Строка R05 · урок 13 из 20 · практикум

Практикум: касание окружностей

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM8U-085

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью» (20 ч), урок 13/20, единица R05.6. Тип урока — П (практикум): теория — только сводка и два разбора у доски, основное время — решение задач.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · опорный конспект 3 · ключевой приём 2 · разбор у доски: лемма Архимеда 3 · разбор у доски: ОГЭ 25 — 3.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 + 2 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 16/19 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Опора — урок GEOM8U-078 (теоремы о касании). Новое на практикуме: задачи, где из радиусов и расстояния между центрами складывается прямоугольный треугольник, окружности в угле, лемма Архимеда, построения.
Если не успеваете: образец 5 (построение) и повышенный уровень — в ДЗ; разбор ОГЭ 25 не сокращать.

R05.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Видеть линию центров

в любой задаче на касание: $d = R \pm r$ , точка касания — на ней (ПР-10)

Собирать треугольник

из радиусов и расстояний и решать его по теореме Пифагора (ПР-9)

Доказывать

лемму Архимеда о касании и применять её вместе с вписанными углами (ПР-10)

Решать задачи

на построение, из жизни и в формате ОГЭ 16, 19, 25 (ПР-11)

0,5 мин · теория
ПР-10: «Владеть понятием вписанного и центрального угла, угла между касательной и хордой, описанной и вписанной окружности треугольника и четырехугольника, применять их свойства при решении задач».
ПР-9: применять теорему Пифагора для решения геометрических и практических задач, самостоятельно выполнять чертёж. ПР-11: строить математические модели для задач реальной жизни.
Виды деятельности ФРП R05: исследовать конфигурации, связанные с окружностью, выводить свойства, использовать их при решении задач.

повторение: GEOM8U-078, R04

Разминка · устно

Всё, что понадобится сегодня

$R = 7$ , $r = 3$ , касание внешнее. Найдите $d$ . $10$
Те же окружности касаются внутренне. $d$ ? $4$
Гипотенуза $10$ , катет $6$ . Второй катет? $8$
На чертеже $r = 5$ . Найдите $A O$ . $10$
Почему центр $O$ лежит на биссектрисе угла $A$ ? равноудалён от сторон
Вписанный угол опирается на дугу $10 0^{\circ}$ . Угол? $5 0^{\circ}$
Равные дуги окружности стягивают… равные хорды

R05.6

Опорный конспект

Касание окружностей: что уже доказано

Чертёж	Случай	Что верно
	внешнее касание	$d = O_{1} O_{2} = R + r$ ; точка $T$ — между центрами
	внутреннее касание	$d = R - r$ ; $T$ — на продолжении $O_{1} O_{2}$ ; общая касательная в $T$ $⊥ O_{1} O_{2}$
	прямая через $T$	радиусы в её концы параллельны: $O_{1} A ∥ O_{2} B$ , $A T : TB = R : r$

3 мин · теория
Сводка теорем урока GEOM8U-078; ученики проговаривают по чертежам, учитель уточняет формулировки. Красная точка — точка касания T, бирюзовая прямая — общая касательная в T.
Вопрос: почему «окружности касаются» без уточнения даёт два случая? (Внешнее и внутреннее; в задаче надо проверить оба.)
Строка 3 (теорема 3 урока 078): треугольники O1AT и O2BT равнобедренные с равными углами при T, поэтому O1A ∥ O2B и AT : TB = R : r. Она нужна сегодня в лемме Архимеда.

R05.6

Ключевой приём

Соедините центры — получится треугольник

Две окружности

расстояние между центрами $R + r$ или $R - r$

Окружность и прямая

радиус в точку касания $⊥$ прямой, длина $r$

Окружность в угле

центр на биссектрисе; при угле $6 0^{\circ}$ : $A O = 2 r$

Отрезки складываем в треугольник → теорема Пифагора, катет против $3 0^{\circ}$ или подобие.

R05.6

Образец → сам · центры на одной прямой

Окружность между двумя окружностями

Образец: $O_{1} O_{2} = 12$ , $R_{1} = 5$ , $R_{2} = 3$ . Окружность с центром на отрезке $O_{1} O_{2}$ касается обеих внешне. Найдите её радиус.

$O_{1} O_{3} = 5 + r$ , $O_{3} O_{2} = 3 + r$ внешнее касание: $d = R + r$

$(5 + r) + (3 + r) = 12$ $O_{3}$ лежит на отрезке $O_{1} O_{2}$

$r = 2$

Сам

$O_{1} O_{2} = 20$ , $R_{1} = 7$ , $R_{2} = 5$ , центр на отрезке $O_{1} O_{2}$ , касание с обеими внешнее. Найдите $r$ . $4$
Как в образце, но окружность касается первой внешне, а вторую охватывает (касание внутреннее). Найдите $r$ . $5$
$R_{1} = 10$ , $R_{2} = 2$ , $O_{1} O_{2} = 4$ . Окружность с центром на луче $O_{1} O_{2}$ за точкой $O_{2}$ касается первой изнутри, второй — внешне. Найдите $r$ . $2$

R05.6

Образец → сам · касание и теорема Пифагора

Окружность касается диаметра и окружности

Образец: окружность касается диаметра $A B$ окружности $(O; 8)$ в точке $P$ , $OP = 4$ , и касается окружности изнутри. Найдите её радиус $r$ .

$O_{2} P = r$ , $O_{2} P ⊥ A B$ радиус в точку касания

$O O_{2} = 8 - r$ внутреннее касание

$4^{2} + r^{2} = (8 - r)^{2} \Rightarrow 16 r = 48$ , $r = 3$

Сам

$R = 9$ , $OP = 3$ . Найдите $r$ . $4$
$R = 25$ , $r = 8$ . Найдите $OP$ . $15$
Докажите, что в этой конфигурации $O P^{2} = R^{2} - 2 R r$ . $O P^{2} + r^{2} = (R - r)^{2}$

R05.6

Образец → сам · окружности в угле

Две окружности в угле $6 0^{\circ}$

Образец: в угол $6 0^{\circ}$ вписаны две касающиеся окружности, радиус меньшей $2$ . Найдите радиус $R$ большей.

$O_{1}, O_{2}$ — на биссектрисе равноудалены от сторон

$A O_{1} = 2 \cdot 2 = 4$ , $A O_{2} = 2 R$ катет против $3 0^{\circ}$

$2 R - 4 = R + 2 \Rightarrow R = 6$ $O_{1} O_{2} = R + r$

Сам

Угол $6 0^{\circ}$ , радиус большей окружности $12$ . Найдите радиус меньшей. $4$
В угол $6 0^{\circ}$ вписаны три окружности, каждая касается соседней; радиус наименьшей $1$ . Найдите радиус наибольшей. $9$
В образце найдите расстояние от $A$ до точки $T$ касания окружностей. $6$

R05.6 · R05.1

Разбор у доски · доказательство

Лемма Архимеда: $T K$ — биссектриса $∠ A TB$

Дано: окружности касаются внутренне в

T

; хорда

A B

большей касается меньшей в

K

;

T K

пересекает большую в

W

.
Доказать:

∠ A T K = ∠ K TB

.

1

O_{2} K ⊥ A B

радиус в точку касания

2

O_{1} W ∥ O_{2} K

\Rightarrow O_{1} W ⊥ A B

теорема о прямой через

T

: радиусы в концы параллельны

3

A W ⌣ = W B ⌣

A B

симметрична относительно прямой

O_{1} W

4

∠ A T W = ∠ W TB

вписанные углы на равные дуги

3 мин · теория (учитель доказывает у доски, класс отвечает «почему?» на каждом шаге)
Каждый щелчок открывает строку и её элемент на чертеже (одинаковый цвет). Чертёж точный: R = 6, r = 10/3, W — середина дуги AB, не содержащей T.
Шаг 2: на прямой TW концы K и W — точки меньшей и большей окружностей, по теореме урока 078 радиусы O2K и O1W параллельны. Прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой.
Шаг 3: диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам; при симметрии относительно O1W точки A и B меняются местами, дуги AW и WB совпадают.
Следствие: W — середина дуги AB, поэтому WA = WB. Лемма — частый ключ к ОГЭ 25 и олимпиадным задачам.

R05.6 · R05.1

Образец → сам · комбинированная задача

Лемма + подобие: $W A^{2} = W K \cdot W T$

Образец (конфигурация леммы): $W K = 4$ , $K T = 5$ . Найдите $W A$ .

$∠ W A K = ∠ W TB = ∠ W T A$ на дугу $W B$ ; лемма

$△ W A K$ $\sim$ $△ W T A$ $∠ W$ — общий

$W A^{2} = W K \cdot W T = 4 \cdot 9$ , $W A = 6$

Сам

$∠ A TB = 7 0^{\circ}$ , $∠ T A B = 4 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A K T$ . $10 0^{\circ}$
$W K = 5$ , $W A = 10$ . Найдите $W T$ и $T K$ . $20$ и $15$
Докажите, что $W A = W B$ . равные дуги ⇒ равные хорды

R05.6

Образец → сам · построение циркулем и линейкой

Окружность радиуса $r$ , касающаяся данной в точке $T$

Образец: дана окружность $(O; R)$ , точка $T$ на ней и отрезок $r < R$ . Постройте окружность радиуса $r$ , касающуюся данной в $T$ .

проводим луч $OT$ центры и $T$ — на одной прямой

$T O_{2} = r$ за точкой $T$ внешнее касание

$T O_{3} = r$ к центру внутреннее — два решения

Сам: постройте в тетради

Окружность с центром в данной точке $M$ вне $(O; R)$ , касающуюся $(O; R)$ . прямая $OM$ даёт $T_{1}, T_{2}$ : радиусы $M T_{1}$ , $M T_{2}$
Окружность радиуса $r$ , касающуюся внешне $(O_{1}; R_{1})$ и $(O_{2}; R_{2})$ . центр: $(O_{1}; R_{1} + r) \cap (O_{2}; R_{2} + r)$
Сколько решений в задаче 2 при $R_{1} = 2$ , $R_{2} = 3$ , $O_{1} O_{2} = 9$ , $r = 1$ ? ни одного: $3 + 4 < 9$

2 мин · практика (у учеников циркуль и линейка)
Образец: центр искомой окружности лежит на прямой OT (точка касания — на линии центров) на расстоянии r от T. Две точки: O2 (OO2 = R + r, внешнее касание) и O3 (OO3 = R − r, внутреннее).
1) Прямая OM пересекает окружность в T1 (ближняя) и T2 (дальняя): окружность (M; MT1) касается внешне, (M; MT2) — внутренне (охватывает данную).
2) Центр X удалён от O1 на R1 + r, от O2 на R2 + r — точка пересечения двух вспомогательных окружностей (метод геометрических мест). 0, 1 или 2 решения.
3) Вспомогательные окружности (O1; 3) и (O2; 4): 3 + 4 = 7 < 9 — не пересекаются, решений нет.

R05.6 · R04

Образец → сам · задача из жизни

Трубы на складе

Образец: две трубы радиуса $10$ см лежат на полу вплотную, третья — сверху на них. Найдите высоту $H$ штабеля.

центры — равносторонний треугольник со стороной $20$ $d = R + r$

его высота $2 0^{2} - 1 0^{2} = 103$ Пифагор

$H = 10 + 103 + 10 \approx 37, 3$ см

Сам

Нижние трубы радиуса $4$ вплотную, сверху между ними — шар радиуса $1$ . На какой высоте его верхняя точка? $8$
Между двумя трубами радиуса $12$ на пол закатился шарик, касающийся пола и обеих труб. Его радиус? $3$
Как в образце, но между нижними трубами зазор $10$ см. Найдите $H$ . $20 + 57 \approx 33, 2$ см

2,5 мин · практика
Образец: каждая пара труб касается внешне ⇒ расстояния между центрами 10 + 10 = 20. Нижние центры на высоте 10, верхний — выше на 10√3 ≈ 17,32, верх трубы — ещё на 10: H ≈ 37,32 см.
1) Центры нижних — (±4; 4), центр шара — (0; y): расстояние 4 + 1 = 5, по горизонтали 4 ⇒ по вертикали 3, y = 7, верх — 8.
2) Центр шарика (0; x), центр трубы (12; 12): 12² + (12 − x)² = (12 + x)² ⇒ 144 = 48x ⇒ x = 3 (всегда R/4).
3) Центры нижних на расстоянии 30, половина 15; сторона 20 ⇒ высота √(400 − 225) = √175 = 5√7 ≈ 13,23; H = 10 + 13,23 + 10 ≈ 33,2 см.

R05.6

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
Касание изнутри: $O O_{2} = R + r$	при внутреннем касании центры ближе	$O O_{2} = R - r$
Центр окружности, касающейся прямой, — «где-то на расстоянии $r$ от $P$ »	радиус в точку касания перпендикулярен прямой	$O_{2} P ⊥ A B$ , $O_{2} P = r$
Угол $6 0^{\circ}$ : $A O = r : 2$	$r$ — катет против угла $3 0^{\circ}$ , $A O$ — гипотенуза	$A O = 2 r$
Лемма: « $T K$ — биссектриса $∠ A K B$ »	вершина угла — точка касания окружностей	$T K$ делит пополам $∠ A TB$

R05.6

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Окружность касается диаметра окружности $(O; 8)$ в $P$ , $OP = 4$ , и самой окружности. Найдите $r$ .

$O O_{2} = 8 + r$

$16 + r^{2} = (8 + r)^{2}$ , $r = - 3$ — «решений нет»

касание внутреннее: $O O_{2} = 8 - r$ , $r = 3$

б) В угол $6 0^{\circ}$ вписаны две касающиеся окружности, $r = 2$ . Найдите $R$ .

$A O_{1} = 4$ , $A O_{2} = 2 R$

$2 R - 4 = R - 2$ , $R = 2$

$O_{1} O_{2} = R + r$ : $2 R - 4 = R + 2$ , $R = 6$

в) Трубы радиуса $8$ вплотную, под ними шарик касается пола. Найдите его радиус $x$ .

$8^{2} + x^{2} = (8 + x)^{2}$

$x = 0$ — «шарика нет»

катет $8 - x$ : $64 + (8 - x)^{2} = (8 + x)^{2}$ , $x = 2$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Внутреннее касание (меньшая окружность внутри большей): OO2 = R − r. 16 + r² = 64 − 16r + r² ⇒ r = 3. Отрицательный корень — сигнал, что перепутан вид касания.
б) AO1 = 4 и AO2 = 2R верны, ошибка во второй строке: внешнее касание, O1O2 = R + r, а не R − r. 2R − 4 = R + 2 ⇒ R = 6.
в) Вертикальный катет — разность высот центров 8 − x, а не x. 64 + 64 − 16x + x² = 64 + 16x + x² ⇒ 64 = 32x ⇒ x = 2 = 8 : 4.

R05.6

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаКасание внешнее, $d = 21$ , $R : r = 5 : 2$ . Найдите $r$ . $6$
базаРадиусы $10$ и $6$ , окружности касаются. Каким может быть $d$ ? $16$ или $4$
базаОкружность радиуса $3$ касается изнутри окружности $(O; 10)$ . Где лежат все её центры? на окружности $(O; 7)$

базаТо же для внешнего касания радиуса $2$ с $(O; 5)$ . на окружности $(O; 7)$
базаВ угол $6 0^{\circ}$ вписана окружность радиуса $5$ . Найдите расстояние от вершины до центра. $10$
базаДве окружности радиуса $3$ касаются друг друга и изнутри окружности $(O; R)$ , центры — на одном диаметре. Найдите $R$ . $6$

R05.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Окружности $(O_{1}; 6)$ и $(O_{2}; 3)$ касаются внешне. Окружность $(O_{3}; r)$ касается обеих внешне, $O_{2} O_{3} ⊥ O_{1} O_{2}$ . Найдите $r$ . $9$
повыш.Две окружности радиуса $3$ касаются в центре $O$ окружности $(O; 6)$ и касаются её изнутри. Найдите радиус окружности, касающейся всех трёх. $2$
повыш.Окружность касается изнутри окружности $(O; 10)$ и двух её перпендикулярных радиусов. Найдите её радиус. $102 - 10$
из жизниМонета катится без проскальзывания по краю такой же неподвижной монеты. Сколько оборотов она сделает, обойдя её? $2$

2,5 мин · практика
1) O1O2 = 9, O2O3 = 3 + r, O1O3 = 6 + r, прямой угол при O2: 81 + (3 + r)² = (6 + r)² ⇒ 81 + 9 + 6r = 36 + 12r ⇒ r = 9. Проверка: 9, 12, 15 ✓.
2) Центры малых — (±3; 0), центр искомой — (0; y), радиус x: y = 6 − x, 3² + y² = (3 + x)² ⇒ 9 + 36 − 12x = 9 + 6x ⇒ x = 2. Проверка: 3² + 4² = 5² ✓.
3) Центр на биссектрисе прямого угла: OO2 = r√2 (диагональ квадрата со стороной r), касание внутреннее: r√2 = 10 − r ⇒ r = 10/(√2 + 1) = 10(√2 − 1) ≈ 4,14.
4) Центр катящейся монеты проходит окружность радиуса 2r, длина 4πr = два оборота по 2πr. Парадокс: многие отвечают «один». Можно показать двумя монетами.

R05.6 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 16Окружности касаются внешним образом, расстояние между центрами $21$ , радиусы относятся как $3 : 4$ . Найдите больший радиус. $12$
ОГЭ 16Окружности радиусов $5$ и $13$ касаются внутренним образом в точке $T$ . Прямая через их центры второй раз пересекает их в точках $A$ и $B$ . Найдите $A B$ . $16$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Точка касания двух окружностей лежит на прямой, проходящей через их центры.
Если расстояние между центрами меньше суммы радиусов, то окружности касаются внутренним образом.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе.

Ответ: 13

R05.6 · ОГЭ, ч. 2

Разбор у доски · ОГЭ 25

Окружность в полукруге

A B = 18

— диаметр полуокружности с центром

O

. На

OB

как на диаметре внутри построена полуокружность с центром

Q

. Найдите радиус

x

окружности, касающейся

A B

и обеих полуокружностей.

1

OM = 9 - x

,

QM = 4, 5 + x

внутреннее и внешнее касание

2

M H = x

,

M H ⊥ A B

радиус в точку касания с

A B

3

O H^{2} = 81 - 18 x

,

Q H^{2} = 20, 25 + 9 x

Пифагор в

△ O H M

и

△ Q H M

4

Q H = O H + 4, 5 \Rightarrow O H = 3 x - 9

,

x = 4

(3 x - 9)^{2} = 81 - 18 x \Rightarrow 9 x^{2} = 36 x

3 мин · теория (учитель решает, ученики подсказывают обоснования)
Чертёж точный: M(−3; 4), x = 4, Q(4,5; 0). Проверка: OM = √(9 + 16) = 5 = 9 − 4 ✓; QM = √(7,5² + 4²) = √72,25 = 8,5 = 4,5 + 4 ✓; OH = 3.
Шаг 4: из шага 3 (OH + 4,5)² = 20,25 + 9x ⇒ OH² + 9·OH = 9x ⇒ 81 − 18x + 9·OH = 9x ⇒ OH = 3x − 9. Подставляем: 9x² − 54x + 81 = 81 − 18x ⇒ x = 4.
Почему H по другую сторону от O, чем Q: если бы H лежала на OB, было бы QH = |OH − 4,5|, и то же уравнение дало бы OH = 9 − 3x = −3 < 0 — противоречие. На ОГЭ этот случай нужно разобрать словами.
Критерии ОГЭ 25: 2 балла — верный ответ с полным обоснованием (вид касания для каждой пары, перпендикуляр к AB, теорема Пифагора).

R05.6

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Касание внешнее, $d = 20$ , $R : r = 3 : 2$ . Найдите радиусы. $12$ и $8$
Окружность касается диаметра окружности $(O; 25)$ в точке $P$ , $OP = 5$ , и касается её изнутри. Найдите радиус. $12$
В угол $6 0^{\circ}$ вписаны две касающиеся окружности, меньшая радиуса $3$ . Найдите радиус большей. $9$
Лемма Архимеда: $∠ A TB = 7 6^{\circ}$ . Найдите $∠ A T K$ . $3 8^{\circ}$

Вариант 2

Касание внутреннее, $d = 6$ , $R : r = 5 : 2$ . Найдите радиусы. $10$ и $4$
Окружность касается диаметра окружности $(O; 18)$ в точке $P$ , $OP = 12$ , и касается её изнутри. Найдите радиус. $5$
В угол $6 0^{\circ}$ вписаны две касающиеся окружности, большая радиуса $15$ . Найдите радиус меньшей. $5$
Лемма Архимеда: $∠ A T K = 2 9^{\circ}$ . Найдите $∠ A TB$ . $5 8^{\circ}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что первым делом проводят в задаче на касание?
Откуда в этих задачах прямой угол?
Что утверждает лемма Архимеда?

Домашнее задание

Окружность касается изнутри $(O; 18)$ и её диаметра в $P$ , $r = 8$ . Найдите $OP$ .
В угол $6 0^{\circ}$ — три окружности цепочкой, наибольшая радиуса $27$ . Найдите наименьшую.
* Лемма: $W A = 8$ , $W T = 16$ . Найдите $W K$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_okruzhnost_i_pryamye.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-085 · Практикум: касание окружностей

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью», 20 ч · урок 13/20 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R05.6 «Касание окружностей» → 2, 4–20 · R05.1 (вписанные углы) → 9, 10 · повторение GEOM8U-078 и теоремы Пифагора → 3
Результаты	ПР-10 → 4–11, 13–19 · ПР-9 (теорема Пифагора, чертёж) → 7, 12, 16, 18 · ПР-11 (задачи из жизни) → 12, 16
Вне урока	теоремы о касании доказаны на GEOM8U-078; общие касательные — GEOM8U-079, 086; лемма Архимеда дана как задача (сл. 9)
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: касание окружностей

Сегодня вы научитесь

Видеть линию центров

Собирать треугольник

Доказывать

Решать задачи

Всё, что понадобится сегодня

Касание окружностей: что уже доказано

Соедините центры — получится треугольник

Две окружности

Окружность и прямая

Окружность в угле

Окружность между двумя окружностями

Образец: O1​O2​=12, R1​=5, R2​=3. Окружность с центром на отрезке O1​O2​ касается обеих внешне. Найдите её радиус.

Сам

Окружность касается диаметра и окружности

Образец: окружность касается диаметра AB окружности (O;8) в точке P, OP=4, и касается окружности изнутри. Найдите её радиус r.

Сам

Две окружности в угле 60∘

Образец: в угол 60∘ вписаны две касающиеся окружности, радиус меньшей 2. Найдите радиус R большей.

Сам

Лемма Архимеда: TK — биссектриса ∠ATB

Лемма + подобие: WA2=WK⋅WT

Образец (конфигурация леммы): WK=4, KT=5. Найдите WA.

Сам

Окружность радиуса r, касающаяся данной в точке T

Образец: дана окружность (O;R), точка T на ней и отрезок r<R. Постройте окружность радиуса r, касающуюся данной в T.

Сам: постройте в тетради

Трубы на складе

Образец: две трубы радиуса 10 см лежат на полу вплотную, третья — сверху на них. Найдите высоту H штабеля.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Окружность касается диаметра окружности (O;8) в P, OP=4, и самой окружности. Найдите r.

б) В угол 60∘ вписаны две касающиеся окружности, r=2. Найдите R.

в) Трубы радиуса 8 вплотную, под ними шарик касается пола. Найдите его радиус x.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Окружность в полукруге

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-085 · Практикум: касание окружностей

Образец: $O_{1} O_{2} = 12$ , $R_{1} = 5$ , $R_{2} = 3$ . Окружность с центром на отрезке $O_{1} O_{2}$ касается обеих внешне. Найдите её радиус.

Образец: окружность касается диаметра $A B$ окружности $(O; 8)$ в точке $P$ , $OP = 4$ , и касается окружности изнутри. Найдите её радиус $r$ .

Две окружности в угле $6 0^{\circ}$

Образец: в угол $6 0^{\circ}$ вписаны две касающиеся окружности, радиус меньшей $2$ . Найдите радиус $R$ большей.

Лемма Архимеда: $T K$ — биссектриса $∠ A TB$

Лемма + подобие: $W A^{2} = W K \cdot W T$

Образец (конфигурация леммы): $W K = 4$ , $K T = 5$ . Найдите $W A$ .

Окружность радиуса $r$ , касающаяся данной в точке $T$

Образец: дана окружность $(O; R)$ , точка $T$ на ней и отрезок $r < R$ . Постройте окружность радиуса $r$ , касающуюся данной в $T$ .

Образец: две трубы радиуса $10$ см лежат на полу вплотную, третья — сверху на них. Найдите высоту $H$ штабеля.

а) Окружность касается диаметра окружности $(O; 8)$ в $P$ , $OP = 4$ , и самой окружности. Найдите $r$ .

б) В угол $6 0^{\circ}$ вписаны две касающиеся окружности, $r = 2$ . Найдите $R$ .

в) Трубы радиуса $8$ вплотную, под ними шарик касается пола. Найдите его радиус $x$ .