Углы и четырёхугольники, связанные с окружностью · урок 3 из 20

Вписанные и описанные четырёхугольники

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM8U-075

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью» (20 ч), урок 3/20, единица R05.3. Тип урока — Н.
Теория (13): титул 0,5 · цели 0,5 · определения 2 · центры окружностей 1,5 · теорема о вписанном четырёхугольнике 2,5 · следствия 2 · теорема об описанном четырёхугольнике 2,5 · схема 1,5.
Практика (32): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2 + 2 + 2,5 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2 · ОГЭ 16/19 — 1,5 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
На титуле — трапеция, которая одновременно вписана в окружность и описана около другой (основания 2 и 8, боковые 5): к ней вернёмся в образце на сл. 13.
Если не успеваете: образец на клетчатой бумаге (сл. 15) и ОГЭ 24 — в ДЗ; доказательства теорем не сокращать.

R05.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Различать

вписанный и описанный четырёхугольник, находить центры окружностей (ПР-10)

Доказывать теоремы

$∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ и $A B + C D = BC + A D$

Выводить следствия

какие параллелограммы и трапеции бывают вписанными и описанными

Решать задачи

на углы и стороны, в том числе ОГЭ 16, 23, 24

повторение: R05.1, 7 класс

Разминка · устно

Вписанный угол, касательные, центры

$∠ A OC = 14 0^{\circ}$ . Чему равен $∠ A BC$ ? $7 0^{\circ}$
Вписанный угол $3 5^{\circ}$ . Какова дуга, на которую он опирается? $7 0^{\circ}$
Вписанный угол опирается на диаметр. Он равен… $9 0^{\circ}$
Из точки проведены две касательные, одна из них $7$ . Вторая? $7$
Центр вписанной в треугольник окружности — точка пересечения… биссектрис
Центр описанной окружности — точка пересечения… серединных перпендикуляров
Сумма углов выпуклого четырёхугольника? $36 0^{\circ}$

2 мин · практика
Ответы: 1) 140° : 2 = 70° (вписанный угол равен половине центрального на ту же дугу). 2) 35° · 2 = 70°. 3) 90° (опирается на полуокружность). 4) 7 — отрезки касательных из одной точки равны. 5) биссектрис. 6) серединных перпендикуляров к сторонам. 7) 360°.
Задания 1–3 — инструмент теоремы о вписанном четырёхугольнике, 4–6 — теоремы об описанном и о центрах окружностей. Сильным: почему отрезки касательных равны? (Равные прямоугольные треугольники по гипотенузе и катету.)

R05.3

Определение

Окружность снаружи — и окружность внутри

Вписанный четырёхугольник: все вершины лежат на окружности. Окружность — описанная.

Описанный четырёхугольник: все стороны касаются окружности. Окружность — вписанная.

2 мин · теория
Определения: четырёхугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности; описанным около окружности — если все его стороны касаются окружности. Точки касания (розовые) лежат на сторонах, а не на их продолжениях.
Языковая ловушка: «четырёхугольник вписан в окружность» = «окружность описана около четырёхугольника». Попросить учеников перевести фразу «в ромб вписана окружность» (ромб — описанный).
Вопрос: около любого ли треугольника можно описать окружность? (Да, 7 класс.) А около любого четырёхугольника? Держим вопрос до схемы-конспекта — ответ «нет».

R05.3

Свойство · где центр окружности

Центр равноудалён от вершин — или от сторон

$O A = OB = OC = O D$ ⇒ $O$ лежит на серединных перпендикулярах ко всем четырём сторонам.

$I$ на расстоянии $r$ от всех сторон ⇒ $I$ лежит на биссектрисах всех четырёх углов.

1,5 мин · теория
Обоснование: точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре (7 класс); точка внутри угла, равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе.
Вывод: четырёхугольник вписан ⇔ четыре серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке; описан ⇔ четыре биссектрисы пересекаются в одной точке. У треугольника три прямые всегда пересекаются в одной точке, у четырёхугольника — не всегда.
Это пригодится в задачах: в описанном четырёхугольнике $A I$ , $B I$ , $C I$ , $D I$ — биссектрисы (сл. 14, задание 1).

R05.3

Теорема · вписанный четырёхугольник

Сумма противоположных углов равна $18 0^{\circ}$

Дано:

A BC D

вписан в окружность.
Доказать:

∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}

,

∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}

.

1

α = \frac{1}{2} ⌣ BC D

вписанный угол

A

опирается на дугу

BC D

2

γ = \frac{1}{2} ⌣ D A B

вписанный угол

C

опирается на дугу

D A B

3

⌣ BC D

+

⌣ D A B

= 36 0^{\circ}

две дуги составляют всю окружность

4

α + γ = \frac{1}{2} \cdot 36 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

∠ B + ∠ D = 36 0^{\circ} - 18 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

2,5 мин · теория
Формулировка: в любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°. Цвет дуги совпадает с цветом угла, который на неё опирается.
Каждый шаг — вопрос классу «почему?». Шаг 4, вторая часть: сумма углов четырёхугольника 360° (или то же рассуждение для дуг $A BC$ и $C D A$ ).
Ошибка: складывать соседние углы ( $∠ A + ∠ B$ ) — это свойство трапеции/параллелограмма, а не вписанного четырёхугольника.
Обратная теорема (признак вписанного четырёхугольника) — следующий урок GEOM8U-076.

R05.3

Образец → сам · углы на готовом чертеже

Противоположные углы дополняют друг друга

Образец: $A BC D$ вписан, $∠ A = 6 8^{\circ}$ , $∠ B = 10 3^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ и $∠ D$ .

$∠ C = 18 0^{\circ} - 6 8^{\circ} = 11 2^{\circ}$ $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$

$∠ D = 18 0^{\circ} - 10 3^{\circ} = 7 7^{\circ}$ $∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}$

проверка: $68 + 103 + 112 + 77 = 360$ ✓

Сам

$A BC D$ вписан, $∠ A : ∠ C = 2 : 3$ . Найдите $∠ A$ и $∠ C$ . $7 2^{\circ}$ и $10 8^{\circ}$
$A BC D$ вписан, $∠ B = 3∠ D$ . Найдите $∠ B$ . $13 5^{\circ}$
Можно ли вписать четырёхугольник с углами $8 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ , $12 0^{\circ}$ , $7 0^{\circ}$ (по порядку)? нет: $80 + 120 \neq = 180$

R05.3

Следствия · доказательство

Какой параллелограмм и какую трапецию можно вписать

Параллелограмм: $∠ A = ∠ C$ и $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ ⇒ $∠ A = 9 0^{\circ}$ — прямоугольник.

Трапеция $A D ∥ BC$ : $∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ} = ∠ B + ∠ D$ ⇒ $∠ A = ∠ D$ — равнобедренная.

2 мин · теория
Следствие 1: если параллелограмм вписан в окружность, то он прямоугольник (противоположные углы равны — свойство параллелограмма, и в сумме дают 180° — теорема). Диагонали прямоугольника — диаметры, центр — точка их пересечения.
Следствие 2: если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная. $∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$ — односторонние при $A D ∥ BC$ и секущей $A B$ ; $∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}$ — теорема; значит, $∠ A = ∠ D$ — углы при основании равны ⇒ трапеция равнобедренная (признак, R01).
Вопрос: можно ли вписать ромб, не являющийся квадратом? (Нет — ромб-параллелограмм вписан только если прямоугольник, то есть квадрат.)

R05.3

Образец → сам · чертёж строим сами

Вписанные трапеция и параллелограмм

Образец: трапеция $A BC D$ ( $A D ∥ BC$ ) вписана в окружность, $∠ A = 6 4^{\circ}$ . Найдите остальные углы.

трапеция равнобедренная ⇒ $∠ D = ∠ A = 6 4^{\circ}$ следствие 2

$∠ B = ∠ C = 18 0^{\circ} - 6 4^{\circ} = 11 6^{\circ}$ теорема

Сам: сначала чертёж

Параллелограмм вписан в окружность радиуса $6, 5$ , одна его сторона $5$ . Найдите другую. $12$
Трапеция вписана в окружность, боковая сторона $7$ , одно основание $6$ , $P = 30$ . Найдите другое основание. $10$
Около ромба описана окружность. Найдите углы ромба. $9 0^{\circ}$ — это квадрат

R05.3

Теорема · описанный четырёхугольник

Суммы противоположных сторон равны

Дано:

A BC D

описан около окружности,

K, L, M, N

— точки касания.
Доказать:

A B + C D = BC + A D

.

1

A K = A N = a

,

B K = B L = b

,

C L = CM = c

,

D M = D N = d

отрезки касательных из одной точки равны

2

A B + C D = (a + b) + (c + d)

каждая сторона — два отрезка касательных

3

BC + A D = (b + c) + (a + d)

те же четыре слагаемых

4

A B + C D = BC + A D = a + b + c + d

P = 2 (A B + C D)

R05.3

Образец → сам · стороны описанного четырёхугольника

Находим четвёртую сторону и периметр

Образец: $A BC D$ описан, $A B = 7$ , $BC = 9$ , $C D = 12$ . Найдите $A D$ и $P$ .

$A D = A B + C D - BC = 7 + 12 - 9 = 10$ теорема

$P = 2 (A B + C D) = 2 \cdot 19 = 38$

Сам

Три стороны описанного четырёхугольника по порядку $5$ , $8$ , $11$ . Найдите четвёртую. $8$
Описанный $A BC D$ : $P = 40$ , $A B = 12$ . Найдите $C D$ . $8$
$A B : BC : C D = 2 : 3 : 5$ , $P = 56$ . Найдите стороны. $8$ , $12$ , $20$ , $16$

R05.3

Схема-конспект

Вписанный и описанный: сравним

Вписанный (окружность через вершины)

центр — пересечение серединных перпендикуляров
$∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}$
параллелограмм — только прямоугольник
трапеция — только равнобедренная
* и обратно: если $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ , то вписан (урок 076)

Описанный (окружность касается сторон)

центр — пересечение биссектрис углов
$A B + C D = BC + A D$
параллелограмм — только ромб
трапеция: сумма оснований $=$ сумме боковых, $h = 2 r$
* и обратно: выпуклый с $A B + C D = BC + A D$ — описанный

1,5 мин · теория
Записать в тетрадь — опорный конспект темы. Ответ на вопрос со сл. 4: не около любого четырёхугольника можно описать окружность и не в любой вписать.
Ромб: $A B = C D$ , $BC = A D$ (параллелограмм) и $A B + C D = BC + A D$ ⇒ $2 A B = 2 BC$ ⇒ все стороны равны. Трапеция: оба основания касаются окружности и параллельны ⇒ расстояние между ними — диаметр, $h = 2 r$ .
Строки со звёздочкой (по щелчку) — обратные теоремы. Признак вписанного четырёхугольника доказываем на уроке GEOM8U-076; признак описанного сегодня — без доказательства (разбирается на практикуме).

R05.3

Образец → сам · комбинированная задача

Окружность в трапеции: стороны, высота, радиус

Образец: в равнобедренную трапецию с основаниями $2$ и $8$ вписана окружность. Найдите боковую сторону и $r$ .

$2 A B = 2 + 8$ ⇒ $A B = 5$ суммы противоположных сторон

$A H = \frac{8 - 2}{2} = 3$ , $B H = 5^{2} - 3^{2} = 4$ Пифагор

$r = \frac{h}{2} = 2$ $h = 2 r$

Сам

Равнобедренная трапеция с основаниями $4$ и $16$ описана около окружности. Найдите $r$ . $4$
Периметр описанной трапеции $40$ . Найдите её среднюю линию. $10$
Прямоугольная трапеция описана около окружности радиуса $3$ , большая боковая сторона $10$ . Найдите $P$ . $32$

R05.3

Образец → сам · задача на доказательство

План доказательства и обоснования

Образец: $A BC D$ вписан, $E$ — на продолжении $A D$ за точку $D$ . Докажите: $∠ C D E = ∠ A BC$ .

$∠ A D C + ∠ C D E = 18 0^{\circ}$ смежные

$∠ A D C + ∠ A BC = 18 0^{\circ}$ теорема о вписанном

⇒ $∠ C D E = ∠ A BC$ оба дополняют $∠ A D C$

Сам: составьте план

Трапеция $A BC D$ ( $A D ∥ BC$ ) описана около окружности с центром $I$ . Докажите: $∠ A I B = 9 0^{\circ}$ . $A I$ , $B I$ — биссектрисы, $∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$
Около параллелограмма описана окружность. Докажите, что его диагонали равны. это прямоугольник (следствие 1)
$A BC D$ описан, $A B = BC$ . Докажите: $C D = A D$ . $A B + C D = BC + A D$

2,5 мин · практика
Образец: внешний угол вписанного четырёхугольника равен внутреннему углу при противоположной вершине — удобный факт для ОГЭ 24.
1) Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах (сл. 5): $∠ I A B = \frac{1}{2} ∠ A$ , $∠ I B A = \frac{1}{2} ∠ B$ ; $∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$ (односторонние) ⇒ $∠ I A B + ∠ I B A = 9 0^{\circ}$ ⇒ в $△ A I B$ $∠ A I B = 9 0^{\circ}$ .
2) Вписанный параллелограмм — прямоугольник (следствие 1), диагонали прямоугольника равны. Другой путь: каждая диагональ стягивает дугу $18 0^{\circ}$ (вписанный угол $9 0^{\circ}$ ) — диаметр.
3) Из $A B + C D = BC + A D$ и $A B = BC$ ⇒ $C D = A D$ . Такой четырёхугольник — дельтоид.
Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования.

R05.3

Образец → сам · на клетчатой бумаге

Найдите центр и радиус описанной окружности

Образец: прямоугольник $6 \times 8$ клеток. Найдите центр и радиус описанной окружности.

центр — пересечение диагоналей следствие 1

$A C = 6^{2} + 8^{2} = 10$ ⇒ $R = 5$ клеток

Сам: нарисуйте в тетради

Квадрат $4 \times 4$ клетки. Найдите $R$ . $22 \approx 2, 8$
Равнобедренная трапеция: основания $8$ и $6$ , высота $7$ клеток. Найдите $R$ . $5$ (центр в $3$ клетках от большего основания)
Можно ли вписать окружность в прямоугольник $3 \times 5$ клеток? нет: $3 + 3 \neq = 5 + 5$

2 мин · практика
Образец: диагонали прямоугольника равны и делятся пополам ⇒ точка пересечения равноудалена от вершин. Окружность проходит через все четыре вершины — проверить циркулем.
1) Диагональ $42$ , $R = 22 \approx 2, 83$ .
2) Центр на оси симметрии на высоте $y$ над большим основанием: $4^{2} + y^{2} = 3^{2} + (7 - y)^{2}$ ⇒ $16 = 58 - 14 y$ ⇒ $y = 3$ ; $R = 16 + 9 = 5$ . Проверка: $9 + 16 = 5$ ✓.
3) Суммы противоположных сторон $3 + 3 = 6$ и $5 + 5 = 10$ не равны ⇒ по теореме окружность вписать нельзя. Из прямоугольников описанный только квадрат.

R05.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
Вписан ⇒ $∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$	теорема — о противоположных углах, а не о соседних	$∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$
Описан ⇒ $A B + BC = C D + A D$	складывать нужно противоположные стороны	$A B + C D = BC + A D$
«Около любого параллелограмма можно описать окружность»	нужно $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ при $∠ A = ∠ C$	только около прямоугольника
Центр вписанной окружности — точка пересечения диагоналей	центр равноудалён от сторон, а не от вершин	пересечение биссектрис углов

R05.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A BC D$ вписан, $∠ A = 5 0^{\circ}$ , $∠ B = 11 0^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ .

$∠ D = 18 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 13 0^{\circ}$

$∠ D$ противоположен $∠ B$ : $∠ D = 18 0^{\circ} - 11 0^{\circ} = 7 0^{\circ}$

б) $A BC D$ описан, $A B = 6$ , $BC = 8$ , $C D = 10$ . Найдите $A D$ .

$A D = A B + BC - C D = 6 + 8 - 10 = 4$

$A D = A B + C D - BC = 6 + 10 - 8 = 8$

в) Трапеция $A BC D$ ( $A D ∥ BC$ ) вписана. «Докажем»: $∠ A = ∠ D$ .

«Трапеция на рисунке симметрична, значит, углы при основании равны»

$∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$ (односторонние), $∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}$ (вписан) ⇒ $∠ A = ∠ D$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Ученик сложил соседние углы $A$ и $D$ . Противоположен $∠ D$ угол $B$ : $∠ D = 7 0^{\circ}$ (проверка: $∠ C = 13 0^{\circ}$ , сумма $50 + 110 + 130 + 70 = 360$ ).
б) Ученик сложил соседние стороны. Противоположные пары: $A B$ и $C D$ , $BC$ и $A D$ ⇒ $A D = 8$ ; проверка $6 + 10 = 8 + 8$ .
в) «На рисунке видно» — не доказательство: рисунок мог быть сделан симметричным заранее. Верное доказательство — следствие 2 со сл. 8.

R05.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $A BC D$ вписан, $∠ B = 7 4^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ . $10 6^{\circ}$
база $A BC D$ вписан, $∠ A = 2∠ C$ . Найдите $∠ A$ . $12 0^{\circ}$
база $A BC D$ описан, $A B = 5$ , $BC = 7$ , $C D = 9$ . Найдите $A D$ . $7$

база $A BC D$ описан, $P = 36$ , $A B = 10$ . Найдите $C D$ . $8$
базаОколо прямоугольника $5 \times 12$ описана окружность. Найдите $R$ . $6, 5$
базаРавнобедренная трапеция описана, боковая сторона $6$ . Найдите $P$ . $24$

R05.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A BC D$ вписан, $∠ A : ∠ B : ∠ C = 2 : 3 : 7$ . Найдите $∠ D$ . $12 0^{\circ}$
повыш.Прямоугольная трапеция описана около окружности радиуса $4$ , большая боковая сторона $10$ . Найдите площадь. $72$
повыш.В равнобедренную трапецию с основаниями $2$ и $18$ вписана окружность. Найдите $r$ . $3$
из жизниИз круглой заготовки диаметром $26$ см нужно вырезать прямоугольную пластину $10 \times 24$ см. Хватит ли заготовки? да, впритык: диагональ $26$

R05.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 16Четырёхугольник $A BC D$ вписан в окружность. $∠ A BC = 10 5^{\circ}$ , $∠ C A D = 3 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A B D$ . $70$
ОГЭ 16Четырёхугольник $A BC D$ вписан в окружность. $∠ A B D = 1 6^{\circ}$ , $∠ C A D = 3 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A BC$ . $46$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

В любой четырёхугольник можно вписать окружность.
Около любого прямоугольника можно описать окружность.
Если в четырёхугольник вписана окружность, то суммы его противоположных сторон равны.

Ответ: 23

R05.3 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 В равнобедренную трапецию с основаниями $12$ и $48$ вписана окружность. Найдите её радиус.

боковая $= \frac{12 + 48}{2} = 30$ , проекция $= \frac{48 - 12}{2} = 18$

$h = 3 0^{2} - 1 8^{2} = 24$ , $r = 12$

ОГЭ 24 $A BC D$ вписан, лучи $A B$ и $D C$ пересекаются в точке $K$ . Докажите: $△ K BC \sim △ KD A$ .

$∠ K$ — общий; $∠ K BC = 18 0^{\circ} - ∠ A BC = ∠ A D C$ (вписан)

два угла ⇒ $△ K BC \sim △ KD A$

R05.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$A BC D$ вписан, $∠ A = 8 4^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $9 6^{\circ}$
$A BC D$ описан, $A B = 6$ , $BC = 9$ , $C D = 11$ . Найдите $A D$ . $8$
Трапеция $A BC D$ ( $A D ∥ BC$ ) вписана, $∠ B = 11 2^{\circ}$ . Найдите $∠ A$ и $∠ D$ . $6 8^{\circ}$ и $6 8^{\circ}$
В равнобедренную трапецию с основаниями $3$ и $12$ вписана окружность. Найдите $r$ . $3$

Вариант 2

$A BC D$ вписан, $∠ B = 5 7^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ . $12 3^{\circ}$
$A BC D$ описан, $A B = 8$ , $BC = 10$ , $C D = 13$ . Найдите $A D$ . $11$
Трапеция $A BC D$ ( $A D ∥ BC$ ) вписана, $∠ A = 7 5^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ и $∠ D$ . $10 5^{\circ}$ и $7 5^{\circ}$
В равнобедренную трапецию с основаниями $6$ и $24$ вписана окружность. Найдите $r$ . $6$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем вписанный четырёхугольник отличается от описанного?
Какое равенство верно для углов вписанного, для сторон описанного?
Какую трапецию можно вписать в окружность?

Домашнее задание

$A BC D$ вписан, $∠ A : ∠ C = 4 : 5$ , $∠ B - ∠ D = 4 0^{\circ}$ . Найдите все углы.
Прямоугольная трапеция с основаниями $3$ и $6$ описана около окружности. Найдите $r$ .
* Докажите: если в параллелограмм можно вписать окружность, то он — ромб.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_vpisannaya_i_opisannaya_okruzhnosti.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-075 · Вписанные и описанные четырёхугольники

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью», 20 ч · урок 3/20 · тип Н
Единицы → слайды	R05.3 «Вписанные и описанные четырехугольники» → 2, 4–23 · повторение R05.1 и 7 класса → 3
Результаты	ПР-10 (вписанный угол, описанная и вписанная окружность треугольника и четырёхугольника, применение свойств) → 4–23
Вне урока	признаки вписанного четырёхугольника (обратная теорема) — GEOM8U-076; признак описанного четырёхугольника — только формулировка (сл. 12), практикум GEOM8U-082; взаимное расположение окружностей — GEOM8U-077
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Вписанные и описанные четырёхугольники

Сегодня вы научитесь

Различать

Доказывать теоремы

Выводить следствия

Решать задачи

Вписанный угол, касательные, центры

Окружность снаружи — и окружность внутри

Центр равноудалён от вершин — или от сторон

Сумма противоположных углов равна 180∘

Противоположные углы дополняют друг друга

Образец: ABCD вписан, ∠A=68∘, ∠B=103∘. Найдите ∠C и ∠D.

Сам

Какой параллелограмм и какую трапецию можно вписать

Вписанные трапеция и параллелограмм

Образец: трапеция ABCD (AD∥BC) вписана в окружность, ∠A=64∘. Найдите остальные углы.

Сам: сначала чертёж

Суммы противоположных сторон равны

Находим четвёртую сторону и периметр

Образец: ABCD описан, AB=7, BC=9, CD=12. Найдите AD и P.

Сам

Вписанный и описанный: сравним

Вписанный (окружность через вершины)

Описанный (окружность касается сторон)

Окружность в трапеции: стороны, высота, радиус

Образец: в равнобедренную трапецию с основаниями 2 и 8 вписана окружность. Найдите боковую сторону и r.

Сам

План доказательства и обоснования

Образец: ABCD вписан, E — на продолжении AD за точку D. Докажите: ∠CDE=∠ABC.

Сам: составьте план

Найдите центр и радиус описанной окружности

Образец: прямоугольник 6×8 клеток. Найдите центр и радиус описанной окружности.

Сам: нарисуйте в тетради

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) ABCD вписан, ∠A=50∘, ∠B=110∘. Найдите ∠D.

б) ABCD описан, AB=6, BC=8, CD=10. Найдите AD.

в) Трапеция ABCD (AD∥BC) вписана. «Докажем»: ∠A=∠D.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-075 · Вписанные и описанные четырёхугольники

Сумма противоположных углов равна $18 0^{\circ}$

Образец: $A BC D$ вписан, $∠ A = 6 8^{\circ}$ , $∠ B = 10 3^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ и $∠ D$ .

Образец: трапеция $A BC D$ ( $A D ∥ BC$ ) вписана в окружность, $∠ A = 6 4^{\circ}$ . Найдите остальные углы.

Образец: $A BC D$ описан, $A B = 7$ , $BC = 9$ , $C D = 12$ . Найдите $A D$ и $P$ .

Образец: в равнобедренную трапецию с основаниями $2$ и $8$ вписана окружность. Найдите боковую сторону и $r$ .

Образец: $A BC D$ вписан, $E$ — на продолжении $A D$ за точку $D$ . Докажите: $∠ C D E = ∠ A BC$ .

Образец: прямоугольник $6 \times 8$ клеток. Найдите центр и радиус описанной окружности.

а) $A BC D$ вписан, $∠ A = 5 0^{\circ}$ , $∠ B = 11 0^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ .

б) $A BC D$ описан, $A B = 6$ , $BC = 8$ , $C D = 10$ . Найдите $A D$ .

в) Трапеция $A BC D$ ( $A D ∥ BC$ ) вписана. «Докажем»: $∠ A = ∠ D$ .