Окружность · урок 11 из 20 · практикум

Практикум: свойства и признаки вписанного четырёхугольника

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM8U-083

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью» (20 ч), урок 11/20, единица R05.4. Тип урока — П (практикум).
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка 3 · подобие во вписанном четырёхугольнике 3 · метод «скрытая окружность» 2 · демонстрация (биссектрисы) 3.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 16/19 — 2 · ОГЭ 24/25 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Опора — урок GEOM8U-076 (свойство и признаки с доказательствами). Сегодня — новые типы задач: углы через диагонали, подобные треугольники и произведения отрезков, скрытая окружность в треугольнике с высотами, координаты.
Если не успеваете: образец на клетчатой бумаге и ОГЭ 25 — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R05.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Считать углы

вписанного четырёхугольника через дуги и диагонали (ПР-10)

Видеть скрытую окружность

по прямым углам, равным углам и сумме $18 0^{\circ}$

Применять подобие

$A O \cdot OC = BO \cdot O D$ и $PB \cdot P A = PC \cdot P D$

Решать задачи ОГЭ

линии 16, 19, 24 и 25 — с полным обоснованием

повторение: R05.1–R05.4

Разминка · устно

Вписанный четырёхугольник на чертеже

$A BC D$ вписан, $∠ A = 8 0^{\circ}$ . Чему равен $∠ C$ ? $10 0^{\circ}$
$∠ B = 8 5^{\circ}$ . Чему равен $∠ D$ ? $9 5^{\circ}$
Внешний угол при вершине $C$ ? $8 0^{\circ}$ — равен $∠ A$
$∠ A B D = 4 0^{\circ}$ . Чему равен $∠ A C D$ ? $4 0^{\circ}$ — одна дуга $A D$
Дуга $A D$ , на которую опирается $∠ A B D$ ? $8 0^{\circ}$
Можно ли описать окружность около параллелограмма с углом $7 0^{\circ}$ ? нет: $7 0^{\circ} + 7 0^{\circ} \neq = 18 0^{\circ}$

R05.4

Сводка · свойства и признаки

Что знаем о вписанном четырёхугольнике

Свойства: $A BC D$ вписан ⇒

$∠ A$ $+$ $∠ C$ $= ∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}$
внешний угол $∠ D CE = ∠ A$
углы на одну дугу равны: $∠ A B D = ∠ A C D$

Признаки: $A BC D$ вписан, если

$∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ (или внешний угол $=$ противоположному)
$∠ A B D = ∠ A C D$ , $B$ и $C$ по одну сторону от $A D$

3 мин · теория
Сводка урока GEOM8U-076: свойство доказано через вписанные углы (∠A и ∠C опираются на дуги, дающие вместе всю окружность), признаки — от противного. Сегодня их не доказываем, а применяем.
Вопрос классу: какое из утверждений — свойство, а какое — признак? Чем они отличаются? (Свойство: «если вписан, то…»; признак: «если…, то вписан».)
Важно: во втором признаке точки B и C должны лежать по одну сторону от AD. Частные случаи: прямоугольник и равнобедренная трапеция вписаны всегда; параллелограмм вписан только если он прямоугольник.

R05.4

Образец → сам · углы через диагонали

Найдите углы четырёхугольника

Образец: $A BC D$ вписан, $∠ B A C = 2 5^{\circ}$ , $∠ A D B = 4 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A D C$ и $∠ A BC$ .

$∠ B D C = ∠ B A C = 2 5^{\circ}$ опираются на дугу $BC$

$∠ A D C = 4 5^{\circ} + 2 5^{\circ} = 7 0^{\circ}$

$∠ A BC = 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 11 0^{\circ}$ свойство

Сам

$A BC D$ вписан, $∠ A B D = 4 0^{\circ}$ , $∠ D BC = 3 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A D C$ . $10 5^{\circ}$
$∠ B A C = 2 0^{\circ}$ , $∠ C A D = 4 0^{\circ}$ , $∠ A C D = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A BC$ и $∠ A D C$ . $11 0^{\circ}$ и $7 0^{\circ}$
$∠ B A C = 3 0^{\circ}$ , $∠ A C D = 5 0^{\circ}$ ; $O$ — точка пересечения диагоналей. Найдите острый угол между диагоналями. $8 0^{\circ}$

R05.4

Следствие · подобные треугольники

Подобие во вписанном четырёхугольнике

Диагонали: $A C \cap B D = O$

$∠ B A C = ∠ B D C$ , $∠ A B D = ∠ A C D$ одна дуга

$△ A OB \sim △ D OC$ по двум углам

$A O \cdot OC = BO \cdot O D$ из $\frac{A O}{D O} = \frac{BO}{CO}$

Стороны: $A B \cap D C = P$

$∠ PBC = ∠ A D C$ внешний угол $=$ противоположному

$△ PBC \sim △ P D A$ $∠ P$ — общий

$PB \cdot P A = PC \cdot P D$ из $\frac{PB}{P D} = \frac{PC}{P A}$

3 мин · теория
Доказательство — по шагам, учитель спрашивает «почему?». Слева: углы BAC и BDC опираются на дугу BC, ABD и ACD — на дугу AD; треугольники подобны по двум углам; из пропорции AO : DO = BO : CO получаем произведения.
Справа: ∠PBC — внешний угол вписанного ABCD при вершине B, он равен противоположному внутреннему ∠ADC; угол P общий. Порядок вершин: P↔P, B↔D, C↔A.
Типичная ошибка: записать соответствие «по буквам» (△AOB ∼ △COD) — тогда пропорция неверна. Соответствие ищем по равным углам.
Это следствие свойства вписанного четырёхугольника и признака подобия (R02); общая теорема о хордах и секущих — урок «Углы между хордами и секущими» и 9 класс.

R05.4

Образец → сам · подобие и произведения отрезков

Найдите отрезки

Образец: $A BC D$ вписан, $A B \cap D C = P$ ; $PB = 4$ , $A B = 6$ , $PC = 5$ , $BC = 3$ . Найдите $C D$ и $A D$ .

$PB \cdot P A = PC \cdot P D$ : $4 \cdot 10 = 5 \cdot P D$ , $P D = 8$ $△ PBC \sim △ P D A$

$C D = 8 - 5 = 3$

$\frac{BC}{A D} = \frac{PB}{P D} = \frac{4}{8}$ ⇒ $A D = 6$

Сам

Диагонали вписанного $A BC D$ : $A O = 6$ , $OC = 4$ , $BO = 3$ . Найдите $O D$ . $8$
$A B \cap D C = P$ , $PB = 3$ , $A B = 9$ , $PC = 4$ . Найдите $C D$ . $5$
$A B = 6$ , $C D = 9$ , $A O = 4$ . Найдите $D O$ . $6$

R05.4

Метод · скрытая окружность

Где искать окружность, которой нет на чертеже

1. Два прямых угла

$∠ A MB = ∠ A NB = 9 0^{\circ}$ ⇒ $M$ , $N$ на окружности с диаметром $A B$

2. Сумма $18 0^{\circ}$

$∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ ⇒ $A BC D$ вписан

3. Равные углы

$∠ B A C = ∠ B D C$ , $A$ и $D$ по одну сторону ⇒ вписан

Нашли окружность — переносите углы по дугам и ищите подобные треугольники.

R05.4

Образец → сам · скрытая окружность

Два прямых угла — и углы переносятся

Образец: в $A BC D$ $∠ B = ∠ D = 9 0^{\circ}$ , $∠ B A C = 2 5^{\circ}$ , $∠ C A D = 4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ B D C$ и $∠ A B D$ .

$∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}$ ⇒ $A BC D$ вписан признак; $A C$ — диаметр

$∠ B D C = ∠ B A C = 2 5^{\circ}$ дуга $BC$

$∠ A B D = ∠ A C D = 9 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 5 0^{\circ}$ дуга $A D$

Сам

$A A_{1}$ , $B B_{1}$ — высоты остроугольного $△ A BC$ , $∠ B A A_{1} = 2 0^{\circ}$ . Найдите $∠ B B_{1} A_{1}$ . $2 0^{\circ}$
В $A BC D$ $∠ A = ∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A B D = 3 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A C D$ . $3 5^{\circ}$
В выпуклом $A BC D$ $∠ A B D = ∠ A C D = 4 0^{\circ}$ , $∠ D BC = 3 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A D C$ . $11 0^{\circ}$

R05.4

Доказательство · решает учитель

Биссектрисы углов четырёхугольника

Дано: биссектрисы углов выпуклого

A BC D

образуют

K L MN

.
Доказать:

K L MN

вписан.

1

∠ A = 2 α

,

∠ B = 2 β

,

∠ C = 2 γ

,

∠ D = 2 δ

α + β + γ + δ = 18 0^{\circ}

— сумма углов

36 0^{\circ}

2

∠ L K N

= ∠ A K B = 18 0^{\circ} - α - β

вертикальные; сумма углов

△ A K B

3

∠ L MN

= ∠ CM D = 18 0^{\circ} - γ - δ

так же,

△ CM D

4

∠ K + ∠ M = 36 0^{\circ} - 18 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

признак 1 ⇒

K L MN

вписан

3 мин · теория (учитель доказывает у доски, класс отвечает на «почему?»)
K — точка пересечения биссектрис углов A и B, L — B и C, M — C и D, N — D и A. На чертеже K лежит между A и N, поэтому ∠LKN и ∠AKB вертикальные; так же ∠LMN = ∠CMD.
Окружность, описанная около KLMN, показана пунктиром — это проверка, а не часть доказательства.
Вопрос сильным: что получится для параллелограмма? (Прямоугольник: α + β = 90°, все углы KLMN прямые.) Это задача «сам» к следующему слайду и в ДЗ по желанию.

R05.4

Образец → сам · задача на доказательство

Высоты отсекают подобный треугольник

Образец: $A A_{1}$ , $C C_{1}$ — высоты остроугольного $△ A BC$ . Докажите: $△ A_{1} B C_{1} \sim △ A BC$ .

$A$ , $C$ , $A_{1}$ , $C_{1}$ на окружности $A C$ виден под $9 0^{\circ}$

$∠ B A_{1} C_{1} = ∠ B A C$ внешний угол вписанного $A C_{1} A_{1} C$

$∠ B$ — общий ⇒ $△ A_{1} B C_{1} \sim △ A BC$ по двум углам

Сам: план и обоснования

Докажите: $∠ B C_{1} A_{1} = ∠ BC A$ . внешний угол $A C_{1} A_{1} C$ при $C_{1}$
$∠ A = 7 0^{\circ}$ , $∠ C = 5 0^{\circ}$ . Найдите углы $△ A_{1} B C_{1}$ . $6 0^{\circ}$ , $7 0^{\circ}$ , $5 0^{\circ}$
$H$ — точка пересечения высот $B B_{1}$ и $C C_{1}$ . Докажите: $∠ H B_{1} C_{1} = ∠ H A C_{1}$ . $A C_{1} H B_{1}$ вписан: $9 0^{\circ} + 9 0^{\circ}$ ; дуга $H C_{1}$

3 мин · практика
Образец: ∠AA₁C = ∠AC₁C = 90° ⇒ точки A₁ и C₁ лежат на окружности с диаметром AC (пунктир). Четырёхугольник AC₁A₁C вписан, ∠BA₁C₁ — его внешний угол при A₁, он равен противоположному внутреннему ∠C₁AC = ∠A. Угол B общий ⇒ подобие по двум углам (B↔B, A₁↔A, C₁↔C).
1) ∠BC₁A₁ — внешний угол того же четырёхугольника при C₁, равен ∠A₁CA = ∠C.
2) ∠B = 180° − 70° − 50° = 60°; ∠BA₁C₁ = ∠A = 70°, ∠BC₁A₁ = ∠C = 50°.
3) ∠AC₁H = ∠AB₁H = 90° ⇒ сумма 180° ⇒ AC₁HB₁ вписан (диаметр AH); ∠HB₁C₁ и ∠HAC₁ опираются на дугу HC₁ ⇒ равны.
Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования.

R05.4

Образец → сам · клетчатая бумага

Докажите, что точки лежат на одной окружности

Образец: $A (0; 2)$ , $B (2; 6)$ , $C (6; 4)$ , $D (2; 0)$ . Вписан ли $A BC D$ ? Найдите центр и радиус.

$B \to A$ : 2 влево, 4 вниз; $B \to C$ : 4 вправо, 2 вниз

$∠ B = 9 0^{\circ}$ , так же $∠ D = 9 0^{\circ}$ ⇒ вписан $A C$ — диаметр

$O (3; 3)$ , $R = \frac{A C}{2} = \frac{40}{2} = 10$

Сам: нарисуйте в тетради

$A (2; 1)$ , $B (3; 4)$ , $C (6; 3)$ , $D (3; 0)$ . Найдите $O$ и $R$ . $O (4; 2)$ , $R = 5$
Вписан ли $A (0; 0)$ , $B (1; 3)$ , $C (4; 4)$ , $D (3; 1)$ ? нет: ромб, $∠ B = ∠ D \neq = 9 0^{\circ}$
$A (0; 0)$ , $B (1; 3)$ , $C (5; 3)$ . Найдите на оси $O x$ точку $D \neq = A$ , при которой $A BC D$ вписан. $D (6; 0)$

2,5 мин · практика
Образец: перпендикулярность на клетках — вектор (a; b) повёрнут на 90° в (b; −a): BA = (−2; −4), BC = (4; −2). Так же DA = (−2; 2), DC = (4; 4) ⇒ ∠D = 90°. ∠B + ∠D = 180° ⇒ вписан, центр — середина AC: ((0 + 6) : 2; (2 + 4) : 2) = (3; 3); AC² = 36 + 4 = 40.
1) BA = (−1; −3), BC = (3; −1) ⇒ ∠B = 90°; DA = (−1; 1), DC = (3; 3) ⇒ ∠D = 90°. O — середина AC = (4; 2), R² = 2² + 1² = 5.
2) Все стороны √10 — ромб; BA · BC: (−1; −3) и (3; 1) не перпендикулярны ⇒ ∠B = ∠D ≠ 90°, сумма ≠ 180° ⇒ нет.
3) Серединный перпендикуляр к BC — прямая x = 3, окружность симметрична относительно неё ⇒ D — точка, симметричная A: (6; 0). ABCD — равнобедренная трапеция.

R05.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$△ A OB \sim △ CO D$ , $\frac{A O}{CO} = \frac{BO}{D O}$	соответствие — по равным углам: $∠ B A C = ∠ B D C$ , значит $A \leftrightarrow D$	$△ A OB \sim △ D OC$ , $A O \cdot OC = BO \cdot O D$
$PB \cdot A B = PC \cdot C D$	в $△ P D A$ стороны — целые отрезки $P A$ и $P D$	$PB \cdot P A = PC \cdot P D$
$A BC D$ вписан ⇒ $∠ B = ∠ D$	равны противоположные углы у параллелограмма, а не у вписанного	$∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}$
$∠ B = ∠ D = 9 0^{\circ}$ ⇒ $B D$ — диаметр	диаметр — тот отрезок, который виден под прямым углом	$A C$ — диаметр, центр — середина $A C$

R05.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A BC D$ вписан, $A O = 6$ , $OC = 4$ , $BO = 3$ . Найдите $O D$ .

$\frac{A O}{OC} = \frac{BO}{O D}$

$O D = \frac{3 \cdot 4}{6} = 2$

$A O \cdot OC = BO \cdot O D$ ⇒ $O D = \frac{24}{3} = 8$

б) $A B \cap D C = P$ , $PB = 3$ , $A B = 5$ , $PC = 4$ . Найдите $C D$ .

$PB \cdot A B = PC \cdot C D$

$15 = 4 \cdot C D$ , $C D = 3, 75$

$3 \cdot 8 = 4 \cdot P D$ , $P D = 6$ , $C D = 2$

в) Углы $A BC D$ : $∠ A = 10 0^{\circ}$ , $∠ B = 8 0^{\circ}$ , $∠ C = 7 0^{\circ}$ , $∠ D = 11 0^{\circ}$ .

$∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$ ⇒ около $A BC D$ можно описать окружность

$∠ A$ и $∠ B$ соседние; $∠ A + ∠ C = 17 0^{\circ}$ ⇒ нельзя

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Пропорция составлена по буквам, а не по подобию △AOB ∼ △DOC: верно AO : DO = BO : CO, то есть AO · OC = BO · OD; 6 · 4 = 3 · OD, OD = 8.
б) Вместо целых секущих взяты части: PA = 3 + 5 = 8; PB · PA = PC · PD: 24 = 4 · PD, PD = 6, CD = PD − PC = 2.
в) Признак — о противоположных углах. ∠A + ∠B = 180° означает только AD ∥ BC (это трапеция). ∠A + ∠C = 170° ≠ 180° ⇒ окружность описать нельзя.

R05.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $A BC D$ вписан, $∠ A = 5 8^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $12 2^{\circ}$
база $A BC D$ вписан, $∠ A : ∠ C = 4 : 5$ . Найдите $∠ A$ . $8 0^{\circ}$
базаВнешний угол вписанного $A BC D$ при вершине $D$ равен $10 5^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ . $10 5^{\circ}$

база $A BC D$ вписан, $∠ A D B = 4 4^{\circ}$ . Найдите $∠ A CB$ . $4 4^{\circ}$
базаДиагонали вписанного $A BC D$ : $A O = 8$ , $OC = 3$ , $BO = 4$ . Найдите $O D$ . $6$
базаУглы четырёхугольника по порядку: $7 0^{\circ}$ , $11 0^{\circ}$ , $12 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ . Вписан ли он? нет

R05.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A BC D$ вписан, $A B = BC$ , $∠ A D C = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ B D C$ . $3 5^{\circ}$
повыш. $A BC D$ вписан, $A B \cap D C = P$ , $PB = 5$ , $A B = 7$ , $P D = 15$ . Найдите $C D$ . $11$
повыш.Трапеция $A BC D$ вписана в окружность, основание $A D = 26$ — диаметр, $BC = 10$ . Найдите высоту. $12$
из жизниФасад $A B = 20$ м помещается в кадр, если виден под углом не больше $9 0^{\circ}$ . На каком наименьшем расстоянии от середины фасада можно встать? $10$ м

R05.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 16Четырёхугольник $A BC D$ вписан в окружность. Угол $A BC$ равен $9 2^{\circ}$ , угол $C A D$ равен $6 0^{\circ}$ . Найдите угол $A B D$ . $32$
ОГЭ 16Четырёхугольник $A BC D$ вписан в окружность. Угол $A B D$ равен $1 6^{\circ}$ , угол $C A D$ равен $3 3^{\circ}$ . Найдите угол $A BC$ . $49$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна $18 0^{\circ}$ , то около него можно описать окружность.
Около любого ромба можно описать окружность.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Ответ: 13

R05.4 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 24 и 25

Вторая часть: доказательство и вычисление

ОГЭ 24 В выпуклом четырёхугольнике $A BC D$ $∠ A B D = ∠ A C D$ . Докажите, что $∠ B A C = ∠ B D C$ .

$∠ A B D = ∠ A C D$ , $B$ и $C$ по одну сторону от $A D$ ⇒ $A BC D$ вписан

$∠ B A C = ∠ B D C$ — опираются на дугу $BC$

ОГЭ 25 $A A_{1}$ , $C C_{1}$ — высоты остроугольного $△ A BC$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ , $A_{1} C_{1} = 7$ . Найдите $A C$ .

$△ A_{1} B C_{1} \sim △ A BC$ , $k = \frac{B A _{1}}{B A}$ образец 4

$∠ B A A_{1} = 3 0^{\circ}$ ⇒ $k = \frac{1}{2}$ ⇒ $A C = 14$

2 мин · практика
24) Полное решение на 2 балла: так как четырёхугольник выпуклый, B и C лежат по одну сторону от прямой AD; отрезок AD виден из B и C под равными углами ⇒ A, B, C, D лежат на одной окружности (признак). ∠BAC и ∠BDC — вписанные, опираются на одну дугу BC ⇒ равны.
25) A, C, A₁, C₁ лежат на окружности с диаметром AC ⇒ ∠BA₁C₁ = ∠BAC, угол B общий ⇒ △A₁BC₁ ∼ △ABC, k = BA₁ : BA. В прямоугольном △ABA₁ ∠BAA₁ = 90° − 60° = 30°, катет против угла 30° равен половине гипотенузы: BA₁ = AB : 2 ⇒ k = 1/2 ⇒ AC = A₁C₁ : k = 14. Ответ: 14.
На уроке — устное обсуждение плана (2 мин), запись 25 полностью — в ДЗ по желанию.

R05.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1 · $A BC D$ вписан

$∠ B = 7 6^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ . $10 4^{\circ}$
$∠ A B D = 2 8^{\circ}$ , $∠ D BC = 4 7^{\circ}$ . Найдите $∠ A D C$ . $10 5^{\circ}$
$A O = 9$ , $OC = 4$ , $BO = 6$ . Найдите $O D$ . $6$
$A B \cap D C = P$ , $PB = 4$ , $P A = 9$ , $PC = 3$ . Найдите $C D$ . $9$

Вариант 2 · $A BC D$ вписан

$∠ C = 11 3^{\circ}$ . Найдите $∠ A$ . $6 7^{\circ}$
$∠ B A C = 3 1^{\circ}$ , $∠ C A D = 4 2^{\circ}$ . Найдите $∠ BC D$ . $10 7^{\circ}$
$A O = 10$ , $OC = 6$ , $O D = 12$ . Найдите $BO$ . $5$
$A B \cap D C = P$ , $PB = 6$ , $A B = 4$ , $PC = 5$ . Найдите $C D$ . $7$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Назовите три признака скрытой окружности.
Какие треугольники подобны во вписанном четырёхугольнике?
Где центр окружности, если $∠ B = ∠ D = 9 0^{\circ}$ ?

Домашнее задание

Вписанный $A BC D$ : $A O = 5$ , $OC = 12$ , $B D = 16$ . Найдите $BO$ и $O D$ .
Трапеция вписана, $A D = 10$ — диаметр, $BC = 6$ . Найдите $A B$ .
* $B B_{1}$ , $C C_{1}$ — высоты $△ A BC$ . Докажите: $∠ A B_{1} C_{1} = ∠ A BC$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_vpisannaya_i_opisannaya_okruzhnosti.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-083 · Практикум: свойства и признаки вписанного четырёхугольника

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью», 20 ч · урок 11/20 · тип П
Единицы → слайды	R05.4 «Свойства и признаки вписанного четырехугольника» → 2, 4–20 · повторение R05.1–R05.4 → 3
Результаты	ПР-10 (вписанные и центральные углы, описанная окружность четырёхугольника, применение свойств) → 3–20; ПР-5 (признаки подобия) → 6, 7, 11, 18
Вне урока	взаимное расположение двух окружностей — GEOM8U-084; общие теоремы о хордах и секущих — R05.2 и 9 класс (здесь — только как следствие подобия, сл. 6)
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: свойства и признаки вписанного четырёхугольника

Сегодня вы научитесь

Считать углы

Видеть скрытую окружность

Применять подобие

Решать задачи ОГЭ

Вписанный четырёхугольник на чертеже

Что знаем о вписанном четырёхугольнике

Свойства: ABCD вписан ⇒

Признаки: ABCD вписан, если

Найдите углы четырёхугольника

Образец: ABCD вписан, ∠BAC=25∘, ∠ADB=45∘. Найдите ∠ADC и ∠ABC.

Сам

Подобие во вписанном четырёхугольнике

Диагонали: AC∩BD=O

Стороны: AB∩DC=P

Найдите отрезки

Образец: ABCD вписан, AB∩DC=P; PB=4, AB=6, PC=5, BC=3. Найдите CD и AD.

Сам

Где искать окружность, которой нет на чертеже

1. Два прямых угла

2. Сумма 180∘

3. Равные углы

Два прямых угла — и углы переносятся

Образец: в ABCD ∠B=∠D=90∘, ∠BAC=25∘, ∠CAD=40∘. Найдите ∠BDC и ∠ABD.

Сам

Биссектрисы углов четырёхугольника

Высоты отсекают подобный треугольник

Образец: AA1​, CC1​ — высоты остроугольного △ABC. Докажите: △A1​BC1​∼△ABC.

Сам: план и обоснования

Докажите, что точки лежат на одной окружности

Образец: A(0;2), B(2;6), C(6;4), D(2;0). Вписан ли ABCD? Найдите центр и радиус.

Сам: нарисуйте в тетради

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) ABCD вписан, AO=6, OC=4, BO=3. Найдите OD.

б) AB∩DC=P, PB=3, AB=5, PC=4. Найдите CD.

в) Углы ABCD: ∠A=100∘, ∠B=80∘, ∠C=70∘, ∠D=110∘.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: доказательство и вычисление

Два варианта — решите свой

Вариант 1 · ABCD вписан

Вариант 2 · ABCD вписан

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-083 · Практикум: свойства и признаки вписанного четырёхугольника

Свойства: $A BC D$ вписан ⇒

Признаки: $A BC D$ вписан, если

Образец: $A BC D$ вписан, $∠ B A C = 2 5^{\circ}$ , $∠ A D B = 4 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A D C$ и $∠ A BC$ .

Диагонали: $A C \cap B D = O$

Стороны: $A B \cap D C = P$

Образец: $A BC D$ вписан, $A B \cap D C = P$ ; $PB = 4$ , $A B = 6$ , $PC = 5$ , $BC = 3$ . Найдите $C D$ и $A D$ .

2. Сумма $18 0^{\circ}$

Образец: в $A BC D$ $∠ B = ∠ D = 9 0^{\circ}$ , $∠ B A C = 2 5^{\circ}$ , $∠ C A D = 4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ B D C$ и $∠ A B D$ .

Образец: $A A_{1}$ , $C C_{1}$ — высоты остроугольного $△ A BC$ . Докажите: $△ A_{1} B C_{1} \sim △ A BC$ .

Образец: $A (0; 2)$ , $B (2; 6)$ , $C (6; 4)$ , $D (2; 0)$ . Вписан ли $A BC D$ ? Найдите центр и радиус.

а) $A BC D$ вписан, $A O = 6$ , $OC = 4$ , $BO = 3$ . Найдите $O D$ .

б) $A B \cap D C = P$ , $PB = 3$ , $A B = 5$ , $PC = 4$ . Найдите $C D$ .

в) Углы $A BC D$ : $∠ A = 10 0^{\circ}$ , $∠ B = 8 0^{\circ}$ , $∠ C = 7 0^{\circ}$ , $∠ D = 11 0^{\circ}$ .

Вариант 1 · $A BC D$ вписан

Вариант 2 · $A BC D$ вписан