Углы и четырёхугольники, связанные с окружностью · урок 7 из 20

Общие касательные к двум окружностям

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM8U-079

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью» (20 ч), урок 7/20, единица R05.7. Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · определение 1,5 · число касательных 1,5 · внешняя касательная 2 · внутренняя 1 · касающиеся окружности 1,5 · точка пересечения касательных 1,5 · построение 1,5 · схема 1.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 24/25 — 2,5 · из жизни 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец 5 (точка пересечения касательных) и задачу ОГЭ 25 — в ДЗ; доказательства длин отрезков не сокращать.

R05.7

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Различать касательные

общие внешние и внутренние; считать их число по $d$ , $R$ , $r$ (ПР-10)

Доказывать формулы

длины отрезков общих касательных — через прямоугольник и теорему Пифагора (ПР-9)

Строить

общую касательную циркулем и линейкой и обосновывать построение

Решать задачи

на касающиеся окружности, подобие, ОГЭ 24–25 (ПР-5, ПР-10)

повторение: R05.6, касательная

Разминка · устно

Касательная и две окружности

Какой угол между касательной $P A$ и радиусом $O A$ ? $9 0^{\circ}$
$P A = 7$ . Чему равен $PB$ ? $7$ — отрезки касательных из одной точки
$PO = 13$ , $O A = 5$ . Найдите $P A$ . $12$
$R = 5$ , $r = 3$ , $d = 8$ . Как расположены окружности? касаются внешне
$R = 5$ , $r = 3$ , $d = 2$ ? касаются внутренне
$R = 5$ , $r = 3$ , $d = 11$ ? каждая вне другой
Где лежит точка касания двух окружностей? на линии центров

R05.7

Определение

Внешние и внутренние общие касательные

Общая касательная двух окружностей — прямая, которая касается каждой из них.

Внешняя: окружности лежат по одну сторону от неё, отрезок $O_{1} O_{2}$ она не пересекает.

Внутренняя: окружности по разные стороны, она пересекает отрезок $O_{1} O_{2}$ .

Отрезок общей касательной — между точками касания.

R05.7, R05.5

Свойство · число общих касательных

Сколько общих касательных? Сравните $d$ с $R + r$ и $R - r$

d > R + r

4

2 внешние + 2 внутренние

d = R + r

3

2 внешние + 1 в точке касания

R - r < d < R + r

2

только внешние

d = R - r

1

в точке касания

d < R - r

0

одна внутри другой

1,5 мин · теория
Логика: внутренняя касательная разделяет окружности, поэтому она есть только, если окружности не пересекаются по внутренним точкам (d ≥ R + r). Внешняя касательная есть, пока одна окружность не лежит строго внутри другой (d ≥ R − r).
Число по щелчку: сначала класс называет сам, глядя на картинку. Концентрические окружности (d = 0, R ≠ r) — тоже 0.
Совпадающие окружности (d = 0, R = r) — бесконечно много, этот случай исключаем.

R05.7

Образец → сам · число общих касательных

Сначала сравни $d$ с $R + r$ и $R - r$

Образец: $R = 7$ , $r = 3$ , $d = 9$ . Сколько общих касательных?

$R + r = 10$ , $R - r = 4$

$4 < 9 < 10$ окружности пересекаются

общих касательных $2$ обе внешние

Сам

$R = 6$ , $r = 2$ , $d = 8$ . Сколько общих касательных? $3$ (внешнее касание)
$R = 6$ , $r = 2$ , $d = 4$ . Сколько? $1$ (внутреннее касание)
Радиусы $5$ и $2$ . При каких $d$ у окружностей ровно $4$ общие касательные? $d > 7$

R05.7

Теорема · доказательство

Длина отрезка общей внешней касательной

Дано:

A B

— общая внешняя касательная,

R > r

,

O_{1} O_{2} = d

.
Доказать:

A B^{2} = d^{2} - (R - r)^{2}

.

1

O_{1} A ⊥ A B

,

O_{2} B ⊥ A B

касательная перпендикулярна радиусу

2

O_{2} H ⊥ O_{1} A

;

A B O_{2} H

— прямоугольниктри прямых угла;

H O_{2} = A B

,

A H = r

3

O_{1} H = R - r

H

лежит на радиусе

O_{1} A

4

A B^{2} = H O_{2}^{2} = d^{2} - (R - r)^{2}

теорема Пифагора в

△ O_{1} H O_{2}

R05.7

Теорема · доказательство

Длина отрезка общей внутренней касательной

Дано:

A B

— общая внутренняя касательная,

O_{1} O_{2} = d

.
Доказать:

A B^{2} = d^{2} - (R + r)^{2}

.

1Продлим

O_{1} A

за точку

A

:

A H = r

A H

и

B O_{2}

равны, параллельны и направлены в одну сторону

2

A B O_{2} H

— прямоугольникпараллелограмм (признак 1) с прямым углом

A

3

O_{1} H = R + r

,

A B^{2} = d^{2} - (R + r)^{2}

теорема Пифагора в

△ O_{1} H O_{2}

R05.7

Образец → сам · длина отрезка касательной

Внешняя — разность радиусов, внутренняя — сумма

Образец: $R = 11$ , $r = 4$ , $d = 25$ . Найдите отрезки внешней $A B$ и внутренней $C D$ касательных.

$A B^{2} = 2 5^{2} - 7^{2} = 576$ , $A B = 24$ $R - r = 7$

$C D^{2} = 2 5^{2} - 1 5^{2} = 400$ , $C D = 20$ $R + r = 15$

Сам

$R = 6$ , $r = 1$ , $d = 13$ . Найдите отрезок внешней касательной. $12$
$R = 5$ , $r = 3$ , $d = 10$ . Найдите отрезок внутренней касательной. $6$
$R = 17$ , $r = 7$ , $d = 26$ . Найдите оба отрезка. внешняя $24$ , внутренняя $10$

R05.7

Образец → сам · обратная задача

Известен отрезок касательной — найдите $d$ или радиус

Образец: отрезок внешней касательной $12$ , радиусы $8$ и $3$ . Найдите $d$ .

$△ O_{1} H O_{2}$ : $O_{1} H = 8 - 3 = 5$ , $H O_{2} = A B = 12$

$d^{2} = 1 2^{2} + 5^{2} = 169$ , $d = 13$ Пифагор

Сам

Отрезок внутренней касательной $15$ , радиусы $5$ и $3$ . Найдите $d$ . $17$
$d = 26$ , отрезок внешней касательной $24$ , меньший радиус $3$ . Найдите больший. $13$
$R : r = 3 : 1$ , $d = 20$ , отрезок внутренней касательной $12$ . Найдите радиусы. $12$ и $4$

R05.7, R05.6

Теорема · касающиеся окружности

Окружности касаются внешне: $A B = 2 R r$ и $∠ A K B = 9 0^{\circ}$

Дано: окружности касаются внешне в точке

K

,

A B

— общая внешняя касательная.
Доказать:

A B = 2 R r

,

∠ A K B = 9 0^{\circ}

.

1

d = R + r

,

A B^{2} = (R + r)^{2} - (R - r)^{2} = 4 R r

внешнее касание; теорема о внешней касательной

2касательная в

K

пересекает

A B

в точке

M

:

M A = M K = MB

отрезки касательных из одной точки

3

∠ A K B = 9 0^{\circ}

,

M K = R r

медиана

K M

равна половине стороны

A B

R05.7

Образец → сам · касающиеся окружности

Вычисление и доказательство

Образец: радиусы $9$ и $4$ , окружности касаются внешне в $K$ . Найдите $A B$ и $M K$ .

$A B = 2 9 \cdot 4 = 2 \cdot 6 = 12$ $A B^{2} = 1 3^{2} - 5^{2}$

$M K = M A = MB = 6$ отрезки касательных из $M$

Сам

Радиусы $8$ и $2$ , окружности касаются внешне. Найдите $A B$ . $8$
$A B = 12$ , больший радиус $9$ . Найдите меньший. $4$
Докажите, что $∠ O_{1} M O_{2} = 9 0^{\circ}$ . $M O_{1}$ , $M O_{2}$ — биссектрисы смежных углов $A M K$ и $K MB$

R05.7

Теорема · доказательство

Где пересекаются общие касательные

Дано:

R > r

, внешние касательные пересекаются в

P

.
Доказать:

P \in O_{1} O_{2}

,

P O_{1} : P O_{2} = R : r

.

1

O_{1}

и

O_{2}

лежат на биссектрисе угла

P

центр окружности, вписанной в угол, равноудалён от сторон

2

△ P O_{1} A

\sim

△ P O_{2} B

общий

∠ P

,

∠ A = ∠ B = 9 0^{\circ}

3

\frac{P O _{1}}{P O _{2}} = \frac{O _{1} A}{O _{2} B} = \frac{R}{r}

отношение сходственных сторон

Внутренние касательные пересекаются в точке

Q

отрезка

O_{1} O_{2}

, и тоже

Q O_{1} : Q O_{2} = R : r

.

R05.7

Образец → сам · точка пересечения касательных

Подобие + отрезки касательных

Образец: $R = 15$ , $r = 5$ , $d = 26$ . Внешние касательные пересекаются в $P$ . Найдите $P O_{2}$ и $PB$ .

$P O_{1} : P O_{2} = R : r = 3$ , $P O_{2} + 26 = 3 P O_{2}$

$P O_{2} = 13$ , $PB = 1 3^{2} - 5^{2} = 12$ $△ P O_{2} B$

Сам

$R = 8$ , $r = 2$ , $d = 15$ . Внешние касательные пересекаются в $P$ . Найдите $P O_{2}$ . $5$
Те же окружности: внутренние касательные пересекаются в $Q$ . Найдите $Q O_{1}$ и $Q O_{2}$ . $12$ и $3$
$R = 9$ , $r = 3$ , $P O_{2} = 6$ . Найдите $d$ . $12$

R05.7

Построение · циркуль и линейка

Как построить общую внешнюю касательную

1Окружность

(O_{1}; R - r)

2Окружность на диаметре

O_{1} O_{2}

даёт точку

C

:

∠ O_{1} C O_{2} = 9 0^{\circ}

вписанный угол, опирающийся на диаметр

3

O_{2} C

— касательная к вспомогательной окружности; луч

O_{1} C

пересекает данную в

A

4

O_{2} B ∥ O_{1} A

,

A B

— искомая

A C O_{2} B

— прямоугольник:

A C = B O_{2} = r

,

A C ∥ B O_{2}

1,5 мин · теория
Идея: «уменьшим» обе окружности на r — меньшая превратится в точку O₂, большая — в окружность радиуса R − r. Касательная из точки строится через окружность на диаметре (угол O₁CO₂ — вписанный, опирается на диаметр).
Обоснование шага 4: AC = R − (R − r) = r = BO₂, AC ∥ BO₂ ⇒ ACO₂B — параллелограмм с прямым углом C ⇒ прямоугольник ⇒ AB ⟂ O₁A и AB ⟂ O₂B ⇒ AB касается обеих окружностей.
Внутренняя касательная строится так же со вспомогательной окружностью радиуса R + r — задание в ДЗ.

R05.7

Схема-конспект

Общие касательные: всё на одном слайде

Внешняя

A B^{2} = d^{2} - (R - r)^{2}

существует при $d \geq R - r$

пересекаются в $P$ на продолжении $O_{1} O_{2}$ , $P O_{1} : P O_{2} = R : r$

Внутренняя

A B^{2} = d^{2} - (R + r)^{2}

существует при $d \geq R + r$

пересекаются в $Q \in O_{1} O_{2}$ , $Q O_{1} : Q O_{2} = R : r$

Касание внешнее

A B = 2 R r

$∠ A K B = 9 0^{\circ}$ , $M A = M K = MB$

число касательных: $4 \to 3 \to 2 \to 1 \to 0$ при уменьшении $d$

R05.7

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
внешняя: $A B^{2} = d^{2} - (R + r)^{2}$	у внешней касательной радиусы по одну сторону: $O_{1} H = R - r$	внешняя — $R - r$ , внутренняя — $R + r$
«Пересекающиеся окружности имеют 4 общие касательные»	внутренняя касательная разделяет окружности, а они пересекаются	при $R - r < d < R + r$ — только 2
«Отрезок касательной равен $d$ »	$A B$ — катет, $d$ — гипотенуза	$A B < d$ ; $A B = d$ только при $R = r$ (внешняя)
касание внешнее: $A B = R + r$	$R + r$ — это $d$ , а не отрезок касательной	$A B = 2 R r$

R05.7

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $R = 10$ , $r = 4$ , $d = 10$ . Сколько общих касательных?

$d = R$ , значит окружности касаются.

Общих касательных $3$ .

$6 < 10 < 14$ — пересекаются, касательных $2$

б) $R = 6$ , $r = 2$ , $d = 10$ . Найдите отрезок внешней касательной.

$A B^{2} = 1 0^{2} - 8^{2} = 36$

$A B = 6$

$A B^{2} = 100 - 4^{2} = 84$ , $A B = 221$

в) Радиусы $9$ и $1$ , касание внешнее. Найдите $A B$ .

$d = 9 + 1 = 10$

$A B = 9 \cdot 1 = 3$

$A B = 2 R r = 6$ ( $A B^{2} = 100 - 64$ )

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Расположение определяют сравнением d с R + r = 14 и R − r = 6, а не с одним радиусом. 6 < 10 < 14 ⇒ две общие точки ⇒ 2 внешние касательные.
б) Внешняя касательная — разность радиусов: (6 − 2)² = 16, AB² = 84, AB = 2√21 ≈ 9,17. Ученик подставил R + r, это внутренняя (и её длина 6).
в) Первая строка верна. Ошибка — потеряна двойка: √(Rr) = MK — половина отрезка. Проверка: AB² = (R + r)² − (R − r)² = 100 − 64 = 36, AB = 6.

R05.7

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $R = 5$ , $r = 2$ , $d = 9$ . Сколько общих касательных? $4$
база $R = 5$ , $r = 2$ , $d = 3$ . Сколько? $1$
база $R = 8$ , $r = 3$ , $d = 13$ . Отрезок внешней касательной? $12$

база $R = 4$ , $r = 2$ , $d = 10$ . Отрезок внутренней касательной? $8$
базаРадиусы $4$ и $1$ , касание внешнее. Отрезок $A B$ ? $4$
базаОтрезок внешней касательной $8$ , радиусы $7$ и $1$ . Найдите $d$ . $10$

R05.7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Радиусы равны, $d = 14$ . Найдите отрезок внешней касательной. Почему? $14$ : $A B O_{2} O_{1}$ — прямоугольник
повыш.Радиусы $3$ и $12$ , касание внешнее; $A$ , $B$ — точки касания общей внешней касательной. Найдите площадь $O_{1} A B O_{2}$ . $90$
повыш.Отрезки внешней и внутренней общих касательных равны $13$ и $5$ . Найдите произведение радиусов. $36$
повыш.Окружности касаются внешне в $K$ , $A B$ — общая внешняя касательная, $A K = 6$ , $B K = 8$ . Найдите $A B$ и $M K$ . $10$ и $5$

R05.7 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 24 и 25

Вторая часть: доказательство и сложная задача

ОГЭ 24 Окружности с центрами $I$ и $J$ не имеют общих точек и не лежат одна в другой. Внутренняя общая касательная делит $I J$ в отношении $m : n$ . Докажите, что диаметры относятся как $m : n$ .

$∠ A Q I = ∠ BQ J$ (вертик.), $∠ A = ∠ B = 9 0^{\circ}$ ⇒ $△ A Q I \sim △ BQ J$

$\frac{I A}{J B} = \frac{I Q}{J Q} = \frac{m}{n}$ ⇒ $\frac{2 I A}{2 J B} = \frac{m}{n}$

ОГЭ 25 Окружности радиусов $2$ и $8$ касаются внешне. $A C$ и $B D$ — общие касательные ( $A, B$ — на первой). Найдите расстояние между прямыми $A B$ и $C D$ .

$A C = 216 = 8$ ; $cos φ = \frac{8}{10}$ — угол между $A C$ и $O_{1} O_{2}$

$A B, C D ⊥ O_{1} O_{2}$ ⇒ расстояние $8 \cdot 0, 8 = 6, 4$

2,5 мин · практика
24) Q — точка пересечения касательной с IJ, A и B — точки касания. ∠IAQ = ∠JBQ = 90° (касательная ⟂ радиусу), ∠AQI = ∠BQJ (вертикальные) ⇒ △AQI ∼ △BQJ (два угла) ⇒ IA : JB = IQ : JQ = m : n ⇒ диаметры 2·IA : 2·JB = m : n. На 2 балла — назвать признак подобия и обосновать прямые углы.
25) d = 10. AC = √(10² − 6²) = 8. Проведём O₁H ∥ AC (H на O₂C): △O₁HO₂ прямоугольный, O₁H = 8, O₁O₂ = 10, cos φ = 0,8. AB и CD — хорды, перпендикулярные линии центров (симметрия), поэтому расстояние между ними — проекция AC на O₁O₂: 8 · 0,8 = 6,4. Проверка координатами: A(−1,2; 1,6), C(5,2; 6,4) ⇒ 5,2 − (−1,2) = 6,4. Ответ: 6,4.
На уроке — план обеих задач устно; полную запись 25 — в ДЗ по желанию.

R05.7 · практика

Задача из жизни · ремённая передача

Какой длины прямые участки ремня?

Шкивы радиусов $32$ см и $7$ см, расстояние между осями $65$ см.

Найдите прямой участок $A B$ открытого ремня. $60$ см
Ремень перекрестили (шкивы вращаются навстречу). Какие это касательные? Длина участка? внутренние, $52$ см

R05.7

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$R = 6$ , $r = 4$ , $d = 9$ . Сколько общих касательных? $2$
$R = 9$ , $r = 4$ , $d = 13$ . Отрезок внешней касательной? $12$
$R = 5$ , $r = 3$ , $d = 17$ . Отрезок внутренней касательной? $15$
Радиусы $16$ и $1$ , касание внешнее. Найдите отрезок общей внешней касательной. $8$

Вариант 2

$R = 7$ , $r = 3$ , $d = 10$ . Сколько общих касательных? $3$
$R = 10$ , $r = 2$ , $d = 17$ . Отрезок внешней касательной? $15$
$R = 7$ , $r = 5$ , $d = 20$ . Отрезок внутренней касательной? $16$
Радиусы $25$ и $1$ , касание внешнее. Найдите отрезок общей внешней касательной. $10$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем внешняя касательная отличается от внутренней?
Сколько общих касательных у касающихся внешне окружностей?
Откуда берутся $R - r$ и $R + r$ в формулах?

Домашнее задание

$R = 23$ , $r = 7$ , $d = 34$ . Найдите отрезки внешней и внутренней касательных.
Радиусы $2$ и $18$ , касание внешнее. Найдите $A B$ .
* Постройте общую внутреннюю касательную и обоснуйте построение.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_okruzhnost_i_pryamye.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: 1) √(34² − 16²) = √900 = 30; √(34² − 30²) = √256 = 16. 2) 2√36 = 12. 3) Окружность (O₁; R + r), касательная к ней из O₂ (точка C), луч O₁C пересекает данную окружность в A; радиус O₂B проводим параллельно O₁A в противоположную сторону; AB — искомая: AC = (R + r) − R = r = O₂B, AC ∥ O₂B ⇒ ACO₂B — параллелограмм с прямым углом C ⇒ прямоугольник ⇒ AB ⟂ O₁A, AB ⟂ O₂B.
Следующий урок — практикум «Вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой» (GEOM8U-080).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-079 · Общие касательные к двум окружностям

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью», 20 ч · урок 7/20 · тип Н
Единицы → слайды	R05.7 «Общие касательные к двум окружностям» → 2, 4–24 · повторение R05.5–R05.6 → 3, 5, 11
Результаты	ПР-10 (свойства касательной, окружности) → 4–24 · ПР-9 (теорема Пифагора) → 7–12, 19, 22, 23 · ПР-5 (подобие) → 13, 14, 21
Вне урока	вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой — GEOM8U-080; длина дуги и полная длина ремня — 9 класс
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Общие касательные к двум окружностям

Сегодня вы научитесь

Различать касательные

Доказывать формулы

Строить

Решать задачи

Касательная и две окружности

Внешние и внутренние общие касательные

Сколько общих касательных? Сравните d с R+r и R−r

Сначала сравни d с R+r и R−r

Образец: R=7, r=3, d=9. Сколько общих касательных?

Сам

Длина отрезка общей внешней касательной

Длина отрезка общей внутренней касательной

Внешняя — разность радиусов, внутренняя — сумма

Образец: R=11, r=4, d=25. Найдите отрезки внешней AB и внутренней CD касательных.

Сам

Известен отрезок касательной — найдите d или радиус

Образец: отрезок внешней касательной 12, радиусы 8 и 3. Найдите d.

Сам

Окружности касаются внешне: AB=2Rr​ и ∠AKB=90∘

Вычисление и доказательство

Образец: радиусы 9 и 4, окружности касаются внешне в K. Найдите AB и MK.

Сам

Где пересекаются общие касательные

Подобие + отрезки касательных

Образец: R=15, r=5, d=26. Внешние касательные пересекаются в P. Найдите PO2​ и PB.

Сам

Как построить общую внешнюю касательную

Общие касательные: всё на одном слайде

Внешняя

Внутренняя

Касание внешнее

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) R=10, r=4, d=10. Сколько общих касательных?

б) R=6, r=2, d=10. Найдите отрезок внешней касательной.

в) Радиусы 9 и 1, касание внешнее. Найдите AB.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Вторая часть: доказательство и сложная задача

Какой длины прямые участки ремня?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-079 · Общие касательные к двум окружностям

Сколько общих касательных? Сравните $d$ с $R + r$ и $R - r$

Сначала сравни $d$ с $R + r$ и $R - r$

Образец: $R = 7$ , $r = 3$ , $d = 9$ . Сколько общих касательных?

Образец: $R = 11$ , $r = 4$ , $d = 25$ . Найдите отрезки внешней $A B$ и внутренней $C D$ касательных.

Известен отрезок касательной — найдите $d$ или радиус

Образец: отрезок внешней касательной $12$ , радиусы $8$ и $3$ . Найдите $d$ .

Окружности касаются внешне: $A B = 2 R r$ и $∠ A K B = 9 0^{\circ}$

Образец: радиусы $9$ и $4$ , окружности касаются внешне в $K$ . Найдите $A B$ и $M K$ .

Образец: $R = 15$ , $r = 5$ , $d = 26$ . Внешние касательные пересекаются в $P$ . Найдите $P O_{2}$ и $PB$ .

а) $R = 10$ , $r = 4$ , $d = 10$ . Сколько общих касательных?

б) $R = 6$ , $r = 2$ , $d = 10$ . Найдите отрезок внешней касательной.

в) Радиусы $9$ и $1$ , касание внешнее. Найдите $A B$ .