Углы и четырёхугольники, связанные с окружностью · урок 8 из 20 · практикум

Практикум: вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM8U-080

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью» (20 ч), урок 8/20, единица R05.1. Тип урока — П (практикум): теория — короткая сводка и два разбора у доски.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · опорный конспект 2,5 · ключевые конфигурации 2,5 · разбор у доски: лемма о трезубце 3,5 · разбор у доски: ОГЭ 25 — 3.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2 + 3 + 2 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2 · ОГЭ 16/19 — 2 · ОГЭ 24 — 1,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец 6 (клетчатая бумага) и повышенный уровень — в ДЗ; разбор ОГЭ 25 не сокращать.

R05.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Видеть конфигурацию

на какую дугу опирается угол, где центр, где касательная (ПР-10)

Вычислять углы и дуги

во вписанном треугольнике, с касательными, через уравнение (ПР-10)

Доказывать

равенство углов и отрезков, лемму о трезубце

Строить и решать ОГЭ

касательная из точки, задачи 16, 19, 24, 25

повторение: GEOM8U-073, 079

Разминка · устно

Углы и дуги за 10 секунд

На чертеже: $∠ A OB = 12 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A CB$ . $6 0^{\circ}$
Вписанный угол $2 5^{\circ}$ . Дуга, на которую он опирается? $5 0^{\circ}$
Угол между касательной $t$ и хордой $A B$ равен $4 0^{\circ}$ . Дуга внутри угла? $8 0^{\circ}$
$A B$ — диаметр, $∠ A BC = 3 5^{\circ}$ . Найдите $∠ B A C$ . $5 5^{\circ}$
Вписанный угол опирается на дугу $25 0^{\circ}$ . Угол? $12 5^{\circ}$
$P A$ , $PB$ — касательные, $P A = 7$ . Найдите $PB$ . $7$

R05.1

Опорный конспект

Четыре угла — одна дуга

Угол	Вершина	Величина
центральный	в центре	$∠ A OB = A B ⌣$
вписанный	на окружности	$∠ A CB = \frac{1}{2} A B ⌣$
касательная и хорда	в точке касания	$∠ T A B = \frac{1}{2} A B ⌣$ (дуга внутри угла)
две касательные	вне круга	$∠ A PB = 18 0^{\circ} - ∠ A OB$

R05.1

Ключевые конфигурации

Три картинки, которые решают задачи

1. Разные стороны хорды

$α + β = 18 0^{\circ}$

дуги в сумме $36 0^{\circ}$ , половины — $18 0^{\circ}$

2. Касательная = вписанный

$∠ T A B = ∠ A CB$

оба равны $\frac{1}{2} A B ⌣$

3. Параллельные хорды

$A B ∥ C D \Rightarrow A C ⌣ = B D ⌣$

накрест лежащие $∠ A BC = ∠ BC D$

2,5 мин · теория
1) Вершины C и D по разные стороны от хорды AB: углы опираются на дополняющие дуги (их сумма 360°), значит, α + β = 180°. На чертеже α = 70°, β = 110°.
2) Угол между касательной и хордой равен любому вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу с другой стороны хорды (на чертеже φ = 57,5°). Эту картинку используем в образце 4 и в ОГЭ.
3) Секущая BC: ∠ABC и ∠BCD накрест лежащие при AB ∥ CD, они вписанные и опираются на дуги AC и BD — дуги равны, а значит, равны и хорды AC = BD (трапеция, вписанная в окружность, — равнобокая; подробно — GEOM8U-076).

R05.1

Образец → сам · вписанный треугольник и центр

Углы с вершиной в центре

Образец: $△ A BC$ вписан в окружность с центром $O$ , $∠ A = 5 0^{\circ}$ , $∠ B = 6 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A OB$ и $∠ O A B$ .

$∠ C = 18 0^{\circ} - 5 0^{\circ} - 6 5^{\circ} = 6 5^{\circ}$ сумма углов

$∠ A OB = 2∠ C = 13 0^{\circ}$ центральный на дугу $A B$

$∠ O A B = (18 0^{\circ} - 13 0^{\circ}) : 2 = 2 5^{\circ}$ $O A = OB$

Сам

$∠ A = 4 0^{\circ}$ , $∠ B = 7 5^{\circ}$ . Найдите $∠ OBC$ . $5 0^{\circ}$
$∠ C = 11 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A OB$ и $∠ O A B$ . $14 0^{\circ}$ и $2 0^{\circ}$
Треугольник остроугольный, $∠ O A B = 1 8^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $7 2^{\circ}$

2,5 мин · практика
Образец: угол C — вписанный, опирается на дугу AB; центральный AOB — на ту же дугу. Треугольник AOB равнобедренный (радиусы). Чертёж точный: дуги BC = 100°, CA = 130°, AB = 130°.
1) ∠BOC = 2∠A = 80°, ∠OBC = (180° − 80°) : 2 = 50°.
2) Тупой ∠C опирается на большую дугу AB = 220°; угол AOB (меньше развёрнутого) опирается на другую дугу: 360° − 220° = 140°; ∠OAB = (180° − 140°) : 2 = 20°. Центр лежит вне треугольника. Ловушка: ответ 220°.
3) ∠AOB = 180° − 2 · 18° = 144° ⇒ ∠C = 72° (в остроугольном треугольнике C и O по одну сторону от AB).

R05.1

Образец → сам · две касательные и вписанный угол

Через центральный угол $A OB$

Образец: $P A$ , $PB$ — касательные, $∠ A PB = 5 0^{\circ}$ , $C$ — на большей дуге $A B$ . Найдите $∠ A CB$ .

$∠ O A P = ∠ OBP = 9 0^{\circ}$ касательная $⊥$ радиусу

$∠ A OB = 36 0^{\circ} - 18 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 13 0^{\circ}$ сумма углов $O A PB$

$∠ A CB = 13 0^{\circ} : 2 = 6 5^{\circ}$ вписанный на дугу $A B$

Сам

$∠ A PB = 7 0^{\circ}$ , $C$ — на большей дуге. Найдите $∠ A CB$ . $5 5^{\circ}$
$∠ A CB = 4 0^{\circ}$ , $C$ — на большей дуге. Найдите $∠ A PB$ . $10 0^{\circ}$
$∠ A PB = 5 0^{\circ}$ , $D$ — на меньшей дуге $A B$ . Найдите $∠ A D B$ . $11 5^{\circ}$

R05.1

Образец → сам · обратная задача, уравнение

Неизвестный угол — через $x$

Образец: дуга $A B$ , не содержащая $C$ , равна $10 0^{\circ}$ , $∠ B$ на $4 0^{\circ}$ больше $∠ A$ . Найдите углы $△ A BC$ .

$∠ C = 10 0^{\circ} : 2 = 5 0^{\circ}$ вписанный

$x + (x + 4 0^{\circ}) = 13 0^{\circ}$ , $x = 4 5^{\circ}$ сумма углов

$4 5^{\circ}, 8 5^{\circ}, 5 0^{\circ}$ проверка: $18 0^{\circ}$

Сам

Вписанный $∠ A CB$ и центральный $∠ A OB$ на ту же дугу в сумме $15 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A CB$ . $5 0^{\circ}$
Угол между касательной и хордой $A B$ втрое меньше вписанного угла на $A B$ с другой стороны. Найдите оба угла. $4 5^{\circ}$ и $13 5^{\circ}$
Углы $△ A BC$ относятся как $2 : 3 : 4$ . На какие дуги вершины делят описанную окружность? $8 0^{\circ}$ , $12 0^{\circ}$ , $16 0^{\circ}$

R05.1

Разбор у доски · доказательство

Лемма о трезубце: $W B = W C = W I$

Дано:

I

— точка пересечения биссектрис

△ A BC

,

A I

пересекает окружность в

W

.
Доказать:

W B = W C = W I

.

1

∠ B A W = ∠ W A C = α

\Rightarrow B W ⌣ = W C ⌣

\Rightarrow

W B = W C

равные вписанные углы, равные дуги — равные хорды

2

∠ W BC = ∠ W A C = α

вписанные, опираются на дугу

W C

3

∠ W B I = α + β

∠ W B I = ∠ W BC + ∠ CB I

4

∠ W I B = α + β

внешний угол

△ A B I

5

△ B W I

равнобедренный:

W B = W I

, итог

W B = W C = W I

R05.1

Образец → сам · задача на доказательство

План и обоснование каждого шага

Образец: $A B$ — диаметр, касательная в точке $C$ , $A D ⊥$ касательной. Докажите: $A C$ — биссектриса $∠ D A B$ .

$∠1 = ∠2$ касательная и хорда $C A$ ; вписанный на дугу $C A$

$∠3 = 9 0^{\circ} - ∠1$ , $∠4 = 9 0^{\circ} - ∠2$ $△ A D C$ ; $∠ A CB = 9 0^{\circ}$

$∠3 = ∠4$ — $A C$ биссектриса

Сам: план и обоснования

$C$ — середина дуги $A B$ . Докажите: касательная в $C$ параллельна $A B$ . угол касательной с $C A$ $= \frac{1}{2} C A ⌣ = \frac{1}{2} CB ⌣ = ∠ C A B$ — накрест лежащие
$A T$ — касательная, $∠ T A B = ∠ B A C$ ( $B$ , $C$ — на окружности). Докажите: $A B = BC$ . $∠ T A B = ∠ BC A$ ⇒ $∠ B A C = ∠ BC A$
$A H$ — высота остроугольного $△ A BC$ , $O$ — центр описанной окружности. Докажите: $∠ B A H = ∠ O A C$ . оба равны $9 0^{\circ} - ∠ B$

3 мин · практика (работа в парах: один пишет план, другой — обоснования)
Образец: ∠1 = ∠DCA — угол между касательной и хордой CA, равен ½ дуги CA; ∠2 = ∠CBA — вписанный, опирается на ту же дугу. ∠ACB = 90° (на диаметр), ∠ADC = 90° (по условию). Угол между радиусом и касательной не нужен — достаточно конфигурации 2. На чертеже ∠1 = ∠2 = 57,5°, ∠3 = ∠4 = 32,5°.
1) Угол между касательной и хордой CA равен ½ дуги CA; ∠CBA = ½ дуги CA, ∠CAB = ½ дуги CB; дуги CA и CB равны ⇒ угол касательной с CA равен ∠CAB, это накрест лежащие углы при секущей CA ⇒ касательная ∥ AB.
2) ∠TAB = ½ дуги AB (внутри угла) = ∠BCA (вписанный на дугу AB, C — на другой дуге). Тогда в △ABC ∠BAC = ∠BCA ⇒ AB = BC.
3) ∠BAH = 90° − ∠B (△ABH прямоугольный). ∠AOC = 2∠B (центральный), △AOC равнобедренный ⇒ ∠OAC = (180° − 2∠B) : 2 = 90° − ∠B. Сильным — все три, остальным — 1 и 2.

R05.1

Образец → сам · построение циркулем и линейкой

Прямой угол «видит» диаметр

Образец: постройте касательную к окружности с центром $O$ через точку $P$ вне её.

$M$ — середина $OP$ ; окружность с центром $M$ радиуса $MO$ $OP$ — её диаметр

$T_{1}$ , $T_{2}$ — точки пересечения окружностей; $P T_{1}$ , $P T_{2}$ — касательные $∠ O T_{1} P = 9 0^{\circ}$ — опирается на диаметр

Сам: циркуль и линейка

Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе $6$ см и катету $4$ см. окружность на гипотенузе как на диаметре, из её конца — засечка радиусом $4$ см
Где лежат все точки, из которых отрезок $A B$ виден под прямым углом? на окружности с диаметром $A B$ (кроме $A$ и $B$ )
Середина $A B = 6$ удалена от прямой $l$ на $d$ . Сколько на $l$ точек, из которых $A B$ виден под $9 0^{\circ}$ ? $2$ при $d < 3$ , $1$ при $d = 3$ , $0$ при $d > 3$

2 мин · практика (у учеников циркуль и линейка)
Образец: ∠OT₁P — вписанный в окружность с диаметром OP, значит, прямой; прямая PT₁ перпендикулярна радиусу OT₁ в точке окружности — касательная (признак касательной, 7 класс). Две касательные, PT₁ = PT₂.
1) Гипотенуза AB = 6, окружность на AB как на диаметре; из A — дуга радиуса 4; точка пересечения C даёт ∠ACB = 90°. Второй катет √20 = 2√5 ≈ 4,5 см (проверка линейкой).
2) Это множество точек — следствие «вписанный угол на диаметр — прямой» и обратного утверждения. 3) Окружность с диаметром AB имеет радиус 3: число общих точек с прямой — по расстоянию от центра до прямой.

R05.1

Образец → сам · клетчатая бумага

Угол по клеточкам — без транспортира

Образец: $O (0; 0)$ , радиус $5$ клеток, $A (- 4; 3)$ , $B (3; 4)$ , $C (0; - 5)$ . Найдите $∠ A CB$ .

$∠ A OB = 9 0^{\circ}$ прямоугольные треугольники $3 \times 4$ повёрнуты на $9 0^{\circ}$

$∠ A CB = 9 0^{\circ} : 2 = 4 5^{\circ}$ $C$ — на большей дуге $A B$

Сам: та же окружность

$A (- 5; 0)$ , $B (5; 0)$ , $C (3; 4)$ . Найдите $∠ A CB$ . $9 0^{\circ}$
$A (- 4; 3)$ , $B (3; 4)$ , $D (0; 5)$ . Найдите $∠ A D B$ . $13 5^{\circ}$
Угол между касательной в точке $A (0; 5)$ и хордой $A B$ , $B (5; 0)$ ? $4 5^{\circ}$

R05.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$∠ C = 11 0^{\circ} \Rightarrow ∠ A OB = 22 0^{\circ}$	$22 0^{\circ}$ — это дуга; угол $A OB$ опирается на другую дугу	$∠ A OB = 36 0^{\circ} - 22 0^{\circ} = 14 0^{\circ}$
Угол между касательными $∠ A PB = \frac{1}{2} A B ⌣$	вершина вне круга — угол не вписанный	$∠ A PB = 18 0^{\circ} - ∠ A OB$
Угол касательной и хорды — половина любой из двух дуг	берётся дуга внутри угла	острый — половина меньшей дуги, тупой — большей
$∠ O A B = \frac{1}{2} A B ⌣$	$O A$ — радиус, а не касательная	$∠ O A B = 9 0^{\circ} - \frac{1}{2} A B ⌣$

R05.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $P A$ , $PB$ — касательные, $∠ A PB = 7 0^{\circ}$ , $C$ — на большей дуге. Найдите $∠ A CB$ .

$∠ A CB = 7 0^{\circ} : 2 = 3 5^{\circ}$

$∠ A OB = 11 0^{\circ}$ , $∠ A CB = 5 5^{\circ}$

б) $△ A BC$ вписан, $∠ A = 10 0^{\circ}$ . Найдите $∠ BOC$ .

$∠ BOC = 2 \cdot 10 0^{\circ} = 20 0^{\circ}$

дуга $BC = 20 0^{\circ}$ , $∠ BOC = 16 0^{\circ}$

в) Докажите, что вписанные углы $A CB$ и $A D B$ равны.

«Оба опираются на хорду $A B$ , значит, равны».

Нужно: $C$ и $D$ по одну сторону от $A B$ — тогда одна дуга; иначе сумма $18 0^{\circ}$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Угол между касательными — не вписанный: ∠AOB = 180° − 70° = 110°, ∠ACB = 55°.
б) Вписанный тупой угол A опирается на дугу BC = 200°, угол BOC (меньше развёрнутого) опирается на другую дугу: 360° − 200° = 160°.
в) В доказательстве пропущено условие: вписанные углы равны, если опираются на одну дугу (вершины по одну сторону от хорды) — конфигурация 1.

R05.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $P A$ , $PB$ — касательные, $∠ A PB = 6 4^{\circ}$ . Найдите $∠ A OB$ . $11 6^{\circ}$
база $△ A BC$ вписан, $∠ C = 3 8^{\circ}$ . Найдите $∠ A OB$ . $7 6^{\circ}$
базаХорда $A B$ равна радиусу. Найдите $∠ A OB$ . $6 0^{\circ}$

база $∠ T A B = 7 2^{\circ}$ . Вписанный угол на дугу $A B$ внутри угла? $7 2^{\circ}$
база $A B$ — диаметр, $∠ A BC = 3∠ B A C$ . Найдите $∠ B A C$ . $22, 5^{\circ}$
базаДуга $A B = 8 4^{\circ}$ . Вписанные углы на $A B$ с вершиной на большей и на меньшей дуге? $4 2^{\circ}$ и $13 8^{\circ}$

R05.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $△ A BC$ вписан в окружность с центром $O$ , $∠ A = 5 0^{\circ}$ , $∠ B = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ OC A$ . $2 0^{\circ}$
повыш. $C$ — середина меньшей дуги $A B$ , $∠ A CB = 13 0^{\circ}$ . Найдите угол между касательной в $A$ и хордой $A C$ . $2 5^{\circ}$
повыш.В $△ A BC$ $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 2 8^{\circ}$ , $CM$ — медиана. Найдите $∠ BMC$ . $5 6^{\circ}$
повыш. $P A$ , $PB$ — касательные, $C$ — на меньшей дуге $A B$ , $∠ A CB = 11 8^{\circ}$ . Найдите $∠ A PB$ . $5 6^{\circ}$

R05.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 16Касательные в точках $A$ и $B$ к окружности с центром $O$ пересекаются под углом $7 2^{\circ}$ . Найдите $∠ A BO$ . $36$
ОГЭ 16 $A C$ и $B D$ — диаметры, $∠ A O D = 11 0^{\circ}$ . Найдите вписанный $∠ A CB$ . $35$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой внутри угла.
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, равен $18 0^{\circ}$ .
Если вписанный угол равен $3 0^{\circ}$ , то хорда, на которую он опирается, равна радиусу.

Ответ: 13

R05.1 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линия 24

Вспомогательная окружность

ОГЭ 24 В остроугольном $△ A BC$ проведены высоты $A A_{1}$ и $B B_{1}$ . Докажите: $∠ A A_{1} B_{1} = ∠ A B B_{1}$ .

1

∠ A A_{1} B = ∠ A B_{1} B = 9 0^{\circ}

⇒

A_{1}

,

B_{1}

— на окружности с диаметром

A B

прямой угол опирается на диаметр

2

∠ A A_{1} B_{1} = ∠ A B B_{1}

вписанные, опираются на дугу

A B_{1}

+Сам: докажите

∠ C A_{1} B_{1} = ∠ A

.

9 0^{\circ} - ∠ A B B_{1} = ∠ A

R05.1 · ОГЭ, ч. 2

Разбор у доски · ОГЭ 25

Биссектриса до окружности

Биссектриса угла

B

треугольника

A BC

пересекает описанную окружность в точке

W

.

∠ A BC = 6 0^{\circ}

,

A C = 63

. Найдите

A W

.

1

∠ W A C = ∠ W BC = 3 0^{\circ}

вписанные, опираются на дугу

W C

2

∠ W C A = ∠ W B A = 3 0^{\circ}

вписанные, опираются на дугу

W A

3

△ A W C

равнобедренный,

W H ⊥ A C

,

A H = 33

высота — медиана

4

A W = \frac{A H}{cos 3 0 ^{\circ}} = \frac{3 3}{3 /2} = 6

R05.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$P A$ , $PB$ — касательные, $∠ A PB = 4 6^{\circ}$ , $C$ — на большей дуге. Найдите $∠ A CB$ . $6 7^{\circ}$
$△ A BC$ вписан, $∠ C = 5 4^{\circ}$ . Найдите $∠ O A B$ . $3 6^{\circ}$
$∠ T A B = 3 8^{\circ}$ , $D$ — на меньшей дуге $A B$ . Найдите $∠ A D B$ . $14 2^{\circ}$
$A B$ — диаметр, $∠ A BC - ∠ B A C = 2 0^{\circ}$ . Найдите $∠ B A C$ . $3 5^{\circ}$

Вариант 2

$P A$ , $PB$ — касательные, $∠ A PB = 5 8^{\circ}$ , $C$ — на большей дуге. Найдите $∠ A CB$ . $6 1^{\circ}$
$△ A BC$ вписан, $∠ C = 6 6^{\circ}$ . Найдите $∠ O A B$ . $2 4^{\circ}$
$∠ T A B = 4 4^{\circ}$ , $D$ — на меньшей дуге $A B$ . Найдите $∠ A D B$ . $13 6^{\circ}$
$A B$ — диаметр, $∠ A BC - ∠ B A C = 3 6^{\circ}$ . Найдите $∠ B A C$ . $2 7^{\circ}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти угол между касательными через центральный угол?
Когда вписанные углы на одну хорду не равны?
Что такое лемма о трезубце?

Домашнее задание

$∠ A PB = 3 8^{\circ}$ ( $P A$ , $PB$ — касательные). Найдите вписанные углы на хорду $A B$ .
Биссектриса угла $C$ $△ A BC$ пересекает описанную окружность в $W$ . Докажите: $W A = W B$ .
* $∠ A BC = 12 0^{\circ}$ , биссектриса $B W$ , $A C = 9$ . Найдите $A W$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_centralnye_i_vpisannye_ugly.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-080 · Практикум: вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью», 20 ч · урок 8/20 · тип П
Единицы → слайды	R05.1 «Вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой» → 2–21 · повторение GEOM8U-073, 079 → 3
Результаты	ПР-10 (вписанный и центральный угол, угол между касательной и хордой, применение свойств) → 4–21
Вне урока	углы между хордами и секущими — GEOM8U-081 (R05.2); вписанные четырёхугольники — R05.3, R05.4; косинус в сл. 19 — повторение R04
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой

Сегодня вы научитесь

Видеть конфигурацию

Вычислять углы и дуги

Доказывать

Строить и решать ОГЭ

Углы и дуги за 10 секунд

Четыре угла — одна дуга

Три картинки, которые решают задачи

1. Разные стороны хорды

2. Касательная = вписанный

3. Параллельные хорды

Углы с вершиной в центре

Образец: △ABC вписан в окружность с центром O, ∠A=50∘, ∠B=65∘. Найдите ∠AOB и ∠OAB.

Сам

Через центральный угол AOB

Образец: PA, PB — касательные, ∠APB=50∘, C — на большей дуге AB. Найдите ∠ACB.

Сам

Неизвестный угол — через x

Образец: дуга AB, не содержащая C, равна 100∘, ∠B на 40∘ больше ∠A. Найдите углы △ABC.

Сам

Лемма о трезубце: WB=WC=WI

План и обоснование каждого шага

Образец: AB — диаметр, касательная в точке C, AD⊥ касательной. Докажите: AC — биссектриса ∠DAB.

Сам: план и обоснования

Прямой угол «видит» диаметр

Образец: постройте касательную к окружности с центром O через точку P вне её.

Сам: циркуль и линейка

Угол по клеточкам — без транспортира

Образец: O(0;0), радиус 5 клеток, A(−4;3), B(3;4), C(0;−5). Найдите ∠ACB.

Сам: та же окружность

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) PA, PB — касательные, ∠APB=70∘, C — на большей дуге. Найдите ∠ACB.

б) △ABC вписан, ∠A=100∘. Найдите ∠BOC.

в) Докажите, что вписанные углы ACB и ADB равны.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вспомогательная окружность

Биссектриса до окружности

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-080 · Практикум: вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой

Образец: $△ A BC$ вписан в окружность с центром $O$ , $∠ A = 5 0^{\circ}$ , $∠ B = 6 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A OB$ и $∠ O A B$ .

Через центральный угол $A OB$

Образец: $P A$ , $PB$ — касательные, $∠ A PB = 5 0^{\circ}$ , $C$ — на большей дуге $A B$ . Найдите $∠ A CB$ .

Неизвестный угол — через $x$

Образец: дуга $A B$ , не содержащая $C$ , равна $10 0^{\circ}$ , $∠ B$ на $4 0^{\circ}$ больше $∠ A$ . Найдите углы $△ A BC$ .

Лемма о трезубце: $W B = W C = W I$

Образец: $A B$ — диаметр, касательная в точке $C$ , $A D ⊥$ касательной. Докажите: $A C$ — биссектриса $∠ D A B$ .

Образец: постройте касательную к окружности с центром $O$ через точку $P$ вне её.

Образец: $O (0; 0)$ , радиус $5$ клеток, $A (- 4; 3)$ , $B (3; 4)$ , $C (0; - 5)$ . Найдите $∠ A CB$ .

а) $P A$ , $PB$ — касательные, $∠ A PB = 7 0^{\circ}$ , $C$ — на большей дуге. Найдите $∠ A CB$ .

б) $△ A BC$ вписан, $∠ A = 10 0^{\circ}$ . Найдите $∠ BOC$ .

в) Докажите, что вписанные углы $A CB$ и $A D B$ равны.