Теорема Пифагора и начала тригонометрии · урок 18 из 18

Обобщение: теорема Пифагора и начала тригонометрии

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM8U-072

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии» (18 ч), урок 18/18, единицы R04.1–R04.5. Тип урока — О (обобщение и систематизация).
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка «Пифагор» 2 · сводка «пропорциональные отрезки» 2 · сводка «тригонометрия» 2 · таблица и шаблоны 2,5 · схема выбора инструмента 2,5.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 15/23 — 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец 5 (доказательство) — задания «сам» 2–3 в ДЗ; ОГЭ 23 — разобрать только план.

R04.1–R04.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать инструмент

Пифагор, пропорциональные отрезки или тригонометрия — по тому, что дано (ПР-9)

Решать прямоугольный треугольник

находить стороны и углы, в том числе с $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$

Доказывать соотношения

в прямоугольном треугольнике с обоснованием каждого шага (ПР-5)

Строить модель

практической задачи и решать задачи ОГЭ 15 и 23 (ПР-11)

0,5 мин · теория
ПР-9: «…Пифагора для решения геометрических и практических задач. Строить математическую модель в практических задачах, самостоятельно проводить чертеж и находить соответствующие длины».
ПР-5 (часть): «Доказывать и применять отношения пропорциональности в прямоугольных треугольниках». ПР-11: «строить математические модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с применением подобия и тригонометрии».
Урок завершает строку R04 (18 ч): после него — проверка по теме (по плану учителя) и строка R05 «Углы в окружности».

R04.1–R04.5

Разминка · устно

Восемь вопросов за две минуты

Катеты $6$ и $8$ . Гипотенуза? $10$
Гипотенуза $13$ , катет $5$ . Другой катет? $12$
Стороны $8$ , $15$ , $17$ . Треугольник прямоугольный? да: $64 + 225 = 289$
$sin^{2} 3 7^{\circ} + cos^{2} 3 7^{\circ} = ?$ $1$

$sin 3 0^{\circ} = ?$ $\frac{1}{2}$
$cos 4 5^{\circ} = ?$ $\frac{2}{2}$
$tg 6 0^{\circ} = ?$ $3$
$α$ — острый, $sin α = 0, 6$ . $cos α = ?$ $0, 8$

R04.1 · R04.2

Сводка · теорема Пифагора и обратная

Квадрат гипотенузы — сумма квадратов катетов

c^{2}

=

a^{2}

+

b^{2}

Обратная: если $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , то угол против стороны $c$ — прямой.

Катет: $a = c^{2} - b^{2}$ — вычитаем, а не складываем.

Тройки:

3, 4, 5

·

5, 12, 13

·

8, 15, 17

·

7, 24, 25

(и кратные:

6, 8, 10

)

2 мин · теория
Вопросы классу: сформулируйте теорему словами; как доказывали (через площади / через подобие и пропорциональные отрезки — GEOM8U-055)? Как проверить, что треугольник прямоугольный (обратная теорема)?
Если c² < a² + b² (c — наибольшая сторона), треугольник остроугольный; если c² > a² + b² — тупоугольный (углублённый уровень, пригодится на сл. 9).
Где применяется: диагональ прямоугольника, высота равнобедренного треугольника и трапеции, сторона ромба по диагоналям, расстояние на клетчатой бумаге.

R04.3

Сводка · пропорциональные отрезки

Высота к гипотенузе — три подобных треугольника

h^{2}

=

b_{c}

\cdot

a_{c}

a^{2} = c \cdot

a_{c}

,

b^{2} = c \cdot

b_{c}

h

= \frac{ab}{c}

$△ A C H \sim △ CB H \sim △ A BC$ — по двум углам.

R04.4

Сводка · синус, косинус, тангенс, котангенс

Отношения сторон для острого угла

sin α = \frac{a}{c}

,

cos α = \frac{b}{c}

tg α = \frac{a}{b}

,

ctg α = \frac{b}{a}

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

,

tg α = \frac{sin α}{cos α}

sin (9 0^{\circ} - α) = cos α

2 мин · теория
Синус — противолежащий катет к гипотенузе, косинус — прилежащий катет к гипотенузе, тангенс — противолежащий к прилежащему, котангенс — наоборот. Значения зависят только от угла (подобные прямоугольные треугольники, GEOM8U-058).
Основное тождество — это теорема Пифагора, делённая на c²: (a/c)² + (b/c)² = 1. Вопрос: почему sin α < 1? (Катет меньше гипотенузы.)
sin(90° − α) = cos α: для второго острого угла B противолежащий катет — b. Так же tg(90° − α) = ctg α.

R04.5

Сводка · таблица значений и треугольники-шаблоны

Углы $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$

	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$
$sin$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$
$cos$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tg$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$
$ctg$	$3$	$1$	$\frac{3}{3}$

2,5 мин · теория
Таблицу не зубрить, а выводить из шаблонов: половина равностороннего треугольника (1 : √3 : 2, катет против 30° — половина гипотенузы) и половина квадрата (1 : 1 : √2).
Вопрос: как найти sin 60° по шаблону? (Противолежащий √3 к гипотенузе 2.) Закономерность: синус растёт от 1/2 до √3/2, косинус убывает; tg 30° · tg 60° = 1.
Из истории (по желанию, 0,5 мин): таблицы хорд составлял Птолемей (II в.), слова «синус», «косинус», «тангенс» пришли через арабские и латинские переводы, современные обозначения ввёл Л. Эйлер (XVIII в.).

R04.1–R04.5

Схема-конспект · что дано → чем решать

Выбираем инструмент по условию

Две стороны

прямоугольного треугольника → третья сторона

c^{2} = a^{2} + b^{2}

затем любой $sin$ , $cos$ , $tg$ — отношением

Высота к гипотенузе

и отрезки гипотенузы → высота, катеты

h^{2} = a_{c} b_{c}

,

a^{2} = c a_{c}

или площадь: $ab = c h$

Сторона и острый угол

→ остальные стороны

a = c sin α

,

b = c cos α

$a = b tg α$ ; угол $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ — по шаблону

2,5 мин · теория
Главная мысль урока-обобщения: прямоугольный треугольник «решается», если известны две его характеристики (кроме прямого угла) и хотя бы одна из них — сторона. Если прямоугольного треугольника на чертеже нет — его надо создать: провести высоту (трапеция, ромб, равнобедренный треугольник) или диагональ.
Вопрос: даны два острых угла — можно ли найти стороны? (Нет: подобных треугольников бесконечно много.)
Записать схему в тетрадь — опорный конспект к проверке по теме.

R04.1

Образец → сам · теорема Пифагора и обратная

Ромб по диагоналям

Образец: диагонали ромба $24$ и $10$ . Найдите сторону и периметр.

$OC = 12$ , $OB = 5$ , $∠ BOC = 9 0^{\circ}$ диагонали ромба

$BC = 1 2^{2} + 5^{2} = 13$ теорема Пифагора

$P = 4 \cdot 13 = 52$

Сам

Катеты $9$ и $12$ . Найдите гипотенузу. $15$
Сторона ромба $17$ , одна диагональ $16$ . Найдите другую. $30$
Стороны $6$ , $7$ , $9$ . Треугольник прямоугольный? нет: $36 + 49 = 85 \neq = 81$ (остроугольный)

R04.3

Образец → сам · пропорциональные отрезки

Высота делит гипотенузу на $4$ и $9$

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A H = 4$ , $H B = 9$ . Найдите $C H$ и $A C$ .

$C H^{2} = A H \cdot H B = 36$ , $C H = 6$ $h^{2} = a_{c} b_{c}$

$A C^{2} = A B \cdot A H = 13 \cdot 4 = 52$ $b^{2} = c b_{c}$

$A C = 52 = 213$

Сам

$A H = 2$ , $H B = 8$ . Найдите $C H$ . $4$
Катет $A C = 6$ , гипотенуза $A B = 9$ . Найдите $A H$ . $4$
$C H = 12$ , $A H = 9$ . Найдите $H B$ и $A B$ . $H B = 16$ , $A B = 25$

R04.4

Образец → сам · стороны по синусу, косинусу, тангенсу

Одна сторона и одно отношение — весь треугольник

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 20$ , $sin A = 0, 6$ . Найдите $BC$ , $A C$ , $tg A$ .

$BC = A B sin A = 20 \cdot 0, 6 = 12$ противолежащий катет

$A C = 2 0^{2} - 1 2^{2} = 16$ теорема Пифагора

$tg A = \frac{12}{16} = 0, 75$

Сам ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ )

$cos A = \frac{5}{13}$ . Найдите $sin A$ и $tg A$ . $\frac{12}{13}$ и $\frac{12}{5}$
$A C = 8$ , $tg A = 0, 75$ . Найдите $BC$ и $A B$ . $6$ и $10$
$BC = 12$ , $sin A = 0, 8$ . Найдите $A B$ . $15$

R04.5

Образец → сам · углы 30°, 45°, 60° в фигурах

Проведи высоту — получишь шаблон

Образец: равнобедренная трапеция, основания $6$ и $14$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ , $B H$ и $S$ .

$A H = \frac{14 - 6}{2} = 4$ , $A B = \frac{A H}{c o s 6 0 ^{\circ}} = 8$

$B H = A H \cdot tg 6 0^{\circ} = 43$ $△ A B H$

$S = \frac{6 + 14}{2} \cdot 43 = 403$

Сам

Стороны параллелограмма $6$ и $10$ , угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $30$
Гипотенуза $10$ , острый угол $6 0^{\circ}$ . Найдите катеты. $5$ и $53$
Боковая сторона равнобедренного треугольника $8$ , угол при вершине $12 0^{\circ}$ . Найдите основание. $83$

2,5 мин · практика
Образец: в равнобедренной трапеции AH = (14 − 6) : 2 = 4; △ABH — половина равностороннего: AB = 2 · AH = 8, BH = 4√3; S = 10 · 4√3 = 40√3 ≈ 69,3.
1) Высота к стороне 10: h = 6 · sin 30° = 3; S = 10 · 3 = 30. 2) Катет против 60°: 10 · sin 60° = 5√3, прилежащий: 10 · cos 60° = 5. 3) Высота к основанию — биссектриса угла 120°, углы по 60°; половина основания 8 · sin 60° = 4√3; основание 8√3.
Ошибка в 2: перепутать, какой катет лежит против 60° (меньший катет лежит против меньшего угла — 30°).

R04.3 · R04.4

Образец → сам · задача на доказательство

План доказательства и обоснования

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота. Докажите: $h = \frac{ab}{c}$ .

$S = \frac{1}{2} ab$ половина произведения катетов

$S = \frac{1}{2} c h$ основание $A B$ , высота $C H$

$ab = c h \Rightarrow h = \frac{ab}{c}$ одна и та же площадь

Сам: составьте план

Докажите: $1 + tg^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}$ . разделить $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ на $cos^{2} α$
Диагонали $A BC D$ перпендикулярны. Докажите: $A B^{2} + C D^{2} = B C^{2} + A D^{2}$ . Пифагор в четырёх треугольниках с вершиной $O$
Докажите: $\frac{a ^{2}}{b ^{2}} = \frac{a _{c}}{b _{c}}$ . $a^{2} = c a_{c}$ , $b^{2} = c b_{c}$ — разделить

2,5 мин · практика
Образец: площадь прямоугольного треугольника считаем двумя способами. Проверка на египетском треугольнике 6, 8, 10: h = 48 : 10 = 4,8. Следствие (ДЗ*): 1/h² = 1/a² + 1/b².
1) sin²α + cos²α = 1 | : cos²α ⇒ tg²α + 1 = 1/cos²α (tg α = sin α / cos α).
2) O — точка пересечения диагоналей, четыре прямоугольных треугольника: AB² = OA² + OB², CD² = OC² + OD², BC² = OB² + OC², AD² = OA² + OD². Обе суммы равны OA² + OB² + OC² + OD².
3) Из пропорциональных отрезков a² = c·a_c, b² = c·b_c; делим: a²/b² = a_c/b_c. Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования.

R04.2 · R04.5

Образец → сам · задача из жизни

Модель — прямоугольный треугольник

Образец: лестница длиной $5$ м приставлена к стене, низ — в $1, 4$ м от стены. На какой высоте верх?

стена ⟂ земле: гипотенуза $5$ , катет $1, 4$ модель

$x = 25 - 1, 96 = 23, 04 = 4, 8$ м

Сам: сделайте чертёж

Экран $48 \times 36$ см. Найдите диагональ. $60$ см
Трос идёт от верха мачты высотой $12$ м к точке земли в $5$ м от её основания. Длина троса? $13$ м
Солнце на высоте $3 0^{\circ}$ над горизонтом, тень дерева $12$ м. Высота дерева? $43 \approx 6, 9$ м

R04.1–R04.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$c = 10$ , $a = 6$ : $b^{2} = 1 0^{2} + 6^{2}$	катет меньше гипотенузы — квадраты вычитают	$b^{2} = 100 - 36$ , $b = 8$
$sin A = \frac{A C}{A B}$ при $∠ C = 9 0^{\circ}$	$A C$ прилежит к углу $A$ — это косинус	$sin A = \frac{BC}{A B}$ , $cos A = \frac{A C}{A B}$
$h^{2} = a \cdot b$ (катеты)	высота — среднее пропорциональное проекций	$h^{2} = a_{c} \cdot b_{c}$ , $h = \frac{ab}{c}$
$cos 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$	перепутаны $3 0^{\circ}$ и $6 0^{\circ}$ ; проверка по шаблону $1 : 3 : 2$	$cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$

R04.1–R04.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 12$ , $A B = 13$ . Найдите $tg A$ .

$BC = 1 2^{2} + 1 3^{2} = 313$

$tg A = \frac{313}{12}$

$BC = 169 - 144 = 5$ , $tg A = \frac{5}{12}$

б) Проекции катетов на гипотенузу $4$ и $16$ . Найдите меньший катет.

$a^{2} = 4 \cdot 16 = 64$ , $a = 8$

это высота $h$ ; катет: $a^{2} = 20 \cdot 4 = 80$ , $a = 45$

в) Сторона ромба $6$ , острый угол $6 0^{\circ}$ . Найдите меньшую диагональ.

$\frac{d}{2} = 6 cos 3 0^{\circ} = 33$ , $d = 63$

это большая диагональ; меньшая: $\frac{d}{2} = 6 sin 3 0^{\circ} = 3$ , $d = 6$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) AB = 13 — гипотенуза, BC — катет: вычитать. BC = 5, tg A = BC/AC = 5/12. Признак ошибки: √313 ≈ 17,7 > 13 — катет больше гипотенузы.
б) Ученик нашёл высоту (h² = a_c · b_c = 64, h = 8). Гипотенуза 20; меньший катет прилегает к меньшей проекции: a² = 20 · 4 = 80, a = 4√5 ≈ 8,9 (больший — √(20 · 16) = 8√5).
в) Диагонали ромба — биссектрисы углов; меньшая диагональ лежит против угла 60°, она отсекает равносторонний треугольник ⇒ d = 6. Ученик нашёл большую диагональ 6√3.

R04.1–R04.5

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаКатеты $7$ и $24$ . Гипотенуза? $25$
базаГипотенуза $26$ , катет $10$ . Другой катет? $24$
база $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 10$ , $sin A = 0, 3$ . Найдите $BC$ . $3$

база $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 4$ , $cos A = 0, 8$ . Найдите $A B$ . $5$
базаВысота делит гипотенузу на $3$ и $12$ . Найдите высоту. $6$
базаСторона равностороннего треугольника $6$ . Найдите высоту. $33$

R04.1–R04.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Диагональ прямоугольника $10$ образует со стороной угол $3 0^{\circ}$ . Найдите площадь. $253$
повыш.Катет $15$ , его проекция на гипотенузу $9$ . Найдите гипотенузу и высоту к ней. $25$ и $12$
повыш. $α$ — острый, $cos α = 0, 6$ . Найдите $tg α + ctg α$ . $\frac{25}{12}$
из жизниСамолёт взлетает под углом $3 0^{\circ}$ к земле и пролетает по прямой $2$ км. На какой он высоте? $1$ км

R04 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 23

Ответ — число; во второй части — полное решение

ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 6$ , $tg A = \frac{4}{3}$ . Найдите $A B$ . $10$
ОГЭ 15Катеты прямоугольного треугольника $10$ и $24$ . Найдите медиану, проведённую к гипотенузе. $13$

ОГЭ 23 Высота $A H$ ромба $A BC D$ делит сторону $C D$ на отрезки $DH = 21$ и $C H = 8$ . Найдите высоту ромба.

$A D = C D = 21 + 8 = 29$ стороны ромба равны

$A H = 2 9^{2} - 2 1^{2} = 400 = 20$

R04.1–R04.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Катеты $5$ и $12$ . Найдите гипотенузу. $13$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 25$ , $cos B = 0, 28$ . Найдите $A C$ . $24$
Высота делит гипотенузу на $2$ и $18$ . Найдите высоту. $6$
Сторона ромба $10$ , острый угол $3 0^{\circ}$ . Найдите высоту ромба. $5$

Вариант 2

Гипотенуза $17$ , катет $8$ . Найдите другой катет. $15$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 26$ , $cos A = \frac{5}{13}$ . Найдите $BC$ . $24$
Высота делит гипотенузу на $3$ и $27$ . Найдите высоту. $9$
Сторона ромба $14$ , острый угол $3 0^{\circ}$ . Найдите высоту ромба. $7$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда катет находят вычитанием квадратов?
Что нужно знать, чтобы «решить» прямоугольный треугольник?
Как без таблицы вспомнить $cos 3 0^{\circ}$ ?

Домашнее задание

Катет $9$ , гипотенуза $15$ . Найдите $cos$ острых углов и высоту к гипотенузе.
Равнобедренная трапеция: основания $4$ и $12$ , угол $4 5^{\circ}$ . Найдите $S$ .
* Докажите: $\frac{1}{h ^{2}} = \frac{1}{a ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}}$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_teorema_pifagora.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-072 · Обобщение и систематизация по теме «Теорема Пифагора и начала тригонометрии»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии», 18 ч · урок 18/18 · тип О
Единицы → слайды	R04.1 → 3, 4, 8, 9 · R04.2 → 4, 14, 19 · R04.3 → 5, 10, 13 · R04.4 → 6, 11, 13 · R04.5 → 7, 12, 18; сквозные 15–17, 20
Результаты	ПР-9 → 4, 9, 14, 19 · ПР-5 (пропорциональность в прямоугольных треугольниках) → 5, 10, 13 · ПР-11 → 12, 14, 18
Вне урока	углы в окружности — R05 (GEOM8U-073); медиана к гипотенузе — повторение 7 класса (ОГЭ 15); история тригонометрии — в заметках сл. 7
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Обобщение: теорема Пифагора и начала тригонометрии

Сегодня вы научитесь

Выбирать инструмент

Решать прямоугольный треугольник

Доказывать соотношения

Строить модель

Восемь вопросов за две минуты

Квадрат гипотенузы — сумма квадратов катетов

Высота к гипотенузе — три подобных треугольника

Отношения сторон для острого угла

Углы 30∘, 45∘, 60∘

Выбираем инструмент по условию

Две стороны

Высота к гипотенузе

Сторона и острый угол

Ромб по диагоналям

Образец: диагонали ромба 24 и 10. Найдите сторону и периметр.

Сам

Высота делит гипотенузу на 4 и 9

Образец: ∠C=90∘, CH — высота, AH=4, HB=9. Найдите CH и AC.

Сам

Одна сторона и одно отношение — весь треугольник

Образец: ∠C=90∘, AB=20, sinA=0,6. Найдите BC, AC, tgA.

Сам (∠C=90∘)

Проведи высоту — получишь шаблон

Образец: равнобедренная трапеция, основания 6 и 14, ∠A=60∘. Найдите AB, BH и S.

Сам

План доказательства и обоснования

Образец: ∠C=90∘, CH — высота. Докажите: h=cab​.

Сам: составьте план

Модель — прямоугольный треугольник

Образец: лестница длиной 5 м приставлена к стене, низ — в 1,4 м от стены. На какой высоте верх?

Сам: сделайте чертёж

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) ∠C=90∘, AC=12, AB=13. Найдите tgA.

б) Проекции катетов на гипотенузу 4 и 16. Найдите меньший катет.

в) Сторона ромба 6, острый угол 60∘. Найдите меньшую диагональ.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — число; во второй части — полное решение

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-072 · Обобщение и систематизация по теме «Теорема Пифагора и начала тригонометрии»

Углы $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$

Образец: диагонали ромба $24$ и $10$ . Найдите сторону и периметр.

Высота делит гипотенузу на $4$ и $9$

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A H = 4$ , $H B = 9$ . Найдите $C H$ и $A C$ .

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 20$ , $sin A = 0, 6$ . Найдите $BC$ , $A C$ , $tg A$ .

Сам ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ )

Образец: равнобедренная трапеция, основания $6$ и $14$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ , $B H$ и $S$ .

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота. Докажите: $h = \frac{ab}{c}$ .

Образец: лестница длиной $5$ м приставлена к стене, низ — в $1, 4$ м от стены. На какой высоте верх?

а) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 12$ , $A B = 13$ . Найдите $tg A$ .

б) Проекции катетов на гипотенузу $4$ и $16$ . Найдите меньший катет.

в) Сторона ромба $6$ , острый угол $6 0^{\circ}$ . Найдите меньшую диагональ.