Углы и четырёхугольники, связанные с окружностью · урок 12 из 20 · практикум

Практикум: взаимное расположение двух окружностей

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM8U-084

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью» (20 ч), урок 12/20, единица R05.5. Тип урока — П (практикум): теория — короткая сводка и два разбора у доски.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · опорный конспект 2,5 · ключевые конфигурации 2,5 · разбор у доски: CD = 2·O₁O₂ — 3,5 · разбор у доски: ОГЭ 25 — 3.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 3 + 3 + 2 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 16/19 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец 6 (клетчатая бумага) и задача «из жизни» — в ДЗ; разбор ОГЭ 25 не сокращать.

R05.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Определять расположение

по $d$ , $R$ , $r$ — и решать обратные задачи с параметром (ПР-10)

Вычислять общую хорду

через два прямоугольных треугольника, не теряя второго случая

Доказывать

свойства двух пересекающихся окружностей с обоснованием шагов

Строить и решать ОГЭ

точку по двум расстояниям, задачи 16, 19, 25

повторение: GEOM8U-077, R04

Разминка · устно

Радиусы $6$ и $2$ : что будет при разных $d$ ?

$d = 9$ . Сколько общих точек? $0$ — вне друг друга
$d = 8$ ? $1$ — внешнее касание
$d = 5$ ? $2$ — пересекаются
$d = 3$ ? $0$ — одна внутри другой
Сколько общих точек могут иметь две различные окружности? $0$ , $1$ или $2$
Гипотенуза $13$ , катет $5$ . Второй катет? $12$

R05.5

Опорный конспект

Сравниваем $d = O_{1} O_{2}$ с $R + r$ и $R - r$ $(R \geq r)$

$d > R + r$

вне друг друга

0 общих точек

$d = R + r$

внешнее касание

1 общая точка

$R - r < d < R + r$

пересекаются

2 общие точки

$d = R - r$

внутреннее касание

1 общая точка

$d < R - r$

одна внутри другой

0 общих точек

Пересекаются в

A

и

B

\Rightarrow

линия центров — серединный перпендикуляр к общей хорде:

O_{1} O_{2} ⊥ A B

,

A H = H B

.

R05.5

Ключевые конфигурации

Три картинки, которые решают задачи

1. Общий катет $A H$

$A H^{2} = R^{2} - x^{2} = r^{2} - (d - x)^{2}$

из уравнения — $x$ , потом $A H$ и $A B = 2 A H$

2. Центры по одну сторону

$d = O_{1} H - O_{2} H$

по разные стороны: $d = O_{1} H + O_{2} H$ — проверяйте оба

3. Треугольник центров

$d^{2} = R^{2} + r^{2} \Rightarrow ∠ O_{1} A O_{2} = 9 0^{\circ}$

тогда $A H = \frac{R r}{d}$ — высота к гипотенузе

2,5 мин · теория
1) Чертёж: R = 5, r = √13, d = 6 ⇒ x = O₁H = 4, AH = 3 (проверка: 13 − 2² = 9 ✓). Уравнение раскрывается в линейное: квадраты x² сокращаются.
2) Чертёж: R = 17, r = 10, d = 9 ⇒ O₁H = 15 > d, точка H — за центром O₂; AH = 8, O₂H = 6 (6² + 8² = 10² ✓). Если в уравнении из картинки 1 получилось x > d, — это и есть картинка 2.
3) Чертёж: R = 4, r = 3, d = 5. По обратной теореме Пифагора угол при A прямой: радиус одной окружности касается другой («окружности пересекаются под прямым углом»). AH = 4 · 3 : 5 = 2,4.

R05.5

Образец → сам · расположение и параметр

Двойное неравенство $R - r < d < R + r$

Образец: $R = 7$ , $r = 4$ . При скольких целых $d$ окружности пересекаются?

$R - r = 3$ , $R + r = 11$ концы не входят

$3 < d < 11$ : $d = 4, 5, \dots, 10$

Ответ: $7$ значений

Сам

$R = 6$ , $r = 4$ . Наименьшее целое $d$ , при котором окружности пересекаются? $3$
$R = 10$ , $d = 7$ . Наибольшее целое $r$ , при котором меньшая окружность лежит внутри большей? $2$
Окружности пересекаются, $d = 6$ , $R = 2 r$ . В каких пределах $r$ ? $2 < r < 6$

R05.5

Образец → сам · отрезки на линии центров

Линия центров пересекает окружности в четырёх точках

Образец: $R = 8$ , $r = 5$ , $d = 9$ . Найдите $M L$ и $K N$ .

$O_{1} M = d - r = 4$ , $O_{1} L = R = 8$ от $O_{1}$ вправо

$M L = 8 - 4 = 4 = R + r - d$

$K N = R + d + r = 22$

Сам (обозначения те же)

$R = 10$ , $r = 6$ , $d = 12$ . Найдите $M L$ и $K N$ . $4$ и $28$
$M L = 3$ , $K N = 25$ . Найдите $d$ и $R + r$ . $d = 11$ , $R + r = 14$
$R = 7$ , $r = 3$ , $M L = 4$ . Найдите $d$ . $6$

R05.5

Образец → сам · общая хорда

Уравнение для $x = O_{1} H$ и два случая

Образец: $R = 20$ , $r = 15$ , $d = 25$ . Найдите общую хорду $A B$ .

$400 - x^{2} = 225 - (25 - x)^{2}$ общий катет $A H$

$400 = - 400 + 50 x$ , $x = 16$ , $A H = 400 - 256 = 12$

$A B = 2 A H = 24$ проверка: $A H = 20 \cdot 15 : 25$

Сам

$R = 25$ , $r = 26$ , $d = 17$ . Найдите $A B$ . $48$
$R = 17$ , $r = 10$ , $d = 9$ . Найдите $A B$ . $16$ (центры по одну сторону)
$A B = 24$ , $R = 20$ , $r = 13$ . Найдите $d$ . $21$ или $11$

R05.5

Разбор у доски · доказательство

Прямая через $A$ , параллельная линии центров

Дано: окружности пересекаются в

A

; прямая через

A

,

C D ∥ O_{1} O_{2}

,

C

и

D

— на окружностях.
Доказать:

C D = 2 O_{1} O_{2}

.

1

O_{1} M ⊥ C D

,

O_{2} N ⊥ C D

опускаем перпендикуляры из центров

2

CM = M A

,

A N = N D

перпендикуляр из центра делит хорду пополам

3

MN = O_{1} O_{2}

O_{1} MN O_{2}

— прямоугольник:

MN ∥ O_{1} O_{2}

,

O_{1} M ∥ O_{2} N

4

C D = 2 M A + 2 A N = 2 MN = 2 O_{1} O_{2}

3,5 мин · теория (учитель доказывает у доски, класс отвечает «почему?» на каждом шаге)
Чертёж точный: O₁(0; 0), R = 5; O₂(6; 0), r = √13; A(4; 3), C(−4; 3), D(8; 3); M(0; 3), N(6; 3). CD = 12 = 2 · 6 ✓. Щелчки открывают на чертеже перпендикуляры, равные отрезки и MN.
Шаг 2 — свойство из 7 класса: диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Шаг 3: O₁M и O₂N перпендикулярны одной прямой ⇒ параллельны; с MN ∥ O₁O₂ получаем параллелограмм с прямым углом.
Углублённый уровень: для любой другой прямой через A проекция O₁O₂ на неё равна половине CD, а проекция не длиннее отрезка ⇒ CD ≤ 2 O₁O₂ — параллельная прямая даёт наибольшую хорду CD (задача * в ДЗ).

R05.5 · R05.1

Образец → сам · задача на доказательство

Угол $CB D$ не зависит от прямой

Образец: окружности пересекаются в $A$ и $B$ , прямая через $A$ пересекает их в $C$ и $D$ . Докажите: $∠ CB D$ не зависит от прямой.

$∠ BC A = \frac{1}{2} A B ⌣$ первой окружности вписанный

$∠ B D A = \frac{1}{2} A B ⌣$ второй вписанный

$∠ CB D = 18 0^{\circ} - ∠ C - ∠ D$ — постоянный

Сам: план и обоснования

Докажите: $∠ CB D = ∠ O_{1} A O_{2}$ . $∠ C = ∠ A O_{1} O_{2}$ , $∠ D = ∠ A O_{2} O_{1}$
$R = r$ . Докажите: $BC = B D$ . равные дуги $A B$ ⇒ $∠ C = ∠ D$
$d^{2} = R^{2} + r^{2}$ . Докажите: $∠ CB D = 9 0^{\circ}$ . $∠ O_{1} A O_{2} = 9 0^{\circ}$ и задание 1

3 мин · практика (работа в парах: один пишет план, другой — обоснования)
Образец: дуги AB обеих окружностей фиксированы (точки A и B не меняются), поэтому углы C и D треугольника CBD постоянны, значит, постоянен и третий угол. Чертёж точный: окружности как на сл. 9, прямая через A под углом −24°; ∠C ≈ 36,9°, ∠D ≈ 56,3°, ∠CBD ≈ 86,8° (проверено вычислением).
1) Центральный ∠AO₁B = 2∠BCA, а O₁O₂ — биссектриса ∠AO₁B (ось симметрии) ⇒ ∠BCA = ∠AO₁O₂; аналогично ∠BDA = ∠AO₂O₁. В △CBD и △O₁AO₂ два угла равны ⇒ ∠CBD = ∠O₁AO₂ (на чертеже оба ≈ 86,8°).
2) При R = r хорда AB стягивает в обеих окружностях равные дуги ⇒ ∠C = ∠D ⇒ △CBD равнобедренный, BC = BD.
3) По обратной теореме Пифагора ∠O₁AO₂ = 90°, по заданию 1 ∠CBD = 90° для любой прямой.
Оговорка: доказываем для расположения, как на чертеже (A между C и D, C и D на больших дугах).

R05.5

Образец → сам · построение циркулем

Точка по двум расстояниям — пересечение окружностей

Образец: $A B = 7$ . Постройте точку $C$ : $A C = 5$ , $BC = 4$ . Сколько решений?

окружности $(A; 5)$ и $(B; 4)$ $C$ лежит на обеих

$5 - 4 < 7 < 5 + 4$ пересекаются

Ответ: $2$ точки — $C$ и $C^{'}$ симметричны относительно $A B$

Сам: циркулем в тетради

$A B = 9$ , $A C = 5$ , $BC = 4$ . Сколько точек $C$ ? одна — на отрезке $A B$
$A B = 10$ , $A C = 3$ , $BC = 4$ . Сколько точек $C$ ? ни одной: $10 > 7$
Постройте ромб со стороной $5$ и диагональю $A C = 8$ . Найдите вторую диагональ. окружности $(A; 5)$ , $(C; 5)$ ; $B D = 6$

2 мин · практика (у учеников циркуль и линейка)
Образец: это построение треугольника по трём сторонам (7 класс) на языке двух окружностей. Условие пересечения R − r < d < R + r — то же, что неравенство треугольника. Чертёж точный: C(4 1/7; ≈ 2,8).
1) 9 = 5 + 4 — внешнее касание окружностей, точка C на отрезке AB (AC = 5). 2) 10 > 3 + 4 — окружности не пересекаются, треугольника нет.
3) Вершины B и D — точки пересечения окружностей (A; 5) и (C; 5): 0 < 8 < 10 ⇒ две точки. По сл. 4 BD ⟂ AC и делится пополам: BH = √(25 − 16) = 3, BD = 6.

R05.5

Образец → сам · на клетчатой бумаге

Общие точки — в узлах сетки

Образец: $O_{1} (0; 0)$ , $O_{2} (7; 1)$ , $R = r = 5$ . Найдите общие точки.

$d = 49 + 1 = 50 < 10$ пересекаются

$(3; 4)$ : $3^{2} + 4^{2} = 25$ , $4^{2} + 3^{2} = 25$ ✓ до $O_{1}$ и до $O_{2}$

вторая — $(4; - 3)$ , симметрична относительно $O_{1} O_{2}$

Сам: нарисуйте в тетради

$O_{1} (0; 0)$ , $O_{2} (6; 8)$ , $R = r = 5$ . Общие точки? одна: $(3; 4)$ , касание
$O_{1} (0; 0)$ , $O_{2} (1; 7)$ , $R = r = 5$ . Общие точки? $(4; 3)$ и $(- 3; 4)$
$O_{1} (0; 0)$ , $R = 10$ ; $O_{2} (3; 4)$ , $r = 4$ . Сколько общих точек? ни одной: $5 < 6$

2 мин · практика
Образец: расстояния до узлов считаем по клеткам (теорема Пифагора): от (3; 4) до O₂ — катеты 4 и 3, до O₁ — 3 и 4. Вторая точка симметрична первой относительно линии центров: (4; −3), проверка: 16 + 9 = 25 и 3² + 4² = 25 ✓.
1) d = 10 = R + r — внешнее касание, точка касания — середина O₁O₂: (3; 4).
2) d = √50 < 10. Узлы на расстоянии 5 от O₁ — (±3; ±4), (±4; ±3), (±5; 0), (0; ±5); подходят (4; 3) и (−3; 4): (4 − 1)² + (3 − 7)² = 25, (−3 − 1)² + (4 − 7)² = 25 ✓.
3) d = 5, R − r = 6 > 5 ⇒ меньшая окружность внутри большей.

R05.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$d = O_{1} H + O_{2} H$ — всегда	центры могут лежать по одну сторону от хорды	ещё $d = ∣ O_{1} H - O_{2} H ∣$
$O_{1} H = \frac{d}{2}$	$H$ — середина $O_{1} O_{2}$ только при $R = r$	$x$ из $R^{2} - x^{2} = r^{2} - (d - x)^{2}$
$A H = \frac{R r}{d}$ — всегда	это высота прямоугольного треугольника	только при $d^{2} = R^{2} + r^{2}$
$d > R - r$ ⇒ пересекаются	забыто второе неравенство	$R - r < d < R + r$

R05.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $R = 10$ , $r = 6$ , $d = 3$ . Как расположены окружности?

$R - r = 4 > 3$ , $R + r = 16 > 3$

⇒ пересекаются

$d < R - r$ ⇒ одна внутри другой, общих точек нет

б) $R = r = 5$ , общая хорда $A B = 8$ . Найдите $d$ .

$O_{1} H = 25 - 16 = 3$

$d = O_{1} H = 3$

при $R = r$ точка $H$ — середина $O_{1} O_{2}$ : $d = 2 \cdot 3 = 6$

в) Через $A$ проведена $C D ∥ O_{1} O_{2}$ , $O_{1} O_{2} = 5$ . Найдите $C D$ .

$O_{1} C D O_{2}$ — параллелограмм

$C D = O_{1} O_{2} = 5$

$O_{1} C \neq ∥ O_{2} D$ ; $C D = 2 O_{1} O_{2} = 10$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Числа верные, вывод нет: d = 3 меньше R − r = 4, а для пересечения нужно d > R − r. Меньшая окружность внутри большей.
б) O₁H = 3 найдено верно, но d = O₁H + HO₂ = 3 + 3 = 6: при равных радиусах центры симметричны относительно AB (по одну сторону центры лежать не могут — окружности совпали бы).
в) «На рисунке видно» не обоснование: у четырёхугольника O₁CDO₂ параллельна только одна пара сторон. Верный ответ — по теореме с разбора у доски: CD = 2 · 5 = 10.

R05.5

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $R = 9$ , $r = 5$ , $d = 15$ . Расположение? вне, 0 точек
база $R = 9$ , $r = 5$ , $d = 4$ . Расположение? внутреннее касание
база $R = 9$ , $r = 5$ , $d = 10$ . Расположение? пересекаются

базаДиаметры $18$ и $10$ , $d = 13$ . Расположение? пересекаются
база $R = r = 17$ , $d = 16$ . Найдите $A B$ . $30$
базаРадиусы $15$ и $20$ , $d = 25$ . Найдите $∠ O_{1} A O_{2}$ . $9 0^{\circ}$

R05.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Радиусы $5$ и $12$ , $d = 13$ . Найдите общую хорду $A B$ . $\frac{120}{13}$
повыш. $∠ A O_{1} B = 12 0^{\circ}$ , $∠ A O_{2} B = 6 0^{\circ}$ , $A B = 6$ . Найдите $d$ . $43$ или $23$
повыш. $R = 25$ , $r = 17$ , $d = 12$ . Найдите $A B$ . $30$
из жизниДве вышки связи покрывают круги радиусов $25$ км и $29$ км, между вышками $36$ км. Прямая дорога проходит через обе точки пересечения границ зон. Какая её часть, в км, лежит в зоне обеих вышек? $40$ км

2,5 мин · практика
1) 5² + 12² = 13² ⇒ ∠O₁AO₂ = 90°, AH = 5 · 12 : 13 = 60/13, AB = 120/13 (конфигурация 3).
2) O₁O₂ — биссектрисы углов: ∠AO₁H = 60°, ∠AO₂H = 30°; AH = 3. O₁H = 3 : √3 = √3, O₂H = 3√3. Разные стороны: d = 4√3; одна сторона: d = 2√3. (R = 2√3, r = 6; в обоих случаях окружности пересекаются.)
3) 625 − x² = 289 − (12 − x)² ⇒ 625 = 145 + 24x ⇒ x = 20 > 12 — центры по одну сторону; AH = √(625 − 400) = 15, AB = 30 (O₂H = 8, 8² + 15² = 17² ✓).
4) Дорога — прямая через точки пересечения, т. е. общая хорда. 625 − x² = 841 − (36 − x)² ⇒ 625 = −455 + 72x ⇒ x = 15; AH = 20; AB = 40 км. Внутри обеих зон — ровно отрезок AB (в «линзе»).

R05.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 16Окружности радиусов $6$ и $8$ пересекаются в точках $A$ и $B$ , расстояние между их центрами равно $10$ . Найдите $A B$ . $9, 6$
ОГЭ 16Две окружности радиуса $25$ пересекаются, их общая хорда равна $48$ . Найдите расстояние между центрами. $14$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Если $d < R + r$ , то окружности пересекаются.
Общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна линии центров.
Две различные окружности могут иметь три общие точки.
Если $d > R + r$ , то общих точек нет.

Ответ: 24

R05.5 · ОГЭ, ч. 2

Разбор у доски · ОГЭ 25

Общая хорда видна из центров под разными углами

Окружности с центрами

O_{1}

и

O_{2}

пересекаются в

A

и

B

, центры по разные стороны от

A B

.

∠ A O_{1} B = 9 0^{\circ}

,

∠ A O_{2} B = 6 0^{\circ}

,

O_{1} O_{2} = 2 + 23

. Найдите радиусы.

1

O_{1} O_{2} ⊥ A B

,

∠ A O_{1} H = 4 5^{\circ}

,

∠ A O_{2} H = 3 0^{\circ}

линия центров — ось симметрии, делит углы пополам

2

O_{1} H = A H = x

,

O_{2} H = x 3

△ A O_{1} H

равнобедренный; в

△ A O_{2} H

A O_{2} = 2 x

(катет против

3 0^{\circ}

)

3

x + x 3 = 2 + 23

,

x = 2

d = O_{1} H + O_{2} H

4

R = x 2 = 22

,

r = 2 x = 4

3 мин · теория (учитель решает, ученики подсказывают обоснования)
Чертёж точный: H(0; 0), A(0; 2), O₁(−2; 0), O₂(2√3; 0) — R = 2√2 ≈ 2,83, r = 4.
Шаг 2: в △AO₂H угол при O₂ равен 30°, AH лежит против него ⇒ AO₂ = 2AH = 2x, O₂H = √(4x² − x²) = x√3. Можно и через tg 30° (R04).
Проверка: d = 2 + 2√3 ≈ 5,46; r − R ≈ 1,17 < 5,46 < R + r ≈ 6,83 — окружности действительно пересекаются ✓. Оформление на 2 балла: каждое равенство с обоснованием, как в шагах 1–4.
Вопрос сильным: что изменится, если центры по одну сторону от AB? (x√3 − x = 2 + 2√3 ⇒ x = (2 + 2√3)/(√3 − 1) = 4 + 2√3.)

R05.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$R = 11$ , $r = 4$ , $d = 6$ . Сколько общих точек? $0$ — одна внутри другой
$R = r = 10$ , $d = 12$ . Найдите общую хорду. $16$
Радиусы $12$ и $16$ , $d = 20$ . Найдите $∠ O_{1} A O_{2}$ и $A B$ . $9 0^{\circ}$ ; $19, 2$
Через $A$ проведена $C D ∥ O_{1} O_{2}$ , $C D = 14$ . Найдите $O_{1} O_{2}$ . $7$

Вариант 2

$R = 10$ , $r = 3$ , $d = 12$ . Сколько общих точек? $2$ — пересекаются
$R = r = 13$ , $d = 10$ . Найдите общую хорду. $24$
Радиусы $9$ и $12$ , $d = 15$ . Найдите $∠ O_{1} A O_{2}$ и $A B$ . $9 0^{\circ}$ ; $14, 4$
Через $A$ проведена $C D ∥ O_{1} O_{2}$ , $O_{1} O_{2} = 8, 5$ . Найдите $C D$ . $17$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие два числа сравниваем с $d$ ?
Почему у задачи на общую хорду часто два ответа?
Когда $A H = \frac{R r}{d}$ ?

Домашнее задание

$R = 13$ , $r = 20$ , $d = 21$ . Найдите общую хорду.
$A B = 12$ , $R = 10$ , $r = 62$ . Найдите $d$ .
* Прямая через $A$ пересекает окружности в $C$ и $D$ . Докажите: $C D \leq 2 O_{1} O_{2}$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_centralnye_i_vpisannye_ugly.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-084 · Практикум: взаимное расположение двух окружностей

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью», 20 ч · урок 12/20 · тип П
Единицы → слайды	R05.5 «Взаимное расположение двух окружностей» → 2–20 · повторение GEOM8U-077 и теоремы Пифагора (R04) → 3 · вписанные углы R05.1 → 10
Результаты	ПР-10 (окружность, вписанные углы, применение свойств при решении задач) → 4–20
Вне урока	касание окружностей — GEOM8U-085 (R05.6); общие касательные — GEOM8U-086 (R05.7); касание в образцах 1, 5, 6 — только как граничный случай
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: взаимное расположение двух окружностей

Сегодня вы научитесь

Определять расположение

Вычислять общую хорду

Доказывать

Строить и решать ОГЭ

Радиусы 6 и 2: что будет при разных d?

Сравниваем d=O1​O2​ с R+r и R−r (R≥r)

d>R+r

d=R+r

R−r<d<R+r

d=R−r

d<R−r

Три картинки, которые решают задачи

1. Общий катет AH

2. Центры по одну сторону

3. Треугольник центров

Двойное неравенство R−r<d<R+r

Образец: R=7, r=4. При скольких целых d окружности пересекаются?

Сам

Линия центров пересекает окружности в четырёх точках

Образец: R=8, r=5, d=9. Найдите ML и KN.

Сам (обозначения те же)

Уравнение для x=O1​H и два случая

Образец: R=20, r=15, d=25. Найдите общую хорду AB.

Сам

Прямая через A, параллельная линии центров

Угол CBD не зависит от прямой

Образец: окружности пересекаются в A и B, прямая через A пересекает их в C и D. Докажите: ∠CBD не зависит от прямой.

Сам: план и обоснования

Точка по двум расстояниям — пересечение окружностей

Образец: AB=7. Постройте точку C: AC=5, BC=4. Сколько решений?

Сам: циркулем в тетради

Общие точки — в узлах сетки

Образец: O1​(0;0), O2​(7;1), R=r=5. Найдите общие точки.

Сам: нарисуйте в тетради

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) R=10, r=6, d=3. Как расположены окружности?

б) R=r=5, общая хорда AB=8. Найдите d.

в) Через A проведена CD∥O1​O2​, O1​O2​=5. Найдите CD.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Общая хорда видна из центров под разными углами

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-084 · Практикум: взаимное расположение двух окружностей

Радиусы $6$ и $2$ : что будет при разных $d$ ?

Сравниваем $d = O_{1} O_{2}$ с $R + r$ и $R - r$ $(R \geq r)$

$d > R + r$

$d = R + r$

$R - r < d < R + r$

$d = R - r$

$d < R - r$

1. Общий катет $A H$

Двойное неравенство $R - r < d < R + r$

Образец: $R = 7$ , $r = 4$ . При скольких целых $d$ окружности пересекаются?

Образец: $R = 8$ , $r = 5$ , $d = 9$ . Найдите $M L$ и $K N$ .

Уравнение для $x = O_{1} H$ и два случая

Образец: $R = 20$ , $r = 15$ , $d = 25$ . Найдите общую хорду $A B$ .

Прямая через $A$ , параллельная линии центров

Угол $CB D$ не зависит от прямой

Образец: окружности пересекаются в $A$ и $B$ , прямая через $A$ пересекает их в $C$ и $D$ . Докажите: $∠ CB D$ не зависит от прямой.

Образец: $A B = 7$ . Постройте точку $C$ : $A C = 5$ , $BC = 4$ . Сколько решений?

Образец: $O_{1} (0; 0)$ , $O_{2} (7; 1)$ , $R = r = 5$ . Найдите общие точки.

а) $R = 10$ , $r = 6$ , $d = 3$ . Как расположены окружности?

б) $R = r = 5$ , общая хорда $A B = 8$ . Найдите $d$ .

в) Через $A$ проведена $C D ∥ O_{1} O_{2}$ , $O_{1} O_{2} = 5$ . Найдите $C D$ .