Теорема Пифагора и начала тригонометрии · урок 8 из 18 · практикум

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень · практикум
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM8U-062

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии» (18 ч), урок 8/18, единица R04.3. Тип урока — П (практикум). Теория урока 57 (GEOM8U-057) не повторяется целиком — только сводка; новые типы задач: катет и высота, периметры и площади частей, обратная теорема, построение $pq$ , четырёхугольники, арка.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка 2 · следствие о периметрах и площадях 2 · демонстрационная задача 2 · обратная теорема 2,5 · построение 2,5.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 × 5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2 · повышенный 2 · ОГЭ 15/17 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец «Задача на доказательство» (сл. 12) и ОГЭ 24 — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.
На титуле: точки полуокружности и перпендикуляры к диаметру — каждый перпендикуляр есть среднее пропорциональное отрезков диаметра (сл. 10 и 14).

R04.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Комбинировать формулы

находить все элементы по любым двум, составлять уравнения (ПР-5)

Сравнивать части

периметры и площади трёх подобных треугольников (ПР-5, ПР-8)

Доказывать

обратную теорему и задачи формата ОГЭ 24 (ПР-5)

Строить и применять

отрезок $pq$ , задачи из жизни (ПР-9, ПР-11)

0,5 мин · теория
ПР-5: «…Доказывать и применять отношения пропорциональности в прямоугольных треугольниках». ПР-8: «Знать отношение площадей подобных фигур и применять при решении задач». ПР-9: «…Строить математическую модель в практических задачах, самостоятельно проводить чертеж и находить соответствующие длины». ПР-11: «Применять полученные знания на практике – строить математические модели для задач реальной жизни…».
Вид деятельности ФРП R04: «Доказывать соотношения между пропорциональными отрезками в прямоугольном треугольнике и применять их при решении геометрических задач».

повторение: R04.1–R04.3

Разминка · устно

Пифагор и среднее пропорциональное

На рисунке $∠ C = 9 0^{\circ}$ . Найдите $C H$ . $6$
Какие три треугольника на рисунке подобны? $A C H$ , $CB H$ , $A BC$
Лестница $5$ м, низ — в $3$ м от стены. На какой высоте верх? $4$ м
Среднее пропорциональное чисел $2$ и $18$ ? $6$
Катеты $5$ и $12$ . Гипотенуза? $13$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 12$ , $A C = 6$ . Найдите $A H$ . $3$
Вычислите $0, 4 \cdot 10$ . $2$

R04.3

Вспомним · схема-конспект

Шесть величин: зная две — найдём остальные

Что	Формула
подобие	$△ A C H \sim △ CB H \sim △ A BC$
высота	$h^{2} = a_{c} b_{c}$ , $h = \frac{ab}{c}$
катеты	$a^{2} = c a_{c}$ , $b^{2} = c b_{c}$
проекции	$a_{c} : b_{c} = a^{2} : b^{2}$ , $a_{c} + b_{c} = c$

R04.3

Образец → сам · катет и высота

Данные в разных формулах

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $BC = 15$ , $C H = 12$ . Найдите $A B$ и $A C$ .

$H B = 1 5^{2} - 1 2^{2} = 9$ Пифагор в $△ CB H$

$A H = \frac{1 2 ^{2}}{9} = 16$ , $A B = 25$ $h^{2} = a_{c} b_{c}$

$A C = 25 \cdot 16 = 20$ $b^{2} = c b_{c}$

Сам

$A C = 10$ , $C H = 6$ . Найдите $H B$ и $A B$ . $H B = 4, 5$ , $A B = 12, 5$
$BC = 20$ , $C H = 12$ . Найдите $A C$ . $15$
Катет $6$ , его проекция на гипотенузу $3, 6$ . Найдите другой катет. $8$

R04.3

Следствие · периметры и площади частей

Три подобных треугольника — три гипотенузы

1Гипотенузы: I —

b

, II —

a

,

△ A BC

—

c

соответственные стороны подобных треугольников

2

P_{I} : P_{II} : P = b : a : c

периметры — как соответственные стороны

3

S_{I} : S_{II} : S = b^{2} : a^{2} : c^{2}

площади — как квадраты; ещё

S_{I} : S_{II} = A H : H B

(общая высота

C H

)

4

S_{I} + S_{II} = S

⇒

b^{2} + a^{2} = c^{2}

;

P_{I}^{2} + P_{II}^{2} = P^{2}

Пифагор «для площадей» и «для периметров»

2 мин · теория
I $= △ A C H$ (гипотенуза $A C = b$ ), II $= △ CB H$ (гипотенуза $CB = a$ ). Все три треугольника подобны, поэтому любой линейный элемент (сторона, высота, периметр, медиана) пропорционален гипотенузе, а площадь — квадрату гипотенузы.
Шаг 4: из $S_{I} = k b^{2}$ , $S_{II} = k a^{2}$ , $S = k c^{2}$ (одно и то же $k$ для подобных фигур) и $S_{I} + S_{II} = S$ получаем ещё одно доказательство теоремы Пифагора. Аналогично $P_{I} = mb$ , $P_{II} = ma$ , $P = m c$ ⇒ $P_{I}^{2} + P_{II}^{2} = m^{2} (a^{2} + b^{2}) = P^{2}$ .
Ошибка: $P = P_{I} + P_{II}$ — неверно, $C H$ входит в оба периметра: $P_{I} + P_{II} = P + 2 C H$ .

R04.3

Образец → сам · периметры и площади

Отношения частей треугольника

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A H = 4$ , $H B = 9$ . Найдите $S_{A C H} : S_{CB H}$ , $P_{A C H} : P_{CB H}$ и $S_{A BC}$ .

$S_{A C H} : S_{CB H} = A H : H B = 4 : 9$ общая высота $C H$

$k^{2} = \frac{4}{9}$ ⇒ $P_{A C H} : P_{CB H} = 2 : 3$ периметры — как $k$

$C H = 6$ , $S_{A BC} = \frac{13 \cdot 6}{2} = 39$

Сам

$S_{A C H} : S_{CB H} = 9 : 16$ . Найдите $A C : BC$ . $3 : 4$
$A C = 6$ , $BC = 8$ . Найдите $S_{A C H} : S_{A BC}$ . $9 : 25$
$P_{A BC} = 60$ , $A C : BC = 3 : 4$ . Найдите $P_{CB H}$ . $48$

R04.3 · ОГЭ 25

Демонстрационная задача · решает учитель

По периметрам частей — весь треугольник

Высота

C H

прямоугольного

△ A BC

делит его на треугольники с периметрами

36

и

48

. Найдите периметр и стороны

△ A BC

.

1

P_{A C H} : P_{CB H} : P = b : a : c

следствие, шаг 2

2

P = 3 6^{2} + 4 8^{2} = 60

P_{I}^{2} + P_{II}^{2} = P^{2}

3

b : a : c = 36 : 48 : 60 = 3 : 4 : 5

3 t + 4 t + 5 t = 60

,

t = 5

4

A C = 15

,

BC = 20

,

A B = 25

R04.3

Обратная теорема · доказательство

Если $C H^{2} = A H \cdot H B$ , то угол $C$ прямой

Дано:

C H ⊥ A B

,

H

между

A

и

B

,

C H^{2} = A H \cdot H B

.
Доказать:

∠ A CB = 9 0^{\circ}

.

1

\frac{A H}{C H} = \frac{C H}{H B}

,

∠ A H C = ∠ C H B = 9 0^{\circ}

условие;

C H ⊥ A B

2

△ A H C

\sim

△ C H B

,

A \to C

,

H \to H

,

C \to B

II признак: две стороны пропорциональны, углы между ними равны

3

∠ A C H = ∠ B

соответственные углы подобных треугольников

4

∠ A CB = ∠ B + ∠ H CB = 9 0^{\circ}

острые углы прямоугольного

△ C H B

2,5 мин · теория
Каждый шаг — вопрос классу «почему?». Шаг 1: делим $C H^{2} = A H \cdot H B$ на $C H \cdot H B$ . Шаг 2: стороны $A H$ , $H C$ треугольника $A H C$ пропорциональны сторонам $C H$ , $H B$ треугольника $C H B$ , углы между ними — прямые.
Шаг 4: $∠ A CB = ∠ A C H + ∠ H CB = ∠ B + ∠ H CB$ , а в $△ C H B$ сумма острых углов $9 0^{\circ}$ .
Условие « $H$ между $A$ и $B$ » важно: иначе $∠ A CB \neq = ∠ A C H + ∠ H CB$ . Это было задание ДЗ* урока 57 — пусть автор решения расскажет.
Применение: проверка прямого угла без транспортира — по высоте и отрезкам (повышенный уровень, задание 2).

R04.3

Построение · среднее пропорциональное

Как построить отрезок $x = pq$

1На прямой:

A H = p

,

H B = q

2

O

— середина

A B

, окружность с центром

O

радиус

R = O A = (p + q) : 2

3Перпендикуляр к

A B

в точке

H

→ точка

C

4

O A = OB = OC

⇒

∠ A CB = 9 0^{\circ}

медиана

CO

равна половине

A B

5

x = C H = pq

теорема о высоте

R04.3

Образец → сам · построение на клетчатой бумаге

Постройте отрезок с длиной-корнем

Образец: постройте отрезок $6$ (клетка — $1$ ).

$6 = 2 \cdot 3$ : $A H = 2$ , $H B = 3$ , $O$ — середина, $R = 2, 5$

перпендикуляр в $H$ до окружности → $C$

$C H = 2 \cdot 3 = 6 \approx 2, 45$ теорема о высоте

Сам: постройте в тетради

Отрезок $15$ . $A H = 3$ , $H B = 5$ , $R = 4$
Отрезок $7$ — двумя способами. $1$ и $7$ ( $R = 4$ ) или $2$ и $3, 5$
Даны отрезки $a$ и $b$ . Постройте $x$ : $a : x = x : b$ . $x = ab$ : $A H = a$ , $H B = b$

R04.3

Образец → сам · задача на доказательство

Две высоты внутри треугольника

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H ⊥ A B$ , $H M ⊥ A C$ , $HK ⊥ BC$ . Докажите: $CM \cdot C A = C K \cdot CB$ .

$△ A C H$ , $H M$ — высота: $C H^{2} = CM \cdot C A$ о катете

$△ BC H$ : $C H^{2} = C K \cdot CB$ ⇒ равны так же

Сам: докажите или найдите

$M K = C H$ . $CM HK$ — прямоугольник, диагонали равны
$△ CM K \sim △ CB A$ . $\frac{CM}{CB} = \frac{C K}{C A}$ , $∠ C$ — общий
$A C = 15$ , $BC = 20$ . Найдите $CM$ и $C K$ . $9, 6$ и $7, 2$

R04.3 · R01

Образец → сам · в четырёхугольниках

Найдите прямоугольный треугольник с высотой

Образец: ромб $A BC D$ , $O H ⊥ A B$ , $A H = 16$ , $H B = 9$ . Найдите высоту и площадь ромба.

$∠ A OB = 9 0^{\circ}$ ⇒ $O H = 16 \cdot 9 = 12$ диагонали $⊥$

$h = 2 \cdot O H = 24$ , $S = 25 \cdot 24 = 600$ $O$ — центр

Сам

Ромб: $O H ⊥ A B$ делит сторону на $4$ и $9$ . Высота ромба? $12$
Прямоугольник $A BC D$ , $B H ⊥ A C$ , $A H = 9$ , $H C = 16$ . Площадь? $300$
Трапеция $A BC D$ , $∠ A = ∠ B = 9 0^{\circ}$ , $A C ⊥ B D$ , $BC = 4$ , $A D = 9$ . Найдите $A B$ . $6$

R04.3 · ПР-11

Образец → сам · задача из жизни

Полукруглая арка

Образец: пролёт полукруглой арки $10$ м. Какой высоты стойка в $2$ м от края?

$C$ на полуокружности ⇒ $∠ A CB = 9 0^{\circ}$ сл. 10

$C H = 2 \cdot 8 = 4$ м теорема о высоте

Сам

Пролёт $8$ м, стойка в $1, 6$ м от края. Её высота? $3, 2$ м
Пролёт $10$ м. Где поставить стойку высотой $3$ м? в $1$ м от края
Тропинки $30$ м и $40$ м сходятся под прямым углом, концы соединены прямой дорожкой. Кратчайший путь от развилки до дорожки? $24$ м

R04.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$C H^{2} = A H \cdot H B$ в любом $△ A BC$	формула верна только при $∠ C = 9 0^{\circ}$	сначала доказать, что угол прямой
$S_{A C H} : S_{CB H} = A C : BC$	площади подобных — как квадраты	$= A C^{2} : B C^{2} = A H : H B$
$P = P_{A C H} + P_{CB H}$	$C H$ посчитана дважды	$P^{2} = P_{A C H}^{2} + P_{CB H}^{2}$
Перпендикуляр к $A B$ — в центре $O$	получится радиус $\frac{p + q}{2}$	перпендикуляр — в точке $H$

R04.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $C H ⊥ A B$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ , $A H = 4$ , $H B = 9$ . Найдите $C H$ .

$C H = 4 \cdot 9 = 6$

$∠ C = 9 0^{\circ}$ не дан! $△ C H B$ : $∠ B = 4 5^{\circ}$ ⇒ $C H = H B = 9$

б) «Обратная теорема»: дано $C H ⊥ A B$ , $C H^{2} = A H \cdot H B$ .

$A H : C H = C H : H B$ ⇒ $△ A H C \sim △ C H B$ по двум сторонам

нужен ещё угол между ними: $∠ A H C = ∠ C H B = 9 0^{\circ}$

в) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A H = 1$ , $H B = 4$ . Найдите $S_{A C H} : S_{CB H}$ .

$A C : BC = 1 : 2$ ⇒ $S_{A C H} : S_{CB H} = 1 : 2$

$k = 1 : 2$ ⇒ $S_{A C H} : S_{CB H} = 1 : 4$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Здесь $∠ A = arctg \frac{9}{4} \approx 6 6^{\circ}$ , $∠ C \approx 6 9^{\circ}$ — не прямой, формула неприменима. Прямоугольный $△ C H B$ с углом $4 5^{\circ}$ равнобедренный: $C H = H B = 9$ .
б) Две пропорциональные стороны без угла между ними — не признак подобия (II признак требует равных углов между этими сторонами).
в) $A C = 5 \cdot 1 = 5$ , $BC = 5 \cdot 4 = 25$ — отношение $1 : 2$ верно, но площади подобных треугольников относятся как $k^{2} = 1 : 4$ (= $A H : H B$ ).

R04.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H ⊥ A B$ )

база $A H = 8$ , $H B = 2$ . Найдите $C H$ . $4$
база $A B = 16$ , $A C = 8$ . Найдите $A H$ . $4$
база $A C = 15$ , $C H = 12$ . Найдите $A H$ . $9$

база $S_{A C H} : S_{CB H} = 1 : 9$ . Найдите $A C : BC$ . $1 : 3$
базаАрка: пролёт $13$ м, стойка в $4$ м от края. Высота? $6$ м
база $A H = 1$ , $C H = 3$ . Найдите $A B$ . $10$

R04.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $∠ C = 9 0^{\circ}$ , катет $A C = 6$ , высота $C H = 4, 8$ . Найдите гипотенузу. $10$
повыш.В $△ A BC$ высота $C H = 4$ , $A H = 2$ , $H B = 8$ ( $H$ на $A B$ ). Найдите $∠ A CB$ и $A C$ . $9 0^{\circ}$ ; $25$
повыш.Высота прямоугольного треугольника делит его на части с периметрами $15$ и $20$ . Найдите периметр треугольника. $25$
повыш.Высота к гипотенузе делит треугольник на части с площадями $54$ и $96$ . Найдите гипотенузу. $25$

R04.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 17

Ответ — одно число

ОГЭ 15В прямоугольном треугольнике $A BC$ с прямым углом $C$ проведена высота $C H$ . Найдите $B H$ , если $C H = 12$ , $A C = 13$ . $28, 8$
ОГЭ 15Катет прямоугольного треугольника равен $12$ , его проекция на гипотенузу — $7, 2$ . Найдите гипотенузу. $20$
ОГЭ 17Диагонали ромба равны $30$ и $40$ . Найдите высоту ромба. $24$

R04.3 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 В прямоугольном треугольнике $A BC$ катет $A C = 12$ , высота $C H = 7, 2$ . Найдите $BC$ и $A B$ .

$A H = 144 - 51, 84 = 9, 6$ , $H B = \frac{51 , 84}{9 , 6} = 5, 4$

$A B = 15$ , $BC = 15 \cdot 5, 4 = 9$

ОГЭ 24 В трапеции $A BC D$ $∠ A = ∠ B = 9 0^{\circ}$ , диагонали перпендикулярны. Докажите: $A B^{2} = BC \cdot A D$ .

$∠ B A C = 9 0^{\circ} - ∠ A B D = ∠ A D B$ ( $△ A BO$ и $△ A B D$ )

$△ A BC \sim △ D A B$ ⇒ $\frac{BC}{A B} = \frac{A B}{A D}$ ⇒ доказано

R04.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H ⊥ A B$ )

Вариант 1

$A H = 3$ , $H B = 27$ . Найдите $C H$ . $9$
$BC = 10$ , $C H = 6$ . Найдите $A B$ . $12, 5$
$S_{A C H} : S_{CB H} = 4 : 25$ . Найдите $A C : BC$ . $2 : 5$
Арка: пролёт $25$ м, стойка в $5$ м от края. Высота? $10$ м

Вариант 2

$A H = 2$ , $H B = 32$ . Найдите $C H$ . $8$
$A C = 15$ , $C H = 12$ . Найдите $A B$ . $25$
$S_{A C H} : S_{CB H} = 9 : 49$ . Найдите $A C : BC$ . $3 : 7$
Арка: пролёт $20$ м, стойка в $4$ м от края. Высота? $8$ м

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что делать, если данные не стоят в одной формуле?
Как относятся площади частей, на которые высота делит треугольник?
Как построить отрезок $pq$ ?

Домашнее задание

Катет $20$ , высота к гипотенузе $12$ . Найдите все отрезки.
Постройте отрезок $10$ двумя способами.
* Трапеция: $∠ A = ∠ B = 9 0^{\circ}$ , $A C ⊥ B D$ , $A B = 12$ , $BC = 8$ . Найдите площадь.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_primenenie_podobiya_03.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-062 · Практикум: пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии», 18 ч · урок 8/18 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R04.3 «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике» → 2, 4–22 · повторение (R04.1, R04.2) → 3 · ромб, прямоугольник, трапеция (R01) → 13, 20
Результаты	ПР-5 (доказывать и применять отношения пропорциональности в прямоугольных треугольниках) → 4–21; ПР-8 (отношение площадей подобных фигур) → 6, 7, 16–18; ПР-9 и ПР-11 (модель практической задачи) → 11, 14, 17, 21
Вне урока	синус, косинус, тангенс — GEOM8U-058/063; вписанный угол, опирающийся на диаметр, — R05 (здесь прямой угол обоснован медианой, равной половине стороны)
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Сегодня вы научитесь

Комбинировать формулы

Сравнивать части

Доказывать

Строить и применять

Пифагор и среднее пропорциональное

Шесть величин: зная две — найдём остальные

Данные в разных формулах

Образец: ∠C=90∘, BC=15, CH=12. Найдите AB и AC.

Сам

Три подобных треугольника — три гипотенузы

Отношения частей треугольника

Образец: ∠C=90∘, AH=4, HB=9. Найдите SACH​:SCBH​, PACH​:PCBH​ и SABC​.

Сам

По периметрам частей — весь треугольник

Если CH2=AH⋅HB, то угол C прямой

Как построить отрезок x=pq​

Постройте отрезок с длиной-корнем

Образец: постройте отрезок 6​ (клетка — 1).

Сам: постройте в тетради

Две высоты внутри треугольника

Образец: ∠C=90∘, CH⊥AB, HM⊥AC, HK⊥BC. Докажите: CM⋅CA=CK⋅CB.

Сам: докажите или найдите

Найдите прямоугольный треугольник с высотой

Образец: ромб ABCD, OH⊥AB, AH=16, HB=9. Найдите высоту и площадь ромба.

Сам

Полукруглая арка

Образец: пролёт полукруглой арки 10 м. Какой высоты стойка в 2 м от края?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) CH⊥AB, ∠B=45∘, AH=4, HB=9. Найдите CH.

б) «Обратная теорема»: дано CH⊥AB, CH2=AH⋅HB.

в) ∠C=90∘, AH=1, HB=4. Найдите SACH​:SCBH​.

Решите и проверьте (∠C=90∘, CH⊥AB)

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой (∠C=90∘, CH⊥AB)

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-062 · Практикум: пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $BC = 15$ , $C H = 12$ . Найдите $A B$ и $A C$ .

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A H = 4$ , $H B = 9$ . Найдите $S_{A C H} : S_{CB H}$ , $P_{A C H} : P_{CB H}$ и $S_{A BC}$ .

Если $C H^{2} = A H \cdot H B$ , то угол $C$ прямой

Как построить отрезок $x = pq$

Образец: постройте отрезок $6$ (клетка — $1$ ).

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H ⊥ A B$ , $H M ⊥ A C$ , $HK ⊥ BC$ . Докажите: $CM \cdot C A = C K \cdot CB$ .

Образец: ромб $A BC D$ , $O H ⊥ A B$ , $A H = 16$ , $H B = 9$ . Найдите высоту и площадь ромба.

Образец: пролёт полукруглой арки $10$ м. Какой высоты стойка в $2$ м от края?

а) $C H ⊥ A B$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ , $A H = 4$ , $H B = 9$ . Найдите $C H$ .

б) «Обратная теорема»: дано $C H ⊥ A B$ , $C H^{2} = A H \cdot H B$ .

в) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A H = 1$ , $H B = 4$ . Найдите $S_{A C H} : S_{CB H}$ .

Решите и проверьте ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H ⊥ A B$ )

Два варианта — решите свой ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H ⊥ A B$ )