Углы и четырёхугольники, связанные с окружностью · урок 2 из 20

Углы между хордами и секущими

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM8U-074

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью» (20 ч), урок 2/20, единица R05.2. Тип урока — Н.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · три положения вершины 1,5 · теорема 1 — 3 · теорема 2 — 2,5 · следствия для касательных 2,5 · схема 1,5.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 16/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец с циферблатом и задачу ОГЭ 24 — в ДЗ; доказательства теорем не сокращать.

R05.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Узнавать вид угла

по положению вершины: внутри круга, на окружности, вне круга

Доказывать теоремы

об угле между хордами и угле между секущими (ПР-10)

Вычислять углы и дуги

в том числе для касательных — прямая и обратная задача (ПР-10)

Решать задачи

на вычисление и доказательство, в том числе ОГЭ 16, 23, 24

повторение: урок 73, 7 класс

Разминка · устно

Центральный, вписанный, касательная

Чему равен $∠ A OB$ ? $14 0^{\circ}$ — центральный
Чему равен $∠ A CB$ ? $7 0^{\circ}$ — вписанный
Вписанный угол $3 5^{\circ}$ . Дуга, на которую он опирается? $7 0^{\circ}$
Угол между касательной и хордой, стягивающей дугу $10 0^{\circ}$ ? $5 0^{\circ}$
Вписанный угол опирается на диаметр. Он равен… $9 0^{\circ}$
Внешний угол треугольника равен… сумме двух углов, не смежных с ним
Углы треугольника $3 0^{\circ}$ и $4 5^{\circ}$ . Внешний угол при третьей вершине? $7 5^{\circ}$

R05.2

Новое понятие · где вершина угла

Стороны угла пересекают окружность

Вершина на окружности

$∠ = \frac{β}{2}$

Вершина внутри круга

?

Вершина вне круга

?

Гипотеза: угол зависит от двух дуг — $α$ и $β$ . Как?

1,5 мин · теория
Первый случай знаком с прошлого урока: вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
Вопрос классу: если вершину «вдвинуть» внутрь круга, угол станет больше или меньше вписанного, опирающегося на ту же бирюзовую дугу? (Больше.) А если «выдвинуть» наружу? (Меньше.) Отсюда гипотеза: внутри — дуги складываются, снаружи — вычитаются. Проверим доказательством.
Дуги отмечены цветом: угол «вырезает» из окружности две дуги — между сторонами и между их продолжениями (или ближнюю и дальнюю).

R05.2

Теорема 1 · доказательство

Угол между пересекающимися хордами

Дано: хорды

A B

и

C D

пересекаются в точке

E

.
Доказать:

∠ A EC = \frac{A C ⌢ + B D ⌢}{2}

.

1

∠ A EC = ∠1 + ∠2

проведём хорду

A D

;

∠ A EC

— внешний угол

△ A E D

2

∠1 = ∠ B A D = \frac{B D ⌢}{2}

вписанный угол, опирается на

B D ⌢

3

∠2 = ∠ C D A = \frac{A C ⌢}{2}

вписанный угол, опирается на

A C ⌢

4

∠ A EC = \frac{A C ⌢ + B D ⌢}{2}

подставили 2 и 3 в 1

3 мин · теория
Формулировка: угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами и между продолжениями сторон (дуга AC — внутри угла AEC, дуга BD — внутри вертикального угла BED).
Каждый шаг — вопрос классу «почему?». Цвета дуг и углов на чертеже совпадают с цветом в записи.
Числа на чертеже (для проверки): дуга AC = 100°, дуга BD = 60°, ∠1 = 30°, ∠2 = 50°, ∠AEC = 80°.
Следствие: смежный угол AED = (дуга AD + дуга BC) : 2 = 180° − ∠AEC. На чертеже: дуги AD + BC = 360° − 160° = 200°, 200° : 2 = 100° = 180° − 80° ✓.

R05.2

Образец → сам · хорды на готовом чертеже

Угол по дугам и дуга по углу

Образец: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ . Найдите $∠ A EC$ и $∠ A E D$ .

$∠ A EC = \frac{11 0 ^{\circ} + 5 0 ^{\circ}}{2} = 8 0^{\circ}$ теорема 1

$∠ A E D = 18 0^{\circ} - 8 0^{\circ} = 10 0^{\circ}$ смежные углы

Сам

$A C ⌢ = 13 0^{\circ}$ , $B D ⌢ = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A EC$ . $10 0^{\circ}$
$∠ A EC = 7 5^{\circ}$ , $A C ⌢ = 10 0^{\circ}$ . Найдите $B D ⌢$ . $5 0^{\circ}$
$∠ A E D = 11 0^{\circ}$ , $A C ⌢ = 6 0^{\circ}$ . Найдите $B D ⌢$ . $8 0^{\circ}$

R05.2

Образец → сам · чертёж строим сами

Дуги заданы отношением

Образец: $A, B, C, D$ делят окружность на дуги $A B : BC : C D : D A = 3 : 5 : 4 : 6$ . Хорды $A C$ и $B D$ пересекаются в $E$ . Найдите $∠ A EB$ .

$3 + 5 + 4 + 6 = 18$ частей, $36 0^{\circ} : 18 = 2 0^{\circ}$

$A B ⌢ = 6 0^{\circ}$ , $C D ⌢ = 8 0^{\circ}$ дуги угла и вертикального

$∠ A EB = \frac{6 0 ^{\circ} + 8 0 ^{\circ}}{2} = 7 0^{\circ}$

Сам: сделайте чертёж

$A B : BC : C D : D A = 1 : 2 : 3 : 4$ , хорды $A C$ и $B D$ . Найдите $∠ A EB$ . $7 2^{\circ}$
Диагонали вписанного $A BC D$ образуют $∠ A EB = 8 0^{\circ}$ , $A B ⌢ = 7 0^{\circ}$ . Найдите $C D ⌢$ . $9 0^{\circ}$
Хорды $A C$ и $B D$ : $∠ A CB = 3 0^{\circ}$ , $∠ D BC = 4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A EB$ двумя способами. $7 0^{\circ}$

R05.2

Теорема 2 · доказательство

Угол между двумя секущими

Дано: секущие

P A B

и

PC D

,

A

и

C

— ближние точки.
Доказать:

∠ P = \frac{B D ⌢ - A C ⌢}{2}

.

1

∠1 = ∠ P + ∠2

проведём хорду

A D

;

∠1 = ∠ B A D

— внешний угол

△ P A D

2

∠1 = \frac{B D ⌢}{2}

,

∠2 = ∠ A D C = \frac{A C ⌢}{2}

вписанные углы

3

∠ P = ∠1 - ∠2 = \frac{B D ⌢ - A C ⌢}{2}

из 1 и 2

2,5 мин · теория
Формулировка: угол между двумя секущими, проведёнными из одной точки вне круга, равен полуразности большей и меньшей дуг, заключённых между его сторонами (дальней и ближней).
Числа на чертеже: дальняя дуга BD = 190°, ближняя AC = 50°, ∠1 = 95°, ∠2 = 25°, ∠P = 70°.
Вопрос: почему разность всегда положительна? (Внешний угол больше внутреннего, не смежного с ним: ∠1 > ∠2.) Сравнить с теоремой 1: та же идея, но вершина снаружи — «плюс» превращается в «минус».

R05.2

Следствия · касательная вместо секущей

Те же формулы для касательных

Касательная $P A$ и секущая $PBC$

$∠ A BC = ∠ P + ∠ P A B$ внешний угол $△ P A B$

$∠ P = \frac{A C ⌢}{2} - \frac{A B ⌢}{2}$ вписанный; касательная и хорда

Две касательные $P A$ и $PB$

$∠ P = \frac{( 36 0 ^{\circ} - A B ⌢ ) - A B ⌢}{2}$

$∠ P = 18 0^{\circ} - A B ⌢$ $A B ⌢$ — меньшая дуга

2,5 мин · теория
Касательная — «секущая», у которой две точки пересечения слились в одну. Поэтому формула «полуразность дальней и ближней дуг» остаётся верной.
Левое доказательство: ∠ABC — вписанный, равен половине дуги AC (не содержащей B); ∠PAB — угол между касательной и хордой, равен половине дуги AB (урок 73). Числа на чертеже: дуга AC = 160°, дуга AB = 70°, ∠P = 45°.
Правое: второй способ — четырёхугольник OAPB: ∠OAP = ∠OBP = 90°, ∠AOB = дуге AB, ∠P = 360° − 180° − дуга AB. На чертеже дуга AB = 120°, ∠P = 60°.

R05.2

Образец → сам · секущие и касательные

Вершина вне круга

Образец: секущие $P A B$ и $PC D$ . Найдите $∠ P$ .

$A$ , $C$ — ближние, $A C ⌢ = 4 0^{\circ}$ ; дальняя $B D ⌢ = 13 0^{\circ}$

$∠ P = \frac{13 0 ^{\circ} - 4 0 ^{\circ}}{2} = 4 5^{\circ}$ теорема 2

Сам

Секущие $P A B$ и $PC D$ : $B D ⌢ = 15 0^{\circ}$ , $A C ⌢ = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ P$ . $5 0^{\circ}$
$∠ P = 3 0^{\circ}$ , $B D ⌢ = 10 0^{\circ}$ . Найдите $A C ⌢$ . $4 0^{\circ}$
Касательные $P A$ и $PB$ , $∠ A PB = 5 0^{\circ}$ . Найдите меньшую дугу $A B$ . $13 0^{\circ}$

R05.2

Схема-конспект

Где вершина — такая и формула

Внутри круга

$∠ = \frac{α + β}{2}$

дуги угла и вертикального угла (хорды)

На окружности

$∠ = \frac{β}{2}$

вписанный угол; касательная и хорда

Вне круга

$∠ = \frac{β - α}{2}$

$β$ — дальняя, $α$ — ближняя; две касательные: $18 0^{\circ} - α$

R05.2

Образец → сам · задача на доказательство

План доказательства и обоснования

Образец: хорды $A B ⊥ C D$ , пересекаются в $E$ . Докажите: $A C ⌢ + B D ⌢ = 18 0^{\circ}$ .

$∠ A EC = 9 0^{\circ}$ $A B ⊥ C D$

$∠ A EC = \frac{A C ⌢ + B D ⌢}{2}$ теорема 1

$A C ⌢ + B D ⌢ = 2 \cdot 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$

Сам: составьте план

$P A$ — касательная, $PBC$ — секущая. Докажите: $∠ P A B = ∠ PC A$ . оба равны $A B ⌢ : 2$
$P A$ , $PB$ — касательные. Докажите: $∠ P = 18 0^{\circ} - A B ⌢$ через $∠ A OB$ . в $O A PB$ : $9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} + A B ⌢ + ∠ P = 36 0^{\circ}$
Хорды $A B ∥ C D$ . Докажите: $A C ⌢ = B D ⌢$ . $∠ B A D = ∠ A D C$ (накрест) ⇒ дуги равны

2,5 мин · практика
Образец: каждый шаг называет обоснование. Следствие: и дуга AD + дуга BC = 180°, то есть перпендикулярные хорды делят окружность на две «половины» из противоположных дуг.
1) ∠PAB — угол между касательной PA и хордой AB, равен половине дуги AB, заключённой внутри угла; ∠PCA = ∠BCA — вписанный, опирается на ту же дугу AB ⇒ равны. Этот факт понадобится в ОГЭ 24 (сл. 19).
2) OA ⟂ PA, OB ⟂ PB (радиус в точку касания), ∠AOB = дуга AB (центральный); сумма углов четырёхугольника 360° ⇒ ∠P = 180° − дуга AB.
3) Порядок точек на окружности A, B, D, C. ∠BAD = ∠ADC — накрест лежащие при AB ∥ CD и секущей AD; ∠BAD = дуга BD : 2, ∠ADC = дуга AC : 2 ⇒ дуга AC = дуга BD. Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования.

R05.2

Образец → сам · задача из жизни

Углы на циферблате

Образец: натянули нити между делениями 12–4 и 1–8. Под каким углом они пересекаются?

между соседними делениями дуга $36 0^{\circ} : 12 = 3 0^{\circ}$

дуги 12–1: $3 0^{\circ}$ ; 4–8: $12 0^{\circ}$ угол и вертикальный

$\frac{3 0 ^{\circ} + 12 0 ^{\circ}}{2} = 7 5^{\circ}$ (и смежный $10 5^{\circ}$ )

Сам: нарисуйте циферблат

Нити 12–6 и 2–7. Найдите острый угол между ними. $4 5^{\circ}$
Нити 3–10 и 12–5. Найдите острый угол. $6 0^{\circ}$
Прямые 12–3 и 5–6 пересекаются вне циферблата. Найдите угол между ними. $6 0^{\circ}$

2,5 мин · практика
Образец: угол, «смотрящий» на дугу 12–1, и вертикальный к нему, «смотрящий» на дугу 4–8 (4 деления = 120°). На чертеже дугой отмечен угол 75°.
1) Дуги 12–2 (60°) и 6–7 (30°): (60° + 30°) : 2 = 45°; смежный 135°.
2) Дуги 12–3 (90°) и 5–10 (150°): 120°; острый — смежный 60° (или дуги 3–5 и 10–12: (60° + 60°) : 2 = 60°).
3) Вершина вне круга: между прямыми дуги 3–5 (60°, ближняя) и 6–12 (180°, дальняя): (180° − 60°) : 2 = 60°.
Все ответы проверены построением на координатах.

R05.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
хорды: $∠ A EC = \frac{A C ⌢ - B D ⌢}{2}$	вершина внутри круга — дуги складываются	$\frac{A C ⌢ + B D ⌢}{2}$
секущие: $∠ P = \frac{B D ⌢ + A C ⌢}{2}$	вершина вне круга — дальняя минус ближняя	$\frac{B D ⌢ - A C ⌢}{2}$
$∠ A EC = \frac{A D ⌢ + BC ⌢}{2}$	взяты дуги смежного угла $A E D$	дуги внутри угла и вертикального
две касательные: $∠ P = \frac{A B ⌢}{2}$	это формула вписанного угла	$∠ P = 18 0^{\circ} - A B ⌢$

R05.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Хорды $A B$ , $C D$ пересекаются в $E$ , $A C ⌢ = 10 0^{\circ}$ , $B D ⌢ = 4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A EC$ .

$∠ A EC = (10 0^{\circ} - 4 0^{\circ}) : 2 = 3 0^{\circ}$

вершина внутри:
$(10 0^{\circ} + 4 0^{\circ}) : 2 = 7 0^{\circ}$

б) Секущие $P A B$ , $PC D$ , $B D ⌢ = 14 0^{\circ}$ , $A C ⌢ = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ P$ .

$∠ P = (14 0^{\circ} + 5 0^{\circ}) : 2 = 9 5^{\circ}$

вершина вне:
$(14 0^{\circ} - 5 0^{\circ}) : 2 = 4 5^{\circ}$

в) Касательные $P A$ , $PB$ , меньшая $A B ⌢ = 11 0^{\circ}$ . Найдите $∠ P$ .

$∠ P = 11 0^{\circ} : 2 = 5 5^{\circ}$

$∠ P = 18 0^{\circ} - 11 0^{\circ} = 7 0^{\circ}$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Вычитание вместо сложения. Проверка здравым смыслом: вписанный угол на дугу AC — 50°, а угол с вершиной внутри должен быть больше, 30° — невозможно.
б) Сложение вместо вычитания. 95° больше вписанного угла BAD = 70°, а угол с вершиной вне круга должен быть меньше.
в) Применена формула вписанного угла. Верно: (250° − 110°) : 2 = 70°, или через четырёхугольник OAPB: 360° − 90° − 90° − 110° = 70°.

R05.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаХорды пересекаются, дуги угла и вертикального $8 4^{\circ}$ и $3 6^{\circ}$ . Найдите угол. $6 0^{\circ}$
базаУгол между хордами $5 0^{\circ}$ , одна из его дуг $6 4^{\circ}$ . Найдите другую. $3 6^{\circ}$
базаСекущие из точки $P$ высекают дуги $11 2^{\circ}$ и $2 8^{\circ}$ . Найдите $∠ P$ . $4 2^{\circ}$

базаКасательная и секущая из $P$ : дуги $20 0^{\circ}$ и $6 0^{\circ}$ . Найдите $∠ P$ . $7 0^{\circ}$
базаДве касательные, $∠ P = 7 2^{\circ}$ . Найдите меньшую дугу. $10 8^{\circ}$
базаХорды $A B ⊥ C D$ , $A C ⌢ = 10 4^{\circ}$ . Найдите $B D ⌢$ . $7 6^{\circ}$

R05.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A, B, D, C$ лежат на окружности в этом порядке, $A B ⌢ : B D ⌢ : D C ⌢ : C A ⌢ = 4 : 7 : 5 : 2$ . Прямые $A B$ и $C D$ пересекаются в $P$ , хорды $A D$ и $BC$ — в $E$ . Найдите $∠ P$ и $∠ A EB$ . $5 0^{\circ}$ и $9 0^{\circ}$
повыш.Диаметр $A B$ и хорда $C D$ пересекаются в $E$ , $∠ A EC = 5 0^{\circ}$ , $A C ⌢ = 3 0^{\circ}$ . Найдите $B D ⌢$ и $A D ⌢$ . $7 0^{\circ}$ и $11 0^{\circ}$
повыш.Касательные $P A$ и $PB$ , $∠ A PB = 4 0^{\circ}$ , $C$ — на большей дуге $A B$ . Найдите $∠ A CB$ . $7 0^{\circ}$
повыш.Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ , $A C ⌢ = B D ⌢$ . Докажите: $A B = C D$ . дуги $A CB$ и $CB D$ равны ⇒ хорды равны

2,5 мин · практика
1) 18 частей по 20°: AB = 80°, BD = 140°, DC = 100°, CA = 40°. Вершина P вне круга, между прямыми дальняя дуга BD и ближняя CA: ∠P = (140° − 40°) : 2 = 50°. ∠AEB внутри: (AB + DC) : 2 = (80° + 100°) : 2 = 90°. Проверено построением.
2) Дуга AC + дуга BD = 100° ⇒ BD = 70°; AB — диаметр, дуга ADB = 180° ⇒ AD = 180° − 70° = 110°.
3) Меньшая дуга AB = 180° − 40° = 140°; ∠ACB — вписанный, опирается на неё: 70°.
4) Порядок точек A, C, B, D. Дуга ACB = AC + CB, дуга CBD = CB + BD; при AC = BD они равны ⇒ стягивающие их хорды AB и CD равны.

R05.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 16Хорды $A C$ и $B D$ окружности пересекаются в точке $E$ , $∠ A B D = 2 5^{\circ}$ , $∠ B D C = 4 3^{\circ}$ . Найдите угол $A E D$ . $68$
ОГЭ 16Касательные к окружности с центром $O$ в точках $A$ и $B$ пересекаются под углом $7 2^{\circ}$ . Найдите угол $A BO$ . $36$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами и их продолжениями.
Угол между двумя секущими, проведёнными из одной точки, равен полусумме высекаемых ими дуг.
Угол между касательной и хордой, проведённой в точку касания, равен половине дуги, заключённой между ними.

Ответ: 13

R05.2 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Хорды $A C$ и $B D$ окружности пересекаются в точке $E$ , $∠ A EB = 8 0^{\circ}$ , а дуги $A B$ и $C D$ , не содержащие других данных точек, относятся как $3 : 5$ . Найдите угол $A CB$ .

$A B ⌢ + C D ⌢ = 2 \cdot 8 0^{\circ} = 16 0^{\circ}$ теорема 1

$A B ⌢ = 16 0^{\circ} : 8 \cdot 3 = 6 0^{\circ}$

$∠ A CB = 6 0^{\circ} : 2 = 3 0^{\circ}$

ОГЭ 24 Из точки $P$ проведены касательная $P A$ и секущая $PBC$ . Докажите, что $P A^{2} = PB \cdot PC$ .

$∠ P A B = ∠ PC A = \frac{A B ⌢}{2}$ , $∠ P$ — общий

$△ P A B \sim △ PC A$ ⇒ $\frac{P A}{PC} = \frac{PB}{P A}$ ⇒ $P A^{2} = PB \cdot PC$

2 мин · практика
23) Дуга AB + дуга CD = 160°, части 3 + 5 = 8 по 20°: дуга AB = 60°, дуга CD = 100°. ∠ACB — вписанный, опирается на дугу AB: 30°. Ответ: 30.
24) Полное решение на 2 балла: ∠PAB — угол между касательной и хордой AB, равен половине дуги AB; ∠PCA — вписанный, опирается на ту же дугу (задание сл. 12); ∠P общий ⇒ подобие по двум углам (R02); из пропорции соответственных сторон PA/PC = PB/PA ⇒ PA² = PB · PC.
На уроке — устное обсуждение плана, запись 24 полностью — в ДЗ по желанию. Числовой пример: PB = 4, PC = 9 ⇒ PA = 6.

R05.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Хорды пересекаются, дуги угла и вертикального $9 6^{\circ}$ и $4 4^{\circ}$ . Найдите угол. $7 0^{\circ}$
Секущие из $P$ : дуги $15 0^{\circ}$ и $4 6^{\circ}$ . Найдите $∠ P$ . $5 2^{\circ}$
Две касательные, меньшая дуга $12 4^{\circ}$ . Найдите угол между ними. $5 6^{\circ}$
Хорды $A C$ и $B D$ : $∠ A EB = 6 5^{\circ}$ , $A B ⌢ = 5 4^{\circ}$ . Найдите $C D ⌢$ . $7 6^{\circ}$

Вариант 2

Хорды пересекаются, дуги угла и вертикального $10 8^{\circ}$ и $5 2^{\circ}$ . Найдите угол. $8 0^{\circ}$
Секущие из $P$ : дуги $16 4^{\circ}$ и $3 8^{\circ}$ . Найдите $∠ P$ . $6 3^{\circ}$
Две касательные, угол между ними $4 6^{\circ}$ . Найдите меньшую дугу. $13 4^{\circ}$
Хорды $A C$ и $B D$ : $∠ A EB = 7 5^{\circ}$ , $C D ⌢ = 8 4^{\circ}$ . Найдите $A B ⌢$ . $6 6^{\circ}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Вершина внутри круга — какая формула? А вне?
Какие дуги брать для угла между хордами?
Как угол между касательными связан с меньшей дугой?

Домашнее задание

Хорды: дуги $7 6^{\circ}$ и $5 4^{\circ}$ . Найдите угол.
Секущие: $∠ P = 2 8^{\circ}$ , ближняя дуга $4 4^{\circ}$ . Найдите дальнюю.
* $P A$ — касательная, $PB = 4$ , $PC = 9$ . Найдите $P A$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_centralnye_i_vpisannye_ugly.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-074 · Углы между хордами и секущими

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью», 20 ч · урок 2/20 · тип Н
Единицы → слайды	R05.2 «Углы между хордами и секущими» → 2, 4–21 · повторение R05.1 (урок 73) и 7 класса → 3
Результаты	ПР-10 (вписанный и центральный угол, угол между касательной и хордой; применять их свойства при решении задач) → 4–21
Вне урока	вписанные и описанные четырёхугольники — GEOM8U-075; признаки вписанного четырёхугольника — GEOM8U-076; касание окружностей — R05.5–R05.7; соотношение $P A^{2} = PB \cdot PC$ — только как задача ОГЭ 24 (сл. 19)
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Углы между хордами и секущими

Сегодня вы научитесь

Узнавать вид угла

Доказывать теоремы

Вычислять углы и дуги

Решать задачи

Центральный, вписанный, касательная

Стороны угла пересекают окружность

Вершина на окружности

Вершина внутри круга

Вершина вне круга

Угол между пересекающимися хордами

Угол по дугам и дуга по углу

Образец: хорды AB и CD пересекаются в E. Найдите ∠AEC и ∠AED.

Сам

Дуги заданы отношением

Образец: A,B,C,D делят окружность на дуги AB:BC:CD:DA=3:5:4:6. Хорды AC и BD пересекаются в E. Найдите ∠AEB.

Сам: сделайте чертёж

Угол между двумя секущими

Те же формулы для касательных

Касательная PA и секущая PBC

Две касательные PA и PB

Вершина вне круга

Образец: секущие PAB и PCD. Найдите ∠P.

Сам

Где вершина — такая и формула

Внутри круга

На окружности

Вне круга

План доказательства и обоснования

Образец: хорды AB⊥CD, пересекаются в E. Докажите: AC⌢+BD⌢=180∘.

Сам: составьте план

Углы на циферблате

Образец: натянули нити между делениями 12–4 и 1–8. Под каким углом они пересекаются?

Сам: нарисуйте циферблат

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Хорды AB, CD пересекаются в E, AC⌢=100∘, BD⌢=40∘. Найдите ∠AEC.

б) Секущие PAB, PCD, BD⌢=140∘, AC⌢=50∘. Найдите ∠P.

в) Касательные PA, PB, меньшая AB⌢=110∘. Найдите ∠P.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-074 · Углы между хордами и секущими

Образец: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ . Найдите $∠ A EC$ и $∠ A E D$ .

Образец: $A, B, C, D$ делят окружность на дуги $A B : BC : C D : D A = 3 : 5 : 4 : 6$ . Хорды $A C$ и $B D$ пересекаются в $E$ . Найдите $∠ A EB$ .

Касательная $P A$ и секущая $PBC$

Две касательные $P A$ и $PB$

Образец: секущие $P A B$ и $PC D$ . Найдите $∠ P$ .

Образец: хорды $A B ⊥ C D$ , пересекаются в $E$ . Докажите: $A C ⌢ + B D ⌢ = 18 0^{\circ}$ .

а) Хорды $A B$ , $C D$ пересекаются в $E$ , $A C ⌢ = 10 0^{\circ}$ , $B D ⌢ = 4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A EC$ .

б) Секущие $P A B$ , $PC D$ , $B D ⌢ = 14 0^{\circ}$ , $A C ⌢ = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ P$ .

в) Касательные $P A$ , $PB$ , меньшая $A B ⌢ = 11 0^{\circ}$ . Найдите $∠ P$ .