Углы и четырёхугольники, связанные с окружностью · урок 10 из 20 · практикум

Практикум: вписанные и описанные четырёхугольники

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM8U-082

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью» (20 ч), урок 10/20, единица R05.3. Тип урока — П (первый практикум по теме после урока GEOM8U-075).
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 1 · сводка «вписанный» 2,5 · сводка «описанный» 2,5 · площадь S = pr 2 · ключевая задача (учитель) 2,5 · схема 1,5.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 16/19 — 2 · ОГЭ 24/25 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Чем отличается от урока GEOM8U-075: там — сами теоремы и прямое применение. Сегодня — углы через дуги и диагонали, отрезки касательных, новая формула S = pr, описанная трапеция (h = 2r, h = √(ab)) и задача ОГЭ 25.
На титуле — равнобедренная трапеция с основаниями 9 и 4: она и вписана в окружность, и описана около другой (сл. 10, 19).
Если не успеваете: ОГЭ 25 и задание 3 образца-доказательства — в ДЗ; ключевую задачу (сл. 10) не сокращать.

R05.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить углы

вписанного четырёхугольника через дуги и диагонали (ПР-10)

Работать с касательными

отрезки касательных, стороны и периметр описанного четырёхугольника

Находить $r$ и площадь

по формуле $S = p r$ , в описанной трапеции и ромбе (ПР-10)

Решать задачи ОГЭ

линии 16 и 19, доказательство (24) и сложная задача (25)

повторение: GEOM8U-073, 075

Разминка · устно

Дуги, касательные, четырёхугольники

$A BC D$ вписан, $∠ A = 8 5^{\circ}$ . $∠ C = ?$ $9 5^{\circ}$
Вписанный угол опирается на дугу $11 0^{\circ}$ . Он равен… $5 5^{\circ}$
$A BC D$ описан, $A B + C D = 15$ . Периметр? $30$
Отрезок касательной из точки $M$ равен $4$ . Второй из той же точки? $4$

В трапецию вписана окружность, $r = 5$ . Высота? $10$
Около ромба описана окружность. Это… квадрат
Площадь треугольника: основание $8$ , высота $3$ . $12$

R05.3

Сводка · вписанный четырёхугольник

Противоположные углы — в сумме $18 0^{\circ}$

Все вершины лежат на окружности. Центр

O

— пересечение серединных перпендикуляров к сторонам.

1

α = \frac{1}{2} BC D ⌣

вписанный угол

A

2

γ = \frac{1}{2} B A D ⌣

вписанный угол

C

3

α + γ = \frac{1}{2} \cdot 36 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

дуги

BC D

и

B A D

составляют окружность

∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}

2,5 мин · теория
Сводка теоремы урока GEOM8U-075 — ученики восстанавливают доказательство по вопросам: «На какую дугу опирается угол A? угол C? Сколько градусов в двух дугах вместе?»
Цвет: угол α и дуга BCD — бирюзовые, угол γ и дуга BAD — розовые. Главный вопрос практикума — «на какую дугу опирается угол?».
Ещё одно следствие для задач с диагоналями: углы ABD и ACD опираются на одну дугу AD — они равны (сл. 5).
Обратное утверждение (признак) — урок GEOM8U-083.

R05.3

Образец → сам · углы через дуги и диагонали

Найдите углы вписанного четырёхугольника

Образец: $A BC D$ вписан, $∠ A B D = 4 0^{\circ}$ , $∠ D BC = 3 5^{\circ}$ , $∠ B A D = 9 8^{\circ}$ . Найдите $∠ A D C$ , $∠ BC D$ , $∠ A C D$ .

$∠ A BC = 7 5^{\circ}$ ⇒ $∠ A D C = 10 5^{\circ}$ сумма $18 0^{\circ}$

$∠ BC D = 18 0^{\circ} - 9 8^{\circ} = 8 2^{\circ}$ противоположный $∠ A$

$∠ A C D = ∠ A B D = 4 0^{\circ}$ опираются на дугу $A D$

Сам

$A BC D$ вписан, $∠ B A C = 3 0^{\circ}$ , $∠ C A D = 4 5^{\circ}$ . Найдите $∠ BC D$ . $10 5^{\circ}$
$A BC D$ вписан, $A B = BC$ , $∠ A BC = 11 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A D B$ . $3 5^{\circ}$
Углы вписанного $A BC D$ : $∠ A : ∠ B : ∠ C = 2 : 3 : 4$ . Найдите все углы. $6 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ , $12 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$

2,5 мин · практика
Образец: ∠ABC = 40° + 35° = 75°, ∠ADC = 180° − 75° = 105°; ∠BCD = 180° − 98° = 82°; ∠ACD и ∠ABD — вписанные, опираются на дугу AD (B и C по одну сторону от AD) ⇒ 40°. Проверка дугами: AB = 84°, BC = 126°, CD = 70°, DA = 80° (сумма 360°).
1) ∠BAD = 30° + 45° = 75° ⇒ ∠BCD = 105°.
2) △ABC равнобедренный: ∠BCA = (180° − 110°) : 2 = 35°; ∠ADB = ∠ACB = 35° (дуга AB).
3) ∠A + ∠C = 6k = 180° ⇒ k = 30°: ∠A = 60°, ∠B = 90°, ∠C = 120°, ∠D = 180° − 90° = 90°.
Ошибка в 2: искать ∠ADB через ∠ADC. Подсказка: «На какую дугу опирается ∠ADB? Какой ещё угол на неё опирается?»

R05.3

Сводка · описанный четырёхугольник

Суммы противоположных сторон равны

Окружность касается всех сторон. Центр

I

— пересечение биссектрис углов.

1Из каждой вершины — два равных отрезка:

x

,

y

,

z

,

w

отрезки касательных из одной точки

2

A B + C D = (x + y) + (z + w)

каждая сторона — сумма двух отрезков

3

BC + A D = (y + z) + (w + x)

— то жезначит, суммы равны

A B + C D = BC + A D = p

R05.3

Образец → сам · отрезки касательных

Стороны через точки касания

Образец: окружность касается $A B$ , $BC$ , $C D$ , $D A$ в $K$ , $L$ , $M$ , $N$ ; $A K = 2$ , $B K = 4$ , $C L = 6$ , $D N = 3$ . Найдите стороны и $P$ .

$A N = 2$ , $B L = 4$ , $CM = 6$ , $D M = 3$ отрезки касательных

$A B = 6$ , $BC = 10$ , $C D = 9$ , $D A = 5$ $6 + 9 = 10 + 5$ ✓

$P = 2 \cdot (2 + 4 + 6 + 3) = 30$

Сам

Окружность касается $A B$ в $K$ : $A K = 3$ , $B K = 5$ , $C D = 10$ . Найдите $P$ . $36$
$A B = 9$ , $BC = 12$ , $C D = 10$ , $A K = 4$ ( $K$ на $A B$ ). Найдите $D M$ ( $M$ на $C D$ ). $3$
Отрезки касательных из вершин: $1$ , $2$ , $3$ и $x$ ; $P = 20$ . Найдите $x$ . $4$

R05.3

Сводка · площадь описанного четырёхугольника

Формула $S = p r$

1

S = S_{A I B} + S_{B I C} + S_{C I D} + S_{D I A}

соединим центр

I

с вершинами

2

S_{A I B} = \frac{1}{2} A B \cdot r

, и так для каждой сторонывысота каждого треугольника — радиус в точку касания

3

S = \frac{1}{2} r (A B + BC + C D + D A) = p r

p

— полупериметр; в описанном

p = A B + C D

Трапеция: основания — параллельные касательные ⇒ $h = 2 r$

2 мин · теория
Новая формула практикума. Тот же вывод годится для любого многоугольника, в который вписана окружность (для треугольника — та же формула S = pr).
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной (7 класс) — поэтому он высота треугольника AIB.
Трапеция: расстояние между параллельными касательными равно диаметру, поэтому высота описанной трапеции h = 2r.
Ошибка: S = P · r с полным периметром — площадь получится вдвое больше.

R05.3

Образец → сам · радиус и площадь

Ромб и формула $S = p r$

Образец: ромб со стороной $10$ и углом $3 0^{\circ}$ . Найдите радиус вписанной окружности.

$h = 10 sin 3 0^{\circ} = 5$ , $S = 10 \cdot 5 = 50$ $△ A B H$

$p = \frac{4 \cdot 10}{2} = 20$ ромб описан: $A B + C D = BC + A D$

$r = \frac{S}{p} = 2, 5$ проверка: $h = 2 r$ ✓

Сам

Описанный четырёхугольник: $P = 30$ , $r = 4$ . Найдите $S$ . $60$
Описанный $A BC D$ : $A B + C D = 17$ , $S = 51$ . Найдите $r$ . $3$
Диагонали ромба $12$ и $16$ . Найдите радиус вписанной окружности. $4, 8$

R05.3

Ключевая задача · учитель решает

Равнобедренная трапеция, описанная около окружности

Дано:

A B = C D = c

,

A D = a

,

BC = b

, в трапецию вписана окружность.
Найти:

c

,

h

,

r

через

a

и

b

.

1

2 c = a + b

⇒

c = \frac{a + b}{2}

суммы противоположных сторон равны

2

A H = \frac{a - b}{2}

равнобедренная трапеция

3

h^{2}

= \frac{( a + b ) ^{2} - ( a - b ) ^{2}}{4} = ab

теорема Пифагора в

△ A B H

4

h = ab

,

r = \frac{ab}{2}

h = 2 r

R05.3

Образец → сам · трапеция, чертёж строим сами

Описанная трапеция: средняя линия и площадь

Образец: трапеция описана около окружности радиуса $3$ , боковые стороны $7$ и $11$ . Найдите $S$ .

$A D + BC = 7 + 11 = 18$ описанная

$m = 9$ , $h = 2 r = 6$ средняя линия; $h = 2 r$

$S = m \cdot h = 54$ основания знать не нужно

Сам: сначала чертёж

Описанная трапеция: $P = 40$ , $r = 4$ . Найдите $S$ . $80$
Равнобедренная трапеция с основаниями $1$ и $9$ описана около окружности. Найдите $S$ . $15$
Описанная трапеция $A BC D$ ( $A D ∥ BC$ ): $A B = 6$ , $C D = 10$ , $BC = 5$ . Найдите $A D$ . $11$

R05.3

Схема · что дано → чем решать

Опорная таблица практикума

Дано	Что использовать	Формула
$A BC D$ вписан	противоположные углы; углы на одну дугу	$∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$
$A BC D$ описан	отрезки касательных; противоположные стороны	$A B + C D = BC + A D = p$
описан, есть $r$	площадь через полупериметр	$S = p r$
трапеция описана	высота и средняя линия	$h = 2 r$ , $m = \frac{c + d}{2}$
трапеция вписана	она равнобедренная	$∠ A = ∠ D$ , $A B = C D$
равнобедренная, описана	ключевая задача	$c = \frac{a + b}{2}$ , $h = ab$

R05.3

Образец → сам · задача на доказательство

План доказательства и обоснования

Образец: $A BC D$ описан около окружности с центром $I$ . Докажите: $∠ A I B + ∠ C I D = 18 0^{\circ}$ .

$I A$ , $I B$ , $I C$ , $I D$ — биссектрисы $I$ равноудалён от сторон

$∠ A I B = 18 0^{\circ} - \frac{∠ A + ∠ B}{2}$ , $∠ C I D = 18 0^{\circ} - \frac{∠ C + ∠ D}{2}$

сумма $= 36 0^{\circ} - \frac{36 0 ^{\circ}}{2} = 18 0^{\circ}$ углы четырёхугольника

Сам: составьте план

Докажите: прямоугольник, описанный около окружности, — квадрат. $A B + C D = BC + A D$ , $A B = C D$ , $BC = A D$ ⇒ $A B = BC$
$A BC D$ вписан, $A B = C D$ . Докажите: $BC ∥ A D$ . дуги $A B = C D$ ⇒ $∠ A D B = ∠ D BC$ — накрест лежащие
$A BC D$ вписан, $A C$ — биссектриса $∠ A$ . Докажите: $BC = C D$ . равные вписанные углы ⇒ равные дуги ⇒ равные хорды

2,5 мин · практика
Образец: центр вписанной окружности равноудалён от сторон ⇒ лежит на биссектрисах углов. В △AIB: ∠AIB = 180° − ∠A/2 − ∠B/2; в △CID аналогично. Сумма: 360° − (∠A + ∠B + ∠C + ∠D)/2 = 360° − 180° = 180°.
1) Противоположные стороны прямоугольника равны: 2AB = 2BC ⇒ все стороны равны ⇒ квадрат (прямоугольник с равными соседними сторонами).
2) Равные хорды стягивают равные дуги: дуга AB = дуге CD. ∠ADB опирается на дугу AB, ∠DBC — на дугу CD ⇒ они равны. Это накрест лежащие углы при прямых BC, AD и секущей BD ⇒ BC ∥ AD. (Трапеция или прямоугольник.)
3) ∠BAC = ∠CAD ⇒ дуги BC и CD, на которые они опираются, равны ⇒ равны хорды BC и CD.
Критерий: каждый шаг с обоснованием («по свойству…», «по теореме…»); «видно на рисунке» не принимается.

R05.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$S = P \cdot r$	в формуле полупериметр, а не периметр	$S = p r = \frac{1}{2} P r$
В описанной трапеции $h = r$	между параллельными касательными — диаметр	$h = 2 r$
« $a + b = c + d$ , значит, трапецию можно вписать в окружность»	это условие для вписанной в неё окружности	в окружность вписывается только равнобедренная трапеция
Проекция боковой стороны $= a - b$	разность оснований делится между двумя сторонами	$A H = \frac{a - b}{2}$ (равнобедренная)

R05.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A BC D$ вписан, $∠ A B D = 3 0^{\circ}$ , $∠ CB D = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A D C$ .

$∠ A D C = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 15 0^{\circ}$

$∠ A BC = 8 0^{\circ}$ ⇒ $∠ A D C = 10 0^{\circ}$

б) Равнобедренная трапеция с основаниями $4$ и $9$ описана. Найдите $h$ .

$c = 6, 5$ ; $h = 6, 5^{2} - 5^{2} = 17, 25$

проекция $\frac{9 - 4}{2} = 2, 5$ , $h = 6, 5^{2} - 2, 5^{2} = 6$

в) «Докажем», что вписанный ромб — квадрат.

$∠ A = ∠ C$ — опираются на одну дугу $B D$ , значит, $∠ A = 9 0^{\circ}$

дуги разные: $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ и $∠ A = ∠ C$ (ромб) ⇒ $9 0^{\circ}$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Противоположный ∠ADC угол — весь ∠ABC = 30° + 50° = 80°, а не его часть ∠ABD. ∠ADC = 100°.
б) c = (4 + 9)/2 = 6,5 верно; ошибка — проекция боковой стороны взята 9 − 4 = 5, а она равна 2,5. h = √(42,25 − 6,25) = 6 = √(4 · 9).
в) Углы A и C опираются на разные дуги BCD и BAD (вместе — вся окружность), поэтому равенство «по одной дуге» ложно, и вывод «90°» из него не следует. Верно: ∠A + ∠C = 180° (вписанный), ∠A = ∠C (ромб) ⇒ ∠A = 90°, ромб с прямым углом — квадрат.

R05.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $A BC D$ вписан, $∠ B - ∠ D = 4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ . $11 0^{\circ}$
база $A BC D$ описан, $A B = 11$ , $BC = 6$ , $A D = 13$ . Найдите $C D$ . $8$
базаОписанный четырёхугольник: $P = 24$ , $r = 2, 5$ . Найдите $S$ . $30$

базаБоковые стороны описанной трапеции $5$ и $7$ . Найдите среднюю линию. $6$
базаОкружность радиуса $4$ вписана в трапецию. Найдите высоту. $8$
базаПрямоугольник вписан в окружность, угол между диагоналями $6 0^{\circ}$ , меньшая сторона $7$ . Найдите $R$ . $7$

R05.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A BC D$ вписан, $∠ A B D = 4 0^{\circ}$ , $∠ C A D = 5 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A D C$ . $8 5^{\circ}$
повыш.Прямоугольная трапеция с основаниями $4$ и $12$ описана около окружности. Найдите $r$ . $3$
повыш.Равнобедренная трапеция описана около окружности радиуса $6$ , боковая сторона $13$ . Найдите основания. $8$ и $18$
повыш. $A BC D$ вписан, $A B$ — диаметр, $∠ BC D = 13 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A B D$ . $4 0^{\circ}$

R05.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 19

Ответ — число или номера утверждений

ОГЭ 16Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции $22$ , средняя линия $5$ . Найдите боковую сторону. $6$
ОГЭ 16Четырёхугольник $A BC D$ вписан в окружность. $∠ A B D = 6 1^{\circ}$ , $∠ C A D = 3 7^{\circ}$ . Найдите $∠ A BC$ . $98$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Площадь четырёхугольника с вписанной окружностью равна произведению полупериметра на её радиус.
Около любой трапеции можно описать окружность.
В любой ромб можно вписать окружность.

Ответ: 13

R05.3 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 24 и 25

Вторая часть: доказательство и сложная задача

ОГЭ 24 Трапеция вписана в окружность и описана около другой окружности. Докажите, что её боковая сторона равна средней линии.

вписана ⇒ равнобедренная: $A B = C D = c$

описана ⇒ $2 c = A D + BC$ ⇒ $c = \frac{A D + BC}{2} = m$

ОГЭ 25 Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны $3$ и $5$ . Средняя линия делит её на две части, площади которых относятся как $5 : 11$ . Найдите большее основание.

$a + b = 8$ , $m = 4$ ; высоты частей равны $\frac{h}{2}$

$\frac{b + 4}{a + 4} = \frac{5}{11}$ ⇒ $b = 1$ , $a = 7$

2 мин · практика
24) Полное решение на 2 балла: 1) трапеция вписана в окружность ⇒ она равнобедренная (при AD ∥ BC: ∠A + ∠C = 180° — вписанный, ∠D + ∠C = 180° — односторонние ⇒ ∠A = ∠D) ⇒ AB = CD = c; 2) трапеция описана ⇒ AB + CD = AD + BC ⇒ 2c = AD + BC; 3) средняя линия m = (AD + BC)/2 = c.
25) a + b = 3 + 5 = 8 (описанная), m = 4. Средняя линия делит высоту пополам, площади частей: (b + 4)/2 · h/2 и (a + 4)/2 · h/2 ⇒ (b + 4) : (a + 4) = 5 : 11 ⇒ 11b + 44 = 5a + 20; с a + b = 8: 16b = 16, b = 1, a = 7. Ответ: 7. (Чертёж точный: при основаниях 7 и 1 и боковых 3 и 5 высота 2√14/3.)
На уроке — устное обсуждение плана; запись 25 полностью — в ДЗ по желанию.

R05.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$A BC D$ вписан, $∠ A B D = 3 5^{\circ}$ , $∠ D BC = 4 5^{\circ}$ , $∠ B A D = 10 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A D C$ и $∠ BC D$ . $10 0^{\circ}$ , $7 5^{\circ}$
Окружность касается $A B$ в $K$ : $A K = 3$ , $B K = 5$ , $C D = 9$ . Найдите $P_{A BC D}$ . $34$
Равнобедренная трапеция с основаниями $1$ и $16$ описана. Найдите $h$ и $r$ . $4$ и $2$
Диагонали ромба $6$ и $8$ . Найдите $r$ . $2, 4$

Вариант 2

$A BC D$ вписан, $∠ B A C = 2 5^{\circ}$ , $∠ C A D = 4 0^{\circ}$ , $∠ A BC = 9 5^{\circ}$ . Найдите $∠ BC D$ и $∠ A D C$ . $11 5^{\circ}$ , $8 5^{\circ}$
Окружность касается $A B$ в $K$ : $A K = 4$ , $B K = 2$ , $C D = 7$ . Найдите $P_{A BC D}$ . $26$
Равнобедренная трапеция с основаниями $4$ и $25$ описана. Найдите $h$ и $r$ . $10$ и $5$
Диагонали ромба $18$ и $24$ . Найдите $r$ . $7, 2$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти угол вписанного четырёхугольника через диагональ?
Почему $S = p r$ ?
Чему равна высота равнобедренной описанной трапеции?

Домашнее задание

$A BC D$ вписан, $∠ B A C = 3 0^{\circ}$ , $∠ C A D = 5 0^{\circ}$ , $∠ A BC = 8 5^{\circ}$ . Найдите $∠ BC D$ и $∠ A D C$ .
Прямоугольная трапеция с основаниями $6$ и $12$ описана. Найдите $r$ и $S$ .
* Выведите без подсказки: $h = ab$ для равнобедренной описанной трапеции.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_vpisannaya_i_opisannaya_okruzhnosti.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-082 · Практикум: вписанные и описанные четырёхугольники

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью», 20 ч · урок 10/20 · тип П
Единицы → слайды	R05.3 «Вписанные и описанные четырехугольники» → 2, 4–21 · повторение R05.1, R05.3 (GEOM8U-073, 075) → 3
Результаты	ПР-10 (вписанный угол, описанная и вписанная окружность четырёхугольника, применение свойств в задачах) → 4–21
Вне урока	признаки вписанного четырёхугольника — GEOM8U-083; взаимное расположение окружностей — GEOM8U-084
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: вписанные и описанные четырёхугольники

Сегодня вы научитесь

Находить углы

Работать с касательными

Находить r и площадь

Решать задачи ОГЭ

Дуги, касательные, четырёхугольники

Противоположные углы — в сумме 180∘

Найдите углы вписанного четырёхугольника

Образец: ABCD вписан, ∠ABD=40∘, ∠DBC=35∘, ∠BAD=98∘. Найдите ∠ADC, ∠BCD, ∠ACD.

Сам

Суммы противоположных сторон равны

Стороны через точки касания

Образец: окружность касается AB, BC, CD, DA в K, L, M, N; AK=2, BK=4, CL=6, DN=3. Найдите стороны и P.

Сам

Формула S=pr

Ромб и формула S=pr

Образец: ромб со стороной 10 и углом 30∘. Найдите радиус вписанной окружности.

Сам

Равнобедренная трапеция, описанная около окружности

Описанная трапеция: средняя линия и площадь

Образец: трапеция описана около окружности радиуса 3, боковые стороны 7 и 11. Найдите S.

Сам: сначала чертёж

Опорная таблица практикума

План доказательства и обоснования

Образец: ABCD описан около окружности с центром I. Докажите: ∠AIB+∠CID=180∘.

Сам: составьте план

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) ABCD вписан, ∠ABD=30∘, ∠CBD=50∘. Найдите ∠ADC.

б) Равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 9 описана. Найдите h.

в) «Докажем», что вписанный ромб — квадрат.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — число или номера утверждений

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: доказательство и сложная задача

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-082 · Практикум: вписанные и описанные четырёхугольники

Находить $r$ и площадь

Противоположные углы — в сумме $18 0^{\circ}$

Образец: $A BC D$ вписан, $∠ A B D = 4 0^{\circ}$ , $∠ D BC = 3 5^{\circ}$ , $∠ B A D = 9 8^{\circ}$ . Найдите $∠ A D C$ , $∠ BC D$ , $∠ A C D$ .

Образец: окружность касается $A B$ , $BC$ , $C D$ , $D A$ в $K$ , $L$ , $M$ , $N$ ; $A K = 2$ , $B K = 4$ , $C L = 6$ , $D N = 3$ . Найдите стороны и $P$ .

Формула $S = p r$

Ромб и формула $S = p r$

Образец: ромб со стороной $10$ и углом $3 0^{\circ}$ . Найдите радиус вписанной окружности.

Образец: трапеция описана около окружности радиуса $3$ , боковые стороны $7$ и $11$ . Найдите $S$ .

Образец: $A BC D$ описан около окружности с центром $I$ . Докажите: $∠ A I B + ∠ C I D = 18 0^{\circ}$ .

а) $A BC D$ вписан, $∠ A B D = 3 0^{\circ}$ , $∠ CB D = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A D C$ .

б) Равнобедренная трапеция с основаниями $4$ и $9$ описана. Найдите $h$ .