Теорема Пифагора и начала тригонометрии · урок 13 из 18 · практикум

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень · практикум
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM8U-067

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии» (18 ч), урок 13/18, единица R04.3. Тип урока — П (практикум, второй по этой единице): теория только сводкой, двумя короткими свойствами и демонстрацией.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка 2 · свойство «отрезки через угол» 2,5 · свойство «высота и медиана» 2,5 · из истории 1 · демонстрация 3.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2 + 3 + 2,5 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2 · повышенный 2,5 · ОГЭ 15/19 — 1,5 · ОГЭ 23/25 — 1,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
По сравнению с GEOM8U-057 (теоремы) и GEOM8U-062 (первый практикум: периметры и площади частей, обратная теорема, построение √pq, ромб и трапеция, арка) — новые типы: отрезки через синус и косинус (уроки 058–059 уже пройдены), высота и медиана, неравенство о средних и задачи на наибольшее значение, биссектриса прямого угла, квадратное уравнение, измерение высоты угольником.
Если не успеваете: «Из истории» — 30 секунд, образец «высота дерева» (сл. 14) — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.
На титуле: точка C на полуокружности, высота и медиана (пунктир) из вершины прямого угла — главные герои урока.

R04.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Считать через угол

отрезки гипотенузы и высоту по гипотенузе и острому углу (ПР-5)

Связывать высоту и медиану

решать задачи на наибольшее значение

Доказывать

свойства биссектрисы, высоты и медианы прямого угла (ПР-5)

Строить модели

уравнения, задачи ОГЭ 23 и 25, высота дерева (ПР-11)

0,5 мин · теория
ПР-5: «…Доказывать и применять отношения пропорциональности в прямоугольных треугольниках».
ПР-11: «Применять полученные знания на практике – строить математические модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с применением подобия и тригонометрии (пользуясь, где необходимо, калькулятором)».
Вид деятельности ФРП R04: «Доказывать соотношения между пропорциональными отрезками в прямоугольном треугольнике и применять их при решении геометрических задач».

повторение: R04.3–R04.5

Разминка · устно

Высота, медиана и тригонометрия

$cos 3 0^{\circ} = ?$ $\frac{3}{2}$
$sin^{2} 4 5^{\circ} = ?$ $\frac{1}{2}$
$A B = 18$ . Найдите $CM$ . $9$
$A H = 4$ , $H B = 9$ . Найдите $C H$ . $6$
$∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $∠ BC H$ . $3 0^{\circ}$
$A B = 10$ , $A C = 6$ . Найдите $A H$ . $3, 6$
Подберите: $x (10 - x) = 16$ . $2$ и $8$

R04.3

Сводка · пропорциональные отрезки

Шесть величин и пять формул

Что	Формула
высота	$h^{2} = a_{c} b_{c}$ , $h = \frac{ab}{c}$
катеты	$a^{2} = c a_{c}$ , $b^{2} = c b_{c}$
проекции	$a_{c} : b_{c} = a^{2} : b^{2}$
откуда	$△ A C H \sim △ CB H \sim △ A BC$

2 мин · теория
Сводка по урокам GEOM8U-057 и 062 — без доказательств. Цвет: катет и его проекция — один цвет (BC = a и HB = a_c — бирюзовый; AC = b и AH = b_c — синий), высота — розовая.
Вопрос классу: какой отрезок — проекция катета AC? (AH — прилежащий к катету.) Из каких подобных треугольников получается каждая формула?
Правило практикума: найдите две известные величины в одной формуле; если их нет — сначала Пифагор в маленьком треугольнике или уравнение.

R04.3 · R04.4

Свойство · доказательство

Отрезки гипотенузы через угол

Дано:

∠ C = 9 0^{\circ}

,

C H ⊥ A B

,

A B = c

,

∠ A = α

.
Доказать:

A H = c cos^{2} α

,

H B = c sin^{2} α

,

C H = c sin α cos α

.

1

A C = c cos α

,

BC = c sin α

определения в

△ A BC

2

A H = A C cos α = c cos^{2} α

△ A C H

: угол

A

тот же

3

∠ BC H = α

⇒

H B = BC sin α = c sin^{2} α

∠ BC H = 9 0^{\circ} - ∠ B = ∠ A

4

C H = A C sin α = c sin α cos α

,

\frac{A H}{H B} = ctg^{2} α

R04.3 · R04.5

Образец → сам · отрезки через угол

Гипотенуза и острый угол — всё остальное

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 20$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $A H$ , $H B$ , $C H$ .

$A H = 20 \cdot (\frac{3}{2})^{2} = 15$ $c cos^{2} α$

$H B = 20 \cdot (\frac{1}{2})^{2} = 5$ $c sin^{2} α$

$C H = 15 \cdot 5 = 53$ проверка: $c sin α cos α$

Сам ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H ⊥ A B$ )

$A B = 12$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A H$ . $3$
$A B = 18$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите $C H$ . $9$
$A B = 15$ , $tg A = 2$ . Найдите $A H$ и $H B$ . $3$ и $12$

R04.3

Свойство · доказательство

Высота не больше медианы: $pq \leq \frac{p + q}{2}$

Дано:

∠ C = 9 0^{\circ}

,

C H

— высота,

CM

— медиана,

A H = p

,

H B = q

.
Доказать:

pq \leq \frac{p + q}{2}

.

1

CM = A M = MB = \frac{p + q}{2}

медиана к гипотенузе равна её половине

2

C H = pq

теорема о высоте

3

C H \leq CM

, равенство ⇔

H = M

перпендикуляр не длиннее наклонной

4

H M = \frac{∣ p - q ∣}{2}

,

C H^{2} + H M^{2} = C M^{2}

H M = ∣ A M - A H ∣

; Пифагор в

△ C H M

R04.3

Образец → сам · высота и медиана

По $C H$ и $CM$ — отрезки гипотенузы

Образец: $C H = 12$ , $CM = 13$ , $A H < H B$ . Найдите $A H$ и $H B$ .

$H M = 1 3^{2} - 1 2^{2} = 5$ Пифагор в $△ C H M$

$A M = MB = 13$ ⇒ $A H = 13 - 5 = 8$ , $H B = 18$

проверка: $8 \cdot 18 = 12$ ✓ теорема о высоте

Сам

$CM = 5$ , $C H = 4, 8$ . Найдите меньший отрезок гипотенузы. $3, 6$
$A H = 2$ , $H B = 8$ . Найдите $CM$ и $H M$ . $5$ и $3$
$C H = 6$ , $H M = 2, 5$ . Найдите $A B$ . $13$

R04.3

Образец → сам · задача на наибольшее значение

Какой треугольник «самый высокий»?

Образец: гипотенуза $10$ . Какая наибольшая площадь у прямоугольного треугольника?

$S = \frac{c \cdot h}{2} = 5 h$ высота к гипотенузе

$h \leq CM = 5$ ⇒ $S \leq 25$ равенство — равнобедренный

Сам

Гипотенуза $8$ . Наибольшая площадь? $16$
Может ли высота к гипотенузе $10$ быть равна $6$ ? нет: $h \leq 5$
Площадь прямоугольника $49$ . Наименьший периметр? $28$ (квадрат $7 \times 7$ )

R04 · история

Из истории геометрии

Среднее пропорциональное у Евклида

пифагорейцытри средних: арифметическое, геометрическое, гармоническое

Евклид, VI.13«Начала»: по двум отрезкам построить средний пропорциональный

Евклид, II.14построить квадрат, равновеликий данному прямоугольнику

x = pq

— сторона квадрата, равновеликого прямоугольнику

p \times q

R04.3 · ОГЭ 25

Демонстрация · учитель решает

Высота, биссектриса, медиана — из одной вершины

∠ C = 9 0^{\circ}

,

C H

— высота,

C L

— биссектриса,

A H = 9

,

H B = 16

. Найдите

H L

.

1

A B = 25

,

A C = 25 \cdot 9 = 15

,

BC = 25 \cdot 16 = 20

катет — среднее пропорциональное

2

A L : L B = A C : BC = 3 : 4

свойство биссектрисы треугольника

3

A L = 25 \cdot \frac{3}{7} = \frac{75}{7}

4

H L = \frac{75}{7} - 9 = \frac{12}{7}

H

между

A

и

L

:

9 < \frac{75}{7}

R04.3

Образец → сам · задача на доказательство

Биссектриса делит угол между высотой и медианой

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C < BC$ . Докажите: $C L$ — биссектриса $∠ H CM$ .

$∠ A C H = ∠ B$ оба равны $9 0^{\circ} - ∠ A$

$∠ BCM = ∠ B$ $CM = MB$

$∠ H C L = 4 5^{\circ} - ∠ B = ∠ L CM$ $∠ A C L = ∠ BC L = 4 5^{\circ}$

Сам

$∠ A = 4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ H CM$ . $1 0^{\circ}$
$∠ H CM = 2 0^{\circ}$ . Найдите острые углы. $3 5^{\circ}$ и $5 5^{\circ}$
Докажите: $∠ A C H = ∠ BCM$ . оба равны $∠ B$

R04.3

Образец → сам · составляем уравнение

Данные не стоят в одной формуле

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 25$ , $C H = 12$ , $A H < H B$ . Найдите $A H$ , $H B$ и катеты.

$A H = x$ : $x (25 - x) = 144$ $h^{2} = a_{c} b_{c}$

$x^{2} - 25 x + 144 = 0$ , $x = 9$ или $x = 16$

$A H = 9$ , $H B = 16$ $A H < H B$

$A C = 25 \cdot 9 = 15$ , $BC = 25 \cdot 16 = 20$

Сам

$A B = 10$ , $C H = 4, 8$ . Найдите $A H$ и $H B$ . $3, 6$ и $6, 4$
$C H = 6$ , $H B - A H = 5$ . Найдите $A B$ . $13$
$A C = 12$ , $H B = 7$ . Найдите $A B$ . $16$

R04.3 · ПР-11

Образец → сам · задача из жизни

Высота дерева — угольником

Образец: глаз — на высоте $1, 5$ м, до ствола $4, 5$ м; по сторонам угольника видны верхушка $T$ и основание $F$ .

$∠ TEF = 9 0^{\circ}$ , $E K ⊥ TF$

$E K^{2} = T K \cdot K F$

$T K = \frac{4 , 5 ^{2}}{1 , 5} = 13, 5$

$TF = 13, 5 + 1, 5 = 15$ м

Сам

Глаз на высоте $1, 6$ м, до ствола $4$ м. Высота дерева? $11, 6$ м
Дерево $7, 5$ м, глаз на высоте $1, 5$ м. На каком расстоянии встать? $3$ м
Зачем угольнику прямой угол? иначе $E K$ — не высота к гипотенузе

R04.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$A H = A B cos A$	$A B cos A$ — это катет $A C$ , а $A H$ — его проекция	$A H = A C cos A = A B cos^{2} A$
$A H : H B = ctg A$	отрезки гипотенузы — как квадраты катетов	$A H : H B = ctg^{2} A$
$∠ A C H = ∠ A$	$∠ A C H$ дополняет $∠ A$ до $9 0^{\circ}$	$∠ A C H = ∠ B$
$pq = \frac{p + q}{2}$	высота короче медианы, если $p \neq = q$	$pq \leq \frac{p + q}{2}$

R04.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик? ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H ⊥ A B$ )

а) $A B = 12$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A H$ .

$A H = A B cos 6 0^{\circ} = 6$

$A C = 6$ — это катет; $A H = A C cos 6 0^{\circ} = 3$

б) $CM = 10$ , $C H = 8$ , $A H < H B$ . Найдите $A H$ .

$H M = 100 - 64 = 6$

$A H = H M = 6$

$A H = A M - H M = 10 - 6 = 4$ ( $4 \cdot 16 = 64$ ✓)

в) «Докажем»: $∠ A C H \neq = ∠ BCM$ .

$∠ A C H = ∠ A$ , $∠ BCM = ∠ B$ , а $∠ A \neq = ∠ B$

$∠ A C H = 9 0^{\circ} - ∠ A = ∠ B$ ⇒ углы равны

R04.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Везде $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $CM$ — медиана.

база $A B = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A H$ . $2$
база $A B = 16$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $H B$ . $4$
база $A B = 26$ , $C H = 12$ . Найдите $H M$ . $5$

базаГипотенуза $14$ . Наибольшая высота к ней? $7$
база $∠ A = 2 5^{\circ}$ . Найдите $∠ H CM$ . $4 0^{\circ}$
база $A H = 1$ , $H B = 9$ . Найдите $CM$ и $H M$ . $5$ и $4$

R04.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 20$ , $A H : H B = 1 : 3$ . Найдите $∠ A$ . $6 0^{\circ}$
повыш.Высота к гипотенузе $12$ , медиана $12, 5$ . Найдите катеты. $15$ и $20$
повыш. $∠ A C H : ∠ H CB = 1 : 2$ , $A B = 12$ . Найдите $A H$ . $3$
повыш.Гипотенуза $12$ , площадь $36$ . Найдите острые углы. $4 5^{\circ}$ и $4 5^{\circ}$

R04.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ угол $C$ равен $9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A B = 13$ , $tg A = 5$ . Найдите $B H$ . $12, 5$
ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ угол $C$ равен $9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A B = 27$ , $cos A = \frac{2}{3}$ . Найдите $A H$ . $12$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, не больше половины гипотенузы.
Отрезки, на которые высота делит гипотенузу, относятся как прилежащие к ним катеты.
Высота и медиана, проведённые к гипотенузе, могут совпадать.

Ответ: 13

R04.3 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 25

Вторая часть: решение с обоснованием

ОГЭ 23 В прямоугольном треугольнике $A BC$ с прямым углом $C$ медиана $CM = 25$ , высота $C H = 24$ . Найдите меньший катет.

$H M = 2 5^{2} - 2 4^{2} = 7$ , $A B = 50$

меньший отрезок $25 - 7 = 18$

катет $50 \cdot 18 = 30$

ОГЭ 25 Высота $C H$ и медиана $CM$ делят прямой угол $C$ треугольника $A BC$ на три равные части, $A B = 20$ . Найдите $C H$ .

$∠ A C H = 3 0^{\circ} = ∠ B$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$

$C H = 20 sin 6 0^{\circ} cos 6 0^{\circ} = 53$

1,5 мин · практика
23) Медиана к гипотенузе — половина гипотенузы: AB = 50. Пифагор в △CHM: HM = 7. Меньший отрезок AH = AM − HM = 18, больший 32 (18 · 32 = 576 = 24² ✓). Меньший катет прилежит к меньшему отрезку: √(50 · 18) = 30 (больший — 40). Ответ: 30.
25) Каждая часть 30°. ∠ACH = 30° ⇒ ∠A = 60°, ∠B = 30°. Проверка условия: ∠BCM = ∠B = 30° (CM = MB) ✓, ∠HCM = 90° − 60° = 30° ✓. CH = AB · sin A · cos A = 20 · (√3/2) · ½ = 5√3. Другой путь: AC = 10, AH = 5, CH = √(100 − 25) = 5√3.
На уроке — план решения устно; полную запись 25 с обоснованиями — в ДЗ по желанию.

R04.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Везде $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $CM$ — медиана.

Вариант 1

$A B = 24$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A H$ . $6$
$CM = 5$ , $C H = 4$ , $A H < H B$ . Найдите $A H$ . $2$
$∠ A = 3 5^{\circ}$ . Найдите $∠ H CM$ . $2 0^{\circ}$
$A B = 13$ , $C H = 6$ , $A H < H B$ . Найдите $A H$ . $4$

Вариант 2

$A B = 28$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $H B$ . $7$
$CM = 13$ , $C H = 5$ , $A H < H B$ . Найдите $A H$ . $1$
$∠ H CM = 3 0^{\circ}$ . Найдите меньший острый угол. $3 0^{\circ}$
$A B = 20$ , $C H = 8$ , $A H < H B$ . Найдите $A H$ . $4$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти $A H$ по $A B$ и $∠ A$ ?
Почему высота к гипотенузе не больше её половины?
Чему равен $∠ H CM$ ?

Домашнее задание

$A B = 32$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $A H$ , $H B$ , $C H$ .
$CM = 17$ , $C H = 15$ . Найдите отрезки гипотенузы.
* Докажите $pq \leq \frac{p + q}{2}$ алгебраически.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_primenenie_podobiya_03.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-067 · Практикум: пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии», 18 ч · урок 13/18 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R04.3 «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике» → 2, 4–22 · R04.4–R04.5 (тригонометрия) → 3, 5, 6, 19, 20 · повторение R04.3–R04.5 → 3
Результаты	ПР-5 (доказывать и применять отношения пропорциональности в прямоугольных треугольниках) → 4–21; ПР-11 (математические модели задач реальной жизни) → 9, 14
Вне урока	теоремы о высоте и катете — GEOM8U-057; периметры и площади частей, обратная теорема, построение √pq — GEOM8U-062; вписанные углы — R05
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Сегодня вы научитесь

Считать через угол

Связывать высоту и медиану

Доказывать

Строить модели

Высота, медиана и тригонометрия

Шесть величин и пять формул

Отрезки гипотенузы через угол

Гипотенуза и острый угол — всё остальное

Образец: ∠C=90∘, AB=20, ∠A=30∘. Найдите AH, HB, CH.

Сам (∠C=90∘, CH⊥AB)

Высота не больше медианы: pq​≤2p+q​

По CH и CM — отрезки гипотенузы

Образец: CH=12, CM=13, AH<HB. Найдите AH и HB.

Сам

Какой треугольник «самый высокий»?

Образец: гипотенуза 10. Какая наибольшая площадь у прямоугольного треугольника?

Сам

Среднее пропорциональное у Евклида

Высота, биссектриса, медиана — из одной вершины

Биссектриса делит угол между высотой и медианой

Образец: ∠C=90∘, AC<BC. Докажите: CL — биссектриса ∠HCM.

Сам

Данные не стоят в одной формуле

Образец: ∠C=90∘, AB=25, CH=12, AH<HB. Найдите AH, HB и катеты.

Сам

Высота дерева — угольником

Образец: глаз — на высоте 1,5 м, до ствола 4,5 м; по сторонам угольника видны верхушка T и основание F.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик? (∠C=90∘, CH⊥AB)

а) AB=12, ∠A=60∘. Найдите AH.

б) CM=10, CH=8, AH<HB. Найдите AH.

в) «Докажем»: ∠ACH=∠BCM.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: решение с обоснованием

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-067 · Практикум: пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 20$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $A H$ , $H B$ , $C H$ .

Сам ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H ⊥ A B$ )

Высота не больше медианы: $pq \leq \frac{p + q}{2}$

По $C H$ и $CM$ — отрезки гипотенузы

Образец: $C H = 12$ , $CM = 13$ , $A H < H B$ . Найдите $A H$ и $H B$ .

Образец: гипотенуза $10$ . Какая наибольшая площадь у прямоугольного треугольника?

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C < BC$ . Докажите: $C L$ — биссектриса $∠ H CM$ .

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 25$ , $C H = 12$ , $A H < H B$ . Найдите $A H$ , $H B$ и катеты.

Образец: глаз — на высоте $1, 5$ м, до ствола $4, 5$ м; по сторонам угольника видны верхушка $T$ и основание $F$ .

Где ошибся ученик? ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H ⊥ A B$ )

а) $A B = 12$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A H$ .

б) $CM = 10$ , $C H = 8$ , $A H < H B$ . Найдите $A H$ .

в) «Докажем»: $∠ A C H \neq = ∠ BCM$ .