Теорема Пифагора и начала тригонометрии · урок 16 из 18 · практикум

Практикум: теорема Пифагора

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM8U-070

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии» (18 ч), урок 16/18, единица R04.1. Тип урока — П (третий практикум по теореме Пифагора после GEOM8U-060 и GEOM8U-065).
Теория (13,5): титул 0,5 · цели 1 · сводка 2 · особые треугольники 2 · план решения 1,5 · теорема о диагоналях 2,5 · формула медианы 2 · демонстрация 2.
Практика (31,5): разминка 2 · образцы → сам 2 + 2,5 + 2,5 + 3 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ ч. 1 — 2 · ОГЭ ч. 2 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Чем отличается от прошлых практикумов: там — высота в равнобедренном треугольнике и трапеции, высота к гипотенузе, пифагоровы тройки. Сегодня — Пифагор вместе с углами 30°, 45°, 60° (уроки 058–069) и две ключевые задачи-теоремы: о диагоналях параллелограмма и о медиане.
Если не успеваете: образец 5 (клетчатая бумага) и ОГЭ 25 — в ДЗ; доказательство теоремы о диагоналях не сокращать.

R04.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Видеть особые треугольники

с углами $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ и выражать их стороны через одну (ПР-9)

Доказывать по теореме Пифагора

теорему о диагоналях параллелограмма и формулу медианы

Строить модель

самостоятельно проводить чертёж, вводить $x$ и находить длины (ПР-9)

Решать задачи ОГЭ

линии 15–19 и задачи второй части 23 и 25

1 мин · теория
ПР-9 (в данных курса начало формулировки обрезано): «…Пифагора для решения геометрических и практических задач. Строить математическую модель в практических задачах, самостоятельно проводить чертеж и находить соответствующие длины».
Виды деятельности ФРП R04: доказывать теорему Пифагора, решать задачи на применение теоремы Пифагора; применять полученные знания и умения при решении задач.
Вопрос классу: в каких фигурах мы уже находили прямоугольный треугольник? (высота, диагональ ромба, диагональ прямоугольника) — сегодня добавим параллелограмм и медиану.

повторение: GEOM8U-069

Разминка · устно

Особые углы, корни и Пифагор

$sin 3 0^{\circ} = ?$ $\frac{1}{2}$
$cos 4 5^{\circ} = ?$ $\frac{2}{2}$
$tg 6 0^{\circ} = ?$ $3$
Катет против угла $3 0^{\circ}$ равен $7$ . Гипотенуза? $14$

Катеты $9$ и $12$ . Гипотенуза? $15$
Гипотенуза $17$ , катет $8$ . Другой катет? $15$
$48 = ?$ $43$
$50 = ?$ $52$

R04.1

Сводка · теорема Пифагора и обратная

Найти сторону — или доказать прямой угол

Теорема Пифагора. Если

∠ C = 9 0^{\circ}

, то

c^{2} = a^{2} + b^{2}

c = a^{2} + b^{2}

,

a = c^{2} - b^{2}

Обратная. Если

c^{2} = a^{2} + b^{2}

, то угол против стороны

c

— прямой.

$c^{2} > a^{2} + b^{2}$ — угол тупой, $c^{2} < a^{2} + b^{2}$ — острый.

2 мин · теория
Коротко: прямая теорема — найти сторону, когда прямой угол известен; обратная — доказать, что угол прямой. Цвета сторон на чертеже совпадают с цветами в формуле.
Последняя строка (углублённый уровень): сравнение квадрата большей стороны с суммой квадратов двух других — признак остроугольного/тупоугольного треугольника; разбирали на практикуме GEOM8U-060.
Вопрос: стороны 6, 7, 9 — какой треугольник? (81 > 36 + 49 = 85? нет, 81 < 85 — остроугольный.)

R04.1 · R04.5

Сводка · особые прямоугольные треугольники

Одна сторона — и все остальные по Пифагору

Углы $4 5^{\circ}$ и $4 5^{\circ}$

половина квадрата

c^{2} = a^{2} + a^{2} \Rightarrow c = a 2

Углы $3 0^{\circ}$ и $6 0^{\circ}$

катет против $3 0^{\circ}$ — половина гипотенузы

(2 a)^{2} - a^{2} = 3 a^{2} \Rightarrow a 3

Равносторонний

высота — медиана

h = \frac{a 3}{2}, S = \frac{a ^{2} 3}{4}

R04.1

Схема · план решения задачи

Четыре шага к теореме Пифагора

1

Найти прямой угол

или построить: высота, диагональ ромба, перпендикуляр

в параллелограмме — две высоты

2

Обозначить

известное — на чертёж, неизвестное — $x$

угол $3 0^{\circ}$ или $4 5^{\circ}$ сразу даёт второй катет

3

Записать Пифагора

один или два раза — для каждого прямоугольного треугольника

общий катет связывает уравнения

4

Решить и проверить

гипотенуза — наибольшая сторона, корень упрощён

$108 = 63$

R04.1

Образец → сам · особый треугольник на готовом чертеже

Равносторонний треугольник и квадрат

Образец: $△ A BC$ — равносторонний, $A B = 8$ . Найдите высоту $B H$ и площадь.

$A H = 4$ высота — медиана

$B H = 8^{2} - 4^{2} = 48 = 43$ Пифагор, $△ A B H$

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 43 = 163$

Сам

Высота равностороннего треугольника $63$ . Найдите сторону. $12$
Диагональ квадрата $10$ . Найдите сторону и площадь. $52$ ; $S = 50$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $A B = 14$ . Найдите $A C$ . $73$

R04.1 · R04.5

Образец → сам · высота отсекает особые треугольники

Проведите высоту — получите $4 5^{\circ}$ и $3 0^{\circ}$

Образец: $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ , $B H ⊥ A C$ , $B H = 6$ . Найдите $A B$ , $BC$ , $A C$ .

$A H = B H = 6$ , $A B = 62$ $△ A B H$ равнобедренный

$BC = 2 \cdot 6 = 12$ против $3 0^{\circ}$

$H C = 144 - 36 = 63$ , $A C = 6 + 63$

Сам: чертёж стройте сами

Трапеция $A BC D$ , $A D ∥ BC$ , $∠ A = 9 0^{\circ}$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$ , $A B = 4$ , $BC = 5$ . Найдите $A D$ и $C D$ . $A D = 9$ , $C D = 42$
Равнобокая трапеция: острый угол $6 0^{\circ}$ , боковая сторона $8$ , меньшее основание $6$ . Высота и большее основание? $43$ и $14$
$∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ C = 4 5^{\circ}$ , $A B = 10$ . Найдите $BC$ и $A C$ . $52$ ; $5 + 53$

2,5 мин · практика
Образец: в △ABH ∠ABH = 90° − 45° = 45° ⇒ AH = BH = 6, AB = √(36 + 36) = 6√2. В △BHC катет BH лежит против 30° ⇒ BC = 12; HC = √(144 − 36) = √108 = 6√3. AC = AH + HC = 6 + 6√3 ≈ 16,4.
1) Высота CK = AB = 4; в △CKD угол D = 45° ⇒ KD = 4, CD = 4√2; AD = AK + KD = 5 + 4 = 9.
2) Высоты отсекают катеты против 30°: 8 : 2 = 4 с каждой стороны; h = √(64 − 16) = 4√3; большее основание 6 + 4 + 4 = 14.
3) BH = 10 : 2 = 5 (против 30°), AH = √(100 − 25) = 5√3; △BHC равнобедренный: HC = 5, BC = 5√2; AC = 5√3 + 5 ≈ 13,7.
Требовать чертёж с отмеченным прямым углом и равными катетами — это шаги 1–2 схемы.

R04.1

Ключевая задача · доказательство

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма

Дано:

A BC D

— параллелограмм,

A D = a

,

A B = b

.
Доказать:

A C^{2}

+

B D^{2}

= 2 (a^{2} + b^{2})

.

1

B H = C K = h

,

A H = DK = x

△ A B H = △ D C K

: гипотенуза

A B = D C

и

∠ A = ∠ C DK

2

b^{2} = h^{2} + x^{2}

Пифагор,

△ A B H

3

B D^{2} = h^{2} + (a - x)^{2}

,

A C^{2} = h^{2} + (a + x)^{2}

Пифагор,

△ B HD

и

△ A C K

4

A C^{2} + B D^{2} = 2 a^{2} + 2 (h^{2} + x^{2}) = 2 (a^{2} + b^{2})

подставили п. 2

2,5 мин · теория
Формулировка: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Это задача из учебника 8 класса, на углублённом уровне её доказывают и используют как теорему.
Шаг 1: углы A и CDK — соответственные при AB ∥ DC и секущей AK. Чертёж — случай острого угла A, H лежит на AD; если H вне AD, доказательство то же (меняется знак x).
Шаг 3: в △BHD катет HD = a − x; в △ACK катет AK = AD + DK = a + x. При раскрытии скобок −2ax и +2ax взаимно уничтожаются — показать это на доске.
Вопрос: что даёт теорема для прямоугольника? (2d² = 2(a² + b²) — обычный Пифагор.) Для ромба? (d₁² + d₂² = 4a².)

R04.1

Следствие · медиана через стороны

Удвоим медиану — получим параллелограмм

На луче $A M$ отложим $M D = A M = m$ : $A B D C$ — параллелограмм (диагонали делятся пополам)

Его диагонали $2 m$ и $a$ , стороны $c$ и $b$ :

(2 m)^{2} + a^{2} = 2 (b^{2} + c^{2})

m^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}

R04.1

Образец → сам · теорема о диагоналях и медиана

Обратная задача: найдите диагональ

Образец: стороны параллелограмма $7$ и $9$ , диагональ $B D = 8$ . Найдите $A C$ .

$A C^{2} + 8^{2} = 2 (7^{2} + 9^{2}) = 260$ теорема о диагоналях

$A C^{2} = 260 - 64 = 196$ , $A C = 14$

Сам

Сторона ромба $13$ , одна диагональ $10$ . Найдите другую. $24$
Диагонали параллелограмма $12$ и $14$ , одна сторона $7$ . Найдите другую сторону. $11$
В $△ A BC$ : $A B = 7$ , $A C = 11$ , $BC = 12$ . Найдите медиану $A M$ . $7$

R04.1

Демонстрация · учитель решает

Медианы к катетам $73$ и $52$ . Найдите гипотенузу

$A M = 73$ , $BN = 52$ медианы

$CM = x$ , $CN = y$ тогда $BC = 2 x$ , $A C = 2 y$

$4 y^{2} + x^{2} = 73$ $4 x^{2} + y^{2} = 52$ Пифагор: $△ A CM$ , $△ BCN$

Сложим: $5 (x^{2} + y^{2}) = 125$ , $x^{2} + y^{2} = 25$

A B^{2} = 4 x^{2} + 4 y^{2} = 100

,

A B = 10

Катеты: $3 y^{2} = 48$ , $y = 4$ , $x = 3$ ⇒ $6$ и $8$ .

R04.1

Образец → сам · задача на доказательство

Разность квадратов через общий катет

Образец: $B H$ — высота $△ A BC$ , $M \in B H$ . Докажите: $M A^{2} - M C^{2} = B A^{2} - B C^{2}$ .

$M A^{2} = M H^{2} + A H^{2}$ , $M C^{2} = M H^{2} + H C^{2}$ Пифагор

$M A^{2} - M C^{2} = A H^{2} - H C^{2}$ $M H^{2}$ сократилось

так же $B A^{2} - B C^{2} = A H^{2} - H C^{2}$ ⇒ равны

Сам: план и обоснования

Докажите: в ромбе $d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 4 a^{2}$ . диагонали $⊥$ и делятся пополам: $a^{2} = (d_{1} /2)^{2} + (d_{2} /2)^{2}$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $M$ — середина $BC$ . Докажите: $A B^{2} - A M^{2} = 3 C M^{2}$ . $A B^{2} = A C^{2} + 4 C M^{2}$ , $A M^{2} = A C^{2} + C M^{2}$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота. Докажите: $A C^{2} - B C^{2} = A H^{2} - H B^{2}$ . $A C^{2} = C H^{2} + A H^{2}$ , $B C^{2} = C H^{2} + H B^{2}$

3 мин · практика
Образец: оба прямоугольных треугольника AMH и CMH имеют общий катет MH, поэтому разность квадратов гипотенуз не зависит от положения M на высоте. Для M = B получаем BA² − BC² = AH² − HC².
1) Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам (GEOM8U-002) ⇒ прямоугольный треугольник с катетами d₁/2, d₂/2 и гипотенузой a: a² = d₁²/4 + d₂²/4 ⇒ d₁² + d₂² = 4a². (Или из теоремы о диагоналях: 2(a² + a²) = 4a².)
2) BC = 2CM ⇒ AB² = AC² + 4CM²; AM² = AC² + CM² (△ACM); разность 3CM².
3) Пифагор в △ACH и △BCH, CH² сокращается.
Работа в парах: один пишет план, второй — обоснования. Оценивать полноту обоснований, как в ОГЭ 24.

R04.1

Образец → сам · клетчатая бумага

Высота треугольника по клеткам

Образец: клетка $1 \times 1$ , $A (1; 1)$ , $B (5; 4)$ , $C (2; 6)$ . Найдите высоту $C H$ .

$A B = 4^{2} + 3^{2} = 5$ Пифагор по клеткам

$S = 20 - 6 - 3 - 2, 5 = 8, 5$ прямоугольник минус три треугольника

$C H = \frac{2 S}{A B} = \frac{17}{5} = 3, 4$

Сам: нарисуйте в тетради

$A (1; 2)$ , $B (7; 10)$ . Найдите $A B$ . $10$
$A (0; 0)$ , $B (8; 6)$ , $C (2; 5)$ . Найдите высоту к $A B$ . $2, 8$
$A (0; 0)$ , $B (2; 3)$ , $C (8; 3)$ , $D (6; 0)$ . Найдите $B D$ , $A C$ и проверьте теорему о диагоналях. $5$ и $73$ : $25 + 73 = 2 (13 + 36)$

2 мин · практика
Образец: описанный прямоугольник 4 × 5 = 20; отрезаем прямоугольные треугольники 4·3/2 = 6 (под AB), 3·2/2 = 3 (у BC), 1·5/2 = 2,5 (у CA); S = 8,5. CH = 2 · 8,5 : 5 = 3,4.
1) катеты 6 и 8 ⇒ AB = 10.
2) AB = √(64 + 36) = 10. Описанный прямоугольник 8 × 6 = 48. Отрезаем: под AB — 8·6/2 = 24; у BC (катеты 6 и 1) — 3; у CA (катеты 2 и 5) — 5; ещё прямоугольник 2 × 1 в левом верхнем углу — 2. S = 48 − 24 − 3 − 5 − 2 = 14. Высота 2 · 14 : 10 = 2,8.
3) BD = √(4² + 3²) = 5, AC = √(8² + 3²) = √73; AB² = 13, AD² = 36; 25 + 73 = 98 = 2(13 + 36) ✓.

R04.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$6^{2} + 8^{2} = 6 + 8 = 14$	корень из суммы не равен сумме корней	$36 + 64 = 100 = 10$
«Катет против $3 0^{\circ}$ — половина другого катета»	половина гипотенузы; второй катет в $3$ раз больше	$a$ , $a 3$ , $2 a$
$A C^{2} + B D^{2} = A B^{2} + A D^{2}$	сторон четыре — сумма квадратов всех сторон	$A C^{2} + B D^{2} = 2 (A B^{2} + A D^{2})$
$m^{2} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{4}$ для медианы к $a$	вычитается квадрат стороны, к которой проведена медиана	$m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}$

R04.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Равносторонний $△$ , сторона $10$ . Найдите площадь.

$h = 100 - 25 = 75 = 253$

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 253 = 1253$

$75 = 53$ , $S = 253$

б) Стороны параллелограмма $5$ и $6$ , $A C = 7$ . Найдите $B D$ .

$B D^{2} = 2 (25 + 36) - 7 = 115$

$B D = 115$

вычесть $7^{2} = 49$ : $B D^{2} = 73$ , $B D = 73$

в) Боковая сторона трапеции $10$ , острый угол при основании $3 0^{\circ}$ . Найдите высоту.

$h = 1 0^{2} - 5^{2} = 53$

против $3 0^{\circ}$ лежит высота: $h = 5$ ; $53$ — проекция стороны

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Первый шаг верен (h² = 100 − 25), ошибка в упрощении корня: √75 = √(25·3) = 5√3. S = ½ · 10 · 5√3 = 25√3 (по формуле a²√3/4 = 100√3/4 = 25√3 ✓).
б) В теореме о диагоналях — квадраты: 2(25 + 36) = 122, BD² = 122 − 49 = 73.
в) «Нарисовал не тот катет»: высота — катет, противолежащий углу 30°, значит h = 10 : 2 = 5; найденное 5√3 — второй катет (проекция боковой стороны на основание). Правило: подписать на чертеже, против какого угла лежит катет.

R04.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаСторона квадрата $7$ . Диагональ? $72$
базаСторона равностороннего треугольника $6$ . Высота? $33$
базаДиагонали ромба $16$ и $30$ . Сторона? $17$

базаКатет против $3 0^{\circ}$ равен $5$ . Другой катет? $53$
базаПрямоугольник $9 \times 40$ . Диагональ? $41$
базаСтороны параллелограмма $3$ и $4$ , диагональ $5$ . Вторая диагональ? $5$

R04.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Равнобокая трапеция: основания $4$ и $12$ , острый угол $4 5^{\circ}$ . Найдите боковую сторону и диагональ. $42$ и $45$
повыш.Стороны параллелограмма $4$ и $7$ , одна диагональ на $2$ больше другой. Найдите диагонали. $7$ и $9$
повыш.Стороны треугольника $9$ , $13$ и $10$ . Найдите медиану, проведённую к стороне $10$ . $10$
из жизниЭкран телевизора $5 5^{''}$ ( $139, 7$ см), стороны $16 : 9$ . Найдите ширину и высоту экрана. $\approx 121, 8$ см и $68, 5$ см

2,5 мин · практика
1) Высоты из концов меньшего основания отсекают (12 − 4)/2 = 4; при угле 45° высота тоже 4; боковая √(16 + 16) = 4√2; диагональ — гипотенуза с катетами 4 и 12 − 4 = 8: √(16 + 64) = √80 = 4√5.
2) d² + (d + 2)² = 2(16 + 49) = 130 ⇒ 2d² + 4d − 126 = 0 ⇒ d² + 2d − 63 = 0 ⇒ d = 7 (d = −9 не подходит); диагонали 7 и 9.
3) m² = (2·81 + 2·169 − 100)/4 = 400/4 = 100, m = 10.
4) 16x и 9x: (16x)² + (9x)² = 337x² = 139,7² ⇒ x = 139,7/√337 ≈ 7,61; ширина ≈ 121,8 см, высота ≈ 68,5 см (калькулятор). Диагональ экрана измеряют в дюймах: 1″ = 2,54 см.

R04.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 17, 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны $7$ и $25$ . Найдите другой катет. $24$
ОГЭ 17Сторона ромба $10$ , одна из диагоналей $12$ . Найдите площадь ромба. $96$
ОГЭ 18На клетчатой бумаге с клетками $1 \times 1$ отмечены точки $A (1; 1)$ и $B (7; 9)$ . Найдите длину $A B$ . $10$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Диагональ квадрата в $2$ раз больше его стороны.
Высота равностороннего треугольника равна половине его стороны.

Ответ: 12

R04.1 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 25

Вторая часть: вычисление

ОГЭ 23 В трапеции $A BC D$ ( $A D ∥ BC$ ) $∠ A BC = 15 0^{\circ}$ , $∠ BC D = 13 5^{\circ}$ , $C D = 142$ . Найдите $A B$ .

$∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$ односторонние

$C K = 14$ $△ C KD$ равнобедренный, $C D = C K 2$

$B H = 14$ , $A B = 2 \cdot 14 = 28$

ОГЭ 25 Медианы $A A_{1}$ и $B B_{1}$ треугольника $A BC$ перпендикулярны, $BC = 6$ , $A C = 8$ . Найдите $A B$ .

$G A_{1} = x$ , $G B_{1} = y$ , $A G = 2 x$ , $BG = 2 y$

$4 y^{2} + x^{2} = 9$ , $4 x^{2} + y^{2} = 16$ ⇒ $x^{2} + y^{2} = 5$

$A B^{2} = 4 (x^{2} + y^{2}) = 20$ , $A B = 25$

2 мин · практика
23) ∠A = 180° − 150° = 30°, ∠D = 180° − 135° = 45° (односторонние при AD ∥ BC). Высоты BH = CK (расстояние между параллельными). В △CKD: CK = KD, CD = CK√2 ⇒ CK = 14. В △ABH катет BH против 30° ⇒ AB = 28. Ответ: 28.
25) G — точка пересечения медиан, делит их 2 : 1 (GEOM8U, R02). △BGA₁: BA₁² = BG² + GA₁² ⇒ 4y² + x² = 3² = 9. △AGB₁: AB₁² = 4x² + y² = 4² = 16. Сложим: 5(x² + y²) = 25 ⇒ x² + y² = 5. △AGB: AB² = 4x² + 4y² = 20, AB = 2√5. Тот же приём, что в демонстрации (сл. 12).
На уроке — план решения устно; оформление 25 полностью — ДЗ по желанию (2 балла: обоснование 2 : 1 и каждого применения Пифагора).

R04.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Сторона равностороннего треугольника $10$ . Найдите высоту. $53$
Сторона ромба $25$ , диагональ $14$ . Найдите другую диагональ. $48$
Стороны параллелограмма $6$ и $7$ , диагональ $7$ . Найдите другую диагональ. $11$
$∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ , высота $B H = 6$ . Найдите $A B$ и $A C$ . $62$ ; $6 + 23$

Вариант 2

Диагональ квадрата $8$ . Найдите сторону. $42$
Сторона ромба $17$ , диагональ $16$ . Найдите другую диагональ. $30$
Стороны параллелограмма $4$ и $7$ , диагональ $9$ . Найдите другую диагональ. $7$
$∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ C = 4 5^{\circ}$ , высота $B H = 4$ . Найдите $A B$ и $A C$ . $8$ ; $43 + 4$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Отношение сторон треугольника с углами $3 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ ?
Чему равна сумма квадратов диагоналей параллелограмма?
Как вывести формулу медианы?

Домашнее задание

Равнобокая трапеция: основания $5$ и $13$ , угол $6 0^{\circ}$ . Боковая сторона и высота?
Стороны параллелограмма $8$ и $9$ , диагональ $11$ . Другая диагональ?
* Медианы $A A_{1} ⊥ B B_{1}$ , $BC = 7$ , $A C = 9$ . Найдите $A B$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_teorema_pifagora.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы на вопросы: 1 : √3 : 2; 2(a² + b²); удвоить медиану до параллелограмма и применить теорему о диагоналях.
Ответы ДЗ: 1) (13 − 5)/2 = 4 — катет против 30° ⇒ боковая 8, высота √(64 − 16) = 4√3. 2) d² = 2(64 + 81) − 121 = 169, d = 13. 3) Как в ОГЭ 25: 4y² + x² = 3,5² = 12,25, 4x² + y² = 4,5² = 20,25 ⇒ 5(x² + y²) = 32,5, x² + y² = 6,5 ⇒ AB² = 26, AB = √26 (общая формула AB² = (BC² + AC²)/5).
Следующий урок — GEOM8U-071, практикум по применению теоремы Пифагора в практических задачах; затем обобщение по теме (GEOM8U-072).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-070 · Практикум: Теорема Пифагора

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии», 18 ч · урок 16/18 · тип П
Единицы → слайды	R04.1 «Теорема Пифагора» → 2, 4–22 · повторение R04.5 (GEOM8U-069) → 3, 5, 8
Результаты	ПР-9 (теорема Пифагора для геометрических и практических задач, модель, чертёж, длины) → 4–22
Вне урока	практические задачи — GEOM8U-071; пропорциональные отрезки — GEOM8U-067; обобщение — GEOM8U-072; теорема о диагоналях параллелограмма и формула медианы даны как ключевые задачи на теорему Пифагора (сл. 9–11)
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: теорема Пифагора

Сегодня вы научитесь

Видеть особые треугольники

Доказывать по теореме Пифагора

Строить модель

Решать задачи ОГЭ

Особые углы, корни и Пифагор

Найти сторону — или доказать прямой угол

Одна сторона — и все остальные по Пифагору

Углы 45∘ и 45∘

Углы 30∘ и 60∘

Равносторонний

Четыре шага к теореме Пифагора

Найти прямой угол

Обозначить

Записать Пифагора

Решить и проверить

Равносторонний треугольник и квадрат

Образец: △ABC — равносторонний, AB=8. Найдите высоту BH и площадь.

Сам

Проведите высоту — получите 45∘ и 30∘

Образец: ∠A=45∘, ∠C=30∘, BH⊥AC, BH=6. Найдите AB, BC, AC.

Сам: чертёж стройте сами

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма

Удвоим медиану — получим параллелограмм

Обратная задача: найдите диагональ

Образец: стороны параллелограмма 7 и 9, диагональ BD=8. Найдите AC.

Сам

Медианы к катетам 73​ и 52​. Найдите гипотенузу

Разность квадратов через общий катет

Образец: BH — высота △ABC, M∈BH. Докажите: MA2−MC2=BA2−BC2.

Сам: план и обоснования

Высота треугольника по клеткам

Образец: клетка 1×1, A(1;1), B(5;4), C(2;6). Найдите высоту CH.

Сам: нарисуйте в тетради

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Равносторонний △, сторона 10. Найдите площадь.

б) Стороны параллелограмма 5 и 6, AC=7. Найдите BD.

в) Боковая сторона трапеции 10, острый угол при основании 30∘. Найдите высоту.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-070 · Практикум: Теорема Пифагора

Углы $4 5^{\circ}$ и $4 5^{\circ}$

Углы $3 0^{\circ}$ и $6 0^{\circ}$

Образец: $△ A BC$ — равносторонний, $A B = 8$ . Найдите высоту $B H$ и площадь.

Проведите высоту — получите $4 5^{\circ}$ и $3 0^{\circ}$

Образец: $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ , $B H ⊥ A C$ , $B H = 6$ . Найдите $A B$ , $BC$ , $A C$ .

Образец: стороны параллелограмма $7$ и $9$ , диагональ $B D = 8$ . Найдите $A C$ .

Медианы к катетам $73$ и $52$ . Найдите гипотенузу

Образец: $B H$ — высота $△ A BC$ , $M \in B H$ . Докажите: $M A^{2} - M C^{2} = B A^{2} - B C^{2}$ .

Образец: клетка $1 \times 1$ , $A (1; 1)$ , $B (5; 4)$ , $C (2; 6)$ . Найдите высоту $C H$ .

а) Равносторонний $△$ , сторона $10$ . Найдите площадь.

б) Стороны параллелограмма $5$ и $6$ , $A C = 7$ . Найдите $B D$ .

в) Боковая сторона трапеции $10$ , острый угол при основании $3 0^{\circ}$ . Найдите высоту.