Углы и четырёхугольники, связанные с окружностью · урок 1 из 20

Вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM8U-073

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью» (20 ч), урок 1/20, единица R05.1. Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · центральный угол и дуга 1,5 · вписанный угол, теорема 1 · доказательство, случай 1 — 2 · случаи 2 и 3 — 2 · следствия 1,5 · касательная и хорда 2,5 · сводка 1.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 16/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец 5 (угольник) и задачу ОГЭ 24 — в ДЗ; доказательства теорем не сокращать.

R05.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Различать углы в круге

центральный, вписанный, угол между касательной и хордой (ПР-10)

Доказывать теорему

о вписанном угле — для всех трёх положений центра

Находить углы и дуги

по теореме и следствиям: одна дуга, диаметр, касательная (ПР-10)

Решать задачи

на вычисление и доказательство, в том числе ОГЭ 16, 23, 24

повторение: 7 класс

Разминка · устно

Окружность, радиусы, касательная

$O$ — центр, $∠ A OB = 10 0^{\circ}$ . Найдите $∠ O A B$ . $4 0^{\circ}$ — $O A = OB$
$t$ — касательная в точке $A$ . Угол между $t$ и $O A$ ? $9 0^{\circ}$
Радиус $7$ . Чему равен диаметр? $14$
Внешний угол треугольника равен… сумме двух углов, не смежных с ним
Углы треугольника $3 0^{\circ}$ и $4 5^{\circ}$ . Внешний угол при третьей вершине? $7 5^{\circ}$
Угол $13 0^{\circ}$ дополните до полного оборота. $23 0^{\circ}$

R05.1

Определение · центральный угол

Вершина в центре — угол центральный

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности.

Градусная мера дуги равна центральному углу, который на неё опирается.

A B ⌣ = ∠ A OB = 11 0^{\circ}

Вся окружность — $36 0^{\circ}$ : вторая дуга $36 0^{\circ} - 11 0^{\circ} = 25 0^{\circ}$ .

Полуокружность (концы — диаметр) — $18 0^{\circ}$ .

R05.1

Определение и теорема · вписанный угол

Вершина на окружности, стороны — хорды

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

$∠ A BC$ опирается на дугу $A C ⌣$ , лежащую внутри угла.

Теорема. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

∠ A BC

= \frac{1}{2}

A C ⌣

Центральный угол на ту же дугу: $∠ A OC = 2∠ A BC$

R05.1

Теорема · доказательство, случай 1

Центр лежит на стороне угла

Дано:

∠ A BC

— вписанный,

O \in BC

.
Доказать:

∠ A BC = \frac{1}{2} A C ⌣

.

1

O A = OB

\Rightarrow ∠ O A B = ∠ OB A = α

радиусы; углы при основании равнобедренного

△ A OB

2

∠ A OC = 2 α

внешний угол

△ A OB

равен сумме двух не смежных с ним

3

∠ A OC = A C ⌣

центральный угол равен своей дуге

4

α = \frac{1}{2} A C ⌣

, т. е.

∠ A BC = \frac{1}{2} A C ⌣

R05.1

Теорема · доказательство, случаи 2 и 3

Проводим диаметр $B D$ и сводим к случаю 1

Центр внутри угла

$∠ A B D = \frac{1}{2} A D ⌣$ , $∠ D BC = \frac{1}{2} D C ⌣$ случай 1 для каждого угла

$∠ A BC = \frac{1}{2} (A D ⌣ + D C ⌣) = \frac{1}{2} A C ⌣$ сумма углов, сумма дуг

Центр вне угла

$∠ D BC = \frac{1}{2} D C ⌣$ , $∠ D B A = \frac{1}{2} D A ⌣$ случай 1 для каждого угла

$∠ A BC = \frac{1}{2} (D C ⌣ - D A ⌣) = \frac{1}{2} A C ⌣$ разность углов, разность дуг

R05.1

Образец → сам · вписанный и центральный угол

Найдите углы по готовому чертежу

Образец: $∠ A BC = 3 5^{\circ}$ , $O$ — центр. Найдите $A C ⌣$ , $∠ A OC$ , $∠ O A C$ .

$A C ⌣ = 2 \cdot 3 5^{\circ} = 7 0^{\circ}$ теорема о вписанном угле

$∠ A OC = A C ⌣ = 7 0^{\circ}$ центральный угол

$∠ O A C = (18 0^{\circ} - 7 0^{\circ}) : 2 = 5 5^{\circ}$ $O A = OC$

Сам

$∠ A OB = 14 8^{\circ}$ , $C$ — на большей дуге $A B$ . Найдите $∠ A CB$ . $7 4^{\circ}$
Хорда $A B$ делит окружность на дуги в отношении $5 : 13$ . Найдите вписанные углы, опирающиеся на $A B$ . $5 0^{\circ}$ и $13 0^{\circ}$
Вписанный $∠ A BC = 11 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A OC$ . $13 0^{\circ}$

R05.1

Следствия теоремы

Одна дуга — равные углы; диаметр — прямой угол

1. Одна дуга

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

2. Диаметр

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

3. Центральный

Центральный угол вдвое больше вписанного на ту же дугу.

R05.1

Образец → сам · следствия, чертёж строим сами

Диаметр и углы на одну дугу

Образец: $A B$ — диаметр, $∠ C A B = 2 4^{\circ}$ , $D$ — на дуге $A B$ , не содержащей $C$ . Найдите $∠ A D C$ .

$∠ A CB = 9 0^{\circ}$ опирается на диаметр

$∠ A BC = 9 0^{\circ} - 2 4^{\circ} = 6 6^{\circ}$ сумма углов $△ A BC$

$∠ A D C = ∠ A BC = 6 6^{\circ}$ опираются на дугу $A C$

Сам: сделайте чертёж

$A B$ — диаметр, $C$ на окружности, $∠ A BC = 5 7^{\circ}$ . Найдите $∠ B A C$ . $3 3^{\circ}$
$C$ и $D$ — по одну сторону от хорды $A B$ , $∠ A CB = 3 x - 1 0^{\circ}$ , $∠ A D B = x + 4 0^{\circ}$ . Найдите угол. $x = 2 5^{\circ}$ , угол $6 5^{\circ}$
Гипотенуза прямоугольного треугольника $26$ . Найдите радиус описанной окружности. $13$

R05.1

Теорема · угол между касательной и хордой

Тоже половина дуги внутри угла

Дано:

A T

— касательная,

A B

— хорда.
Доказать:

∠ T A B = \frac{1}{2} A B ⌣

(дуга внутри угла).

1

∠ T A D = 9 0^{\circ}

A D

— диаметр, касательная

⊥

радиусу

2

∠ B A D = \frac{1}{2} B D ⌣

вписанный угол

3

∠ T A B = 9 0^{\circ} - \frac{1}{2} B D ⌣ = \frac{1}{2} (18 0^{\circ} - B D ⌣)

A B ⌣ + B D ⌣ = 18 0^{\circ}

— полуокружность

4

∠ T A B = \frac{1}{2} A B ⌣

2,5 мин · теория
Формулировка: угол между касательной и хордой, проведённой через точку касания, равен половине дуги, заключённой внутри этого угла.
На чертеже: дуга AB = 120°, дуга BD = 60°, ∠BAD = 30°, ∠TAB = 60°. Зелёный прямой угол при B (∠ABD опирается на диаметр) — подсказка ко второму способу: ∠TAB = ∠ADB как углы, дополняющие ∠BAD до 90°.
Тупой угол (с другой частью касательной) равен 180° − φ = половине большей дуги: (360° − 120°) : 2 = 120°. Если хорда — диаметр, угол 90°.
Вывод для запоминания: угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу.

R05.1

Образец → сам · касательная и хорда

Угол, дуга, вписанный и центральный

Образец: $A T$ — касательная, $∠ T A B = 5 2^{\circ}$ , $C$ — на большей дуге. Найдите $A B ⌣$ , $∠ A CB$ , $∠ O A B$ .

$A B ⌣ = 2 \cdot 5 2^{\circ} = 10 4^{\circ}$ угол между касательной и хордой

$∠ A CB = \frac{1}{2} \cdot 10 4^{\circ} = 5 2^{\circ}$ вписанный, та же дуга

$∠ O A B = 9 0^{\circ} - 5 2^{\circ} = 3 8^{\circ}$ $O A ⊥ A T$

Сам

Хорда $A B$ стягивает дугу $7 8^{\circ}$ . Найдите острый угол между $A B$ и касательной в точке $A$ . $3 9^{\circ}$
Угол между касательной и хордой $A B$ равен $7 0^{\circ}$ , $O$ — центр. Найдите $∠ O A B$ . $2 0^{\circ}$
Касательная и хорда $A B$ образуют угол $3 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A OB$ и тупой угол между касательной и хордой. $7 0^{\circ}$ и $14 5^{\circ}$

R05.1

Схема-конспект

Три угла — одна дуга

Чертёж	Угол	Вершина	Стороны	Величина
	центральный	в центре окружности	радиусы	$∠ A OB = A B ⌣$
	вписанный	на окружности	две хорды	$∠ A CB = \frac{1}{2} A B ⌣$
	касательная и хорда	в точке касания	касательная и хорда	$∠ T A B = \frac{1}{2} A B ⌣$
Следствия: на одну дугу — равны · на диаметр — $9 0^{\circ}$ · на дополняющие дуги — в сумме $18 0^{\circ}$ · центральный $= 2 \times$ вписанный

R05.1

Образец → сам · задача на доказательство

План доказательства и обоснования

Образец: касательная $CT$ параллельна хорде $A B$ . Докажите, что $A C = BC$ .

$∠1 = \frac{1}{2} A C ⌣ = ∠2$ касательная и хорда; вписанный

$∠1 = ∠3$ накрест лежащие, $CT ∥ A B$ , секущая $A C$

$∠2 = ∠3$ ⇒ $A C = BC$ $△ A BC$ равнобедренный

Сам: составьте план

Докажите: прямой вписанный угол опирается на диаметр. дуга $= 2 \cdot 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ ⇒ хорда — диаметр
Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $E$ . Докажите: $△ A EC \sim △ D EB$ . $∠ C A B = ∠ C D B$ (дуга $CB$ ), вертикальные углы при $E$
$C$ — середина дуги $A B$ , $A T$ — касательная. Докажите: $A C$ — биссектриса $∠ T A B$ . $∠ T A C = \frac{1}{2} A C ⌣ = \frac{1}{2} CB ⌣ = ∠ C A B$

3 мин · практика
Образец: ∠1 = ∠TCA — угол между касательной и хордой CA, он равен половине дуги AC (внутри угла); ∠2 = ∠CBA — вписанный, опирается на ту же дугу AC. ∠3 = ∠CAB — накрест лежащий с ∠1. Значит, углы при основании AB равны.
1) Вписанный угол 90° опирается на дугу 180° — полуокружность; её концы — концы диаметра.
2) ∠CAB и ∠CDB опираются на дугу CB ⇒ равны; ∠AEC = ∠DEB (вертикальные) ⇒ подобие по двум углам (R02). Отсюда AE · EB = CE · ED — тема следующего урока GEOM8U-074.
3) Дуга AC внутри ∠TAC; ∠CAB — вписанный, опирается на дугу CB; дуги равны ⇒ углы равны.
Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования. Сильным — все три, остальным — 1 и 3.

R05.1

Образец → сам · задача из жизни

Центр круглой детали — угольником

Образец: как найти центр круга, если есть только чертёжный угольник?

Вершину прямого угла — на окружность: $A B$ — диаметр следствие 2

Второй раз — второй диаметр; пересечение — центр $O$ диаметры проходят через центр

Сам

Как угольником проверить, что дуга — ровно полуокружность? из любой точки дуги концы видны под $9 0^{\circ}$
Хорда $A B = 8$ видна из точки окружности под углом $3 0^{\circ}$ . Найдите радиус. $8$
Сцену $A B$ из кресла $C$ на дуге видно под углом $4 0^{\circ}$ . Под каким углом её видно из кресла $D$ на той же дуге? $4 0^{\circ}$

2 мин · практика
Образец: так столяры и токари находят центр торца бревна, трубы, шкива («центроискатель»).
1) Если дуга — полуокружность, то любой вписанный угол, опирающийся на её концы, прямой (следствие 2 и обратное ему).
2) Центральный ∠AOB = 2 · 30° = 60°, △AOB равнобедренный с углом 60° ⇒ равносторонний ⇒ R = AB = 8.
3) Вписанные углы на одну дугу равны: 40°. Поэтому в античных театрах ряды по дуге окружности: из всех кресел ряда сцена видна под одним углом.

R05.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
«Вписанный угол равен дуге»: $∠ A CB = A B ⌣$	дуге равен центральный угол	$∠ A CB = \frac{1}{2} A B ⌣$
«Центральный угол — половина вписанного»	перепутано, кто больше	$∠ A OB = 2∠ A CB$
«Вписанные углы на одну хорду всегда равны»	вершины могут быть по разные стороны от хорды	по одну сторону — равны, по разные — в сумме $18 0^{\circ}$
Угол касательной и хорды $= A B ⌣$	это не центральный угол	$∠ T A B = \frac{1}{2} A B ⌣$

R05.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $∠ A OC = 8 0^{\circ}$ , $B$ — на большей дуге. Найдите $∠ A BC$ .

$∠ A BC = 2 \cdot 8 0^{\circ} = 16 0^{\circ}$

$∠ A BC = 8 0^{\circ} : 2 = 4 0^{\circ}$ — вписанный вдвое меньше

б) $A B$ — диаметр, $∠ C A B = 3 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A BC$ .

$∠ A CB = 9 0^{\circ}$ — на рисунке видно

$∠ A BC = 9 0^{\circ} - 3 5^{\circ} = 5 5^{\circ}$

$∠ A CB = 9 0^{\circ}$ , так как опирается на диаметр

в) Угол между касательной и хордой $A B$ равен $6 4^{\circ}$ . Найдите $A B ⌣$ .

$A B ⌣ = 6 4^{\circ} : 2 = 3 2^{\circ}$

$A B ⌣ = 2 \cdot 6 4^{\circ} = 12 8^{\circ}$

R05.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаЦентральный угол $8 6^{\circ}$ . Вписанный на ту же дугу? $4 3^{\circ}$
базаВписанный угол $5 4^{\circ}$ . На какую дугу он опирается? $10 8^{\circ}$
база $A C$ — диаметр, $∠ B A C = 4 1^{\circ}$ . Найдите $∠ BC A$ . $4 9^{\circ}$

базаХорда стягивает дугу $11 2^{\circ}$ . Острый угол между хордой и касательной в её конце? $5 6^{\circ}$
база $A$ , $B$ , $C$ делят окружность на дуги $2 : 3 : 4$ . Углы $△ A BC$ ? $4 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ , $8 0^{\circ}$
базаВписанный угол на $3 6^{\circ}$ меньше центрального на ту же дугу. Найдите вписанный. $3 6^{\circ}$

R05.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $△ A BC$ вписан в окружность с центром $O$ , $∠ A = 5 0^{\circ}$ , $∠ B = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A OB$ . $12 0^{\circ}$
повыш.Хорда $A B$ равна радиусу. Найдите вписанные углы, опирающиеся на $A B$ . $3 0^{\circ}$ и $15 0^{\circ}$
повыш. $A T$ — касательная, $∠ T A B = 4 0^{\circ}$ ; $C$ — на большей дуге $A B$ , $D$ — на меньшей. Найдите $∠ A CB$ и $∠ A D B$ . $4 0^{\circ}$ и $14 0^{\circ}$
повыш. $A B$ — диаметр, $C H$ — высота $△ A BC$ , $∠ BC H = 2 5^{\circ}$ . Найдите $∠ C A B$ . $2 5^{\circ}$

R05.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 16Треугольник $A BC$ вписан в окружность с центром $O$ , $∠ B A C = 3 2^{\circ}$ . Найдите $∠ BOC$ . $64$
ОГЭ 16 $A C$ и $B D$ — диаметры окружности с центром $O$ , $∠ A CB = 3 8^{\circ}$ . Найдите $∠ A O D$ . $104$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.
Центральный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Ответ: 13

R05.1 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 24 и 23

Касательная, секущая и подобие

ОГЭ 24 Касательная в точке $A$ к описанной окружности $△ A BC$ пересекает прямую $BC$ в точке $D$ . Докажите, что $△ D A B \sim △ D C A$ .

$∠ D A B = \frac{1}{2} A B ⌣ = ∠ A CB$ касательная и хорда; вписанный

$∠ D$ — общий⇒ подобие по двум углам

ОГЭ 23 В условиях задачи 24: $D A = 6$ , $D B = 4$ . Найдите $D C$ и $BC$ .

$\frac{D A}{D C} = \frac{D B}{D A}$ из подобия

$D A^{2} = D B \cdot D C$ : $36 = 4 \cdot D C$

$D C = 9$ , $BC = 5$

2 мин · практика
24) ∠DAB — угол между касательной AD и хордой AB, равен половине дуги AB, лежащей внутри угла (не содержащей C). ∠ACB = ∠ACD — вписанный, опирается на ту же дугу. Угол D общий ⇒ △DAB ∼ △DCA по двум углам. Соответствие: D↔D, A↔C, B↔A.
23) Из подобия DA/DC = DB/DA ⇒ DA² = DB · DC ⇒ DC = 36 : 4 = 9, BC = 9 − 4 = 5. Это теорема о касательной и секущей — доказали сами (подробно на следующем уроке).
Чертёж построен по данным задачи (DA = 6, DB = 4, DC = 9). На уроке — устное обсуждение плана, полная запись 24 — в ДЗ по желанию.

R05.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$∠ A OB = 7 6^{\circ}$ , $C$ — на большей дуге. Найдите $∠ A CB$ . $3 8^{\circ}$
$A B$ — диаметр, $∠ A BC = 6 4^{\circ}$ . Найдите $∠ B A C$ . $2 6^{\circ}$
Хорда $A B$ стягивает дугу $14 0^{\circ}$ . Острый угол между $A B$ и касательной в точке $A$ ? $7 0^{\circ}$
Точки делят окружность в отношении $3 : 4 : 5$ . Наибольший угол треугольника? $7 5^{\circ}$

Вариант 2

Вписанный $∠ A CB = 4 7^{\circ}$ . Найдите центральный $∠ A OB$ . $9 4^{\circ}$
$A B$ — диаметр, $∠ B A C = 1 9^{\circ}$ . Найдите $∠ A BC$ . $7 1^{\circ}$
Угол между касательной и хордой $A B$ равен $3 3^{\circ}$ . Найдите дугу $A B$ внутри угла. $6 6^{\circ}$
Точки делят окружность в отношении $2 : 3 : 7$ . Наибольший угол треугольника? $10 5^{\circ}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем вписанный угол отличается от центрального?
Какой вписанный угол опирается на диаметр?
Чему равен угол между касательной и хордой?

Домашнее задание

Хорда делит окружность на дуги $7 : 11$ . Найдите вписанные углы, опирающиеся на неё.
Угол между касательной и хордой $4 2^{\circ}$ . Найдите оба вписанных угла на эту хорду.
* Хорды $A B ∥ C D$ . Докажите: $A C ⌣ = B D ⌣$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_centralnye_i_vpisannye_ugly.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: 1) Дуги 140° и 220° ⇒ углы 70° и 110°. 2) Меньшая дуга 84° ⇒ 42° (вершина на большей дуге) и 138° (вершина на меньшей). 3) Для хорд AB ∥ CD, где A и C (а также B и D) — концы с одной стороны: секущая BC, ∠ABC = ∠BCD (накрест лежащие) ⇒ ½◡AC = ½◡BD ⇒ дуги равны.
Следующий урок — углы между хордами и секущими (GEOM8U-074): угол с вершиной внутри и вне круга выражается через две дуги — доказательство опирается на сегодняшнюю теорему.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-073 · Вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R05 «Углы и четырехугольники, связанные с окружностью», 20 ч · урок 1/20 · тип Н
Единицы → слайды	R05.1 «Вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой» → 2, 4–23 · повторение 7 класса → 3
Результаты	ПР-10 (вписанный и центральный угол, угол между касательной и хордой, применение свойств) → 4–23
Вне урока	углы между хордами и секущими — GEOM8U-074 (R05.2); вписанные и описанные четырёхугольники — GEOM8U-075 (R05.3, R05.4); подобие треугольников в сл. 14, 21 — повторение R02
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой

Сегодня вы научитесь

Различать углы в круге

Доказывать теорему

Находить углы и дуги

Решать задачи

Окружность, радиусы, касательная

Вершина в центре — угол центральный

Вершина на окружности, стороны — хорды

Центр лежит на стороне угла

Проводим диаметр BD и сводим к случаю 1

Центр внутри угла

Центр вне угла

Найдите углы по готовому чертежу

Образец: ∠ABC=35∘, O — центр. Найдите AC⌣, ∠AOC, ∠OAC.

Сам

Одна дуга — равные углы; диаметр — прямой угол

1. Одна дуга

2. Диаметр

3. Центральный

Диаметр и углы на одну дугу

Образец: AB — диаметр, ∠CAB=24∘, D — на дуге AB, не содержащей C. Найдите ∠ADC.

Сам: сделайте чертёж

Тоже половина дуги внутри угла

Угол, дуга, вписанный и центральный

Образец: AT — касательная, ∠TAB=52∘, C — на большей дуге. Найдите AB⌣, ∠ACB, ∠OAB.

Сам

Три угла — одна дуга

План доказательства и обоснования

Образец: касательная CT параллельна хорде AB. Докажите, что AC=BC.

Сам: составьте план

Центр круглой детали — угольником

Образец: как найти центр круга, если есть только чертёжный угольник?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) ∠AOC=80∘, B — на большей дуге. Найдите ∠ABC.

б) AB — диаметр, ∠CAB=35∘. Найдите ∠ABC.

в) Угол между касательной и хордой AB равен 64∘. Найдите AB⌣.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Касательная, секущая и подобие

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-073 · Вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой

Проводим диаметр $B D$ и сводим к случаю 1

Образец: $∠ A BC = 3 5^{\circ}$ , $O$ — центр. Найдите $A C ⌣$ , $∠ A OC$ , $∠ O A C$ .

Образец: $A B$ — диаметр, $∠ C A B = 2 4^{\circ}$ , $D$ — на дуге $A B$ , не содержащей $C$ . Найдите $∠ A D C$ .

Образец: $A T$ — касательная, $∠ T A B = 5 2^{\circ}$ , $C$ — на большей дуге. Найдите $A B ⌣$ , $∠ A CB$ , $∠ O A B$ .

Образец: касательная $CT$ параллельна хорде $A B$ . Докажите, что $A C = BC$ .

а) $∠ A OC = 8 0^{\circ}$ , $B$ — на большей дуге. Найдите $∠ A BC$ .

б) $A B$ — диаметр, $∠ C A B = 3 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A BC$ .

в) Угол между касательной и хордой $A B$ равен $6 4^{\circ}$ . Найдите $A B ⌣$ .