Теорема Пифагора и начала тригонометрии · урок 14 из 18

Практикум: синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM8U-068

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии» (18 ч), урок 14/18, единица R04.4. Тип урока — П (второй практикум по теме): теория — сводки, короткий вывод, демонстрация и одно свойство с доказательством.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка определений и тождеств 2,5 · углы на клетках 1,5 · сводка приёмов 2 · демонстрация 3 · свойство (отрезки при высоте) 2,5.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 15/17/18 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
По сравнению с GEOM8U-058 и GEOM8U-063 — новые типы: по тангенсу/котангенсу найти синус и косинус, доказательство тождеств, угол на клетках без стороны по сетке (прямой угол — по обратной теореме Пифагора), равные углы в двух треугольниках, синус через площадь, формулы AH = c·cos²A, BH = c·sin²A, высота башни по двум наблюдениям. Значения для 30°, 45°, 60° (GEOM8U-059, 064) уже известны и используются.
Если не успеваете: ОГЭ 24 и задание 3 «сам» на слайде 13 — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R04.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

По одной функции — все

в том числе по тангенсу и котангенсу; доказывать тождества

Находить угол на клетках

даже если ни одна сторона не идёт по сетке

Искать прямоугольный треугольник

высота, равные углы, площадь двумя способами (ПР-5)

Решать задачи

из жизни и ОГЭ 15, 17, 18, 23, 24 (ПР-11)

0,5 мин · теория
ПР-5: «…Доказывать и применять отношения пропорциональности в прямоугольных треугольниках».
ПР-11: «Применять полученные знания на практике – строить математические модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с применением подобия и тригонометрии (пользуясь, где необходимо, калькулятором)».
Виды деятельности ФРП R04: «Определять основные тригонометрические функции угла с помощью прямоугольного треугольника… Применять полученные знания и умения при решении практических задач».

повторение: GEOM8U-058, 064

Разминка · устно

Треугольник 8 – 15 – 17 и таблица значений

Найдите $sin A$ . $\frac{8}{17}$
Найдите $ctg A$ . $\frac{15}{8}$
Найдите $cos B$ . С чем совпал? $\frac{8}{17} = sin A$
$sin α = 0, 8$ . Найдите $cos α$ . $0, 6$
$tg 3 5^{\circ} \cdot ctg 3 5^{\circ} = ?$ $1$
$sin 3 0^{\circ} + cos 6 0^{\circ} = ?$ $1$
Гипотенуза $12$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Катет против $∠ A$ ? $6$

R04.4

Сводка · определения и тождества

Всё, что нужно сегодня, — на одном слайде

sin A = \frac{a}{c}

cos A = \frac{b}{c}

tg A = \frac{a}{b}

ctg A = \frac{b}{a}

sin^{2} A + cos^{2} A = 1

tg A = \frac{sin A}{cos A}

1 + tg^{2} A = \frac{1}{cos ^{2} A}

1 + ctg^{2} A = \frac{1}{sin ^{2} A}

Сегодня новое: тангенс известен — косинус находим через

1 + tg^{2} A

, а не через

sin^{2} + cos^{2}

.

R04.4

Образец → сам · по тангенсу — синус и косинус

Известен тангенс — найдите остальные

Образец: $tg A = 2, 4$ , угол $A$ острый. Найдите $cos A$ и $sin A$ .

$\frac{1}{cos ^{2} A} = 1 + 2, 4^{2} = 6, 76$ $1 + tg^{2} A = \frac{1}{cos ^{2} A}$

$cos A = \frac{1}{2 , 6} = \frac{5}{13}$ $cos A > 0$

$sin A = tg A \cdot cos A = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{12}{13}$

Проверка: катеты $12$ и $5$ , гипотенуза $13$ треугольник-модель

Сам ( $A$ — острый угол)

$ctg A = 0, 75$ . Найдите $sin A$ . $0, 8$
$tg A = 0, 5$ . Найдите $sin A \cdot cos A$ . $0, 4$
Докажите: $(sin A + cos A)^{2} +$ $+ (sin A - cos A)^{2} = 2$ . $2 sin^{2} A + 2 cos^{2} A = 2$

2,5 мин · практика
Образец: 2,4² = 5,76; 1 + 5,76 = 6,76 = 2,6². cos A = 1 : 2,6 = 5/13; sin A = 2,4 · 5/13 = 12/13. Проверка: (5/13)² + (12/13)² = 1 ✓. Второй способ — треугольник-модель: tg A = 12/5, катеты 12 и 5.
1) 1 + ctg²A = 1 + 0,5625 = 1,5625 = 1/sin²A ⇒ sin A = 1 : 1,25 = 0,8.
2) Углублённый уровень: cos²A = 1 : (1 + 0,25) = 0,8; sin A · cos A = tg A · cos²A = 0,5 · 0,8 = 0,4. Проверка моделью: катеты 1 и 2, гипотенуза √5: (1/√5)·(2/√5) = 2/5 ✓.
3) Раскрываем скобки: удвоенные произведения 2 sin A cos A взаимно уничтожаются, остаётся 2(sin²A + cos²A) = 2.

R04.4 · ОГЭ 18

Вывод · угол на клетчатой бумаге

Нужен прямоугольный треугольник с вершинами в узлах

1. Сторона угла идёт по сетке

$B H ⊥ O A$ : $sin ∠ A OB = \frac{B H}{OB} = \frac{4}{5}$

2. Ни одна сторона не по сетке

$20 + 5 = 25$ : $A B^{2} + B C^{2} = A C^{2} \Rightarrow ∠ B = 9 0^{\circ}$

$tg A = \frac{BC}{A B} = \frac{5}{20} = \frac{1}{2}$

R04.4 · ОГЭ 18

Образец → сам · клетчатая бумага

Сначала докажи прямой угол, потом считай

Образец: найдите $tg ∠ A CB$ .

$A B^{2} = 45$ , $B C^{2} = 5$ , $A C^{2} = 50$ по клеткам

$45 + 5 = 50 \Rightarrow ∠ B = 9 0^{\circ}$ теорема, обратная т. Пифагора

$tg ∠ A CB = \frac{A B}{BC} = \frac{45}{5} = 3$

Сам: отметьте точки в тетради

$A (0; 0)$ , $B (8; 0)$ , $C (5; 4)$ . Найдите $sin ∠ A BC$ . $0, 8$
$A (0; 0)$ , $B (3; 1)$ , $C (1; 7)$ . Найдите $tg ∠ B A C$ . $2$
$A (0; 0)$ , $B (3; 3)$ , $C (1; 5)$ . Найдите $tg ∠ A CB$ и $S_{A BC}$ . $1, 5$ и $6$

R04.4

Сводка · приёмы

Нет прямоугольного треугольника — где его взять

1. Провести высоту

В треугольнике, трапеции, параллелограмме высота даёт прямоугольные треугольники с общим катетом.

2. Равные углы — равные значения

Один угол в двух треугольниках (накрест лежащие, $∠ BC H = ∠ A$ ): приравниваем $cos$ или $tg$ — получаем уравнение.

3. Площадь двумя способами

$S = a \cdot h$ даёт высоту, а высота — синус:

$sin A = \frac{h}{b}$

4. Клетки

Прямой угол — по теореме, обратной теореме Пифагора: $A B^{2} + B C^{2} = A C^{2}$ .

R04.4 · ОГЭ 23

Демонстрация · учитель решает

Один угол в двух треугольниках

Дано:

A BC D

— трапеция,

A D ∥ BC

,

∠ A = 9 0^{\circ}

,

A C ⊥ C D

,

BC = 9

,

A D = 25

. Найти:

cos ∠ C A D

,

A B

,

tg D

.

1

∠ BC A = ∠ C A D

накрест лежащие,

BC ∥ A D

, секущая

A C

2

cos ∠ BC A = \frac{BC}{A C}

,

cos ∠ C A D = \frac{A C}{A D}

△ A BC

и

△ A C D

— прямоугольные

3

A C^{2} = 9 \cdot 25

,

A C = 15

,

cos ∠ C A D = 0, 6

приравняли косинусы равных углов

4

A B = 12

,

C D = 20

,

tg D = \frac{A C}{C D} = 0, 75

теорема Пифагора в

△ A BC

и

△ A C D

R04.4 · ОГЭ 17

Образец → сам · синус через площадь

Площадь двумя способами

Образец: диагонали ромба $16$ и $12$ . Найдите синус острого угла ромба.

$a = 8^{2} + 6^{2} = 10$ , $S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 96$ диагонали ⟂, делятся пополам

$B H = \frac{S}{A D} = 9, 6$ , $sin A = \frac{B H}{A B} = 0, 96$ $△ A B H$

Сам

Параллелограмм: стороны $5$ и $8$ , $S = 20$ . Найдите острый угол. $3 0^{\circ}$
Диагонали ромба $10$ и $24$ . Найдите синус угла ромба. $\frac{120}{169}$
$S_{△ A BC} = 84$ , $A B = 13$ , $BC = 14$ , $∠ B$ острый. Найдите $sin B$ . $\frac{12}{13}$

R04.4 · R04.3

Свойство · доказательство

Отрезки при высоте к гипотенузе через угол $A$

Дано:

∠ C = 9 0^{\circ}

,

C H

— высота,

A B = c

. Доказать:

A H = c cos^{2} A

,

B H = c sin^{2} A

,

C H = c sin A cos A

.

1

A C = c cos A

,

BC = c sin A

△ A BC

2

A H = A C cos A = c cos^{2} A

△ A C H

:

A C

— гипотенуза

3

B H = BC sin A = c sin^{2} A

△ BC H

:

∠ BC H = ∠ A

4

C H = A C sin A = c sin A cos A

△ A C H

:

C H

против

∠ A

R04.4 · R04.3 · ОГЭ 24

Образец → сам · задача на доказательство

Пропорциональные отрезки — через тангенс

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота. Докажите: $C H^{2} = A H \cdot B H$ .

$tg A = \frac{C H}{A H}$ $△ A C H$

$tg ∠ BC H = \frac{B H}{C H}$ , $∠ BC H = ∠ A$ $△ BC H$

$\frac{C H}{A H} = \frac{B H}{C H} \Rightarrow C H^{2} = A H \cdot B H$

Сам: план и обоснования

Докажите: $A C^{2} = A B \cdot A H$ . $cos A = \frac{A C}{A B} = \frac{A H}{A C}$
Докажите: $\frac{A H}{B H} = ctg^{2} A$ . $\frac{c cos ^{2} A}{c sin ^{2} A}$
$tg A = 2$ , $A B = 20$ . Найдите $A H$ , $B H$ , $C H$ . $4$ , $16$ , $8$

R04.4 · ПР-11

Образец → сам · задача из жизни

Высота башни по двум наблюдениям

Образец: из $A$ вершина видна под углом $α$ , $tg α = 0, 4$ ; из $B$ — под углом $β$ , $tg β = 1$ . Найдите $h$ .

$A P = h ctg α = 2, 5 h$ , $BP = h ctg β = h$ через $ctg$

$2, 5 h - h = 30 \Rightarrow h = 20$ м $A P - BP = A B$

Сам

То же: $d = 12$ м, $tg α = 0, 5$ , $tg β = 0, 75$ . Найдите $h$ . $18$ м
Дерево $T$ на том берегу напротив точки $A$ . Прошли вдоль берега $A B = 40$ м, $tg ∠ A BT = 0, 75$ . Ширина реки? $30$ м
Как в образце: $d = 40$ м, $α = 3 0^{\circ}$ , $β = 6 0^{\circ}$ . $203 \approx 34, 6$ м

2,5 мин · практика
Модель: башня PQ ⟂ земле; △APQ и △BPQ прямоугольные с общим катетом h. Расстояние до башни неизвестно (её основание недоступно) — поэтому два наблюдения. Так измеряли высоты гор и башен геодезисты.
Образец: ctg α = 1 : 0,4 = 2,5; ctg β = 1. 1,5h = 30 ⇒ h = 20 м. Проверка: AP = 50, BP = 20, tg α = 20/50 = 0,4 ✓.
1) ctg α = 2, ctg β = 4/3; h · (2 − 4/3) = 12 ⇒ h = 18 м (AP = 36, BP = 24).
2) △ABT, ∠A = 90°: AT = AB · tg ∠ABT = 40 · 0,75 = 30 м.
3) h(ctg 30° − ctg 60°) = 40: h(√3 − √3/3) = 40 ⇒ h · 2√3/3 = 40 ⇒ h = 60/√3 = 20√3 ≈ 34,6 м.

R04.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$cos^{2} A = 1 + tg^{2} A$	перевёрнута дробь: $cos A$ вышел бы больше 1	$cos^{2} A = \frac{1}{1 + tg ^{2} A}$
$C H$ — высота, $A H = A B cos A$	$A B cos A$ — это катет $A C$ , а не отрезок	$A H = A C cos A = A B cos^{2} A$
ромб: $S = a^{2} cos A$	высота ромба — катет против угла $A$	$h = a sin A$ , $S = a^{2} sin A$
клетки: $tg A = \frac{BC}{A B}$ в любом треугольнике	«на рисунке видно» — прямой угол не доказан	сначала $A B^{2} + B C^{2} = A C^{2}$

R04.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $tg A = 0, 75$ . Найдите $sin A$ .

$1 + 0, 7 5^{2} = \frac{1}{sin ^{2} A}$

$sin^{2} A = 0, 64$ , $sin A = 0, 8$

$1 + tg^{2} A = \frac{1}{cos ^{2} A}$

$cos A = 0, 8$ , $sin A = 0, 6$

б) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A B = 25$ , $cos A = 0, 8$ . Найдите $A H$ .

$A H = A B cos A$

$A H = 25 \cdot 0, 8 = 20$

$25 \cdot 0, 8 = A C = 20$

$A H = A C cos A = 16$

в) Башня: $d = 20$ м, $tg α = 0, 5$ , $tg β = 1$ . Найдите $h$ .

$h = 20 \cdot 1 - 20 \cdot 0, 5$

$h = 10$ м

$A P = 2 h$ , $BP = h$

$2 h - h = 20$ , $h = 20$ м

R04.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте ( $A$ — острый угол)

база $tg A = 0, 75$ . Найдите $cos A$ . $0, 8$
база $ctg A = 2, 4$ . Найдите $sin A$ . $\frac{5}{13}$
база $sin^{2} A + sin^{2} (9 0^{\circ} - A) = ?$ $1$

база $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A B = 50$ , $cos A = 0, 6$ . Найдите $A H$ . $18$
базаТе же данные. Найдите $C H$ . $24$
базаРомб: сторона $10$ , $S = 60$ . Найдите синус острого угла. $0, 6$

R04.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Трапеция $A BC D$ : $A D ∥ BC$ , $∠ A = 9 0^{\circ}$ , $A C ⊥ C D$ , $BC = 16$ , $A D = 25$ . Найдите $cos ∠ C A D$ и $A B$ . $0, 8$ и $12$
повыш.Параллелограмм: $A B = 6$ , $A D = 10$ , $S = 48$ . Найдите меньшую диагональ. $8$
доказ.Докажите: $\frac{sin A}{1 + cos A} = \frac{1 - cos A}{sin A}$ . $sin^{2} A = (1 - cos A) (1 + cos A)$
из жизниИз окна на высоте $12$ м основание дома напротив видно под углом с $tg = 0, 4$ вниз, а крыша — под углом с $tg = 0, 6$ вверх. Высота дома? $30$ м

R04.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 17 и 18

Ответ — одно число

ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ угол $C$ равен $9 0^{\circ}$ , $A B = 40$ , $tg A = 0, 75$ . Найдите $A C$ . $32$
ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ угол $C$ прямой, $C H$ — высота, $A B = 32$ , $sin A = 0, 75$ . Найдите $B H$ . $18$
ОГЭ 17Стороны параллелограмма $5$ и $16$ , площадь $40$ . Найдите его острый угол в градусах. $30$

ОГЭ 18 Найдите $tg ∠ A OB$ .

Ответ: 3

R04.4 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 В треугольнике $A BC$ угол $C$ прямой, $C H$ — высота, $C H = 12$ , $tg A = 0, 75$ . Найдите $A B$ .

$A H = \frac{C H}{tg A} = 16$ $△ A C H$

$B H = C H tg A = 9$ $∠ BC H = ∠ A$

$A B = 16 + 9 = 25$

ОГЭ 24 В остроугольном $△ A BC$ проведены высоты $A A_{1}$ и $B B_{1}$ . Докажите: $C A_{1} \cdot BC = C B_{1} \cdot A C$ .

$△ A A_{1} C$ : $C A_{1} = A C cos C$

$△ B B_{1} C$ : $C B_{1} = BC cos C$

обе части равны $A C \cdot BC cos C$

2 мин · практика
23) △ACH прямоугольный (∠H = 90°): tg A = CH/AH ⇒ AH = 12 : 0,75 = 16. ∠BCH = 90° − ∠B = ∠A ⇒ в △BCH: BH = CH · tg ∠BCH = 12 · 0,75 = 9. AB = 25. Проверка: CH² = 144 = 16 · 9 ✓.
24) Треугольник остроугольный ⇒ основания высот лежат на сторонах. В прямоугольных △AA₁C и △BB₁C общий острый угол C. Отсюда CA₁/CB₁ = AC/BC — то есть △A₁B₁C ~ △ABC (по двум сторонам и углу между ними) — так эту задачу часто продолжают на ОГЭ.
Критерии ОГЭ 24: 2 балла — доказательство верное, все шаги обоснованы (указаны прямоугольные треугольники и общий угол).

R04.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$tg A = 0, 75$ ( $A$ — острый). Найдите $sin A$ . $0, 6$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A B = 25$ , $sin A = 0, 6$ . Найдите $B H$ . $9$
Параллелограмм: стороны $4$ и $10$ , $S = 32$ . Найдите синус острого угла. $0, 8$
$A (0; 0)$ , $B (6; 0)$ , $C (2; 4)$ . Найдите $tg ∠ A BC$ . $1$

Вариант 2

$ctg A = 0, 75$ ( $A$ — острый). Найдите $cos A$ . $0, 6$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A B = 50$ , $cos A = 0, 8$ . Найдите $A H$ . $32$
Параллелограмм: стороны $6$ и $10$ , $S = 30$ . Найдите острый угол. $3 0^{\circ}$
$A (0; 0)$ , $B (8; 0)$ , $C (6; 3)$ . Найдите $tg ∠ A BC$ . $1, 5$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по тангенсу найти косинус?
Где взять прямоугольный треугольник, если его нет на чертеже?
Как на клетках доказать, что угол прямой?

Домашнее задание

$tg A = \frac{15}{8}$ . Найдите $sin A$ и $cos A$ .
Трапеция: $A D ∥ BC$ , $∠ A = 9 0^{\circ}$ , $A C ⊥ C D$ , $BC = 4$ , $A D = 16$ . Найдите углы трапеции.
* Докажите: $\frac{A H}{B H} = \frac{A C ^{2}}{B C ^{2}}$ ( $C H$ — высота к гипотенузе).
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_sootnosheniya_v_pryamougolnom_treugolnike.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-068 · Практикум: синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии», 18 ч · урок 14/18 · тип П
Единицы → слайды	R04.4 «Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника» → 2–21 · повторение GEOM8U-058, 064 → 3 · связь с R04.3 → 11, 12
Результаты	ПР-5 (отношения в прямоугольных треугольниках) → 4–12, 14–20 · ПР-11 (практические задачи с тригонометрией) → 13, 17
Вне урока	практикум по 30°, 45°, 60° — GEOM8U-069; подобие △A₁B₁C и △ABC (ОГЭ 24) — продолжение в 9 классе
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника

Сегодня вы научитесь

По одной функции — все

Находить угол на клетках

Искать прямоугольный треугольник

Решать задачи

Треугольник 8 – 15 – 17 и таблица значений

Всё, что нужно сегодня, — на одном слайде

Известен тангенс — найдите остальные

Образец: tgA=2,4, угол A острый. Найдите cosA и sinA.

Сам (A — острый угол)

Нужен прямоугольный треугольник с вершинами в узлах

1. Сторона угла идёт по сетке

2. Ни одна сторона не по сетке

Сначала докажи прямой угол, потом считай

Образец: найдите tg∠ACB.

Сам: отметьте точки в тетради

Нет прямоугольного треугольника — где его взять

1. Провести высоту

2. Равные углы — равные значения

3. Площадь двумя способами

4. Клетки

Один угол в двух треугольниках

Площадь двумя способами

Образец: диагонали ромба 16 и 12. Найдите синус острого угла ромба.

Сам

Отрезки при высоте к гипотенузе через угол A

Пропорциональные отрезки — через тангенс

Образец: ∠C=90∘, CH — высота. Докажите: CH2=AH⋅BH.

Сам: план и обоснования

Высота башни по двум наблюдениям

Образец: из A вершина видна под углом α, tgα=0,4; из B — под углом β, tgβ=1. Найдите h.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) tgA=0,75. Найдите sinA.

б) ∠C=90∘, CH — высота, AB=25, cosA=0,8. Найдите AH.

в) Башня: d=20 м, tgα=0,5, tgβ=1. Найдите h.

Решите и проверьте (A — острый угол)

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 18 Найдите tg∠AOB.

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 В треугольнике ABC угол C прямой, CH — высота, CH=12, tgA=0,75. Найдите AB.

ОГЭ 24 В остроугольном △ABC проведены высоты AA1​ и BB1​. Докажите: CA1​⋅BC=CB1​⋅AC.

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-068 · Практикум: синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла

Образец: $tg A = 2, 4$ , угол $A$ острый. Найдите $cos A$ и $sin A$ .

Сам ( $A$ — острый угол)

Образец: найдите $tg ∠ A CB$ .

Образец: диагонали ромба $16$ и $12$ . Найдите синус острого угла ромба.

Отрезки при высоте к гипотенузе через угол $A$

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота. Докажите: $C H^{2} = A H \cdot B H$ .

Образец: из $A$ вершина видна под углом $α$ , $tg α = 0, 4$ ; из $B$ — под углом $β$ , $tg β = 1$ . Найдите $h$ .

а) $tg A = 0, 75$ . Найдите $sin A$ .

б) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A B = 25$ , $cos A = 0, 8$ . Найдите $A H$ .

в) Башня: $d = 20$ м, $tg α = 0, 5$ , $tg β = 1$ . Найдите $h$ .

Решите и проверьте ( $A$ — острый угол)

ОГЭ 18 Найдите $tg ∠ A OB$ .

ОГЭ 23 В треугольнике $A BC$ угол $C$ прямой, $C H$ — высота, $C H = 12$ , $tg A = 0, 75$ . Найдите $A B$ .

ОГЭ 24 В остроугольном $△ A BC$ проведены высоты $A A_{1}$ и $B B_{1}$ . Докажите: $C A_{1} \cdot BC = C B_{1} \cdot A C$ .