Окружность · урок 4 из 20

Свойства и признаки вписанного четырёхугольника

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM8U-076

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью» (20 ч), урок 4/20, единица R05.4. Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · свойство 2 · следствия 2 · признак 1 — 2,5 · признак 2 — 2 · прямой угол 1,5 · схема 1,5.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 16/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец 5 (клетчатая бумага) и ОГЭ 24 — в ДЗ; доказательства признаков не сокращать.

R05.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Доказывать свойство

сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника — $18 0^{\circ}$ (ПР-10)

Применять признаки

и решать, можно ли описать окружность около четырёхугольника

Видеть скрытую окружность

отрезок виден под равными углами — четыре точки на одной окружности

Решать задачи

на вычисление и доказательство, в том числе ОГЭ 16, 23, 24

повторение: R05.1–R05.3

Разминка · устно

Вписанные и центральные углы

$∠ A OB = 11 0^{\circ}$ . Чему равен $∠ A CB$ ? $5 5^{\circ}$
Вписанный угол $3 5^{\circ}$ . Какова дуга, на которую он опирается? $7 0^{\circ}$
Вписанный угол опирается на диаметр. Он равен… $9 0^{\circ}$
Два вписанных угла опираются на одну дугу. Они… равны
Три дуги окружности: $10 0^{\circ}$ , $12 0^{\circ}$ , $8 0^{\circ}$ . Четвёртая? $6 0^{\circ}$
Сумма углов выпуклого четырёхугольника? $36 0^{\circ}$

R05.4

Свойство · доказательство

Сумма противоположных углов равна 180°

Дано:

A BC D

вписан в окружность.
Доказать:

∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}

,

∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}

.

1

∠ A = \frac{1}{2} ⌣ BC D

вписанный угол равен половине дуги

2

∠ C = \frac{1}{2} ⌣ B A D

так же, дуга не содержит

C

3

⌣ BC D + ⌣ B A D = 36 0^{\circ}

две дуги составляют всю окружность

4

∠ A + ∠ C = \frac{1}{2} \cdot 36 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

∠ B + ∠ D = 36 0^{\circ} - 18 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

2 мин · теория
Формулировка: во вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°. Цвет дуги совпадает с цветом угла, который на неё опирается: α — розовая дуга BCD, γ — бирюзовая дуга BAD.
Вопрос классу на каждом шаге: «почему?». Шаг 4: вторая пара — через сумму углов четырёхугольника или тем же рассуждением с дугами ABC и ADC.
Ошибка: складывать соседние углы (∠A + ∠B). Соседние углы вписанного четырёхугольника в сумме 180° дают только у трапеции.

R05.4

Следствия свойства

Какие четырёхугольники бывают вписанными

Параллелограмм → прямоугольник

$∠ A = ∠ C$ и $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ $\Rightarrow$ $∠ A = 9 0^{\circ}$

Трапеция → равнобедренная

$∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$ , $∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}$ $\Rightarrow$ $∠ A = ∠ D$

Внешний угол

$∠ D CE = 18 0^{\circ} - ∠ BC D = ∠ A$ — равен противоположному внутреннему

2 мин · теория
1) У параллелограмма противоположные углы равны; если он вписан, их сумма 180°, значит все углы прямые: вписанный параллелограмм — прямоугольник (ромб — квадрат). Диагональ прямоугольника — диаметр окружности.
2) Трапеция ABCD, AD ∥ BC: ∠A + ∠B = 180° (односторонние), ∠B + ∠D = 180° (свойство) ⇒ ∠A = ∠D — углы при основании равны, трапеция равнобедренная.
3) Внешний угол при вершине C смежен с ∠BCD, а ∠BCD = 180° − ∠A ⇒ ∠DCE = ∠A. Это следствие — ключ к задачам ОГЭ 23 о секущих (сл. 20).

R05.4

Образец → сам · свойство на готовом чертеже

Найдите углы четырёхугольника

Образец: $A BC D$ вписан в окружность, $∠ A = 7 4^{\circ}$ , $∠ B = 10 2^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ и $∠ D$ .

$∠ C = 18 0^{\circ} - 7 4^{\circ} = 10 6^{\circ}$ $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$

$∠ D = 18 0^{\circ} - 10 2^{\circ} = 7 8^{\circ}$ $∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}$

Проверка: $74 + 102 + 106 + 78 = 360$ ✓

Сам

$A BC D$ вписан, $∠ A : ∠ C = 2 : 3$ . Найдите $∠ A$ и $∠ C$ . $7 2^{\circ}$ и $10 8^{\circ}$
$A BC D$ вписан, $∠ B = 3∠ D$ . Найдите $∠ B$ . $13 5^{\circ}$
Внешний угол вписанного четырёхугольника при вершине $B$ равен $6 4^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ . $6 4^{\circ}$

R05.4

Признак 1 · доказательство

Если сумма противоположных углов 180°

Дано:

∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}

.
Доказать: около

A BC D

можно описать окружность.

1

ω

— окружность через

A

,

B

,

D

; пусть

C

вне

ω

CB

и

C D

пересекают

ω

в точках

M

и

N

2

∠ A = \frac{1}{2} ⌣ BM D

,

∠ C = \frac{1}{2} (⌣ B A D - ⌣ MN)

вписанный угол; угол между секущими

3

∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ} - \frac{1}{2} ⌣ MN < 18 0^{\circ}

противоречие с условием

4

C

внутри

ω

— так же: сумма

> 18 0^{\circ}

угол между хордами; значит,

C \in ω

2,5 мин · теория
Формулировка: если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то около него можно описать окружность. Это утверждение, обратное свойству.
Доказательство от противного. Через три точки A, B, D, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна окружность. Шаг 2 опирается на теоремы урока R05.2: угол между секущими, пересекающимися вне круга, равен полуразности дуг, а угол между хордами — полусумме.
Шаг 3: ½·BMD + ½·BAD = ½·360° = 180°, а вычитаемое ½·MN > 0. Шаг 4: если C внутри круга, продолжения CB и CD за точку C пересекают ω, ∠C = ½(BAD + дуга между точками пересечения) ⇒ сумма больше 180°.
Вопрос: почему достаточно одной пары углов? (Вторая пара тогда тоже даёт 180° — сумма углов 360°.)

R05.4

Образец → сам · обратная задача: признак

Можно ли описать окружность?

Образец: в $A BC D$ $∠ A = 6 5^{\circ}$ , $∠ B = 11 0^{\circ}$ , $∠ D = 7 0^{\circ}$ . Можно ли описать около него окружность?

$∠ C = 36 0^{\circ} - 6 5^{\circ} - 11 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 11 5^{\circ}$

$∠ A + ∠ C = 6 5^{\circ} + 11 5^{\circ} = 18 0^{\circ}$ признак 1

Можно окружность — пунктиром на чертеже

Сам

Углы четырёхугольника по порядку: $8 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ , $10 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ . Можно ли описать окружность? да: $80 + 100 = 180$
Можно ли описать окружность около ромба с углом $6 0^{\circ}$ ? нет: $60 + 60 \neq = 180$
Около $A BC D$ описана окружность, $∠ A : ∠ B : ∠ C = 2 : 3 : 4$ . Найдите $∠ D$ . $9 0^{\circ}$

R05.4

Признак 2 · доказательство

Отрезок виден под равными углами

Дано:

A

и

D

по одну сторону от

BC

,

∠ B A C = ∠ B D C = φ

.
Доказать:

A

,

B

,

C

,

D

лежат на одной окружности.

1

ω

— окружность через

A

,

B

,

C

три точки не на одной прямой

2

φ = ∠ B A C = \frac{1}{2} ⌣ BC

вписанный угол

3

D

вне

ω

:

∠ B D C = \frac{1}{2} (⌣ BC - ⌣ MN) < φ

D

внутри:

\frac{1}{2} (⌣ BC + ⌣ MN) > φ

4Оба случая противоречат условию

\Rightarrow D \in ω

так же, как в признаке 1

2 мин · теория
Формулировка: если точки A и D лежат по одну сторону от прямой BC и отрезок BC виден из них под равными углами, то A, B, C, D лежат на одной окружности. Обратное утверждение — следствие теоремы о вписанном угле (углы, опирающиеся на одну дугу, равны).
M и N — вторые точки пересечения прямых DB и DC с ω. Схема та же, что в признаке 1: вне круга — полуразность дуг, внутри — полусумма.
Условие «по одну сторону» обязательно: если A и D по разные стороны от BC, нужен признак 1 (∠A + ∠D = 180°).

R05.4

Признак 2 · частный случай

Отрезок виден под прямым углом

Если отрезок

A B

виден из точек

A_{1}

и

B_{1}

под прямым углом, то они лежат на окружности с диаметром

A B

.

Высоты $A A_{1}$ и $B B_{1}$ : $∠ A A_{1} B = ∠ A B_{1} B = 9 0^{\circ}$ $\Rightarrow$ $A$ , $B$ , $A_{1}$ , $B_{1}$ на одной окружности, центр $O$ — середина $A B$ .

$C A_{1} H B_{1}$ тоже вписан: $∠ A_{1} + ∠ B_{1} = 9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ (признак 1), диаметр — $C H$ .

R05.4

Образец → сам · комбинированная задача

Углы, опирающиеся на одну дугу

Образец: $A BC D$ вписан, $∠ B A C = 3 0^{\circ}$ , $∠ C A D = 4 5^{\circ}$ , $∠ A B D = 5 0^{\circ}$ . Найдите углы $A BC D$ .

$∠ A = 7 5^{\circ}$ , $∠ C = 18 0^{\circ} - 7 5^{\circ} = 10 5^{\circ}$ свойство

$∠ CB D = ∠ C A D = 4 5^{\circ}$ опираются на дугу $C D$

$∠ B = 5 0^{\circ} + 4 5^{\circ} = 9 5^{\circ}$ , $∠ D = 8 5^{\circ}$

Сам

$A BC D$ вписан, $∠ A B D = 3 8^{\circ}$ . Найдите $∠ A C D$ . $3 8^{\circ}$
$A BC D$ вписан, $∠ B A C = 2 0^{\circ}$ , $∠ C A D = 5 0^{\circ}$ , $∠ A D B = 6 0^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ и $∠ D$ . $10 0^{\circ}$ и $8 0^{\circ}$
В $A BC D$ $∠ B A C = ∠ B D C = 3 5^{\circ}$ , $∠ A B D = 5 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A C D$ . $5 5^{\circ}$ (признак 2)

2,5 мин · практика
Образец: ∠A = 30 + 45 = 75°; ∠C = 105°; ∠CBD = ∠CAD = 45° (вписанные, опираются на дугу CD); ∠B = ∠ABD + ∠DBC = 95°; ∠D = 180 − 95 = 85°. Проверка: ∠ADB = 180 − 75 − 50 = 55°, ∠BDC = ∠BAC = 30°, ∠D = 85° ✓.
1) ∠ACD = ∠ABD = 38° (опираются на дугу AD). 2) ∠A = 70°; ∠BDC = ∠BAC = 20° ⇒ ∠D = 60 + 20 = 80°; ∠B = 180 − 80 = 100° (проверка: ∠ABD = 50°, ∠DBC = ∠DAC = 50°).
3) A и D по одну сторону от BC, ∠BAC = ∠BDC ⇒ ABCD вписан (признак 2) ⇒ ∠ACD = ∠ABD = 55°. Без признака равенство углов ∠ACD и ∠ABD обосновать нельзя — это и есть «скрытая окружность».

R05.4

Образец → сам · задача на доказательство

Высоты и скрытая окружность

Образец: $A A_{1}$ , $B B_{1}$ — высоты остроугольного $△ A BC$ . Докажите: $∠ C A_{1} B_{1} = ∠ A$ .

$A$ , $B$ , $A_{1}$ , $B_{1}$ на окружности $A B$ виден под $9 0^{\circ}$

$∠ B A_{1} B_{1} + ∠ A = 18 0^{\circ}$ свойство для $A B A_{1} B_{1}$

$∠ C A_{1} B_{1} = 18 0^{\circ} - ∠ B A_{1} B_{1} = ∠ A$ смежные

Сам: план и обоснования

Докажите: $∠ C B_{1} A_{1} = ∠ B$ . внешний угол $A B A_{1} B_{1}$ при $B_{1}$
$∠ A = 5 0^{\circ}$ , $∠ B = 7 0^{\circ}$ . Найдите углы $△ A_{1} B_{1} C$ . $5 0^{\circ}$ , $7 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$
$H$ — точка пересечения высот. Докажите: около $C A_{1} H B_{1}$ можно описать окружность. $9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ , признак 1

2,5 мин · практика
Образец: шаг 1 — частный случай признака 2 (сл. 10); шаг 2 — свойство вписанного четырёхугольника ABA₁B₁ (противоположные углы ∠BAB₁ = ∠A и ∠BA₁B₁); шаг 3 — смежные углы. Итог: ∠CA₁B₁ — внешний угол при A₁, равен противоположному внутреннему.
1) ∠AB₁A₁ + ∠B = 180° (противоположные в ABA₁B₁) ⇒ ∠CB₁A₁ = 180° − ∠AB₁A₁ = ∠B.
2) ∠CA₁B₁ = ∠A = 50°, ∠CB₁A₁ = ∠B = 70°, ∠C = 180 − 50 − 70 = 60°. Вывод: △A₁B₁C ∼ △ABC (два угла) — запомнить для ОГЭ 25.
3) ∠CA₁H = ∠CB₁H = 90° — противоположные углы, сумма 180° ⇒ признак 1. Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования.

R05.4

Образец → сам · строим на клетчатой бумаге

Найдите центр и радиус описанной окружности

Образец: $A (0; 0)$ , $B (2; 4)$ , $C (4; 4)$ , $D (6; 0)$ . Найдите центр $O$ и радиус $R$ .

трапеция равнобедренная — окружность есть центр на оси $x = 3$

$O (3; 1)$ : $O A^{2} = 3^{2} + 1^{2} = 10$ , $O B^{2} = 1^{2} + 3^{2} = 10$

$R = 10$ $OC = OB$ , $O D = O A$ — симметрия

Сам: нарисуйте в тетради

$A (0; 0)$ , $B (0; 4)$ , $C (6; 4)$ , $D (6; 0)$ . Найдите $O$ и $R$ . $O (3; 2)$ , $R = 13$
$A (0; 0)$ , $B (2; 6)$ , $C (6; 6)$ , $D (8; 0)$ . Найдите $O$ и $R$ . $O (4; 2)$ , $R = 25$
Можно ли описать окружность около $A (0; 0)$ , $B (1; 3)$ , $C (5; 3)$ , $D (4; 0)$ ? нет: параллелограмм, не прямоугольник

2 мин · практика
Образец: центр равноудалён от A и D ⇒ лежит на серединном перпендикуляре x = 3; подбором по клеткам O(3; 1): OA² = 9 + 1 = 10, OB² = 1 + 9 = 10, OC² = 1 + 9 = 10, OD² = 9 + 1 = 10 ⇒ R = √10. Можно и уравнением: 9 + k² = 1 + (4 − k)² ⇒ k = 1.
1) Прямоугольник: центр — точка пересечения диагоналей (3; 2), R = √(9 + 4) = √13. 2) Центр на x = 4: 16 + k² = 4 + (6 − k)² ⇒ 12k = 24, k = 2; R² = 16 + 4 = 20, R = 2√5.
3) AB ∥ DC и AB = DC (сдвиг на (1; 3)) ⇒ параллелограмм; угол A не прямой ⇒ ∠A + ∠C = 2∠A ≠ 180° ⇒ окружность описать нельзя.

R05.4

Схема-конспект

Признаки → вписанный четырёхугольник → свойства

Признаки: если…

$∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$
$∠ B A C = ∠ B D C$ , $A$ и $D$ по одну сторону от $BC$
это прямоугольник или равнобедренная трапеция

⟶

вписанный

⟶

Свойства: то…

$∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}$
внешний угол $=$ противоположному внутреннему
$∠ A B D = ∠ A C D$ и т. д.
параллелограмм — прямоугольник, трапеция — равнобедренная

R05.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$A BC D$ вписан ⇒ $∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$	$∠ A$ и $∠ B$ — соседние, а не противоположные	$∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$
«Около ромба можно описать окружность»	противоположные углы ромба равны, сумма $18 0^{\circ}$ — только у квадрата	из ромбов — только квадрат
$∠ B A C = ∠ B D C$ ⇒ вписан, без проверки расположения	если $A$ и $D$ по разные стороны от $BC$ , признак 2 не работает	$A$ , $D$ по одну сторону от $BC$
$∠ A C D = 2∠ A B D$	оба угла вписанные и опираются на одну дугу $A D$	$∠ A C D = ∠ A B D$

R05.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A BC D$ вписан, $∠ A = 7 0^{\circ}$ , $∠ B = 8 5^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ .

$∠ C = 18 0^{\circ} - ∠ B$

$∠ C = 18 0^{\circ} - 8 5^{\circ} = 9 5^{\circ}$

$∠ C = 18 0^{\circ} - ∠ A = 11 0^{\circ}$

б) Углы $A BC D$ по порядку: $9 5^{\circ}$ , $8 5^{\circ}$ , $9 5^{\circ}$ , $8 5^{\circ}$ . Можно ли описать окружность?

$9 5^{\circ} + 8 5^{\circ} = 18 0^{\circ}$ ⇒ можно

противоположные: $95 + 95 = 190 \neq = 180$ ⇒ нельзя

в) $A BC D$ вписан, $∠ A B D = 4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A C D$ .

$∠ A C D = 2 \cdot 4 0^{\circ} = 8 0^{\circ}$

опираются на дугу $A D$ : $∠ A C D = 4 0^{\circ}$

R05.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $A BC D$ вписан, $∠ A = 11 2^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $6 8^{\circ}$
база $A BC D$ вписан, $∠ B : ∠ D = 4 : 5$ . Найдите $∠ B$ . $8 0^{\circ}$
базаУглы по порядку: $7 0^{\circ}$ , $12 0^{\circ}$ , $11 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ . Вписан ли? да

базаТрапеция вписана, угол при основании $6 4^{\circ}$ . Найдите остальные углы. $6 4^{\circ}$ , $11 6^{\circ}$ , $11 6^{\circ}$
база $A BC D$ вписан, $∠ B D C = 3 4^{\circ}$ . Найдите $∠ B A C$ . $3 4^{\circ}$
базаПараллелограмм вписан, его диагональ $10$ . Найдите радиус окружности. $5$

R05.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A BC D$ вписан, $A B = BC$ , $∠ A D C = 10 0^{\circ}$ . Найдите $∠ B A C$ . $5 0^{\circ}$
повыш. $A BC D$ вписан; лучи $A B$ и $D C$ пересекаются в точке $E$ , $∠ A = 6 5^{\circ}$ , $∠ E = 4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A BC$ и $∠ BC D$ . $10 5^{\circ}$ и $11 5^{\circ}$
повыш. $A A_{1}$ и $C C_{1}$ — высоты остроугольного $△ A BC$ . Докажите: $∠ A A_{1} C_{1} = ∠ A C C_{1}$ . $A, C, A_{1}, C_{1}$ на окружности с диаметром $A C$
из жизниЧетыре куста — вершины четырёхугольника с углами $8 5^{\circ}$ , $10 0^{\circ}$ , $9 5^{\circ}$ , $8 0^{\circ}$ (по порядку). Можно ли разбить круглую клумбу, чтобы кусты были на её краю? да: $85 + 95 = 180$

2,5 мин · практика
1) ∠ABC = 180 − 100 = 80°; △ABC равнобедренный ⇒ ∠BAC = (180 − 80) : 2 = 50°. Иначе: AB = BC ⇒ дуги равны ⇒ ∠BAC = ∠BDC = ∠ADB = 50°.
2) В △AED: ∠D = 180 − 65 − 40 = 75°; ∠ABC = 180 − ∠D = 105°, ∠BCD = 180 − ∠A = 115°. Проверка в △EBC: ∠EBC = 75°, ∠ECB = 65°, 75 + 65 + 40 = 180 ✓.
3) ∠AA₁C = ∠AC₁C = 90° ⇒ A, C, A₁, C₁ на окружности с диаметром AC; ∠AA₁C₁ и ∠ACC₁ — вписанные, опираются на одну дугу AC₁ ⇒ равны.
4) Противоположные углы: 85 + 95 = 180 (и 100 + 80 = 180) ⇒ около четырёхугольника можно описать окружность — край клумбы. Центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам (на местности — верёвкой).

R05.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 16Четырёхугольник $A BC D$ вписан в окружность. Угол $A BC$ равен $10 4^{\circ}$ , угол $C A D$ равен $6 6^{\circ}$ . Найдите угол $A B D$ . $38$
ОГЭ 16Четырёхугольник $A BC D$ вписан в окружность. Угол $A B D$ равен $7 5^{\circ}$ , угол $C A D$ равен $3 5^{\circ}$ . Найдите угол $A BC$ . $110$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Около любого ромба можно описать окружность.
Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна $18 0^{\circ}$ , то около него можно описать окружность.
Во вписанном четырёхугольнике противоположные углы равны.

Ответ: 2

R05.4 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 $A BC D$ вписан, прямые $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $K$ , $B K = 6$ , $DK = 10$ , $BC = 9$ . Найдите $A D$ .

$∠ K BC = ∠ D$ (внешний угол), $∠ K$ — общий ⇒ $△ K BC \sim △ KD A$

$\frac{BC}{A D} = \frac{B K}{DK}$ ⇒ $A D = \frac{9 \cdot 10}{6} = 15$

ОГЭ 24 Высоты $A A_{1}$ и $B B_{1}$ остроугольного $△ A BC$ пересекаются в точке $H$ . Докажите: $∠ A A_{1} B_{1} = ∠ A B B_{1}$ .

$∠ A A_{1} B = ∠ A B_{1} B = 9 0^{\circ}$ ⇒ $A$ , $B$ , $A_{1}$ , $B_{1}$ на окружности с диаметром $A B$

$∠1 = ∠2$ — опираются на дугу $A B_{1}$

2,5 мин · практика
23) ∠KBC — внешний угол вписанного ABCD при вершине B ⇒ ∠KBC = ∠ADC = ∠KDA; ∠K общий ⇒ △KBC ∼ △KDA (по двум углам; B ↔ D, C ↔ A). BC : DA = KB : KD ⇒ AD = 9 · 10 : 6 = 15. Ответ: 15. На чертеже KC = 7,2, KA = 12 (проверка: KB · KA = KC · KD = 72).
24) Полное решение на 2 балла: ∠AA₁B = 90° и ∠AB₁B = 90° (высоты), A₁ и B₁ по одну сторону от AB ⇒ A, B, A₁, B₁ лежат на окружности с диаметром AB (признак 2). ∠AA₁B₁ и ∠ABB₁ — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу AB₁ ⇒ равны.
На уроке — обсуждение плана; запись 24 полностью — в ДЗ по желанию.

R05.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$A BC D$ вписан, $∠ A = 5 7^{\circ}$ , $∠ B = 10 1^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ и $∠ D$ . $12 3^{\circ}$ , $7 9^{\circ}$
Трапеция $A BC D$ ( $A D ∥ BC$ ) вписана, $∠ A = 7 2^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ , $∠ C$ , $∠ D$ . $10 8^{\circ}$ , $10 8^{\circ}$ , $7 2^{\circ}$
$A BC D$ вписан, $∠ A B D = 4 8^{\circ}$ , $∠ C A D = 3 7^{\circ}$ . Найдите $∠ A BC$ . $8 5^{\circ}$
Углы по порядку: $7 5^{\circ}$ , $9 5^{\circ}$ , $10 5^{\circ}$ , $8 5^{\circ}$ . Можно ли описать окружность? да

Вариант 2

$A BC D$ вписан, $∠ B = 6 4^{\circ}$ , $∠ C = 11 8^{\circ}$ . Найдите $∠ A$ и $∠ D$ . $6 2^{\circ}$ , $11 6^{\circ}$
Параллелограмм со сторонами $6$ и $8$ вписан в окружность. Найдите её радиус. $5$
$A BC D$ вписан, $∠ A BC = 11 2^{\circ}$ , $∠ C A D = 4 1^{\circ}$ . Найдите $∠ A B D$ . $7 1^{\circ}$
Углы по порядку: $8 8^{\circ}$ , $9 2^{\circ}$ , $8 8^{\circ}$ , $9 2^{\circ}$ . Можно ли описать окружность? нет

4 мин · практика
Вариант 1: 1) ∠C = 180 − 57 = 123°, ∠D = 180 − 101 = 79°. 2) Трапеция равнобедренная: ∠D = ∠A = 72°, ∠B = ∠C = 180 − 72 = 108°. 3) ∠DBC = ∠DAC = 37° ⇒ ∠ABC = 48 + 37 = 85°. 4) 75 + 105 = 180, 95 + 85 = 180 ⇒ да.
Вариант 2: 1) ∠D = 180 − 64 = 116°, ∠A = 180 − 118 = 62°. 2) Вписанный параллелограмм — прямоугольник, диагональ √(36 + 64) = 10 — диаметр, R = 5. 3) ∠DBC = ∠DAC = 41° ⇒ ∠ABD = 112 − 41 = 71°. 4) 88 + 88 = 176 ≠ 180 ⇒ нет.
В заданиях 4 требовать ссылку на признак 1. Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3». Взаимопроверка по ответам (по щелчку).

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чему равна сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника?
Назовите два признака вписанного четырёхугольника.
Какой параллелограмм можно вписать в окружность?

Домашнее задание

$A BC D$ вписан, $∠ A : ∠ C = 4 : 5$ , $∠ B = 3∠ D$ . Найдите все углы.
Прямые $A B$ и $C D$ ( $A BC D$ вписан) пересекаются в $K$ , $K B = 4$ , $KD = 8$ , $BC = 5$ . Найдите $A D$ .
* $B B_{1}$ , $C C_{1}$ — высоты $△ A BC$ . Докажите: $△ A B_{1} C_{1} \sim △ A BC$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_vpisannaya_i_opisannaya_okruzhnosti.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-076 · Свойства и признаки вписанного четырёхугольника

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью», 20 ч · урок 4/20 · тип Н
Единицы → слайды	R05.4 «Свойства и признаки вписанного четырехугольника» → 2, 4–22 · повторение R05.1–R05.3 → 3
Результаты	ПР-10 (вписанные и центральные углы, описанная окружность четырёхугольника, применение свойств) → 4–22
Вне урока	взаимное расположение окружностей — GEOM8U-077; описанный четырёхугольник (суммы противоположных сторон) — урок R05.3; углы между хордами и секущими — R05.2 (используются в доказательстве признаков)
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Свойства и признаки вписанного четырёхугольника

Сегодня вы научитесь

Доказывать свойство

Применять признаки

Видеть скрытую окружность

Решать задачи

Вписанные и центральные углы

Сумма противоположных углов равна 180°

Какие четырёхугольники бывают вписанными

Параллелограмм → прямоугольник

Трапеция → равнобедренная

Внешний угол

Найдите углы четырёхугольника

Образец: ABCD вписан в окружность, ∠A=74∘, ∠B=102∘. Найдите ∠C и ∠D.

Сам

Если сумма противоположных углов 180°

Можно ли описать окружность?

Образец: в ABCD ∠A=65∘, ∠B=110∘, ∠D=70∘. Можно ли описать около него окружность?

Сам

Отрезок виден под равными углами

Отрезок виден под прямым углом

Углы, опирающиеся на одну дугу

Образец: ABCD вписан, ∠BAC=30∘, ∠CAD=45∘, ∠ABD=50∘. Найдите углы ABCD.

Сам

Высоты и скрытая окружность

Образец: AA1​, BB1​ — высоты остроугольного △ABC. Докажите: ∠CA1​B1​=∠A.

Сам: план и обоснования

Найдите центр и радиус описанной окружности

Образец: A(0;0), B(2;4), C(4;4), D(6;0). Найдите центр O и радиус R.

Сам: нарисуйте в тетради

Признаки → вписанный четырёхугольник → свойства

Признаки: если…

Свойства: то…

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) ABCD вписан, ∠A=70∘, ∠B=85∘. Найдите ∠C.

б) Углы ABCD по порядку: 95∘, 85∘, 95∘, 85∘. Можно ли описать окружность?

в) ABCD вписан, ∠ABD=40∘. Найдите ∠ACD.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-076 · Свойства и признаки вписанного четырёхугольника

Образец: $A BC D$ вписан в окружность, $∠ A = 7 4^{\circ}$ , $∠ B = 10 2^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ и $∠ D$ .

Образец: в $A BC D$ $∠ A = 6 5^{\circ}$ , $∠ B = 11 0^{\circ}$ , $∠ D = 7 0^{\circ}$ . Можно ли описать около него окружность?

Образец: $A BC D$ вписан, $∠ B A C = 3 0^{\circ}$ , $∠ C A D = 4 5^{\circ}$ , $∠ A B D = 5 0^{\circ}$ . Найдите углы $A BC D$ .

Образец: $A A_{1}$ , $B B_{1}$ — высоты остроугольного $△ A BC$ . Докажите: $∠ C A_{1} B_{1} = ∠ A$ .

Образец: $A (0; 0)$ , $B (2; 4)$ , $C (4; 4)$ , $D (6; 0)$ . Найдите центр $O$ и радиус $R$ .

а) $A BC D$ вписан, $∠ A = 7 0^{\circ}$ , $∠ B = 8 5^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ .

б) Углы $A BC D$ по порядку: $9 5^{\circ}$ , $8 5^{\circ}$ , $9 5^{\circ}$ , $8 5^{\circ}$ . Можно ли описать окружность?

в) $A BC D$ вписан, $∠ A B D = 4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A C D$ .