Теорема Пифагора и начала тригонометрии · урок 11 из 18

Практикум: Теорема Пифагора

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM8U-065

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии» (18 ч), урок 11/18, единица R04.1. Тип урока — П (второй практикум по теореме Пифагора после GEOM8U-060).
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка 2 · схема «где прямой угол» 2 · разбор учителя «два Пифагора» 3 · сводка «тройки» 1,5 · доказательство теоремы о перпендикулярных диагоналях 3.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2 + 2 + 2,5 + 2,5 + 2 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 15–18 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Отличие от первого практикума: фигуры, в которых прямой угол надо найти самому (ромб, трапеция, высота), задачи с уравнением, метод двух Пифагоров и доказательства.
Если не успеваете: образец 6 (точка в прямоугольнике) и задачу ОГЭ 24 — в ДЗ; разбор «два Пифагора» не сокращать.

R04.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить прямой угол

в ромбе, трапеции, равнобедренном треугольнике — проводя высоту или диагональ

Составлять уравнение

по теореме Пифагора, когда стороны заданы через $x$ (ПР-9)

Применять «два Пифагора»

находить высоту треугольника по трём сторонам

Доказывать

равенства с квадратами сторон; решать ОГЭ 15–18, 23–24

повторение: GEOM8U-064 · R04.1

Разминка · устно

Тригонометрия особых углов и Пифагор

$sin 3 0^{\circ} = ?$ $\frac{1}{2}$ $cos 4 5^{\circ} = ?$ $\frac{2}{2}$
$tg 6 0^{\circ} = ?$ $3$
$a = 6$ , $b = 8$ . Найдите $c$ . $10$
$c = 13$ , $a = 5$ . Найдите $b$ . $12$
Упростите $50$ . $52$
Стороны $7$ , $24$ , $25$ . Прямоугольный? да: $49 + 576 = 625$

R04.1

Сводка · теорема Пифагора и обратная

Две теоремы — два направления

Теорема Пифагора. Если

∠ C = 9 0^{\circ}

, то

c^{2} = a^{2} + b^{2}

c = a^{2} + b^{2}

,

a = c^{2} - b^{2}

Обратная. Если

c^{2} = a^{2} + b^{2}

, то угол против стороны

c

— прямой.

Гипотенуза — наибольшая сторона: $c > a$ , $c > b$ .

R04.1

Схема · где искать прямой угол

Прямоугольный треугольник внутри фигуры

Равнобедренный △

высота к основанию делит его пополам

h^{2} = b^{2} - (\frac{a}{2})^{2}

Ромб

диагонали ⟂ и делятся пополам

a^{2} = (\frac{d _{1}}{2})^{2} + (\frac{d _{2}}{2})^{2}

Равнобокая трапеция

высота отсекает полуразность оснований

h^{2} = c^{2} - (\frac{a - b}{2})^{2}

Прямоугольник

диагональ — гипотенуза

d^{2} = a^{2} + b^{2}

2 мин · теория
Главная мысль практикума: теорема Пифагора работает только в прямоугольном треугольнике — его нужно увидеть или построить (провести высоту, диагональ).
Равнобедренный треугольник: высота к основанию — медиана (7 класс). Ромб: диагонали перпендикулярны и делятся пополам (GEOM8U-002). Равнобокая трапеция: высоты из концов меньшего основания отсекают по (a − b)/2.
Попросить учеников записать четыре формулы в тетрадь — это опора для всех образцов урока.

R04.1

Образец → сам · равнобедренный треугольник и ромб

Проведите высоту — получите прямой угол

Образец: $A B = BC = 13$ , $A C = 10$ . Найдите высоту $B H$ и площадь.

$A H = 10 : 2 = 5$ высота — медиана

$B H = 1 3^{2} - 5^{2} = 144 = 12$ $△ A B H$

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$

Сам

Диагонали ромба $12$ и $16$ . Найдите сторону. $10$
Найдите высоту равностороннего треугольника со стороной $6$ . $33$
Сторона ромба $25$ , одна диагональ $14$ . Найдите другую. $48$

R04.1

Образец → сам · равнобедренная трапеция

Две высоты, затем диагональ

Образец: основания $21$ и $9$ , боковая сторона $10$ . Найдите высоту и диагональ $A C$ .

отсекают $(21 - 9) : 2 = 6$ ; $h = 1 0^{2} - 6^{2} = 8$

$A H = 21 - 6 = 15$ $△ A C H$

$A C = 1 5^{2} + 8^{2} = 17$

Сам

Основания $17$ и $7$ , боковая $13$ . Найдите высоту. $12$
Основания $25$ и $11$ , высота $24$ . Найдите боковую сторону. $25$
Основания $21$ и $11$ , боковая $13$ . Найдите диагональ. $20$

R04.1

Образец → сам · задача с уравнением

Обозначьте неизвестное через $x$

Образец: катеты относятся как $3 : 4$ , гипотенуза $25$ . Найдите катеты.

$(3 x)^{2} + (4 x)^{2} = 2 5^{2}$ теорема Пифагора

$25 x^{2} = 625$ , $x = 5$ $x > 0$

катеты $15$ и $20$

Сам

Гипотенуза на $2$ больше катета, другой катет $8$ . Найдите гипотенузу. $17$
Периметр прямоугольника $34$ , диагональ $13$ . Найдите стороны. $5$ и $12$
Катет $12$ , сумма гипотенузы и другого катета $18$ . Найдите гипотенузу. $13$

R04.1

Образец → сам · высота к гипотенузе

Пифагор + площадь двумя способами

Образец: катеты $15$ и $20$ . Найдите высоту $C H$ , проведённую к гипотенузе.

$A B = 1 5^{2} + 2 0^{2} = 25$ Пифагор

$S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot h$ площадь двумя способами

$h = \frac{15 \cdot 20}{25} = 12$

Сам

Катеты $6$ и $8$ . Найдите высоту к гипотенузе. $4, 8$
Катет $9$ , гипотенуза $15$ . Найдите высоту к гипотенузе. $7, 2$
Диагонали ромба $30$ и $40$ . Найдите высоту ромба. $24$

R04.1

Разбор · решает учитель

Высота по трём сторонам: «два Пифагора»

Дано:

A B = 13

,

BC = 15

,

A C = 14

,

B H ⊥ A C

.
Найти:

B H

и

S_{A BC}

.

1

h^{2} = 1 3^{2} - x^{2}

из

△ A B H

,

A H = x

2

h^{2} = 1 5^{2} - (14 - x)^{2}

из

△ CB H

,

H C = 14 - x

3

169 - x^{2} = 225 - 196 + 28 x - x^{2}

приравняли,

x^{2}

сократились

4

28 x = 140

,

x = 5

,

h = 169 - 25 = 12

5

S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12 = 84

R04.1

Сводка · пифагоровы тройки

Узнавайте прямоугольный треугольник по сторонам

$a$	$b$	$c$	кратные
$3$	$4$	$5$	$6, 8, 10$ ; $9, 12, 15$
$5$	$12$	$13$	$10, 24, 26$
$8$	$15$	$17$	$16, 30, 34$
$7$	$24$	$25$	$14, 48, 50$

Проверка: квадрат наибольшей стороны сравнить с суммой квадратов двух других.

R04.1

Образец → сам · прямоугольный ли треугольник

Обратная теорема на клетчатой бумаге

Образец: $A (0; 0)$ , $B (2; 4)$ , $C (6; 2)$ . Найдите $∠ B$ .

$A B^{2} = 2^{2} + 4^{2} = 20$ , $B C^{2} = 4^{2} + 2^{2} = 20$

$A C^{2} = 6^{2} + 2^{2} = 40 = A B^{2} + B C^{2}$

$∠ B = 9 0^{\circ}$ обратная теорема

Сам

Стороны $9$ , $40$ , $41$ . Треугольник прямоугольный? да: $81 + 1600 = 1681$
Стороны $6$ , $7$ , $9$ . Треугольник прямоугольный? нет: $36 + 49 = 85 \neq = 81$
$A (0; 0)$ , $B (2; 1)$ , $C (1; 3)$ . Найдите $∠ B$ . $9 0^{\circ}$

R04.1

Теорема · доказательство

Диагонали перпендикулярны ⇒ суммы квадратов равны

Дано:

A BC D

,

A C ⊥ B D

,

A C \cap B D = O

.
Доказать:

A B^{2}

+

C D^{2}

=

B C^{2}

+

A D^{2}

.

1

A B^{2} = A O^{2} + B O^{2}

,

C D^{2} = C O^{2} + D O^{2}

Пифагор в

△ A OB

и

△ CO D

2

B C^{2} = B O^{2} + C O^{2}

,

A D^{2} = A O^{2} + D O^{2}

Пифагор в

△ BOC

и

△ A O D

3обе суммы равны

A O^{2} + B O^{2} + C O^{2} + D O^{2}

сложили равенства п. 1 и п. 2

3 мин · теория
Четыре прямоугольных треугольника с общей вершиной O — у каждого цвет, совпадающий с цветом стороны-гипотенузы в записи.
Частные случаи: у ромба все четыре слагаемых-половинки попарно равны — получаем a² = (d1/2)² + (d2/2)² со слайда 5 (в записи — дробями).
Вопрос: верно ли обратное — если суммы квадратов противоположных сторон равны, то диагонали перпендикулярны? (Да, это тоже верно, но доказательство — в 9 классе, через векторы; здесь только сообщить.)

R04.1

Образец → сам · задача на доказательство

Проведите перпендикуляры — и считайте квадраты

Образец: $M$ — точка внутри прямоугольника $A BC D$ . Докажите: $M A^{2} + M C^{2} = M B^{2} + M D^{2}$ .

$M A^{2} + M C^{2} = (p^{2} + r^{2}) + (q^{2} + s^{2})$

$M B^{2} + M D^{2} = (p^{2} + s^{2}) + (q^{2} + r^{2})$

правые части равны ⇒ доказано

Сам: план и обоснования

Докажите: у ромба $d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 4 a^{2}$ . $a^{2} = \frac{d _{1}^{2}}{4} + \frac{d _{2}^{2}}{4}$ , умножить на $4$
$B H$ — высота $△ A BC$ . Докажите: $A B^{2} - B C^{2} = A H^{2} - C H^{2}$ . оба равны $\dots - B H^{2}$
$A C ⊥ B D$ , $A B = 5$ , $BC = 7$ , $C D = 8$ . Найдите $A D$ . $210$

2 мин · практика
Образец: прямые через M параллельно сторонам; p, q — расстояния до AB и CD, r, s — до AD и BC. Каждый отрезок MA, MB, MC, MD — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами из {p, q} и {r, s}: MA² = p² + r², MB² = p² + s², MC² = q² + s², MD² = q² + r².
1) Диагонали ромба ⟂ и делятся пополам ⇒ a² = (d1/2)² + (d2/2)² ⇒ 4a² = d1² + d2².
2) AB² = AH² + BH², BC² = CH² + BH² ⇒ AB² − BC² = AH² − CH².
3) По теореме сл. 13: AB² + CD² = BC² + AD² ⇒ AD² = 25 + 64 − 49 = 40 ⇒ AD = 2√10. (Такой четырёхугольник существует: например, BO = 3, AO = 4, CO = √40, DO = √24.)

R04.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$3^{2} + 4^{2} = 3 + 4 = 7$	корень из суммы ≠ сумме корней	$9 + 16 = 25 = 5$
$c = 13$ , $a = 12$ : $b = 1 3^{2} + 1 2^{2}$	катет меньше гипотенузы — нужна разность	$b = 169 - 144 = 5$
Ромб: $a^{2} = d_{1}^{2} + d_{2}^{2}$	катеты — половины диагоналей	$a^{2} = (\frac{d _{1}}{2})^{2} + (\frac{d _{2}}{2})^{2}$
Трапеция $21$ и $9$ : отсекает $21 - 9 = 12$	разность делится между двумя высотами	$(21 - 9) : 2 = 6$

R04.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Диагонали ромба $10$ и $24$ . Найдите сторону.

$a^{2} = 1 0^{2} + 2 4^{2} = 676$

$a = 26$

$a^{2} = 5^{2} + 1 2^{2} = 169$ , $a = 13$

б) Трапеция: основания $20$ и $8$ , боковая $10$ . Найдите высоту.

$(20 - 8) : 2 = 6$

$h = 1 0^{2} - 6^{2} = 10 - 6 = 4$

$h = 100 - 36 = 64 = 8$

в) Стороны $8$ , $15$ , $17$ . Прямоугольный ли треугольник?

$8^{2} + 1 7^{2} = 353 \neq = 1 5^{2}$

не прямоугольный

$8^{2} + 1 5^{2} = 289 = 1 7^{2}$ — да, прямой угол против $17$

R04.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаКатеты $9$ и $12$ . Найдите гипотенузу. $15$
базаГипотенуза $17$ , катет $8$ . Найдите катет. $15$
базаНайдите диагональ квадрата со стороной $7$ . $72$

базаПрямоугольник $5 \times 12$ . Найдите диагональ. $13$
базаРавнобедренный △: боковая $10$ , основание $12$ . Высота к основанию? $8$
базаДиагонали ромба $18$ и $24$ . Найдите периметр. $60$

R04.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Высота равностороннего треугольника равна $6$ . Найдите его сторону. $43$
повыш.Равнобедренная трапеция: основания $7$ и $25$ , диагональ $20$ . Найдите боковую сторону. $15$
повыш.Стороны треугольника $10$ , $17$ , $21$ . Найдите высоту к стороне $21$ . $8$
из жизниЛестница длиной $5$ м стоит у стены, её низ в $1, 4$ м от стены. На какой высоте верх лестницы? $4, 8$ м

R04.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 16, 17 и 18

Ответ — одно число

ОГЭ 15Боковая сторона равнобедренного треугольника $34$ , основание $60$ . Найдите его площадь. $480$
ОГЭ 16Радиус окружности $13$ , хорда $24$ . Найдите расстояние от центра до хорды. $5$
ОГЭ 17Сторона ромба $10$ , одна из диагоналей $12$ . Найдите площадь ромба. $96$
ОГЭ 18Клетка $1 \times 1$ . Найдите длину отрезка $A B$ . $10$

R04.1 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Высота $A H$ ромба $A BC D$ делит сторону $C D$ на отрезки $DH = 21$ и $C H = 8$ . Найдите высоту ромба.

$A D = C D = 21 + 8 = 29$ — стороны ромба равны

$A H = 2 9^{2} - 2 1^{2} = 20$

ОГЭ 24 Медиана $BM$ треугольника $A BC$ равна половине $A C$ . Докажите, что $A B^{2} + B C^{2} = A C^{2}$ .

$M A = MB = MC$ ⇒ $∠ A = ∠ A BM$ , $∠ C = ∠ CBM$

$2∠ B = 18 0^{\circ}$ ⇒ $∠ B = 9 0^{\circ}$ ⇒ Пифагор

R04.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Катеты $8$ и $15$ . Найдите гипотенузу. $17$
Диагонали ромба $10$ и $24$ . Найдите сторону. $13$
Равнобедренная трапеция: основания $14$ и $4$ , боковая $13$ . Найдите высоту. $12$
Стороны $12$ , $35$ , $37$ . Треугольник прямоугольный? да

Вариант 2

Гипотенуза $25$ , катет $7$ . Найдите другой катет. $24$
Сторона ромба $17$ , одна диагональ $16$ . Найдите другую. $30$
Равнобедренная трапеция: основания $22$ и $6$ , высота $15$ . Найдите боковую сторону. $17$
Стороны $10$ , $11$ , $15$ . Треугольник прямоугольный? нет

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Где в ромбе и трапеции «спрятан» прямой угол?
В чём идея метода «два Пифагора»?
Как обратной теоремой проверить прямой угол?

Домашнее задание

Равнобедренный △: боковая $25$ , основание $14$ . Найдите высоту к основанию.
Периметр ромба $52$ , диагональ $24$ . Найдите другую диагональ.
* Стороны треугольника $25$ , $29$ , $36$ . Найдите высоту к стороне $36$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_teorema_pifagora.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-065 · Практикум: Теорема Пифагора

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии», 18 ч · урок 11/18 · тип П
Единицы → слайды	R04.1 «Теорема Пифагора» → 2, 4–22 · повторение GEOM8U-064 (R04.5) → 3
Результаты	ПР-9 (теорема Пифагора для геометрических и практических задач, модель, чертёж, длины) → 4–22
Вне урока	практические задачи — GEOM8U-066 (R04.2, одна задача из жизни на сл. 18); пропорциональные отрезки — GEOM8U-067 (R04.3); обратное утверждение к теореме сл. 13 — только сообщение
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: Теорема Пифагора

Сегодня вы научитесь

Находить прямой угол

Составлять уравнение

Применять «два Пифагора»

Доказывать

Тригонометрия особых углов и Пифагор

Две теоремы — два направления

Прямоугольный треугольник внутри фигуры

Равнобедренный △

Ромб

Равнобокая трапеция

Прямоугольник

Проведите высоту — получите прямой угол

Образец: AB=BC=13, AC=10. Найдите высоту BH и площадь.

Сам

Две высоты, затем диагональ

Образец: основания 21 и 9, боковая сторона 10. Найдите высоту и диагональ AC.

Сам

Обозначьте неизвестное через x

Образец: катеты относятся как 3:4, гипотенуза 25. Найдите катеты.

Сам

Пифагор + площадь двумя способами

Образец: катеты 15 и 20. Найдите высоту CH, проведённую к гипотенузе.

Сам

Высота по трём сторонам: «два Пифагора»

Узнавайте прямоугольный треугольник по сторонам

Обратная теорема на клетчатой бумаге

Образец: A(0;0), B(2;4), C(6;2). Найдите ∠B.

Сам

Диагонали перпендикулярны ⇒ суммы квадратов равны

Проведите перпендикуляры — и считайте квадраты

Образец: M — точка внутри прямоугольника ABCD. Докажите: MA2+MC2=MB2+MD2.

Сам: план и обоснования

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Диагонали ромба 10 и 24. Найдите сторону.

б) Трапеция: основания 20 и 8, боковая 10. Найдите высоту.

в) Стороны 8, 15, 17. Прямоугольный ли треугольник?

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-065 · Практикум: Теорема Пифагора

Образец: $A B = BC = 13$ , $A C = 10$ . Найдите высоту $B H$ и площадь.

Образец: основания $21$ и $9$ , боковая сторона $10$ . Найдите высоту и диагональ $A C$ .

Обозначьте неизвестное через $x$

Образец: катеты относятся как $3 : 4$ , гипотенуза $25$ . Найдите катеты.

Образец: катеты $15$ и $20$ . Найдите высоту $C H$ , проведённую к гипотенузе.

Образец: $A (0; 0)$ , $B (2; 4)$ , $C (6; 2)$ . Найдите $∠ B$ .

Образец: $M$ — точка внутри прямоугольника $A BC D$ . Докажите: $M A^{2} + M C^{2} = M B^{2} + M D^{2}$ .

а) Диагонали ромба $10$ и $24$ . Найдите сторону.

б) Трапеция: основания $20$ и $8$ , боковая $10$ . Найдите высоту.

в) Стороны $8$ , $15$ , $17$ . Прямоугольный ли треугольник?