ , $d = 8$ . Угол между общими внешними касательными? $6 0^{\circ}$
$R = 3$ , $r = 1$ , $d = 8$ . Угол между общими внутренними касательными? $6 0^{\circ}$ ( $O_{1} H_{1} = R + r = 4$ )
Окружности касаются внешне, угол между внешними касательными $6 0^{\circ}$ , $r = 4$ . Найдите $R$ . $12$

2,5 мин · практика
Ключ: касательная AB параллельна HO₂ (ABO₂H — прямоугольник), значит угол между AB и линией центров равен ∠O₁O₂H. Касательные симметричны относительно O₁O₂ — угол между ними вдвое больше.
1) R − r = 4 = d/2 ⇒ 30°, ответ 60°. 2) Для внутренней катет O₁H₁ = R + r = 4 = d/2 ⇒ 30° с линией центров, между касательными 60°.
3) Угол с линией центров 30° ⇒ R − r = d/2 = (R + r)/2 ⇒ R = 3r = 12.
Сильным: при каком отношении R : r угол между внешними касательными у касающихся окружностей прямой? (Повышенный уровень, сл. 15.)

R05.7

Разбор у доски · доказательство

Лемма: отрезок внутренней касательной $MN = A B$

Дано:

A B

,

A_{1} B_{1}

— общие внешние касательные; внутренняя

C D

пересекает их в

M

и

N

.
Доказать:

MN = A B

.

1

M A = MC

,

MB = M D

отрезки касательных из одной точки

M

2

A B = M A + MB = MC + M D

M

лежит на отрезке

A B

3

A_{1} B_{1} = NC + N D

так же для точки

N

4

A B + A_{1} B_{1} = (MC + CN) + (M D + D N) = 2 MN

C

и

D

лежат на отрезке

MN

5

MN = A B

A B = A_{1} B_{1}

(обе

= d^{2} - (R - r)^{2}

)

R05.7, R05.6

Образец → сам · задача на доказательство

Прямая $A K$ проходит через конец диаметра

Образец: окружности касаются внешне в $K$ , $A B$ — общая касательная, $A K$ вторично пересекает вторую окружность в $B_{1}$ . Докажите: $B B_{1}$ — диаметр.

$M A = M K = MB$ ⇒ $∠ A K B = 9 0^{\circ}$ касательные из $M$ ; медиана $= \frac{1}{2} A B$

$∠ B K B_{1} = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ смежные углы

вписанный $∠ B K B_{1} = 9 0^{\circ}$ ⇒ $B B_{1}$ — диаметр

Сам

Докажите: прямая $B K$ проходит через $A_{1}$ — конец диаметра $A A_{1}$ первой окружности. $∠ A K A_{1} = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ}$ ⇒ $A A_{1}$ — диаметр
Докажите: $A A_{1} ∥ B B_{1}$ . оба $⊥ A B$ (радиус $⊥$ касательной)
$R = 6$ , $r = 2$ . Найдите $A K$ и $K B_{1}$ . $6$ и $2$

3 мин · практика (в парах: один пишет план, другой — обоснования)
Обоснование шага 3: вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой; и обратно — прямой вписанный угол опирается на диаметр (GEOM8U-073/080).
1) Пусть BK вторично пересекает первую окружность в A₁: ∠AKA₁ = 90° (смежный с ∠AKB) ⇒ AA₁ — диаметр.
2) AA₁ и BB₁ — диаметры, проведённые в точки касания, оба перпендикулярны AB ⇒ параллельны.
3) AB = 2√12, BB₁ = 4, △ABB₁ прямоугольный (∠B = 90°): AB₁² = 48 + 16 = 64, AB₁ = 8. BK — высота к гипотенузе: AK = AB²/AB₁ = 48/8 = 6, KB₁ = BB₁²/AB₁ = 16/8 = 2. Заметить: AK : KB₁ = R : r.

R05.7

Образец → сам · построение циркулем и линейкой

Общая внутренняя касательная

Образец: постройте общую внутреннюю касательную окружностей $(O_{1}; R)$ и $(O_{2}; r)$ .

$(O_{1}; R + r)$ ∩ окружность на диаметре $O_{1} O_{2}$ $= C$

$O_{1} C$ ∩ данная = $A$ ; $O_{2} B ∥ C A$ , $O_{2} B = r$ , в обратную сторону

$A C O_{2} B$ — прямоугольник ⇒ $A B ⊥ O_{1} A$ , $A B ⊥ O_{2} B$ $A B$ — касательная

Сам

При каком условии построение возможно? $d \geq R + r$ (при $d = R + r$ — одна касательная)
Сколько точек $C$ даёт шаг 1? Что это значит? две — две внутренние касательные
Постройте в тетради: $R = 3$ см, $r = 1$ см, $d = 5$ см. Измерьте отрезок внутренней касательной. $3$ см: $5^{2} - 4^{2} = 9$

2,5 мин · практика (циркуль и линейка у всех)
Идея — как для внешней касательной (GEOM8U-079), но вспомогательная окружность радиуса R + r: «перенести» касательную параллельно в O₂, она станет касательной O₂C к окружности (O₁; R + r).
Почему ACO₂B — прямоугольник: CA = r = O₂B, CA ∥ O₂B (по построению) ⇒ параллелограмм (признак 1); ∠C = 90° ⇒ прямоугольник. Значит ∠A = ∠B = 90°.
1) Точка O₂ должна лежать вне окружности (O₁; R + r) или на ней: d ≥ R + r. 2) Окружность на диаметре O₁O₂ пересекает вспомогательную в двух точках (при d > R + r). 3) CD² = 25 − 16 = 9 — проверка измерением.

R05.7 · практика

Образец → сам · задача из жизни

Брёвна на земле: $A B = 2 R r$

Образец: два бревна радиусов $36$ см и $16$ см лежат на земле вплотную. Найдите расстояние $A B$ между линиями их касания с землёй.

земля — общая касательная, $d = 36 + 16 = 52$

$A B^{2} = 5 2^{2} - 2 0^{2} = 2304$ $R - r = 20$

$A B = 48$ см проверка: $2 36 \cdot 16 = 2 \cdot 24$

Сам

Два бревна радиуса $25$ см вплотную. Найдите $A B$ . $50$ см
Трубы радиусов $9$ дм и $4$ дм лежат вплотную. Найдите $A B$ . $12$ дм
Между брёвнами $36$ см и $16$ см положили третье, касающееся земли и обоих брёвен. Его радиус? $5, 76$ см

R05.7

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$S_{O_{1} A B O_{2}} = \frac{R + r}{2} \cdot d$	$d = O_{1} O_{2}$ — боковая сторона, не высота	$S = \frac{R + r}{2} \cdot A B$
Внешние касательные пересекаются в точке, делящей $O_{1} O_{2}$ в отношении $R : r$	внутри отрезка — точка $Q$ внутренних касательных	$P$ — на продолжении: $P O_{1} : P O_{2} = R : r$ , $P O_{1} = P O_{2} + d$
Внутренняя касательная есть при $d > R - r$	она разделяет окружности: им нельзя пересекаться	нужно $d \geq R + r$

R05.7

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Радиусы $12$ и $3$ , касание внешнее. Найдите $S_{O_{1} A B O_{2}}$ .

$d = 15$ , $A B^{2} = 225 - 81 = 144$ , $A B = 12$

$S = \frac{12 + 3}{2} \cdot 15 = 112, 5$

$S = \frac{12 + 3}{2} \cdot 12 = 90$ — высота $A B$

б) $R = 5$ , $r = 3$ , $d = 16$ . Угол между внутренними касательными?

$O_{1} H_{1} = 5 + 3 = 8 = \frac{d}{2}$ ⇒ угол с $O_{1} O_{2}$ равен $3 0^{\circ}$

Ответ: $3 0^{\circ}$

между касательными $2 \cdot 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$

в) $R = 8$ , $r = 2$ , $d = 15$ . Внешние касательные пересекаются в $P$ . Найдите $P O_{2}$ .

$P O_{2} = 15 \cdot \frac{2}{8 + 2} = 3$

$P O_{1} = 4 P O_{2} = P O_{2} + 15$ ⇒ $P O_{2} = 5$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика»; 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Первая строка верна (AB = 2√36 = 12), ошибка — высота трапеции: S = 7,5 · 12 = 90.
б) Найден угол между касательной и линией центров, а спрашивают угол между двумя касательными (они симметричны относительно O₁O₂): 60°.
в) Ученик разделил O₁O₂ в отношении 4 : 1 — это точка Q внутренних касательных (QO₂ = 3). Точка P — на продолжении: PO₁ : PO₂ = 4, PO₂ + 15 = 4PO₂, PO₂ = 5.

R05.7

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $R = 7$ , $r = 1$ , $d = 10$ . Отрезки внешней и внутренней касательных? $8$ и $6$
базаРадиусы $9$ и $1$ , касание внешнее. Найдите $A B$ . $6$
база $R = 11$ , $r = 6$ , $d = 13$ . Найдите $S_{O_{1} A B O_{2}}$ . $102$

база $R = 7$ , $r = 3$ , $d = 4$ . Сколько общих касательных? $1$
база $R = 4$ , $r = 2$ , $d = 12$ . Угол между внутренними касательными? $6 0^{\circ}$
базаРадиусы $12$ и $4$ , касание внешнее; внешние касательные пересекаются в $P$ . Найдите $P O_{2}$ . $8$

R05.7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Отрезки общих внешней и внутренней касательных $24$ и $10$ , $d = 26$ . Найдите радиусы. $17$ и $7$
повыш. $R = 11$ , $r = 4$ , $d = 25$ . Внутренняя касательная пересекает внешнюю $A B$ в $M$ . На какие части $M$ делит $A B$ ? $22$ и $2$
повыш.Окружности радиусов $4$ и $1$ касаются внешне. Найдите радиус окружности, касающейся обеих и их общей внешней касательной. $\frac{4}{9}$
повыш.Окружности касаются внешне, угол между общими внешними касательными $9 0^{\circ}$ . Найдите $R : r$ . $3 + 22$

R05.7 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 16Радиусы двух окружностей $10$ и $5$ , расстояние между центрами $13$ . Найдите длину отрезка общей внешней касательной. $12$
ОГЭ 16Окружности радиусов $18$ и $8$ касаются внешним образом. Найдите отрезок их общей внешней касательной между точками касания. $24$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их радиусов, то окружности не имеют общих точек.
Две окружности, касающиеся внешним образом, имеют ровно две общие касательные.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Ответ: 13

R05.7 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линия 24

Докажите: $A B D C$ — равнобедренная трапеция

ОГЭ 24 Общие внешние касательные двух окружностей разных радиусов пересекаются в

P

;

A

,

C

— точки касания с первой окружностью,

B

,

D

— со второй.

1

P A = PC

,

PB = P D

отрезки касательных из точки

P

2

∠ P A C = ∠ PB D

⇒

A C ∥ B D

равнобедренные треугольники с общим

∠ P

; соответственные углы

3

A B = P A - PB = PC - P D = C D

A B

и

C D

не параллельны ⇒ равнобедренная трапеция

R05.7 · ОГЭ, ч. 2

Разбор у доски · ОГЭ 25

Касающиеся окружности и площадь $△ A K B$

Окружности радиусов

4

и

1

касаются внешне в

K

;

A B

— общая касательная.

B K

пересекает первую в

D

,

A K

— вторую в

C

. а) Докажите:

A D ∥ BC

. б) Найдите

S_{A K B}

.

1

A D

и

BC

— диаметры

∠ A K B = 9 0^{\circ}

(образец 3)

2

A D ⊥ A B

,

BC ⊥ A B

⇒

A D ∥ BC

радиус

⊥

касательной

3

A B = 2 4 \cdot 1 = 4

,

BC = 2

,

A C^{2} = 20

Пифагор в

△ A BC

4

S_{A K B} = S_{A BC} \cdot \frac{A K}{A C} = 4 \cdot \frac{16}{20} = 3, 2

B K

— высота:

A K \cdot A C = A B^{2}

R05.7

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$R = 11$ , $r = 3$ , $d = 17$ . Отрезок внешней касательной? $15$
Радиусы $16$ и $4$ , касание внешнее. Найдите $S_{O_{1} A B O_{2}}$ . $160$
$R = 5$ , $r = 1$ , $d = 12$ . Угол между внутренними касательными? $6 0^{\circ}$
$R = 10$ , $r = 2$ , $d = 24$ . Внешние касательные пересекаются в $P$ . Найдите $P O_{2}$ . $6$

Вариант 2

$R = 10$ , $r = 3$ , $d = 25$ . Отрезок внешней касательной? $24$
Радиусы $18$ и $2$ , касание внешнее. Найдите $S_{O_{1} A B O_{2}}$ . $120$
$R = 7$ , $r = 3$ , $d = 8$ . Угол между внешними касательными? $6 0^{\circ}$
$R = 12$ , $r = 3$ , $d = 18$ . Внутренние касательные пересекаются в $Q$ . Найдите $Q O_{2}$ . $3, 6$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Где в задаче про общие касательные прямоугольный треугольник?
Почему высота трапеции $O_{1} A B O_{2}$ — это $A B$ ?
Что даёт касание окружностей: $∠ A K B = ?$

Домашнее задание

$R = 13$ , $r = 4$ , $d = 15$ . Найдите отрезок внешней касательной. Есть ли внутренняя?
Радиусы $25$ и $4$ , касание внешнее. Найдите $S_{O_{1} A B O_{2}}$ .
* Докажите следствие леммы: $C D = ∣ M A - MB ∣$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_okruzhnost_i_pryamye.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-086 · Практикум: общие касательные к двум окружностям

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью», 20 ч · урок 14/20 · тип П
Единицы → слайды	R05.7 «Общие касательные к двум окружностям» → 2–20 · повторение R05.5–R05.6 (взаимное расположение, касание) → 3, 9, 18
Результаты	ПР-10 (касательная, вписанный угол) → 3–20 · ПР-9 (теорема Пифагора, модель практической задачи) → 4, 6, 11, 14–19 · ПР-5 (подобие, пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике) → 5, 9, 13, 18
Вне урока	вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой — GEOM8U-087; длина ремня с дугами — 9 класс; тригонометрия углов, кроме 30°/45°, не используется
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: общие касательные к двум окружностям

Сегодня вы научитесь

Считать через трапецию

Находить углы

Доказывать

Строить и применять

Касательные за 10 секунд

Две формулы — два прямоугольных треугольника

Внешняя касательная AB

Внутренняя касательная CD

Касание внешнее: d=R+r

Три картинки, которые решают задачи

Трапеция центров

Касание: прямой угол

Подобие в точке P

Площадь и периметр через отрезок касательной

Образец: R=9, r=4, d=13, AB — общая внешняя касательная. Найдите S и P четырёхугольника O1​ABO2​.

Сам

Катет, равный половине гипотенузы

Образец: окружности радиусов 6 и 2 касаются внешне. Найдите угол между их общими внешними касательными.

Сам

Лемма: отрезок внутренней касательной MN=AB

Прямая AK проходит через конец диаметра

Образец: окружности касаются внешне в K, AB — общая касательная, AK вторично пересекает вторую окружность в B1​. Докажите: BB1​ — диаметр.

Сам

Общая внутренняя касательная

Образец: постройте общую внутреннюю касательную окружностей (O1​;R) и (O2​;r).

Сам

Брёвна на земле: AB=2Rr​

Образец: два бревна радиусов 36 см и 16 см лежат на земле вплотную. Найдите расстояние AB между линиями их касания с землёй.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Радиусы 12 и 3, касание внешнее. Найдите SO1​ABO2​​.

б) R=5, r=3, d=16. Угол между внутренними касательными?

в) R=8, r=2, d=15. Внешние касательные пересекаются в P. Найдите PO2​.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Докажите: ABDC — равнобедренная трапеция

Касающиеся окружности и площадь △AKB

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-086 · Практикум: общие касательные к двум окружностям

Внешняя касательная $A B$

Внутренняя касательная $C D$

Касание внешнее: $d = R + r$

Подобие в точке $P$

Образец: $R = 9$ , $r = 4$ , $d = 13$ , $A B$ — общая внешняя касательная. Найдите $S$ и $P$ четырёхугольника $O_{1} A B O_{2}$ .

Образец: окружности радиусов $6$ и $2$ касаются внешне. Найдите угол между их общими внешними касательными.

Лемма: отрезок внутренней касательной $MN = A B$

Прямая $A K$ проходит через конец диаметра

Образец: окружности касаются внешне в $K$ , $A B$ — общая касательная, $A K$ вторично пересекает вторую окружность в $B_{1}$ . Докажите: $B B_{1}$ — диаметр.

Образец: постройте общую внутреннюю касательную окружностей $(O_{1}; R)$ и $(O_{2}; r)$ .

Брёвна на земле: $A B = 2 R r$

Образец: два бревна радиусов $36$ см и $16$ см лежат на земле вплотную. Найдите расстояние $A B$ между линиями их касания с землёй.

а) Радиусы $12$ и $3$ , касание внешнее. Найдите $S_{O_{1} A B O_{2}}$ .

б) $R = 5$ , $r = 3$ , $d = 16$ . Угол между внутренними касательными?

в) $R = 8$ , $r = 2$ , $d = 15$ . Внешние касательные пересекаются в $P$ . Найдите $P O_{2}$ .

Докажите: $A B D C$ — равнобедренная трапеция

Касающиеся окружности и площадь $△ A K B$