Углы и четырёхугольники, связанные с окружностью · урок 6 из 20

Касание окружностей

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM8U-078

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью» (20 ч), урок 6/20, единица R05.6. Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · определение 2 · теорема о линии центров 2 · признак касания 2 · общая касательная 1,5 · теорема о параллельных радиусах 2 · схема 2.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 16/19 — 2 · ОГЭ 24/25 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец 5 (клетчатая бумага) и задачу ОГЭ 25 — в ДЗ; доказательства теорем не сокращать.

R05.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Различать касание

внешнее и внутреннее, по расстоянию между центрами (ПР-10)

Доказывать

что точка касания лежит на линии центров, и признак касания

Пользоваться касательной

общей для двух окружностей в точке касания (ПР-10)

Решать задачи

на вычисление и доказательство, в том числе ОГЭ 16, 24, 25

повторение: GEOM8U-073, 077

Разминка · устно

Касательная и две окружности

Угол между касательной $PT$ и радиусом $OT$ ? $9 0^{\circ}$
$PT = 7$ . Чему равен $P K$ ? $7$ — отрезки касательных
$R = 5$ , расстояние от $O$ до прямой $5$ . Как расположены? прямая — касательная
$R = 8$ , $r = 3$ , $d = 13$ . Сколько общих точек? одна
$R = 8$ , $r = 3$ , $d = 4$ . Сколько общих точек? ни одной
Где лежат точки, равноудалённые от концов отрезка? на серединном перпендикуляре
Угол при вершине равнобедренного треугольника $4 0^{\circ}$ . Углы при основании? $7 0^{\circ}$

R05.6

Определение

Когда окружности касаются

Две окружности касаются, если у них ровно одна общая точка

T

— точка касания.

Внешнее касание: окружности лежат вне друг друга
$d = R + r$

Внутреннее касание: одна внутри другой, $R > r$
$d = R - r$

$d = O_{1} O_{2}$ — расстояние между центрами

R05.6

Теорема 1 · доказательство

Точка касания лежит на линии центров

Дано: окружности

(O_{1}; R)

и

(O_{2}; r)

касаются в точке

T

.
Доказать:

T \in O_{1} O_{2}

. От противного: пусть

T \in / O_{1} O_{2}

.

1

T^{'}

— точка, симметричная

T

относительно

O_{1} O_{2}

O_{1} O_{2}

— серединный перпендикуляр к

T T^{'}

2

O_{1} T^{'} = O_{1} T = R

,

O_{2} T^{'} = O_{2} T = r

точки серединного перпендикуляра равноудалены от концов

3

T^{'}

— вторая общая точка,

T^{'} \neq = T

противоречие: у касающихся окружностей одна общая точка

4

T \in O_{1} O_{2}

значит,

d = R + r

(внешнее) или

d = R - r

(внутреннее)

R05.6

Теорема 2 (признак) · доказательство

Если $d = R + r$ , окружности касаются

Дано:

O_{1} O_{2} = R + r

.
Доказать: у окружностей ровно одна общая точка.

1

T \in O_{1} O_{2}

,

O_{1} T = R

\Rightarrow

O_{2} T = (R + r) - R = r

T

лежит на обеих окружностях — общая точка есть

2Пусть

X

— общая точка,

X \in / O_{1} O_{2}

:

O_{1} X + X O_{2} > O_{1} O_{2}

неравенство треугольника

O_{1} X O_{2}

3Но

O_{1} X + X O_{2} = R + r = O_{1} O_{2}

— противоречиезначит,

X

на отрезке

O_{1} O_{2}

и

O_{1} X = R

, т. е.

X = T

4Общая точка одна — окружности касаютсятак же для

d = R - r

:

T

на луче

O_{1} O_{2}

,

O_{1} T = R

2 мин · теория
Это теорема, обратная следствию теоремы 1. Вместе: окружности касаются внешним образом ⇔ d = R + r; внутренним ⇔ d = R − r (R > r).
Для внутреннего случая (углублённый уровень, сильным): T на луче O1O2, O1T = R, тогда O2T = R − d = r; для другой общей точки X: O1X = R = d + r = O1O2 + O2X — равенство в неравенстве треугольника, X на луче O1O2 за O2 и O1X = R ⇒ X = T.
Сводка прошлого урока: d > R + r — общих точек нет; R − r < d < R + r — две общие точки; d < R − r — одна внутри другой, общих точек нет.

R05.6

Следствие · общая касательная

Касательная в точке касания — общая

Прямая

l ⊥ O_{1} O_{2}

, проходящая через точку касания

T

, касается обеих окружностей.

$O_{1} T$ и $O_{2} T$ лежат на $O_{1} O_{2}$ (теорема 1), $l ⊥ O_{1} T$ и $l ⊥ O_{2} T$ — признак касательной

Обратно: если две окружности касаются прямой $l$ в одной и той же точке $T$ , то они касаются друг друга.

R05.6

Образец → сам · расстояние между центрами

Внешнее или внутреннее?

Образец: окружности радиусов $5$ и $3$ касаются. Найдите $O_{1} O_{2}$ .

внешнее: $d = 5 + 3 = 8$ $T$ между центрами

внутреннее: $d = 5 - 3 = 2$ $T$ на продолжении $O_{1} O_{2}$

в условии вид касания не указан — два ответа

Сам

Касание внешнее, $d = 15$ , $R = 2 r$ . Найдите радиусы. $R = 10$ , $r = 5$
Касание внутреннее, $d = 4$ , $R = 11$ . Найдите $r$ . $r = 7$
$R = 6$ , $r = 2$ . Как расположены окружности при $d = 8$ , $d = 4$ , $d = 5$ ? внешнее касание, внутреннее касание, две общие точки

R05.6

Образец → сам · три попарно касающиеся окружности

Радиусы по расстояниям между центрами

Образец: три окружности попарно касаются внешне; $O_{1} O_{2} = 5$ , $O_{2} O_{3} = 7$ , $O_{1} O_{3} = 8$ . Найдите радиусы.

$r_{1} + r_{2} = 5$ , $r_{2} + r_{3} = 7$ , $r_{1} + r_{3} = 8$ $d = R + r$

сложим: $2 (r_{1} + r_{2} + r_{3}) = 20$ , сумма $= 10$

$r_{3} = 10 - 5 = 5$ , $r_{1} = 10 - 7 = 3$ , $r_{2} = 10 - 8 = 2$

Сам: сделайте чертёж

$O_{1} O_{2} = 6$ , $O_{2} O_{3} = 8$ , $O_{1} O_{3} = 10$ . Найдите радиусы. $r_{1} = 4$ , $r_{2} = 2$ , $r_{3} = 6$
Три равные окружности радиуса $4$ попарно касаются внешне. Найдите периметр треугольника центров. $24$
Окружности радиусов $2$ и $3$ касаются внешне, и обе касаются изнутри окружности радиуса $9$ . Найдите стороны $△ O_{1} O_{2} O_{3}$ . $5$ , $7$ , $6$

R05.6

Теорема 3 · доказательство

Радиусы в концы «хорды через $T$ » параллельны

Дано: окружности касаются внешне в

T

; прямая через

T

пересекает их в

A

и

B

.
Доказать:

O_{1} A ∥ O_{2} B

.

1

∠1 = ∠2

△ O_{1} A T

равнобедренный:

O_{1} A = O_{1} T = R

2

∠3 = ∠4

△ O_{2} BT

равнобедренный:

O_{2} B = O_{2} T = r

3

∠2 = ∠3

вертикальные:

O_{1}, T, O_{2}

на одной прямой (теорема 1)

4

∠1 = ∠4

\Rightarrow

O_{1} A ∥ O_{2} B

накрест лежащие при секущей

A B

R05.6

Образец → сам · задача на доказательство

Внутреннее касание: план и обоснования

Образец: окружности касаются внутренне в $T$ ; хорда $T A$ большей пересекает меньшую в $B$ . Докажите: $O_{1} A ∥ O_{2} B$ .

$∠ O_{1} A T = ∠ O_{1} T A$ , $∠ O_{2} BT = ∠ O_{2} TB$ равнобедренные

$∠ O_{1} T A = ∠ O_{2} TB$ это один угол: $O_{2} \in T O_{1}$

$∠ O_{1} A T = ∠ O_{2} BT$ ⇒ $O_{1} A ∥ O_{2} B$ соответственные

Сам: составьте план

В условиях теоремы 3 докажите: касательные в $A$ и $B$ параллельны. обе $⊥$ параллельным радиусам
В образце $R = 9$ , $r = 3$ , $T A = 12$ . Найдите $TB$ . $4$ ( $△ O_{2} BT \sim △ O_{1} A T$ , $k = \frac{1}{3}$ )
Окружности касаются внешне в $T$ ; через $T$ проведены две прямые: $A_{1} B_{1}$ и $A_{2} B_{2}$ . Докажите: $A_{1} A_{2} ∥ B_{1} B_{2}$ . $\frac{T A _{1}}{T B _{1}} = \frac{T A _{2}}{T B _{2}} = \frac{R}{r}$ ⇒ подобие

3 мин · практика
Образец: центр O2 лежит на отрезке TO1 (теорема 1, внутреннее касание), поэтому ∠O1TA и ∠O2TB — один и тот же угол (жёлтая дуга). Углы O1AT и O2BT — соответственные при прямых O1A, O2B и секущей TA.
1) Касательная в A ⟂ O1A, касательная в B ⟂ O2B, O1A ∥ O2B ⇒ касательные параллельны (две прямые, перпендикулярные параллельным прямым, параллельны).
2) △O2BT ∼ △O1AT по двум углам, k = r : R = 1 : 3 ⇒ TB = 12 : 3 = 4.
3) По теореме 3 и её следствию TA1 : TB1 = R : r = TA2 : TB2; ∠A1TA2 = ∠B1TB2 (вертикальные) ⇒ △A1TA2 ∼ △B1TB2 (II признак подобия) ⇒ ∠TA1A2 = ∠TB1B2 — накрест лежащие ⇒ A1A2 ∥ B1B2. Сильным — все три, остальным — 1 и 2.

R05.6

Образец → сам · комбинированная задача

Две окружности внутри третьей

Образец: окружности радиусов $3$ и $4$ касаются внешне и касаются изнутри окружности $(O; 10)$ . Найдите $P_{△ O O_{1} O_{2}}$ .

$O O_{1} = 10 - 3 = 7$ , $O O_{2} = 10 - 4 = 6$ $d = R - r$

$O_{1} O_{2} = 3 + 4 = 7$ $d = R + r$

$P = 7 + 6 + 7 = 20$ $= 2 R$ !

Сам

То же для $R = 15$ , $r_{1} = 5$ , $r_{2} = 6$ . Найдите $P_{△ O O_{1} O_{2}}$ . $30$
Докажите: в такой конфигурации всегда $P_{△ O O_{1} O_{2}} = 2 R$ . $(R - r_{1}) + (R - r_{2}) + (r_{1} + r_{2}) = 2 R$
Две равные окружности касаются друг друга и изнутри окружности радиуса $12$ , $∠ O_{1} O O_{2} = 6 0^{\circ}$ . Найдите их радиус. $4$

R05.6

Образец → сам · строим на клетчатой бумаге

Какой радиус даёт касание?

Образец: $O_{1} (2; 2)$ , $r_{1} = 2$ ; $O_{2} (5; 6)$ . При каком $r_{2}$ окружности касаются?

$O_{1} O_{2} = 5$ египетский треугольник $3$ , $4$ , $5$

внешнее: $r_{2} = 5 - 2 = 3$ ; внутреннее: $r_{2} = 5 + 2 = 7$

Сам: нарисуйте в тетради

$O_{1} (1; 1)$ , $r_{1} = 1$ ; $O_{2} (4; 5)$ . Найдите $r_{2}$ для касания. $4$ или $6$
$O_{1} (1; 2)$ , $r_{1} = 8$ ; $O_{2} (4; 6)$ . Найдите $r_{2}$ для касания. $3$ или $13$
Найдите координаты точки касания $T$ в образце (внешнее касание). $T (3, 2; 3, 6)$

2 мин · практика
Образец: от O1 до O2 — 3 клетки вправо и 4 вверх, O1O2 = корень из (9 + 16) = 5. Внешнее касание: r1 + r2 = 5, r2 = 3 (на чертеже пунктир). Внутреннее (большая охватывает малую): r2 − r1 = 5, r2 = 7.
1) d = корень из (9 + 16) = 5: r2 = 5 − 1 = 4 (внешнее) или 5 + 1 = 6 (внутреннее).
2) d = корень из (9 + 16) = 5 < r1 = 8: центр O2 внутри первой окружности, внешнего касания нет; внутреннее: 8 − r2 = 5 ⇒ r2 = 3, или r2 − 8 = 5 ⇒ r2 = 13.
3) T лежит на O1O2 на расстоянии 2 от O1, т. е. на 2/5 пути: x = 2 + 3 · 0,4 = 3,2; y = 2 + 4 · 0,4 = 3,6.

R05.6

Схема-конспект

Касание окружностей: что запомнить

Внешнее касание

$d = R + r$ ; $T$ между центрами

касательная в $T$ : $l ⊥ O_{1} O_{2}$

Внутреннее касание

$d = R - r$ ; $T$ на продолжении $O_{1} O_{2}$

касательная в $T$ : $l ⊥ O_{1} O_{2}$

Прямая через $T$

$O_{1} A ∥ O_{2} B$

$A T : TB = R : r$

R05.6

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
«Окружности касаются ⇒ $d = R + r$ »	касание бывает и внутренним	$d = R + r$ или $d = R - r$
$R = 6$ , $r = 2$ , $d = 4$ ⇒ «общих точек нет»	$d = R - r$ — это внутреннее касание	одна общая точка
«Точка касания всегда между центрами»	при внутреннем касании $T$ — на продолжении $O_{1} O_{2}$	$T$ на прямой $O_{1} O_{2}$
«Обе окружности касаются прямой $l$ ⇒ касаются друг друга»	точки касания с $l$ могут быть разными	нужна одна и та же точка $T$

R05.6

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Окружности радиусов $8$ и $3$ касаются. Найдите $O_{1} O_{2}$ .

$d = 8 + 3 = 11$ .

Ответ: $11$ .

вид касания не указан: $11$ или $8 - 3 = 5$

б) Попарно касаются внешне: $O_{1} O_{2} = 4$ , $O_{2} O_{3} = 6$ , $O_{1} O_{3} = 8$ . Найдите радиусы.

$r_{1} + r_{2} + r_{3} = 4 + 6 + 8 = 18$

$r_{3} = 18 - 4 = 14$ , …

сумма сторон — удвоенная: $r_{1} + r_{2} + r_{3} = 9$ ; $r_{1} = 3$ , $r_{2} = 1$ , $r_{3} = 5$

в) Теорема 3: «докажем», что $O_{1} A ∥ O_{2} B$ .

$∠1 = ∠2$ , $∠3 = ∠4$ (равнобедренные), $∠2 = ∠3$ (вертикальные)

$∠1 = ∠4$ — соответственные ⇒ $O_{1} A ∥ O_{2} B$

$∠1$ и $∠4$ — накрест лежащие; «вертикальные» требуют ссылки на теорему 1

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Потерян второй случай — внутреннее касание: d = 5.
б) Каждый радиус входит в сумму сторон дважды: 2(r1 + r2 + r3) = 18 ⇒ сумма 9; r3 = 9 − 4 = 5, r1 = 9 − 6 = 3, r2 = 9 − 8 = 1. Проверка: 3 + 1 = 4, 1 + 5 = 6, 3 + 5 = 8 ✓.
в) Две ошибки обоснования: углы 1 и 4 лежат по разные стороны секущей AB между прямыми O1A и O2B — накрест лежащие; углы 2 и 3 вертикальные только потому, что O1, T, O2 на одной прямой (теорема 1) — без этой ссылки шаг не обоснован.

R05.6

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $R = 6$ , $r = 4$ , касание внешнее. Найдите $d$ . $10$
базаКасание внутреннее, $d = 3$ , $R = 8$ . Найдите $r$ . $5$
база $R = 9$ , $r = 4$ , $d = 5$ . Как расположены окружности? касаются внутренне

база $R = 9$ , $r = 4$ , $d = 12$ . Сколько общих точек? две
базаКасание внешнее, $d = 18$ , $R : r = 5 : 4$ . Найдите радиусы. $10$ и $8$
базаОкружности радиусов $5$ и $2$ касаются. Чему может быть равно $d$ ? $7$ или $3$

R05.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Окружность радиуса $3$ касается изнутри окружности радиуса $8$ в точке $T$ . Хорда $T A = 12$ большей окружности пересекает меньшую в $B$ . Найдите $TB$ и $A B$ . $4, 5$ и $7, 5$
повыш.Окружности радиусов $6$ и $4$ касаются внешне в $T$ ; прямая через $T$ пересекает их в $A$ и $B$ , $A B = 15$ . Найдите $A T$ . $9$
повыш.Окружности радиусов $1$ , $2$ , $3$ попарно касаются внешне. Найдите наибольший угол треугольника центров. $9 0^{\circ}$
из жизниДва колеса касаются ободами, оси на расстоянии $35$ см, радиус большого $20$ см. Сколько оборотов сделает малое, пока большое делает $3$ ? $4$

R05.6 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 16Окружности радиусов $7$ и $3$ касаются внутренним образом. Найдите расстояние между их центрами. $4$
ОГЭ 16Расстояние между центрами окружностей, касающихся внешним образом, равно $26$ , радиус одной из них $9$ . Найдите радиус другой. $17$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их радиусов, то эти окружности касаются.
Точка касания двух окружностей может не лежать на прямой, проходящей через их центры.
Если две окружности касаются, то расстояние между их центрами равно сумме радиусов.

Ответ: 1

R05.6 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 24 и 25

Вторая часть: доказательство и вычисление

ОГЭ 24 Окружности касаются внешне в $T$ , $A B$ — их общая касательная ( $A$ , $B$ — точки касания). Касательная в $T$ пересекает $A B$ в $M$ . Докажите: $∠ A TB = 9 0^{\circ}$ .

$M A = MT = MB$ — отрезки касательных из $M$

медиана $TM = \frac{1}{2} A B$ ⇒ $∠ A TB = 9 0^{\circ}$

ОГЭ 25 Окружности радиусов $11$ и $21$ касаются внешне в $C$ ; $A O_{1}$ и $B O_{2}$ — параллельные радиусы, $∠ A O_{1} O_{2} = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ .

$O_{1} O_{2} = 32$ ; $A O_{1} O_{2} B$ — трапеция, $∠ O_{2} = 12 0^{\circ}$

$A B^{2} = 3 7^{2} + (53)^{2} = 1444$ , $A B = 38$

2 мин · практика
24) MA = MT (касательные из M к первой окружности), MB = MT (ко второй) ⇒ M — середина AB и TM = AB/2. △AMT и △BMT равнобедренные: ∠MAT = ∠MTA = α, ∠MBT = ∠MTB = β; в △ATB 2α + 2β = 180° ⇒ ∠ATB = α + β = 90°. На 2 балла — обосновать равенство отрезков касательных и сумму углов.
25) O1O2 = 11 + 21 = 32. Возьмём K на O2B, O2K = 11: AO1O2K — параллелограмм (AO1 ∥ KO2, AO1 = KO2) ⇒ AK = 32, AK ∥ O1O2, KB = 21 − 11 = 10, ∠AKB = 120°. Опустим BH на прямую AK: ∠BKH = 60°, KH = 5, BH = 5 корней из 3; AH = 32 + 5 = 37; AB в квадрате = 1369 + 75 = 1444, AB = 38. Ответ: 38.
На уроке — устное обсуждение плана, полная запись — в ДЗ по желанию.

R05.6

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$R = 7$ , $r = 2$ , касание внешнее. Найдите $d$ . $9$
Касание внутреннее, $d = 6$ , $R = 10$ . Найдите $r$ . $4$
Попарно касаются внешне: $O_{1} O_{2} = 7$ , $O_{2} O_{3} = 9$ , $O_{1} O_{3} = 10$ . Найдите радиусы. $4$ , $3$ , $6$
Внешнее касание в $T$ , $R = 5$ , $r = 3$ ; прямая через $T$ : $A$ и $B$ на окружностях, $A B = 16$ . Найдите $A T$ . $10$

Вариант 2

$R = 11$ , $r = 4$ , касание внутреннее. Найдите $d$ . $7$
Касание внешнее, $d = 15$ , $r = 6$ . Найдите $R$ . $9$
Попарно касаются внешне: $O_{1} O_{2} = 5$ , $O_{2} O_{3} = 8$ , $O_{1} O_{3} = 9$ . Найдите радиусы. $3$ , $2$ , $6$
Внешнее касание в $T$ , $R = 7$ , $r = 2$ ; прямая через $T$ : $A$ и $B$ на окружностях, $A B = 18$ . Найдите $A T$ . $14$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем внешнее касание отличается от внутреннего?
Где лежит точка касания двух окружностей?
Какая прямая — их общая касательная в $T$ ?

Домашнее задание

$R = 12$ , $r = 5$ . Как расположены окружности при $d = 7$ , $17$ , $10$ ?
Радиусы $2$ , $3$ , $10$ , попарное внешнее касание. Найдите площадь треугольника центров.
* Докажите: касательные в $A$ и $B$ (теорема 3) параллельны.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_okruzhnost_i_pryamye.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-078 · Касание окружностей

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью», 20 ч · урок 6/20 · тип Н
Единицы → слайды	R05.6 «Касание окружностей» → 2, 4–22 · повторение (касательная, GEOM8U-073; взаимное расположение окружностей, GEOM8U-077) → 3
Результаты	ПР-10 (понятия, связанные с окружностью, применять их свойства при решении задач) → 4–22
Вне урока	общие касательные к двум окружностям и длина их отрезков — GEOM8U-079 (в ОГЭ 24 используется только как данное); практикумы — GEOM8U-085, GEOM8U-091
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Касание окружностей

Сегодня вы научитесь

Различать касание

Доказывать

Пользоваться касательной

Решать задачи

Касательная и две окружности

Когда окружности касаются

Точка касания лежит на линии центров

Если d=R+r, окружности касаются

Касательная в точке касания — общая

Внешнее или внутреннее?

Образец: окружности радиусов 5 и 3 касаются. Найдите O1​O2​.

Сам

Радиусы по расстояниям между центрами

Образец: три окружности попарно касаются внешне; O1​O2​=5, O2​O3​=7, O1​O3​=8. Найдите радиусы.

Сам: сделайте чертёж

Радиусы в концы «хорды через T» параллельны

Внутреннее касание: план и обоснования

Образец: окружности касаются внутренне в T; хорда TA большей пересекает меньшую в B. Докажите: O1​A∥O2​B.

Сам: составьте план

Две окружности внутри третьей

Образец: окружности радиусов 3 и 4 касаются внешне и касаются изнутри окружности (O;10). Найдите P△OO1​O2​​.

Сам

Какой радиус даёт касание?

Образец: O1​(2;2), r1​=2; O2​(5;6). При каком r2​ окружности касаются?

Сам: нарисуйте в тетради

Касание окружностей: что запомнить

Внешнее касание

Внутреннее касание

Прямая через T

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Окружности радиусов 8 и 3 касаются. Найдите O1​O2​.

б) Попарно касаются внешне: O1​O2​=4, O2​O3​=6, O1​O3​=8. Найдите радиусы.

в) Теорема 3: «докажем», что O1​A∥O2​B.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: доказательство и вычисление

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-078 · Касание окружностей

Если $d = R + r$ , окружности касаются

Образец: окружности радиусов $5$ и $3$ касаются. Найдите $O_{1} O_{2}$ .

Образец: три окружности попарно касаются внешне; $O_{1} O_{2} = 5$ , $O_{2} O_{3} = 7$ , $O_{1} O_{3} = 8$ . Найдите радиусы.

Радиусы в концы «хорды через $T$ » параллельны

Образец: окружности касаются внутренне в $T$ ; хорда $T A$ большей пересекает меньшую в $B$ . Докажите: $O_{1} A ∥ O_{2} B$ .

Образец: окружности радиусов $3$ и $4$ касаются внешне и касаются изнутри окружности $(O; 10)$ . Найдите $P_{△ O O_{1} O_{2}}$ .

Образец: $O_{1} (2; 2)$ , $r_{1} = 2$ ; $O_{2} (5; 6)$ . При каком $r_{2}$ окружности касаются?

Прямая через $T$

а) Окружности радиусов $8$ и $3$ касаются. Найдите $O_{1} O_{2}$ .

б) Попарно касаются внешне: $O_{1} O_{2} = 4$ , $O_{2} O_{3} = 6$ , $O_{1} O_{3} = 8$ . Найдите радиусы.

в) Теорема 3: «докажем», что $O_{1} A ∥ O_{2} B$ .