Теорема Пифагора и начала тригонометрии · урок 10 из 18

Практикум: тригонометрические функции углов 30°, 45° и 60°

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM8U-064

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии» (18 ч), урок 10/18, единица R04.5. Тип урока — П (практикум).
Теория (12): титул 0,5 · цели 1 · вывод для 45° — 3 · вывод для 30° и 60° — 3 · таблица и связи 2 · треугольники-шаблоны 1,5 · из истории 1.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 3 + 2,5 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 3 · ОГЭ 15/17 — 2 · ОГЭ 23 — 2 · самостоятельная 4 · итог 0,5.
Если не успеваете: слайд «Из истории» — рассказать за полминуты или задать прочитать дома; вторую задачу ОГЭ 23 — в ДЗ.

R04.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выводить значения

$sin$ , $cos$ , $tg$ , $ctg$ углов $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ — из треугольников

Составлять таблицу

и пользоваться ею без подсказки (ПР-11)

Находить стороны и углы

прямоугольного треугольника, высоты и площади фигур

Решать задачи из жизни

и задачи ОГЭ 15, 17, 23 с этими углами

1 мин · теория
ПР-11: «Применять полученные знания на практике – строить математические модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с применением подобия и тригонометрии (пользуясь, где необходимо, калькулятором)».
Виды деятельности ФРП R04: «определять основные тригонометрические функции угла с помощью прямоугольного треугольника, составлять таблицу значений тригонометрических функций для основных углов»; «знакомиться с историей развития тригонометрии».
Вопрос классу: зачем знать значения именно для этих углов? (Они получаются из простых фигур — квадрата и равностороннего треугольника, — и встречаются в задачах ОГЭ постоянно; калькулятор не нужен.)

повторение: R04.1, R04.4

Разминка · устно

Прямоугольный треугольник: стороны и отношения

$sin α = ?$ $\frac{a}{c}$
$cos α = ?$ $tg α = ?$ $\frac{b}{c}$ , $\frac{a}{b}$
Катет против угла $3 0^{\circ}$ равен… половине гипотенузы
Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника? по $4 5^{\circ}$
Катеты $1$ и $1$ . Гипотенуза? $2$
$12 = ?$ $\frac{1}{3} = ?$ $23$ , $\frac{3}{3}$

2 мин · практика
Ответы: 1) sin α = a/c (противолежащий катет к гипотенузе). 2) cos α = b/c (прилежащий к гипотенузе), tg α = a/b (противолежащий к прилежащему). 3) половине гипотенузы (7 класс). 4) по 45° (сумма острых углов 90°, углы при основании равны). 5) √(1 + 1) = √2 (теорема Пифагора). 6) √12 = √(4·3) = 2√3; 1/√3 = √3/3 (умножили числитель и знаменатель на √3).
Всё это — инструменты сегодняшнего вывода. Задание 6 нужно, чтобы ответы записывать без корня в знаменателе: tg 30° = √3/3.

R04.5

Вывод · угол 45°

Равнобедренный прямоугольный треугольник

Дано:

∠ C = 9 0^{\circ}

,

A C = BC = a

.
Найти:

sin 4 5^{\circ}

,

cos 4 5^{\circ}

,

tg 4 5^{\circ}

,

ctg 4 5^{\circ}

.

1

∠ A = ∠ B = 4 5^{\circ}

углы при основании равны, их сумма

9 0^{\circ}

2

c = a^{2} + a^{2} = a 2

теорема Пифагора

3

sin 4 5^{\circ} = \frac{a}{a 2} = \frac{2}{2}

,

cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

определения:

sin A = BC : A B

,

cos A = A C : A B

4

tg 4 5^{\circ} = \frac{a}{a} = 1

,

ctg 4 5^{\circ} = 1

определение:

tg A = BC : A C

R04.5

Вывод · углы 30° и 60°

Половина равностороннего треугольника

Дано:

△ A B D

— равносторонний,

A B = 2 a

,

A C

— высота. Найти: значения для

3 0^{\circ}

и

6 0^{\circ}

.

1

BC = a

,

∠ B A C = 3 0^{\circ}

,

∠ B = 6 0^{\circ}

высота равнобедренного — медиана и биссектриса

2

A C = 4 a^{2} - a^{2} = a 3

теорема Пифагора в

△ A BC

3

sin 3 0^{\circ} = \frac{a}{2 a} = \frac{1}{2}

,

cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

,

tg 3 0^{\circ} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}

4

sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

,

cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

,

tg 6 0^{\circ} = \frac{a 3}{a} = 3

для

∠ B

катет

A C

— противолежащий

R04.5

Сводка · таблица значений

Выучить и уметь вывести

$α$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$
$sin α$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$
$cos α$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tg α$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$
$ctg α$	$3$	$1$	$\frac{3}{3}$

Синус растёт:

\frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}

; косинус — те же в обратном порядке.

sin α = cos (9 0^{\circ} - α)

tg α = \frac{sin α}{cos α}

,

ctg α = \frac{1}{tg α}

R04.5

Сводка · треугольники-шаблоны

Стороны без вычислений

45°–45°–90°:

x : x : x 2

— гипотенуза в

2

раз больше катета

30°–60°–90°:

x : x 3 : 2 x

— против

3 0^{\circ}

меньший катет

x

R04.5

Образец → сам · значения выражений

Подставьте значения из таблицы

Образец: вычислите

$2 sin 3 0^{\circ} + 3 tg 6 0^{\circ} - 4 cos^{2} 4 5^{\circ}$

$= 2 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot 3 - 4 \cdot (\frac{2}{2})^{2}$ таблица

$= 1 + 3 - 4 \cdot \frac{2}{4}$ $(2)^{2} = 2$

$= 1 + 3 - 2 = 2$

Сам

$4 sin 6 0^{\circ} \cdot cos 3 0^{\circ}$ $3$
$tg 4 5^{\circ} - 2 cos 6 0^{\circ} + ctg^{2} 3 0^{\circ}$ $3$
$sin^{2} 4 5^{\circ} + tg 3 0^{\circ} \cdot tg 6 0^{\circ}$ $1, 5$

R04.5

Образец → сам · стороны по углу и гипотенузе

Найдите катеты

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ , $A B = 12$ . Найдите $BC$ и $A C$ .

$BC = A B \cdot cos B = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ $BC$ прилежит к $∠ B$

$A C = A B \cdot sin B = 12 \cdot \frac{3}{2} = 63$ противолежащий

Сам ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ )

$∠ A = 4 5^{\circ}$ , $A B = 8$ . Найдите $A C$ . $42$
$∠ A = 3 0^{\circ}$ , $BC = 7$ . Найдите $A B$ и $A C$ . $A B = 14$ , $A C = 73$
$∠ B = 6 0^{\circ}$ , $A C = 9$ . Найдите $BC$ . $33$

R04.5

Образец → сам · обратная задача: угол по сторонам

Узнайте угол по значению

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 43$ , $A B = 8$ . Найдите $∠ A$ и $∠ B$ .

$cos A = \frac{A C}{A B} = \frac{4 3}{8} = \frac{3}{2}$ прилежащий : гипотенуза

$∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ B = 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ таблица

Сам: сделайте чертёж

Катеты $BC = A C = 5$ . Найдите $∠ A$ . $4 5^{\circ}$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $BC = 6$ , $A B = 22$ . Найдите $∠ A$ . $6 0^{\circ}$
Стороны прямоугольника $6$ и $23$ . Найдите угол между диагональю и большей стороной. $3 0^{\circ}$

R04.5 · R03

Образец → сам · комбинированная: высота и площадь

Высота — катет прямоугольного треугольника

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A B = 8$ , $A D = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .

$B H = A B \cdot sin 3 0^{\circ} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ из $△ A B H$

$S = A D \cdot B H = 10 \cdot 4 = 40$ $S = ah$

Сам

Сторона ромба $6$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $183$
Равнобедренная трапеция: основания $10$ и $4$ , угол при основании $4 5^{\circ}$ . Найдите $S$ . $21$
$△ A BC$ : $A B = 6$ , $A C = 10$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $153$

R04.5 · ПР-11

Образец → сам · задача из жизни

Измеряем, не забираясь наверх

Образец: в 18 м от дерева его вершина видна под углом $3 0^{\circ}$ к земле. Найдите высоту дерева.

$h = A C \cdot tg 3 0^{\circ} = 18 \cdot \frac{3}{3} = 63$ $△ A BC$ , $∠ C = 9 0^{\circ}$

$h \approx 6 \cdot 1, 73 \approx 10, 4 м$

Сам: чертёж-модель, ответ с точностью до 0,1

Лестница длиной $4$ м стоит под углом $6 0^{\circ}$ к земле. На какой высоте её верхний конец? $23 \approx 3, 5$ м
Самолёт набирает высоту под углом $3 0^{\circ}$ и пролетел по прямой $2$ км. Его высота? $1$ км
Столб $B$ — напротив точки $C$ на другом берегу, $A C = 40$ м, $∠ C A B = 6 0^{\circ}$ , $BC ⊥ A C$ . Ширина реки? $403 \approx 69, 3$ м

R04.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$sin 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$	синус и косинус перепутаны: против $3 0^{\circ}$ — меньший катет	$sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$
$tg 3 0^{\circ} = 3$	$3$ — это $tg 6 0^{\circ}$ ; $tg 3 0^{\circ} < 1$ , так как $3 0^{\circ} < 4 5^{\circ}$	$tg 3 0^{\circ} = \frac{3}{3}$
$sin 6 0^{\circ} = 2 sin 3 0^{\circ} = 1$	угол удвоили — значение не удваивается	$sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$
$A C = A B \cdot sin A$ ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ )	$A C$ — прилежащий катет к $∠ A$	$A C = A B \cdot cos A$

R04.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Вычислите $2 cos^{2} 3 0^{\circ} - tg 4 5^{\circ}$ .

$2 \cdot (\frac{3}{2})^{2} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$

$3 - 1 = 2$

$(\frac{3}{2})^{2} = \frac{3}{4}$ ; $\frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

б) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $A B = 10$ . Найдите $BC$ .

$BC = A B \cdot cos 6 0^{\circ}$

$BC = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$

$BC$ лежит против $∠ A$ :
$BC = 10 \cdot sin 6 0^{\circ} = 53$

в) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 6$ , $BC = 23$ . Найдите $∠ A$ .

$tg A = \frac{A C}{BC} = \frac{6}{2 3} = 3$

$∠ A = 6 0^{\circ}$

$tg A = \frac{BC}{A C} = \frac{3}{3}$
$∠ A = 3 0^{\circ}$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) При возведении дроби в квадрат возвели только числитель: (√3/2)² = 3/4, 2 · 3/4 = 3/2, ответ 3/2 − 1 = 1/2.
б) Взят прилежащий катет вместо противолежащего: BC = AB · sin A = 5√3 (а 5 — это AC).
в) Тангенс — противолежащий к прилежащему: для угла A противолежащий BC. tg A = 2√3/6 = √3/3 ⇒ ∠A = 30° (это меньший угол: против меньшего катета). Самопроверка: меньшая сторона лежит против меньшего угла.

R04.5

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ в задачах 3–5)

база $cos 6 0^{\circ} + sin^{2} 6 0^{\circ}$ $1, 25$
база $2 sin 4 5^{\circ} \cdot cos 4 5^{\circ}$ $1$
база $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $A B = 18$ . Найдите $BC$ . $9$

база $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $A C = 7$ . Найдите $A B$ . $72$
база $A B = 12$ , $A C = 6$ . Найдите $∠ A$ . $6 0^{\circ}$
базаДиагональ квадрата $10$ . Найдите сторону. $52$

R04.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A B = BC = 8$ , $∠ B = 12 0^{\circ}$ . Найдите высоту $B H$ и основание $A C$ . $B H = 4$ , $A C = 83$
повыш.Вычислите $\frac{tg ^{2} 6 0 ^{\circ} - tg ^{2} 4 5 ^{\circ}}{1 + ctg ^{2} 3 0 ^{\circ}}$ . $\frac{1}{2}$
доказ. $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $CM$ — медиана. Докажите, что $△ CMB$ — равносторонний. $CM = MB = BC = \frac{1}{2} A B$
из жизниДом шириной $8$ м, двускатная крыша, скаты под $3 0^{\circ}$ к горизонту. Длина ската? $\frac{8 3}{3} \approx 4, 6$ м

3 мин · практика
1) ∠A = ∠C = (180° − 120°) : 2 = 30°. BH — высота и медиана: BH = AB · sin 30° = 4; AH = AB · cos 30° = 4√3; AC = 2 · AH = 8√3.
2) (3 − 1) : (1 + 3) = 2/4 = 1/2.
3) Медиана к гипотенузе равна её половине: CM = MB = AB/2 (M — центр описанной окружности; или достроить до прямоугольника). Катет против 30°: BC = AB/2. Значит, CM = MB = BC — треугольник равносторонний. (Иначе: ∠B = 60° и CM = MB ⇒ равнобедренный с углом 60°.)
4) Половина ширины 4 м — прилежащий катет; скат = 4 : cos 30° = 8/√3 = 8√3/3 ≈ 4,62 ≈ 4,6 м. Высота конька над перекрытием: 4 · tg 30° ≈ 2,3 м.

R04.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 17

Ответ — одно число

ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ угол $C$ равен $9 0^{\circ}$ , угол $A$ равен $3 0^{\circ}$ , $A B = 23$ . Найдите $A C$ . $3$
ОГЭ 15Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла $6 0^{\circ}$ , равен $73$ . Найдите гипотенузу. $14$

ОГЭ 17Сторона ромба равна $12$ , а острый угол равен $3 0^{\circ}$ . Найдите высоту ромба. $6$
ОГЭ 17Боковая сторона равнобедренной трапеции равна $10$ , угол при основании $6 0^{\circ}$ , меньшее основание $7$ . Найдите большее основание. $17$

R04.5 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линия 23

Вторая часть: проведите высоту

ОГЭ 23 В треугольнике $A BC$ $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ , $BC = 36$ . Найдите $A C$ .

$C H = BC \cdot sin 6 0^{\circ} = 36 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9 2}{2}$ из $△ BC H$

$A C = C H : sin 4 5^{\circ} = \frac{9 2}{2} : \frac{2}{2} = 9$ из $△ A C H$

ОГЭ 23 Высота трапеции $A BC D$ равна $6$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ D = 6 0^{\circ}$ , $BC = 4$ . Найдите $A D$ .

$A H = 6 \cdot ctg 4 5^{\circ} = 6$ , $KD = 6 \cdot ctg 6 0^{\circ} = 23$

$A D = A H + HK + KD = 10 + 23$ $HK = BC$

2 мин · практика
1) Высота CH делит треугольник на два прямоугольных с табличными углами (H лежит на AB, так как углы A и B острые). CH = 3√6 · √3/2 = 3√18/2 = 9√2/2. AC = CH : (√2/2) = 9. Ответ: 9. (В 9 классе — сразу теорема синусов.)
2) BH и CK — высоты, HBCK — прямоугольник, HK = BC = 4. В △ABH: AH = BH · ctg 45° = 6. В △DCK: KD = 6 · ctg 60° = 6 · √3/3 = 2√3. AD = 6 + 4 + 2√3 = 10 + 2√3 ≈ 13,5.
На уроке — устное обсуждение плана; полное оформление (обоснование каждой высоты и прямоугольника HBCK) — в ДЗ по желанию.

R04.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ в задачах 2–3)

Вариант 1

$2 sin 3 0^{\circ} + tg^{2} 6 0^{\circ}$ $4$
$∠ A = 6 0^{\circ}$ , $A B = 16$ . Найдите $A C$ . $8$
$A C = 4$ , $BC = 43$ . Найдите $∠ A$ . $6 0^{\circ}$
Стороны параллелограмма $6$ и $9$ , угол $4 5^{\circ}$ . Найдите $S$ . $272$

Вариант 2

$4 cos 6 0^{\circ} - ctg^{2} 3 0^{\circ}$ $- 1$
$∠ B = 3 0^{\circ}$ , $A B = 14$ . Найдите $A C$ . $7$
$A B = 62$ , $BC = 6$ . Найдите $∠ A$ . $4 5^{\circ}$
Сторона ромба $10$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $503$

R04 · история

Из истории тригонометрии

Откуда слово «синус»

II в. до н. э.

Гиппарх

Таблица хорд окружности — для астрономии.

V в.

Ариабхата

Индийцы берут половину хорды — «джива».

XII в.

Перевод

Арабское «джиб» передали латинским sinus — «изгиб».

XVIII в.

Эйлер

Современные обозначения $sin$ , $cos$ , $tg$ .

1 мин · теория
Вид деятельности ФРП R04: «знакомиться с историей развития тригонометрии».
Гиппарх Никейский составил первую таблицу хорд (по ней вычисляли положения светил). Ариабхата (499 г.) перешёл к полухордам — это и есть наш синус. Арабские переводчики записали слово как «джиб», в XII в. при переводе на латынь его передали словом sinus. «Косинус» — сокращение от «синус дополнения» (complementi sinus): cos α = sin(90° − α). Эйлер закрепил нынешнюю запись.
Если не успеваете — задать прочитать дома.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Из каких фигур выводятся значения для $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ ?
Почему $sin 3 0^{\circ} = cos 6 0^{\circ}$ ?
Как найти угол, если $tg A = 3$ ?

Домашнее задание

Таблицу значений — по памяти, с выводом.
$sin 6 0^{\circ} cos 3 0^{\circ} - cos 6 0^{\circ} sin 3 0^{\circ}$
$A B = BC$ , $∠ B = 12 0^{\circ}$ , $A C = 12$ . Найдите $A B$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_sootnosheniya_v_pryamougolnom_treugolnike.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-064 · Практикум: тригонометрические функции углов 30°, 45° и 60°

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии», 18 ч · урок 10/18 · тип П
Единицы → слайды	R04.5 «Тригонометрические функции углов в 30º, 45º и 60º» → 2, 4–19, 21 · повторение R04.1, R04.4 → 3 · история (вид деятельности R04) → 20
Результаты	ПР-11 (вычисления с применением тригонометрии, модели реальных задач) → 8–19; ПР-9 (теорема Пифагора) → 4–5
Вне урока	синус, косинус, тангенс острого угла — GEOM8U-063; теорема Пифагора — GEOM8U-065, 066; формула площади через синус и теорема синусов — 9 класс
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: тригонометрические функции углов 30°, 45° и 60°

Сегодня вы научитесь

Выводить значения

Составлять таблицу

Находить стороны и углы

Решать задачи из жизни

Прямоугольный треугольник: стороны и отношения

Равнобедренный прямоугольный треугольник

Половина равностороннего треугольника

Выучить и уметь вывести

Стороны без вычислений

Подставьте значения из таблицы

Образец: вычислите

Сам

Найдите катеты

Образец: ∠C=90∘, ∠B=60∘, AB=12. Найдите BC и AC.

Сам (∠C=90∘)

Узнайте угол по значению

Образец: ∠C=90∘, AC=43​, AB=8. Найдите ∠A и ∠B.

Сам: сделайте чертёж

Высота — катет прямоугольного треугольника

Образец: ABCD — параллелограмм, AB=8, AD=10, ∠A=30∘. Найдите S.

Сам

Измеряем, не забираясь наверх

Образец: в 18 м от дерева его вершина видна под углом 30∘ к земле. Найдите высоту дерева.

Сам: чертёж-модель, ответ с точностью до 0,1

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Вычислите 2cos230∘−tg45∘.

б) ∠C=90∘, ∠A=60∘, AB=10. Найдите BC.

в) ∠C=90∘, AC=6, BC=23​. Найдите ∠A.

Решите и проверьте (∠C=90∘ в задачах 3–5)

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Вторая часть: проведите высоту

Два варианта — решите свой (∠C=90∘ в задачах 2–3)

Вариант 1

Вариант 2

Откуда слово «синус»

Гиппарх

Ариабхата

Перевод

Эйлер

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-064 · Практикум: тригонометрические функции углов 30°, 45° и 60°

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ , $A B = 12$ . Найдите $BC$ и $A C$ .

Сам ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ )

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 43$ , $A B = 8$ . Найдите $∠ A$ и $∠ B$ .

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A B = 8$ , $A D = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .

Образец: в 18 м от дерева его вершина видна под углом $3 0^{\circ}$ к земле. Найдите высоту дерева.

а) Вычислите $2 cos^{2} 3 0^{\circ} - tg 4 5^{\circ}$ .

б) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $A B = 10$ . Найдите $BC$ .

в) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 6$ , $BC = 23$ . Найдите $∠ A$ .

Решите и проверьте ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ в задачах 3–5)

Два варианта — решите свой ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ в задачах 2–3)