Теорема Пифагора и начала тригонометрии · урок 9 из 18

Практикум: синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM8U-063

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии» (18 ч), урок 9/18, единица R04.4. Тип урока — П (практикум): теория только сводкой, демонстрацией и коротким свойством.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка определений 2,5 · сводка тождеств 1,5 · алгоритм 2 · демонстрация 2,5 · свойство (рост угла) 1,5 · из истории 1.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
По сравнению с уроком GEOM8U-058 (введение понятий) — новые типы: равнобедренный треугольник, цепочка из двух прямоугольных треугольников, четырёхугольники, выражения с тождествами, доказательство формулы площади через синус, уклон.
Если не успеваете: «Из истории» — рассказать за 30 секунд, задачу из жизни (сл. 15) — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R04.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Решать прямоугольный треугольник

по любым двум элементам, в том числе через второй треугольник

Применять тождества

упрощать выражения и находить их значения (ПР-5)

Работать с фигурами

равнобедренный треугольник, параллелограмм, ромб, трапеция — ОГЭ 15, 17

Доказывать и моделировать

формула площади через синус, уклон и высота (ПР-11)

0,5 мин · теория
ПР-5: «…Доказывать и применять отношения пропорциональности в прямоугольных треугольниках».
ПР-11: «Применять полученные знания на практике – строить математические модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с применением подобия и тригонометрии (пользуясь, где необходимо, калькулятором)».
Виды деятельности ФРП R04: «Определять основные тригонометрические функции угла с помощью прямоугольного треугольника… Применять полученные знания и умения при решении практических задач. Знакомиться с историей развития тригонометрии».

повторение: GEOM8U-058

Разминка · устно

Треугольник 7 – 24 – 25

Найдите $sin A$ . $\frac{7}{25} = 0, 28$
Найдите $cos B$ . Что заметили? $0, 28 = sin A$
Найдите $tg B$ . $\frac{24}{7}$
$sin α = 0, 6$ . Найдите $cos α$ . $0, 8$
$tg α = 3$ . Найдите $ctg α$ . $\frac{1}{3}$
Гипотенуза $10$ , $sin α = 0, 3$ . Найдите противолежащий катет. $3$

R04.4

Сводка · определения и соотношения

Четыре отношения и как из них найти сторону

sin A = \frac{a}{c}

\Rightarrow

a

= c sin A

cos A = \frac{b}{c}

\Rightarrow

b

= c cos A

tg A = \frac{a}{b}

\Rightarrow

a

= b tg A

ctg A = \frac{b}{a}

\Rightarrow

b

= a ctg A

Катет

=

гипотенуза

\times sin

или

cos

; гипотенуза

=

катет

:

sin

или

cos

.

R04.4

Образец → сам · равнобедренный треугольник

Высота делит его на два прямоугольных

Образец: $A C = BC = 10$ , $cos A = 0, 6$ . Найдите $A B$ и высоту $C H$ .

$A H = H B$ высота к основанию — медиана

$A H = A C cos A = 6$ , $A B = 12$ $△ A C H$

$C H = A C sin A = 10 \cdot 0, 8 = 8$ $sin A = 1 - 0, 36$

Сам ( $A C = BC$ , $C H$ — высота)

$A B = 16$ , $cos A = 0, 8$ . Найдите $A C$ . $10$
$A C = 13$ , $A B = 10$ . Найдите $tg A$ . $2, 4$
$A B = 30$ , $tg A = \frac{4}{3}$ . Найдите $C H$ и $A C$ . $20$ и $25$

R04.4

Сводка · тождества и связи

По одной функции — все остальные

Основное

$sin^{2} A + cos^{2} A = 1$

$tg A = \frac{sin A}{cos A}$

$ctg A = \frac{cos A}{sin A}$

Следствия

$tg A \cdot ctg A = 1$

$1 + tg^{2} A = \frac{1}{cos ^{2} A}$

$1 + ctg^{2} A = \frac{1}{sin ^{2} A}$

Два острых угла

$sin (9 0^{\circ} - A) = cos A$

$cos (9 0^{\circ} - A) = sin A$

$tg (9 0^{\circ} - A) = ctg A$

R04.4

Образец → сам · выражения с тождествами

Упростите и вычислите

Образец: упростите $(1 - sin A) (1 + sin A) \cdot tg^{2} A$ .

$(1 - sin A) (1 + sin A) = 1 - sin^{2} A$ разность квадратов

$1 - sin^{2} A = cos^{2} A$ основное тождество

$cos^{2} A \cdot \frac{sin ^{2} A}{cos ^{2} A} = s i n^{2} A$ $tg A = \frac{sin A}{cos A}$

Сам

Упростите $sin A \cdot ctg A$ . $cos A$
Вычислите $tg 2 5^{\circ} \cdot tg 6 5^{\circ}$ . $1$
$tg A = 2$ . Найдите $\frac{3 sin A - cos A}{sin A + 2 cos A}$ . $1, 25$

R04.4

Алгоритм · решение прямоугольного треугольника

Что дано — какую формулу взять

Дано	Находим	Подсказка
гипотенуза $c$ и $∠ A$	$a = c sin A$ , $b = c cos A$	катет — умножаем
катет $b$ и $∠ A$	$a = b tg A$ , $c = \frac{b}{cos A}$	гипотенуза — делим
катет $a$ и $∠ A$	$b = a ctg A$ , $c = \frac{a}{sin A}$	гипотенуза — делим
два катета $a$ , $b$	$tg A = \frac{a}{b}$ , $c = a^{2} + b^{2}$	угол — по тангенсу
катет $a$ и гипотенуза $c$	$sin A = \frac{a}{c}$ , $b = c^{2} - a^{2}$	угол — по синусу

Всегда: $∠ B = 9 0^{\circ} - ∠ A$ . Нет прямоугольного треугольника — проведите высоту.

R04.4

Демонстрация · учитель решает

Треугольник не прямоугольный — проводим высоту

Дано:

△ A BC

,

∠ A

и

∠ B

острые,

A C = 10

,

sin A = 0, 6

,

tg B = 1, 5

.
Найти:

A B

и

BC

.

1

C H ⊥ A B

, точка

H

на отрезке

A B

углы

A

и

B

острые

2

C H = A C sin A = 6

,

A H = A C cos A = 8

△ A C H

;

cos A = 1 - 0, 36 = 0, 8

3

B H = \frac{C H}{tg B} = \frac{6}{1 , 5} = 4

△ BC H

: прилежащий катет через противолежащий

4

A B = 8 + 4 = 12

,

BC = 6^{2} + 4^{2} = 213

сложение отрезков; теорема Пифагора

R04.4

Образец → сам · высота к гипотенузе

Один угол — в трёх треугольниках

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A C = 20$ , $cos A = 0, 8$ . Найдите $C H$ и $B H$ .

$C H = A C sin A = 12$ , $A H = A C cos A = 16$ $△ A C H$

$A B = \frac{A C}{cos A} = 25$ $△ A BC$

$B H = 25 - 16 = 9$

Сам ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота)

$C H = 12$ , $tg A = 0, 75$ . Найдите $A H$ и $B H$ . $16$ и $9$
$A B = 50$ , $sin A = 0, 8$ . Найдите $C H$ . $24$
$B H = 4$ , $cos B = 0, 4$ . Найдите $A B$ . $25$

R04.4

Образец → сам · параллелограмм, ромб, трапеция

Высота через синус — площадь

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A B = 10$ , $A D = 14$ , $sin A = 0, 6$ . Найдите $S$ .

$B H ⊥ A D$ : $△ A B H$ прямоугольный высота

$B H = A B sin A = 6$ противолежащий катет

$S = A D \cdot B H = 14 \cdot 6 = 84$

Сам

Ромб со стороной $10$ , синус угла $0, 8$ . Найдите $S$ . $80$
Равнобедренная трапеция: основания $22$ и $10$ , косинус острого угла $0, 6$ . Найдите боковую сторону и высоту. $10$ и $8$
Прямоугольник $A BC D$ : $A C = 26$ , $sin ∠ C A D = \frac{5}{13}$ . Найдите $S$ . $240$

R04.4

Свойство · доказательство

Как меняются синус и косинус при росте угла

Гипотенуза

OP = 1

: тогда

sin α = P H

,

cos α = O H

.

Угол растёт от $α$ до $β$ — точка $P$ идёт по дуге вверх: противолежащий катет растёт, прилежащий уменьшается.

α < β \Rightarrow sin α < sin β, cos α > cos β

Тогда и $tg α = \frac{sin α}{cos α} < tg β$ .

R04.4

Образец → сам · задача на доказательство

Площадь треугольника через синус

Образец: в $△ A BC$ угол $C$ острый. Докажите: $S = \frac{1}{2} A C \cdot BC \cdot sin C$ .

$A H ⊥ BC$ , $△ A H C$ : $∠ H = 9 0^{\circ}$ проведём высоту

$A H = A C sin C$ катет против $∠ C$

$S = \frac{1}{2} BC \cdot A H = \frac{1}{2} A C \cdot BC s i n C$

Сам: план и обоснования

$A C = 8$ , $BC = 10$ , $sin C = 0, 6$ . Найдите $S$ . $24$
Докажите: площадь параллелограмма $S = ab sin A$ ( $A$ — острый). высота к $a$ : $h = b sin A$ , $S = ah$
Углы $B$ и $C$ острые. Докажите: $\frac{A B}{sin C} = \frac{A C}{sin B}$ . $A H = A B sin B = A C sin C$

3 мин · практика
Образец: если угол B тупой, H лежит на продолжении BC — рассуждение то же (△AHC прямоугольный, ∠C острый), формула S = ½ · BC · AH верна.
1) S = ½ · 8 · 10 · 0,6 = 24.
2) Высота из вершины тупого/острого угла к стороне a: в прямоугольном треугольнике с гипотенузой b и углом A она — противолежащий катет, h = b sin A ⇒ S = a · h = ab sin A.
3) AH — высота к BC (H на отрезке BC, так как B и C острые). △ABH: AH = AB sin B; △ACH: AH = AC sin C ⇒ AB sin B = AC sin C ⇒ AB/sin C = AC/sin B. Это частный случай теоремы синусов (9 класс) — сказать сильным.
Работа в парах: один — план, другой — обоснования. Всем — 1 и 2, сильным — 3.

R04.4 · история

Из истории тригонометрии

От таблицы хорд к синусу

II в. до н. э.Гиппарх: таблица хорд для астрономии

V в.Индия, Ариабхата: полухорда «джива»

XIII в.ат-Туси: тригонометрия — отдельная наука

XVIII в.Л. Эйлер: обозначения

sin

,

cos

При

R = 1

полухорда равна

sin α

.

R04.4 · ПР-11

Образец → сам · задача из жизни

Уклон: тангенс угла наклона

Образец: крыльцо высотой $0, 6$ м, уклон пандуса $tg α = 0, 08$ . Найдите длину пандуса.

горизонталь $= \frac{0 , 6}{0 , 08} = 7, 5$ м катет через катет

$7, 5^{2} + 0, 6^{2} \approx 7, 52$ м теорема Пифагора

Сам (можно с калькулятором)

Лестница $5$ м, косинус угла с землёй $0, 28$ . На какой высоте её верх? $4, 8$ м
Знак «подъём $12 %$ »: $tg α = 0, 12$ . На сколько метров поднимется дорога на $250$ м по горизонтали? $30$ м
Тень дерева $12$ м, тангенс угла высоты Солнца $0, 75$ . Найдите высоту дерева. $9$ м

R04.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$cos A = 1, 2$	катет не длиннее гипотенузы	$0 < sin A < 1$ , $0 < cos A < 1$
$A C = BC$ , $A B = A C cos A$	$A C cos A$ — только половина основания	$A B = 2 A C cos A$
$C H$ — высота к гипотенузе, $∠ BC H = ∠ B$	в $△ BC H$ : $∠ BC H = 9 0^{\circ} - ∠ B$	$∠ BC H = ∠ A$
в остроугольном $△ A BC$ : $sin A = \frac{BC}{A B}$	определение — только в прямоугольном треугольнике	провести высоту, взять прямоугольный

R04.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $sin A = 0, 8$ , угол $A$ острый. Найдите $tg A$ .

$cos A = 1 - 0, 8 = 0, 2$

$tg A = 0, 8 : 0, 2 = 4$

$cos A = 1 - 0, 64 = 0, 6$ , $tg A = \frac{4}{3}$

б) Параллелограмм: $A B = 8$ , $A D = 12$ , $sin A = 0, 5$ . Найдите $S$ .

$h = A D sin A = 6$

$S = A D \cdot h = 72$

$h = A B sin A = 4$ , $S = 12 \cdot 4 = 48$

в) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $BC = 6$ , $sin A = 0, 3$ . Найдите $A B$ .

$A B = BC \cdot sin A$

$A B = 6 \cdot 0, 3 = 1, 8$

$A B = \frac{BC}{sin A} = 20$

R04.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ )

база $A B = 15$ , $cos A = 0, 4$ . Найдите $A C$ . $6$
база $BC = 9$ , $tg A = 0, 75$ . Найдите $A C$ . $12$
база $A C = 7$ , $cos A = 0, 35$ . Найдите $A B$ . $20$

база $sin A = 0, 28$ . Найдите $cos A$ . $0, 96$
базаЧто больше: $cos 4 0^{\circ}$ или $cos 5 0^{\circ}$ ? $cos 4 0^{\circ}$
база $tg A = 0, 4$ . Найдите $ctg A$ . $2, 5$

R04.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A C = BC$ , $A B = 24$ , $sin A = \frac{5}{13}$ . Найдите $A C$ . $13$
повыш. $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A H = 9$ , $tg A = \frac{4}{3}$ . Найдите $A B$ . $25$
повыш.Упростите $\frac{1 - cos ^{2} A}{1 - sin ^{2} A} \cdot ctg^{2} A$ . $1$
из жизниДвускатная крыша над домом шириной $8$ м, тангенс угла ската $0, 75$ . Найдите длину ската. $5$ м

R04.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 17 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ угол $C$ равен $9 0^{\circ}$ , $BC = 12$ , $tg A = 1, 5$ . Найдите $A C$ . $8$
ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ $A C = BC = 25$ , $A B = 40$ . Найдите $sin A$ . $0, 6$
ОГЭ 17Сторона ромба равна $20$ , косинус острого угла $0, 6$ . Найдите высоту ромба. $16$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Синус острого угла прямоугольного треугольника — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника — отношение противолежащего катета к прилежащему.
Косинус острого угла может быть больше 1.

Ответ: 2

R04.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 40$ , $sin A = 0, 35$ . Найдите $BC$ . $14$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 12$ , $tg A = 0, 75$ . Найдите $A B$ . $15$
$cos A = 0, 8$ ( $A$ — острый). Найдите $tg A$ . $0, 75$
Параллелограмм: $A B = 6$ , $A D = 10$ , $sin A = 0, 5$ . Найдите $S$ . $30$

Вариант 2

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 30$ , $cos A = 0, 4$ . Найдите $A C$ . $12$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $BC = 12$ , $tg A = 0, 75$ . Найдите $A B$ . $20$
$sin A = 0, 6$ ( $A$ — острый). Найдите $ctg A$ . $\frac{4}{3}$
Ромб со стороной $8$ , $sin A = 0, 75$ . Найдите $S$ . $48$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда катет умножаем, а когда делим на синус?
Что делать, если треугольник не прямоугольный?
Как меняется косинус при росте угла?

Домашнее задание

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A C = 15$ , $cos A = 0, 6$ . Найдите $B H$ .
Равнобедренная трапеция: основания $7$ и $19$ , $tg$ острого угла $\frac{4}{3}$ . Найдите $S$ .
* Докажите: $tg A + ctg A = \frac{1}{sin A cos A}$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_sootnosheniya_v_pryamougolnom_treugolnike.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-063 · Практикум: синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии», 18 ч · урок 9/18 · тип П
Единицы → слайды	R04.4 «Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника» → 2–22 · повторение GEOM8U-058 → 3
Результаты	ПР-5 (отношения в прямоугольных треугольниках) → 4–13, 16–21 · ПР-11 (практические задачи с тригонометрией) → 15, 19
Вне урока	значения для 30°, 45°, 60° — GEOM8U-064; теорема синусов — 9 класс (сл. 13, задание 3 как задача)
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника

Сегодня вы научитесь

Решать прямоугольный треугольник

Применять тождества

Работать с фигурами

Доказывать и моделировать

Треугольник 7 – 24 – 25

Четыре отношения и как из них найти сторону

Высота делит его на два прямоугольных

Образец: AC=BC=10, cosA=0,6. Найдите AB и высоту CH.

Сам (AC=BC, CH — высота)

По одной функции — все остальные

Основное

Следствия

Два острых угла

Упростите и вычислите

Образец: упростите (1−sinA)(1+sinA)⋅tg2A.

Сам

Что дано — какую формулу взять

Треугольник не прямоугольный — проводим высоту

Один угол — в трёх треугольниках

Образец: ∠C=90∘, CH — высота, AC=20, cosA=0,8. Найдите CH и BH.

Сам (∠C=90∘, CH — высота)

Высота через синус — площадь

Образец: ABCD — параллелограмм, AB=10, AD=14, sinA=0,6. Найдите S.

Сам

Как меняются синус и косинус при росте угла

Площадь треугольника через синус

Образец: в △ABC угол C острый. Докажите: S=21​AC⋅BC⋅sinC.

Сам: план и обоснования

От таблицы хорд к синусу

Уклон: тангенс угла наклона

Образец: крыльцо высотой 0,6 м, уклон пандуса tgα=0,08. Найдите длину пандуса.

Сам (можно с калькулятором)

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) sinA=0,8, угол A острый. Найдите tgA.

б) Параллелограмм: AB=8, AD=12, sinA=0,5. Найдите S.

в) ∠C=90∘, BC=6, sinA=0,3. Найдите AB.

Решите и проверьте (∠C=90∘)

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-063 · Практикум: синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла

Образец: $A C = BC = 10$ , $cos A = 0, 6$ . Найдите $A B$ и высоту $C H$ .

Сам ( $A C = BC$ , $C H$ — высота)

Образец: упростите $(1 - sin A) (1 + sin A) \cdot tg^{2} A$ .

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A C = 20$ , $cos A = 0, 8$ . Найдите $C H$ и $B H$ .

Сам ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота)

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A B = 10$ , $A D = 14$ , $sin A = 0, 6$ . Найдите $S$ .

Образец: в $△ A BC$ угол $C$ острый. Докажите: $S = \frac{1}{2} A C \cdot BC \cdot sin C$ .

Образец: крыльцо высотой $0, 6$ м, уклон пандуса $tg α = 0, 08$ . Найдите длину пандуса.

а) $sin A = 0, 8$ , угол $A$ острый. Найдите $tg A$ .

б) Параллелограмм: $A B = 8$ , $A D = 12$ , $sin A = 0, 5$ . Найдите $S$ .

в) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $BC = 6$ , $sin A = 0, 3$ . Найдите $A B$ .

Решите и проверьте ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ )