Углы и четырёхугольники, связанные с окружностью · урок 5 из 20

Взаимное расположение двух окружностей

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM8U-077

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью» (20 ч), урок 5/20, единица R05.5. Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · пять случаев 3 · теорема о расстоянии между центрами 2,5 · обратная теорема 2,5 · общая хорда 2 · схема 1,5.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 3 + 3 + 1,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 16/19 — 2 · ОГЭ 24/25 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец на клетчатой бумаге и ОГЭ 25 — в ДЗ; доказательства теорем не сокращать.

R05.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Различать пять случаев

взаимного расположения двух окружностей (ПР-10)

Сравнивать $d$ с $R + r$ и $R - r$

и по этим числам определять расположение — и обратно

Доказывать

теорему о расстоянии между центрами и свойство общей хорды

Решать задачи

на вычисление и доказательство, в том числе ОГЭ 16, 24, 25

0,5 мин · теория
ПР-10: «Владеть понятием вписанного и центрального угла, угла между касательной и хордой, описанной и вписанной окружности треугольника и четырехугольника, применять их свойства при решении задач».
Виды деятельности ФРП R05: исследовать (в том числе с помощью цифровых ресурсов) фигуры, связанные с окружностью, выводить их свойства и использовать их при решении задач. Сегодня — две окружности; касание подробно — следующий урок (GEOM8U-078), общие касательные — GEOM8U-079.

повторение: прямая и окружность, урок 76

Разминка · устно

Прямая и окружность, хорда, неравенство треугольника

Сколько общих точек у прямой $a$ и окружности? две: $3 < 5$
Найдите длину хорды $A B$ . $8$ : $A H = 5^{2} - 3^{2} = 4$
Перпендикуляр $O H$ делит хорду $A B$ … пополам
Где лежат точки, равноудалённые от $A$ и $B$ ? на серединном перпендикуляре к $A B$
Есть ли треугольник со сторонами $3$ , $5$ , $9$ ? нет: $3 + 5 < 9$
Вписанный четырёхугольник, $∠ A = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $11 0^{\circ}$

2 мин · практика
Ответы: 1) расстояние от центра до прямой 3 < радиуса 5 — прямая секущая, две общие точки. 2) AH = √(25 − 9) = 4, AB = 8. 3) пополам (перпендикуляр из центра к хорде). 4) на серединном перпендикуляре к AB — им пользуемся в теореме об общей хорде. 5) нет: неравенство треугольника 3 + 5 = 8 < 9 — им пользуемся в главной теореме урока. 6) 180° − 70° = 110° (урок 76).
Связка с темой: «прямая и окружность» — сравнивали расстояние от центра до прямой с радиусом; сегодня сравниваем расстояние между центрами с суммой и разностью радиусов.

R05.5

Определение · пять случаев

Всё решает расстояние между центрами $d = O_{1} O_{2}$

Окружности

(O_{1}; R)

и

(O_{2}; r)

,

R \geq r

. Прямая

O_{1} O_{2}

— линия центров,

d = O_{1} O_{2}

— расстояние между центрами.

$d > R + r$

вне друг друга

0 общих точек

$d = R + r$

внешнее касание

1 общая точка

$R - r < d < R + r$

пересекаются

2 общие точки

$d = R - r$

внутреннее касание

1 общая точка

$d < R - r$

одна внутри другой

0 общих точек

3 мин · теория
Исследование (ФРП: «в том числе с помощью цифровых ресурсов»): если есть GeoGebra — двигаем вторую окружность от первой к центру и следим за числом общих точек; без компьютера — две окружности на кальке. Порядок карточек на слайде — как при движении: d уменьшается слева направо.
Чертежи построены точно: R = 1,5, r = 0,9; d = 3,1; 2,4; 1,5; 0,6; 0,25. Красные точки — общие точки окружностей.
Вопрос: может ли быть d = 0? (Да — концентрические окружности, частный случай «одна внутри другой»; при R = r и d = 0 окружности совпадают.)
Определения: окружности касаются, если имеют ровно одну общую точку; пересекаются, если имеют две общие точки. Подробно о касании — следующий урок.

R05.5

Теорема · доказательство

Если есть общая точка, то $R - r \leq d \leq R + r$

Дано:

A

— общая точка окружностей

(O_{1}; R)

и

(O_{2}; r)

,

R \geq r

.
Доказать:

R - r \leq d \leq R + r

.

1

O_{1} A = R

,

O_{2} A = r

A

лежит на обеих окружностях

2

A \in / O_{1} O_{2}

:

d < R + r

неравенство треугольника в

△ O_{1} A O_{2}

3

R < d + r

\Rightarrow

d > R - r

неравенство треугольника для стороны

O_{1} A

4

A \in O_{1} O_{2}

:

d = R + r

или

d = R - r

A

на отрезке

O_{1} O_{2}

или на его продолжении

5Следствие:

d > R + r

или

d < R - r

\Rightarrow

общих точек нетиначе нарушились бы неравенства п. 2–4

2,5 мин · теория
Чертёж точный: R = 5, r = √13, d = 6, A = (4; 3) — стороны треугольника O₁AO₂ раскрашены как в записи: R — розовая, r — бирюзовая, d — фиолетовая.
Шаг 4: если A лежит на прямой O₁O₂, то либо A между центрами (d = R + r), либо O₂ между O₁ и A (d = R − r). Это и есть касание — подробно на следующем уроке.
Вопрос классу на шаге 3: почему неравенство пишем именно для стороны O₁A? (Она наибольшая из R и r, иначе получим тривиальное r < d + R.)
Следствие — доказательство «от противного» для случаев «вне друг друга» и «одна внутри другой».

R05.5

Обратная теорема · доказательство

Если $R - r < d < R + r$ , то общих точек ровно две

Дано:

R - r < d < R + r

,

R \geq r

.
Доказать: окружности пересекаются в двух точках.

1

d < R + r

,

R < d + r

,

r < R + d

все три неравенства треугольника для чисел

d

,

R

,

r

верны

2строим

△ O_{1} A O_{2}

:

O_{1} A = R

,

O_{2} A = r

такой треугольник существует ⇒

A

— на обеих окружностях

3

B

симметрична

A

относительно

O_{1} O_{2}

:

O_{1} B = R

,

O_{2} B = r

симметрия сохраняет расстояния

4Общих точек ровно две:

A

и

B

третьей нет: через три точки проходит только одна окружность

2,5 мин · теория
Вместе с теоремой сл. 5 получаем полную классификацию: каждому случаю расположения соответствует ровно одно соотношение между d, R и r (сл. 4).
Шаг 1: R − r < d равносильно R < d + r; d < R + r дано; r ≤ R < R + d. Значит, треугольник со сторонами d, R, r существует (строим циркулем: из O₁ радиусом R, из O₂ радиусом r — именно наши окружности!).
Шаг 4: если бы общих точек было три, через них прошли бы обе окружности, а через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность — окружности совпали бы.
Углублённый уровень: попросить сильных записать аналогично, почему при d = R + r общая точка ровно одна.

R05.5

Образец → сам · определяем расположение

Сравните $d$ с суммой и разностью радиусов

Образец: $R = 7$ , $r = 3$ . Как расположены окружности при $d = 12$ ; $10$ ; $6$ ; $4$ ; $1$ ?

$R + r = 10$ , $R - r = 4$ отмечаем на оси $d$

$12$ — вне; $10$ — внешнее касание; $6$ — пересекаются

$4$ — внутреннее касание; $1$ — одна внутри другой

Сам

$R = 8$ , $r = 5$ , $d = 13$ . Как расположены окружности? касаются внешним образом
$R = 6$ , $r = 2$ , $d = 3$ . Сколько общих точек? 0: одна внутри другой
Диаметры окружностей $10$ и $6$ , $d = 7$ . Как они расположены? пересекаются: $2 < 7 < 8$

2,5 мин · практика
Образец: сначала два «опорных» числа R + r и R − r, затем каждое d — на ось. Отвечать словами и числом общих точек: 12 — 0 (вне), 10 — 1, 6 — 2, 4 — 1, 1 — 0 (внутри).
1) R + r = 13 = d — внешнее касание. 2) R − r = 4 > 3 — одна внутри другой, общих точек нет. 3) R = 5, r = 3: R − r = 2, R + r = 8, 2 < 7 < 8 — пересекаются.
Ловушка в 3: подставить диаметры (10 + 6 = 16, 10 − 6 = 4) — ответ получится тот же «пересекаются», но запись неверная; спросить, при каком d ошибка изменила бы ответ (например, d = 9: по радиусам — вне, по диаметрам — «пересекаются»).

R05.5

Образец → сам · обратная задача

Расположение известно — найдите расстояние или радиус

Образец: окружности радиусов $9$ и $4$ касаются. Найдите расстояние между центрами.

внешнее касание: $d = R + r = 13$ точка касания между центрами

внутреннее касание: $d = R - r = 5$

Ответ: $13$ или $5$ два случая

Сам

Окружности касаются внешним образом, $d = 15$ , $R = 2 r$ . Найдите радиусы. $r = 5$ , $R = 10$
Радиус одной окружности $6$ , $d = 10$ , окружности пересекаются. В каких пределах радиус второй? $4 < r < 16$
$R = 10$ , $d = 3$ . При каких $r$ общих точек нет? $r < 7$ или $r > 13$

R05.5

Теорема · общая хорда

Общая хорда и линия центров

Дано: окружности с центрами

O_{1}

,

O_{2}

пересекаются в точках

A

и

B

.
Доказать: линия центров перпендикулярна общей хорде и делит её пополам:

O_{1} O_{2} ⊥ A B

,

A H = H B

.

1

O_{1} A = O_{1} B

\Rightarrow

O_{1}

на серединном перпендикуляре к

A B

радиусы; точка, равноудалённая от концов отрезка

2

O_{2} A = O_{2} B

\Rightarrow

O_{2}

тоже на нёмто же свойство

3

O_{1} O_{2}

— серединный перпендикуляр к

A B

через две точки проходит одна прямая

4

O_{1} O_{2} ⊥ A B

,

A H = H B

линия центров — ось симметрии двух окружностей

R05.5

Образец → сам · длина общей хорды

Два прямоугольных треугольника с общим катетом

Образец: радиусы $10$ и $17$ , $d = 21$ . Найдите общую хорду $A B$ .

$A H^{2} = 1 0^{2} - x^{2} = 1 7^{2} - (21 - x)^{2}$ $O_{1} H = x$ , теорема Пифагора

$100 = 289 - 441 + 42 x$ , $x = 6$

$A H = 100 - 36 = 8$ , $A B = 16$ $A H = H B$

Сам

$R = r = 5$ , $d = 8$ . Найдите $A B$ . $6$
Радиусы $13$ и $15$ , $d = 14$ . Найдите $A B$ . $24$
$A B = 24$ , радиусы $13$ и $15$ . Найдите $d$ . $14$ или $4$

R05.5

Схема-конспект

Ось расстояний между центрами

Пересекаются в

A

и

B

\Rightarrow

O_{1} O_{2} ⊥ A B

,

A H = H B

,

A H^{2} = R^{2} - O_{1} H^{2} = r^{2} - O_{2} H^{2}

R05.5

Образец → сам · задача на доказательство

План доказательства и обоснования

Образец: окружности пересекаются в $A$ и $B$ , $A C$ и $A D$ — диаметры. Докажите: $C$ , $B$ , $D$ на одной прямой.

$∠ A BC = 9 0^{\circ}$ вписанный, опирается на диаметр $A C$

$∠ A B D = 9 0^{\circ}$ вписанный, опирается на диаметр $A D$

$∠ CB D = 9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ ⇒ на одной прямой

Сам: составьте план

В образце докажите: $C D ∥ O_{1} O_{2}$ и $C D = 2 O_{1} O_{2}$ . $O_{1} O_{2}$ — средняя линия $△ A C D$
Радиусы окружностей равны. Докажите: $O_{1} A O_{2} B$ — ромб. все четыре стороны равны $R$
Докажите: $∠ O_{1} A O_{2} = ∠ O_{1} B O_{2}$ . $△ O_{1} A O_{2} = △ O_{1} B O_{2}$ (III признак)

3 мин · практика
Образец: чертёж тот же, что в теоремах; C = (−4; −3), D = (8; −3), B = (4; −3) — действительно на одной прямой. Опора — следствие урока 73: вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.
1) O₁ — середина AC, O₂ — середина AD (центры — середины диаметров) ⇒ O₁O₂ — средняя линия △ACD ⇒ CD ∥ O₁O₂ и CD = 2·O₁O₂. Следствие: AB ⟂ CD, так как AB ⟂ O₁O₂.
2) O₁A = O₁B = R и O₂A = O₂B = r = R ⇒ четыре стороны равны ⇒ ромб (по определению). Отсюда ещё раз: диагонали AB и O₁O₂ перпендикулярны и делятся пополам.
3) O₁A = O₁B, O₂A = O₂B, O₁O₂ — общая ⇒ треугольники равны по трём сторонам ⇒ соответствующие углы при A и B равны.

R05.5

Образец → сам · на клетчатой бумаге

Расстояние между центрами — по теореме Пифагора

Образец: $O_{1} (0; 0)$ , $R = 2$ ; $O_{2} (3; 4)$ , $r = 3$ . Как расположены окружности?

$d = 3^{2} + 4^{2} = 5$ катеты по клеткам

$d = R + r = 5$ — касаются внешним образом

Сам: нарисуйте в тетради

$O_{1} (0; 0)$ , $R = 5$ ; $O_{2} (4; 3)$ , $r = 2$ . пересекаются: $3 < 5 < 7$
$O_{1} (1; 1)$ , $R = 5$ ; $O_{2} (4; 5)$ , $r = 10$ . внутреннее касание: $d = 5 = 10 - 5$
$O_{1} (0; 0)$ , $R = 2$ ; $O_{2} (6; 8)$ , $r = 7$ . общих точек нет: $10 > 9$

R05.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$d < R + r$ ⇒ «пересекаются»	забыт случай «одна внутри другой»	нужно ещё $d > R - r$
«Касаются ⇒ $d = R + r$ »	касание бывает и внутренним	$d = R + r$ или $d = R - r$
Диаметры $10$ и $6$ : « $R + r = 16$ »	в условиях стоят радиусы, а не диаметры	$R + r = 8$ , $R - r = 2$
«Общая хорда делит $O_{1} O_{2}$ пополам»	пополам делится хорда, а не отрезок центров	$A H = H B$ ; $O_{1} H = H O_{2}$ только при $R = r$

R05.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $R = 9$ , $r = 4$ , $d = 3$ . Как расположены окружности?

$d < R + r = 13$

⇒ пересекаются в двух точках

$R - r = 5 > 3$ ⇒ одна внутри другой, общих точек нет

б) $R = r = 10$ , $d = 12$ . Найдите общую хорду.

$A H = 12 : 2 = 6$

$A B = 2 \cdot 6 = 12$

$O_{1} H = 6$ , $A H = 100 - 36 = 8$ , $A B = 16$

в) Окружности радиусов $5$ и $2$ касаются. Найдите $d$ .

$d = R + r = 7$

Ответ: $7$

ещё внутреннее касание: $d = 3$ . Ответ: $7$ или $3$

R05.5

Задания с самопроверкой · база

Радиусы $6$ и $4$ : как расположены окружности?

база $d = 10$ внешнее касание
база $d = 12$ вне, 0 общих точек
база $d = 1$ одна внутри другой

база $d = 5$ пересекаются
базаРадиусы $11$ и $4$ , касание внутреннее. Найдите $d$ . $7$
база $R = r = 13$ , $d = 10$ . Найдите общую хорду. $24$

R05.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Радиусы $15$ и $20$ , $d = 25$ . Найдите общую хорду. $24$
повыш.Радиусы $5$ и $r$ , $d = 8$ . При каких $r$ окружности пересекаются? $3 < r < 13$
повыш.Окружности радиусов $1$ , $2$ , $3$ попарно касаются внешним образом. Найдите периметр треугольника с вершинами в центрах. $12$
из жизниШестерни радиусов $6$ см и $4$ см в зацеплении касаются. Расстояние между осями? А у внутреннего зацепления радиусов $10$ и $4$ см? $10$ см; $6$ см

2,5 мин · практика
1) 15² + 20² = 625 = 25² ⇒ ∠O₁AO₂ = 90°; AH — высота прямоугольного треугольника: AH = 15 · 20 : 25 = 12, AB = 24. (Проверка: O₁H = 225 : 25 = 9, √(225 − 81) = 12.)
2) |5 − r| < 8 < 5 + r ⇒ r > 3 и r < 13.
3) Расстояния между центрами 1 + 2 = 3, 1 + 3 = 4, 2 + 3 = 5; P = 12 (треугольник ещё и прямоугольный: 3² + 4² = 5²).
4) Окружности шестерён (делительные) касаются: внешнее зацепление — d = 6 + 4 = 10 см; внутреннее (шестерня внутри зубчатого венца) — d = 10 − 4 = 6 см. Так устроены планетарные передачи и механические часы.

R05.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 16Окружности радиусов $20$ и $13$ пересекаются, их общая хорда равна $24$ . Найдите расстояние между центрами, если центры лежат по разные стороны от хорды. $21$
ОГЭ 16Радиусы двух окружностей $9$ и $6$ , расстояние между центрами $15$ . Сколько общих точек у окружностей? $1$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их радиусов, то окружности не имеют общих точек.
Две различные окружности могут иметь ровно три общие точки.
Если две окружности касаются, то расстояние между их центрами равно сумме радиусов.

Ответ: 1

R05.5 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 24 и 25

Вторая часть: доказательство и сложная задача

ОГЭ 24 Окружности с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ пересекаются в точках $A$ и $B$ . Докажите, что луч $O_{1} O_{2}$ — биссектриса угла $A O_{1} B$ .

$O_{1} A = O_{1} B$ , $O_{2} A = O_{2} B$ , $O_{1} O_{2}$ — общая

$△ A O_{1} O_{2} = △ B O_{1} O_{2}$ (III) ⇒ $∠ A O_{1} O_{2} = ∠ B O_{1} O_{2}$

ОГЭ 25 $∠ A O_{1} B = 9 0^{\circ}$ , $∠ A O_{2} B = 6 0^{\circ}$ , $O_{1} O_{2} = 1 + 3$ , центры по разные стороны от $A B$ . Найдите радиусы.

$A H = x$ : $O_{1} H = x$ , $O_{2} H = x 3$ ⇒ $x = 1$

$R = 2$ , $r = A B = 2$

2 мин · практика
24) Полное решение на 2 балла: равенство треугольников AO₁O₂ и BO₁O₂ по трём сторонам (O₁A = O₁B — радиусы первой окружности, O₂A = O₂B — радиусы второй, O₁O₂ — общая) ⇒ ∠AO₁O₂ = ∠BO₁O₂. Обязательно назвать признак и обосновать каждое равенство.
25) H — середина AB, O₁O₂ ⟂ AB (теорема урока). △AO₁B — прямоугольный равнобедренный ⇒ O₁H = AH = x (медиана к гипотенузе), R = x√2. △AO₂B — равносторонний (равнобедренный с углом 60°) ⇒ O₂H = x√3, r = AB = 2x. x + x√3 = 1 + √3 ⇒ x = 1; R = √2, r = 2. Чертёж в масштабе.
На уроке — устный план (2 мин), полная запись 25 — в ДЗ по желанию.

R05.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$R = 8$ , $r = 3$ , $d = 11$ . Как расположены окружности? внешнее касание
$R = 8$ , $r = 3$ , $d = 4$ . Сколько общих точек? 0 (одна внутри другой)
Касание внутреннее, радиус большей $12$ , $d = 5$ . Найдите радиус меньшей. $7$
$R = r = 17$ , $d = 16$ . Найдите общую хорду. $30$

Вариант 2

$R = 9$ , $r = 5$ , $d = 14$ . Как расположены окружности? внешнее касание
$R = 9$ , $r = 5$ , $d = 6$ . Сколько общих точек? 2 (пересекаются)
Касание внешнее, $d = 20$ , один радиус $13$ . Найдите другой. $7$
$R = r = 25$ , $d = 14$ . Найдите общую хорду. $48$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

С какими двумя числами сравнивают $d$ ?
Сколько общих точек могут иметь две окружности?
Как общая хорда расположена относительно линии центров?

Домашнее задание

$R = 10$ , $r = 6$ . Расположение при $d = 3$ ; $4$ ; $10$ ; $16$ ; $20$ .
Радиусы $17$ и $10$ , $d = 21$ . Найдите общую хорду.
* Докажите: при $R = r$ общая хорда и $O_{1} O_{2}$ делят друг друга пополам.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_okruzhnost_i_pryamye.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: 1) R − r = 4, R + r = 16: d = 3 — одна внутри другой; 4 — внутреннее касание; 10 — пересекаются; 16 — внешнее касание; 20 — вне друг друга. 2) 289 − x² = 100 − (21 − x)² ⇒ 42x = 630, x = 15, AH = √(289 − 225) = 8, AB = 16. 3) O₁AO₂B — ромб (все стороны равны R) ⇒ его диагонали AB и O₁O₂ точкой пересечения делятся пополам.
Тренажёр «Окружности и прямые» содержит задания на взаимное расположение двух окружностей. Следующий урок — касание окружностей (GEOM8U-078): точка касания лежит на линии центров.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-077 · Взаимное расположение двух окружностей

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью», 20 ч · урок 5/20 · тип Н
Единицы → слайды	R05.5 «Взаимное расположение двух окружностей» → 2, 4–21 · повторение (прямая и окружность, вписанный четырёхугольник) → 3
Результаты	ПР-10 (понятия, связанные с окружностью, применять их свойства при решении задач) → 4–21
Вне урока	касание окружностей (точка касания на линии центров, общая касательная в точке касания) — GEOM8U-078; общие касательные к двум окружностям — GEOM8U-079
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Взаимное расположение двух окружностей

Сегодня вы научитесь

Различать пять случаев

Сравнивать d с R+r и R−r

Доказывать

Решать задачи

Прямая и окружность, хорда, неравенство треугольника

Всё решает расстояние между центрами d=O1​O2​

d>R+r

d=R+r

R−r<d<R+r

d=R−r

d<R−r

Если есть общая точка, то R−r≤d≤R+r

Если R−r<d<R+r, то общих точек ровно две

Сравните d с суммой и разностью радиусов

Образец: R=7, r=3. Как расположены окружности при d=12; 10; 6; 4; 1?

Сам

Расположение известно — найдите расстояние или радиус

Образец: окружности радиусов 9 и 4 касаются. Найдите расстояние между центрами.

Сам

Общая хорда и линия центров

Два прямоугольных треугольника с общим катетом

Образец: радиусы 10 и 17, d=21. Найдите общую хорду AB.

Сам

Ось расстояний между центрами

План доказательства и обоснования

Образец: окружности пересекаются в A и B, AC и AD — диаметры. Докажите: C, B, D на одной прямой.

Сам: составьте план

Расстояние между центрами — по теореме Пифагора

Образец: O1​(0;0), R=2; O2​(3;4), r=3. Как расположены окружности?

Сам: нарисуйте в тетради

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) R=9, r=4, d=3. Как расположены окружности?

б) R=r=10, d=12. Найдите общую хорду.

в) Окружности радиусов 5 и 2 касаются. Найдите d.

Радиусы 6 и 4: как расположены окружности?

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: доказательство и сложная задача

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-077 · Взаимное расположение двух окружностей

Сравнивать $d$ с $R + r$ и $R - r$

Всё решает расстояние между центрами $d = O_{1} O_{2}$

$d > R + r$

$d = R + r$

$R - r < d < R + r$

$d = R - r$

$d < R - r$

Если есть общая точка, то $R - r \leq d \leq R + r$

Если $R - r < d < R + r$ , то общих точек ровно две

Сравните $d$ с суммой и разностью радиусов

Образец: $R = 7$ , $r = 3$ . Как расположены окружности при $d = 12$ ; $10$ ; $6$ ; $4$ ; $1$ ?

Образец: окружности радиусов $9$ и $4$ касаются. Найдите расстояние между центрами.

Образец: радиусы $10$ и $17$ , $d = 21$ . Найдите общую хорду $A B$ .

Образец: окружности пересекаются в $A$ и $B$ , $A C$ и $A D$ — диаметры. Докажите: $C$ , $B$ , $D$ на одной прямой.

Образец: $O_{1} (0; 0)$ , $R = 2$ ; $O_{2} (3; 4)$ , $r = 3$ . Как расположены окружности?

а) $R = 9$ , $r = 4$ , $d = 3$ . Как расположены окружности?

б) $R = r = 10$ , $d = 12$ . Найдите общую хорду.

в) Окружности радиусов $5$ и $2$ касаются. Найдите $d$ .

Радиусы $6$ и $4$ : как расположены окружности?