Теорема Пифагора и начала тригонометрии · урок 6 из 18 · практикум

Практикум: теорема Пифагора

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM8U-060

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии» (18 ч), урок 6/18, единица R04.1. Тип урока — П (практикум).
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка 2,5 · схема «где прямой угол» 1,5 · метод двух треугольников 2,5 · демонстрация учителя 3 · дополнительно (острый/тупой) 2.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 × 5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ ч. 1 — 2 · ОГЭ ч. 2 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Урок продолжает GEOM8U-055 (теорема и обратная теорема): здесь новые типы задач — цепочки треугольников, уравнения, высота по трём сторонам, доказательства. Если не успеваете: слайд «Дополнительно» и ОГЭ 24 — в ДЗ.

R04.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить прямой угол

в ромбе, трапеции, на клетках — и применять теорему Пифагора (ПР-9)

Составлять уравнение

по теореме Пифагора, когда стороны выражены через $x$

Находить высоту по трём сторонам

методом двух прямоугольных треугольников

Доказывать равенства

с квадратами отрезков; решать задачи ОГЭ 15–19, 23–24

повторение: GEOM8U-055, 059

Разминка · устно

Пифагор и угол $3 0^{\circ}$

На рисунке: чему равен $BC$ ? $5$
Чему равен $A C$ ? $53$
Катеты $5$ и $12$ . Гипотенуза? $13$
Гипотенуза $25$ , катет $24$ . Другой катет? $7$
Диагональ квадрата со стороной $3$ ? $32$
Продолжите тройку: $8$ , $15$ , … $17$

R04.1

Сводка правил

Теорема Пифагора и обратная теорема

c^{2}

=

a^{2}

+

b^{2}

Найти катет

$a$ $= c^{2} - b^{2}$ — гипотенуза всегда уменьшаемое

Обратная теорема

если $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , то угол против $c$ — прямой

Полезно помнить

$3, 4, 5$ · $5, 12, 13$ · $8, 15, 17$ · $7, 24, 25$
$d = a 2$ — диагональ квадрата, $h = \frac{a 3}{2}$

2,5 мин · теория
Короткое повторение GEOM8U-055: формулировки прямой и обратной теорем просить произнести учеников. Цвет сторон на чертеже совпадает с цветом в формуле.
Тройки можно умножать на число: 6, 8, 10; 9, 12, 15; 10, 24, 26. d = a√2 — диагональ квадрата, h = a√3/2 — высота равностороннего треугольника (обе выводятся из теоремы Пифагора).
Вопрос: какая теорема говорит «треугольник прямоугольный ⇒ …», а какая «… ⇒ треугольник прямоугольный»?

R04.1

Схема · где спрятан прямоугольный треугольник

Ищем прямой угол в фигуре

Прямоугольник

d^{2} = a^{2} + b^{2}

Ромб: диагонали $⊥$

a^{2} = (\frac{d _{1}}{2})^{2} + (\frac{d _{2}}{2})^{2}

Равнобедренный треугольник

h^{2} = b^{2} - (\frac{a}{2})^{2}

Равнобедренная трапеция

A H = \frac{a - b}{2}

Равносторонний треугольник

h = \frac{a 3}{2}

Клетчатая бумага

A B = 5^{2} + 3^{2} = 34

R04.1

Образец → сам · цепочка треугольников

Два треугольника с общим катетом

Образец: $B H ⊥ A C$ , $A B = 13$ , $B H = 12$ , $H C = 16$ . Найдите $BC$ и $P_{A BC}$ .

$A H = 1 3^{2} - 1 2^{2} = 5$ $△ A B H$

$BC = 1 2^{2} + 1 6^{2} = 20$ $△ CB H$

$P = 13 + 20 + (5 + 16) = 54$

Сам

$B D ⊥ A C$ , $A B = 10$ , $A D = 6$ , $D C = 15$ . Найдите $BC$ . $17$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A C = 15$ , $A H = 9$ , $H B = 16$ . Найдите $BC$ . $20$
Сторона квадрата $A BC D$ равна $8$ , $M$ — середина $C D$ . Найдите $A M$ . $45$

R04.1

Образец → сам · уравнение по теореме Пифагора

Стороны выражены через $x$

Образец: один катет равен $6$ , другой на $2$ меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу.

$x^{2} = (x - 2)^{2} + 6^{2}$ теорема Пифагора

$x^{2} = x^{2} - 4 x + 4 + 36$ ⇒ $4 x = 40$

$x = 10$ проверка: $8^{2} + 6^{2} = 1 0^{2}$

Сам

Катет $12$ , другой катет на $8$ меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу. $13$
Катеты относятся как $5 : 12$ , гипотенуза $26$ . Найдите катеты. $10$ и $24$
Периметр прямоугольного треугольника $24$ , гипотенуза $10$ . Найдите катеты. $6$ и $8$

R04.1

Метод · два прямоугольных треугольника

Высота треугольника по трём сторонам

Дано: стороны

a

,

b

,

c

;

B H = h

— высота.
Найти:

A H = x

и

h

.

1

h^{2} = c^{2} - x^{2}

теорема Пифагора в

△ A B H

2

h^{2} = a^{2} - (b - x)^{2}

теорема Пифагора в

△ CB H

3

c^{2} - x^{2} = a^{2} - (b - x)^{2}

правые части равны;

x^{2}

сокращается — линейное уравнение

4нашли

x

⇒

h = c^{2} - x^{2}

,

S = \frac{1}{2} bh

если

H

вне

A C

— пишем

b + x

R04.1

Образец → сам · высота по трём сторонам

Треугольник $13$ , $14$ , $15$

Образец: $A B = 13$ , $BC = 15$ , $A C = 14$ . Найдите высоту $B H$ и $S_{A BC}$ .

$1 3^{2} - x^{2} = 1 5^{2} - (14 - x)^{2}$ общий катет $B H$

$169 = 29 + 28 x$ ⇒ $x = 5$

$B H = 169 - 25 = 12$ , $S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12 = 84$

Сам

Стороны $10$ , $17$ , $21$ . Найдите высоту к стороне $21$ . $8$
Стороны $25$ , $39$ , $56$ . Найдите высоту к стороне $56$ и площадь. $15$ ; $420$
Стороны $4$ , $13$ , $15$ . Найдите высоту к стороне $4$ . $12$ (основание — вне стороны)

2,5 мин · практика
Образец: 169 − x² = 225 − 196 + 28x − x² ⇒ 169 = 29 + 28x ⇒ x = 5. Числа 13, 14, 15 стоит запомнить: высота 12, площадь 84.
1) x — отрезок у стороны 10: 100 − x² = 289 − (21 − x)² ⇒ 100 = −152 + 42x ⇒ x = 6, h = √(100 − 36) = 8 (S = 84).
2) 625 − x² = 1521 − (56 − x)² ⇒ 625 = −1615 + 112x ⇒ x = 20, h = √(625 − 400) = 15, S = ½ · 56 · 15 = 420.
3) Угол при стороне 4 тупой: основание высоты лежит на продолжении стороны. 169 − x² = 225 − (4 + x)² ⇒ 169 = 209 − 8x ⇒ x = 5, h = √(169 − 25) = 12. Если взять 4 − x, получится x = −5: знак подсказывает, что H вне отрезка.

R04.1

Демонстрация · учитель решает

Медиана и вторая высота того же треугольника

A B = 13

,

BC = 15

,

A C = 14

,

M

— середина

A C

.
Найти: медиану

BM

и высоту

A K

.

1

A H = 5

,

B H = 12

из образца: метод двух треугольников

2

H M = A M - A H = 7 - 5 = 2

A M = \frac{1}{2} A C = 7

3

BM = 1 2^{2} + 2^{2} = 148 = 237

теорема Пифагора в

△ B H M

4

A K = \frac{2 S}{BC} = \frac{168}{15} = 11, 2

S = 84

— та же площадь через другую высоту

R04.1

Образец → сам · чертёж строим сами

Трапеция и ромб: проведите высоту

Образец: основания равнобедренной трапеции $7$ и $25$ , боковая сторона $15$ . Найдите высоту и диагональ.

$A H = \frac{25 - 7}{2} = 9$ , $B H = 1 5^{2} - 9^{2} = 12$

$HD = 25 - 9 = 16$ $= \frac{25 + 7}{2}$

$B D = 1 2^{2} + 1 6^{2} = 20$ $△ B HD$

Сам: сначала нарисуйте

Прямоугольная трапеция: основания $9$ и $15$ , большая боковая сторона $10$ . Найдите меньшую боковую сторону и большую диагональ. $8$ и $17$
Сторона ромба $10$ , одна диагональ $16$ . Найдите другую диагональ и площадь. $12$ ; $96$
Диагонали ромба $12$ и $16$ . Найдите его высоту. $9, 6$

R04.1

Образец → сам · доказательство

Четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями

Образец: $A C ⊥ B D$ . Докажите: $A B^{2} + C D^{2} = B C^{2} + A D^{2}$ .

$A B^{2} = A O^{2} + B O^{2}$ , $C D^{2} = C O^{2} + D O^{2}$ т. Пифагора

$B C^{2} = B O^{2} + C O^{2}$ , $A D^{2} = A O^{2} + D O^{2}$

обе суммы $= A O^{2} + B O^{2} + C O^{2} + D O^{2}$ ч. т. д.

Сам

$A C ⊥ B D$ , $A B = 5$ , $BC = 6$ , $C D = 7$ . Найдите $A D$ . $38$
$B H$ — высота $△ A BC$ . Докажите: $A B^{2} - B C^{2} = A H^{2} - C H^{2}$ . $B H^{2}$ — общий катет
$M$ — точка внутри прямоугольника $A BC D$ . Докажите: $M A^{2} + M C^{2} = M B^{2} + M D^{2}$ . перпендикуляры из $M$ к сторонам

сверх ФРП · углубление

Дополнительно · острый или тупой угол

Сравниваем $c^{2}$ и $a^{2} + b^{2}$

$∠ C$ острый: $H$ на отрезке $A C$

$c^{2} = h^{2} + (b - x)^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 b x < a^{2} + b^{2}$

$∠ C$ тупой: $H$ за точкой $C$

$c^{2} = h^{2} + (b + x)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 b x > a^{2} + b^{2}$

c

— наибольшая сторона:

c^{2} < a^{2} + b^{2}

— остроугольный,

c^{2} = a^{2} + b^{2}

— прямоугольный,

c^{2} > a^{2} + b^{2}

— тупоугольный.

R04.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 13$ , $BC = 5$ : $A C = 1 3^{2} + 5^{2}$	$A B$ — гипотенуза, её квадрат — сумма, а не слагаемое	$A C = 169 - 25 = 12$
$6^{2} + 8^{2} = 6 + 8 = 14$	корень из суммы не равен сумме	$36 + 64 = 10$
$7$ , $24$ , $25$ : $7^{2} + 2 5^{2} \neq = 2 4^{2}$ ⇒ не прямоугольный	сравнивают квадрат наибольшей стороны	$7^{2} + 2 4^{2} = 625 = 2 5^{2}$ — прямоугольный
трапеция $6$ и $16$ : $A H = 16 - 6 = 10$	у равнобедренной трапеции два равных «хвостика»	$A H = \frac{16 - 6}{2} = 5$

R04.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Катет $5$ , другой на $1$ меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу.

$x^{2} = (x - 1)^{2} + 25$

$x^{2} = x^{2} - 1 + 25$ ⇒ $0 = 24$ , решений нет

$(x - 1)^{2} = x^{2} - 2 x + 1$ ⇒ $2 x = 26$ , $x = 13$

б) Стороны $20$ , $21$ , $29$ . Докажите, что треугольник прямоугольный.

$2 0^{2} + 2 1^{2} = 841 = 2 9^{2}$ , значит, по теореме Пифагора он прямоугольный

вывод делают по обратной теореме: теорема Пифагора начинается с «треугольник прямоугольный»

в) Диагонали ромба $12$ и $16$ . Найдите сторону.

$a = 1 2^{2} + 1 6^{2} = 20$

катеты — половины диагоналей: $a = 6^{2} + 8^{2} = 10$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Квадрат разности раскрыт неверно. Верно: x² = x² − 2x + 1 + 25 ⇒ x = 13; проверка 12² + 5² = 169.
б) Ответ верный, обоснование — нет: перепутаны теорема и обратная теорема (как свойство и признак). Прямой угол — против стороны 29.
в) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам: прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8.

R04.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаКатеты $9$ и $40$ . Найдите гипотенузу. $41$
базаГипотенуза $34$ , катет $16$ . Найдите другой катет. $30$
базаДиагональ прямоугольника $26$ , сторона $10$ . Найдите площадь. $240$

базаСторона ромба $13$ , диагональ $24$ . Найдите другую диагональ. $10$
базаСторона равностороннего треугольника $6$ . Найдите высоту. $33$
базаПрямоугольный ли треугольник со сторонами $12$ , $35$ , $37$ ? да

R04.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Боковая сторона равнобедренного треугольника $10$ , высота к основанию $8$ . Найдите высоту к боковой стороне. $9, 6$
повыш.Катеты $15$ и $20$ . Найдите высоту, проведённую к гипотенузе. $12$
повыш.Точка $M$ внутри прямоугольника $A BC D$ : $M A = 3$ , $MB = 4$ , $MC = 5$ . Найдите $M D$ . $32$
из жизниДиагональ экрана $5 5^{''}$ ( $\approx 140$ см), стороны относятся как $16 : 9$ . Найдите ширину экрана. $\approx 122$ см

R04.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 17, 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15Боковая сторона равнобедренного треугольника $34$ , основание $60$ . Найдите площадь. $480$
ОГЭ 17Основания равнобедренной трапеции $15$ и $33$ , боковая сторона $41$ . Найдите площадь. $960$
ОГЭ 18Клетка $1 \times 1$ . Найдите длину отрезка $A B$ . $10$

ОГЭ 19 Верные утверждения: 1) гипотенуза больше любого катета; 2) треугольник со сторонами $2$ , $3$ , $4$ прямоугольный; 3) диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a 2$ . $13$

R04.1 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Стороны треугольника $13$ , $20$ и $21$ . Найдите его площадь.

$1 3^{2} - x^{2} = 2 0^{2} - (21 - x)^{2}$ ⇒ $x = 5$

$h = 169 - 25 = 12$

$S = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 12 = 126$

ОГЭ 24 $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A M$ , $BN$ , $C K$ — медианы. Докажите: $A M^{2} + B N^{2} = 5 C K^{2}$ .

$A M^{2} = b^{2} + \frac{a ^{2}}{4}$ , $B N^{2} = a^{2} + \frac{b ^{2}}{4}$

$A M^{2} + B N^{2} = \frac{5}{4} (a^{2} + b^{2}) = \frac{5}{4} c^{2}$

$C K = \frac{c}{2}$ ⇒ $5 C K^{2} = \frac{5}{4} c^{2}$

2 мин · практика
23) Метод двух треугольников, x — отрезок у стороны 13: 169 − x² = 400 − 441 + 42x − x² ⇒ 42x = 210 ⇒ x = 5, h = 12, S = 126. Проверка по формуле Герона (9 класс): p = 27, √(27 · 14 · 7 · 6) = 126.
24) a = BC, b = AC, c = AB. △ACM: AM² = AC² + CM² = b² + a²/4; △BCN: BN² = a² + b²/4. Медиана к гипотенузе равна её половине (середина гипотенузы — центр прямоугольника, достроенного на катетах, GEOM8U R01). Для 2 баллов нужны все обоснования.
На уроке — устное обсуждение плана 24, полная запись — в ДЗ по желанию.

R04.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Катеты $7$ и $24$ . Найдите гипотенузу. $25$
Основания равнобедренной трапеции $5$ и $17$ , боковая сторона $10$ . Найдите высоту. $8$
Катет $15$ , другой катет на $9$ меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу. $17$
Стороны треугольника $10$ , $17$ , $21$ . Найдите высоту к стороне $21$ . $8$

Вариант 2

Гипотенуза $29$ , катет $20$ . Найдите другой катет. $21$
Основания равнобедренной трапеции $4$ и $20$ , боковая сторона $10$ . Найдите высоту. $6$
Катет $20$ , другой катет на $8$ меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу. $29$
Стороны треугольника $15$ , $37$ , $44$ . Найдите высоту к стороне $44$ . $12$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Где искать прямой угол в ромбе и в трапеции?
Как найти высоту треугольника по трём сторонам?
Чем теорема Пифагора отличается от обратной?

Домашнее задание

Стороны $17$ , $25$ , $28$ . Найдите высоту к стороне $28$ .
Катет $9$ , другой на $3$ меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу.
* Докажите: $d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 4 a^{2}$ для ромба.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_teorema_pifagora.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-060 · Практикум: Теорема Пифагора

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии», 18 ч · урок 6/18 · тип П
Единицы → слайды	R04.1 «Теорема Пифагора» → 2, 4–21 · повторение (GEOM8U-055, 059) → 3
Результаты	ПР-9 (применять теорему Пифагора для решения геометрических и практических задач, строить модель и чертёж) → 4–21
Вне урока	практические задачи — GEOM8U-061; пропорциональные отрезки — GEOM8U-062; тригонометрия — GEOM8U-063, 064; сравнение $c^{2}$ и $a^{2} + b^{2}$ — «Дополнительно» (сл. 13)
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: теорема Пифагора

Сегодня вы научитесь

Находить прямой угол

Составлять уравнение

Находить высоту по трём сторонам

Доказывать равенства

Пифагор и угол 30∘

Теорема Пифагора и обратная теорема

Найти катет

Обратная теорема

Полезно помнить

Ищем прямой угол в фигуре

Прямоугольник

Ромб: диагонали ⊥

Равнобедренный треугольник

Равнобедренная трапеция

Равносторонний треугольник

Клетчатая бумага

Два треугольника с общим катетом

Образец: BH⊥AC, AB=13, BH=12, HC=16. Найдите BC и PABC​.

Сам

Стороны выражены через x

Образец: один катет равен 6, другой на 2 меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу.

Сам

Высота треугольника по трём сторонам

Треугольник 13, 14, 15

Образец: AB=13, BC=15, AC=14. Найдите высоту BH и SABC​.

Сам

Медиана и вторая высота того же треугольника

Трапеция и ромб: проведите высоту

Образец: основания равнобедренной трапеции 7 и 25, боковая сторона 15. Найдите высоту и диагональ.

Сам: сначала нарисуйте

Четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями

Образец: AC⊥BD. Докажите: AB2+CD2=BC2+AD2.

Сам

Сравниваем c2 и a2+b2

∠C острый: H на отрезке AC

∠C тупой: H за точкой C

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Катет 5, другой на 1 меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу.

б) Стороны 20, 21, 29. Докажите, что треугольник прямоугольный.

в) Диагонали ромба 12 и 16. Найдите сторону.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-060 · Практикум: Теорема Пифагора

Пифагор и угол $3 0^{\circ}$

Ромб: диагонали $⊥$

Образец: $B H ⊥ A C$ , $A B = 13$ , $B H = 12$ , $H C = 16$ . Найдите $BC$ и $P_{A BC}$ .

Стороны выражены через $x$

Образец: один катет равен $6$ , другой на $2$ меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу.

Треугольник $13$ , $14$ , $15$

Образец: $A B = 13$ , $BC = 15$ , $A C = 14$ . Найдите высоту $B H$ и $S_{A BC}$ .

Образец: основания равнобедренной трапеции $7$ и $25$ , боковая сторона $15$ . Найдите высоту и диагональ.

Образец: $A C ⊥ B D$ . Докажите: $A B^{2} + C D^{2} = B C^{2} + A D^{2}$ .

Сравниваем $c^{2}$ и $a^{2} + b^{2}$

$∠ C$ острый: $H$ на отрезке $A C$

$∠ C$ тупой: $H$ за точкой $C$

а) Катет $5$ , другой на $1$ меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу.

б) Стороны $20$ , $21$ , $29$ . Докажите, что треугольник прямоугольный.

в) Диагонали ромба $12$ и $16$ . Найдите сторону.