Теорема Пифагора и начала тригонометрии · урок 5 из 18

Тригонометрические функции углов 30°, 45° и 60°

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM8U-059

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии» (18 ч), урок 5/18, единица R04.5. Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · вывод для 45° 2 · вывод для 30° и 60° 2,5 · таблица 2 · из истории 1,5 · треугольники-шаблоны 1,5 · связи в таблице 2.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 3 + 2,5 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 3 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: «Из истории» — рассказ на 30 секунд, задание 3 повышенного уровня — в ДЗ; выводы значений не сокращать.
Картинка на титуле: половина равностороннего треугольника (углы 30°, 60°, 90°) и квадрат, разрезанный диагональю (углы 45°) — из них сегодня получим всю таблицу.

R04.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выводить значения

$sin$ , $cos$ , $tg$ , $ctg$ углов $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ из треугольников

Составлять таблицу

и восстанавливать её за полминуты без зубрёжки

Решать треугольники

находить стороны и углы по таблице (ПР-9, ПР-11)

Применять на практике

высоты, тени, лестницы, задачи ОГЭ 15, 17, 19 (ПР-11)

0,5 мин · теория
ПР-11: «Применять полученные знания на практике – строить математические модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с применением подобия и тригонометрии». ПР-9: применение теоремы Пифагора, построение чертежа и нахождение длин.
Вид деятельности ФРП R04: «Определять основные тригонометрические функции угла с помощью прямоугольного треугольника, составлять таблицу значений тригонометрических функций для основных углов»; «Знакомиться с историей развития тригонометрии».

повторение: GEOM8U-058

Разминка · устно

Синус, косинус, тангенс — вспоминаем

$sin A = ?$ $\frac{3}{5}$ — противолежащий : гипотенуза
$cos A = ?$ , $tg A = ?$ $\frac{4}{5}$ , $\frac{3}{4}$
Катет против угла $3 0^{\circ}$ равен… половине гипотенузы
Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника? по $4 5^{\circ}$
Гипотенуза при катетах $1$ и $1$ ? $2$
Высота равностороннего треугольника делит его на треугольники с углами… $3 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$

R04.5

Вывод · угол 45°

Равнобедренный прямоугольный треугольник

Дано:

△ A BC

,

∠ C = 9 0^{\circ}

,

∠ A = 4 5^{\circ}

,

A C = a

.
Найти:

sin 4 5^{\circ}

,

cos 4 5^{\circ}

,

tg 4 5^{\circ}

,

ctg 4 5^{\circ}

.

1

∠ B = 4 5^{\circ}

⇒

BC = A C = a

сумма острых углов

9 0^{\circ}

; углы при основании равны ⇒ равнобедренный

2

A B = a^{2} + a^{2} = a 2

теорема Пифагора

3

sin 4 5^{\circ} = \frac{BC}{A B} = \frac{a}{a 2} = \frac{2}{2} = cos 4 5^{\circ}

определение;

\frac{1}{2} = \frac{2}{2}

— домножили на

2

4

tg 4 5^{\circ} = \frac{BC}{A C} = \frac{a}{a} = 1 = ctg 4 5^{\circ}

катеты равны

R04.5

Вывод · углы 30° и 60°

Половина равностороннего треугольника

Дано:

△ A B D

равносторонний,

A B = 2 a

,

BC

— высота.
Найти: значения для

3 0^{\circ}

и

6 0^{\circ}

.

1

A C = a

,

∠ A BC = 3 0^{\circ}

,

∠ A = 6 0^{\circ}

высота равностороннего △ — медиана и биссектриса

2

BC = 4 a^{2} - a^{2} = a 3

теорема Пифагора в

△ A BC

3

sin 3 0^{\circ} = cos 6 0^{\circ} = \frac{a}{2 a} = \frac{1}{2}

,

cos 3 0^{\circ} = sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

для

3 0^{\circ}

противолежащий катет —

A C

, для

6 0^{\circ}

—

BC

4

tg 3 0^{\circ} = \frac{a}{a 3} = \frac{3}{3}

,

tg 6 0^{\circ} = 3

отношение катетов

2,5 мин · теория
Шаг 1 — почему ∠ABC = 30°: в равностороннем треугольнике все углы 60°, высота BC — биссектриса угла B ⇒ 60° : 2 = 30°. AC = CD = a, так как высота — медиана.
Шаг 3: один и тот же треугольник даёт значения для двух углов — катет AC противолежащий для 30° (угол B) и прилежащий для 60° (угол A). Отсюда sin 30° = cos 60°.
ctg 30° = √3, ctg 60° = √3/3 (обратные тангенсам) — проговорить устно, войдут в таблицу.
Ошибка: путать, какой катет «против 30°». Правило: против меньшего угла — меньший катет (a < a√3).

R04.5

Таблица значений

Синус растёт, косинус убывает

	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$
$sin$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$
$cos$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tg$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$
$ctg$	$3$	$1$	$\frac{3}{3}$

Подсказка
синусы:

\frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}

косинусы — в обратном порядке

tg α = \frac{sin α}{cos α}

,

ctg α = \frac{1}{tg α}

R04 · история

Из истории тригонометрии

От таблиц хорд к слову «синус»

II в. до н. э. · Гиппарх

Составил первые таблицы хорд для расчётов в астрономии.

V–VI вв. · Индия

Вместо хорды — полухорда «джива»; первые таблицы синусов.

XII в. · латинский перевод

Арабское «джиба» прочитали как «джайб» — «пазуха», по-латыни sinus.

1595 · Питиск; XVIII в. · Эйлер

Слово «тригонометрия»; привычные обозначения $sin$ , $cos$ .

1,5 мин · теория
Тригонометрия («измерение треугольников») выросла из астрономии: по углам вычисляли расстояния до недоступных объектов. Гиппарх Никейский (II в. до н. э.) составил таблицы хорд; Птолемей поместил их в «Альмагест».
Индийские математики (Ариабхата, V–VI вв.) перешли от хорды к полухорде — это и есть наш синус. В XIII в. Насир ад-Дин ат-Туси изложил тригонометрию как самостоятельную науку. Слово «тригонометрия» ввёл Бартоломей Питиск (1595), современные обозначения закрепил Леонард Эйлер (XVIII в.).
Вопрос: почему полухорда окружности радиуса 1 — это синус? (Половина хорды — катет прямоугольного треугольника с гипотенузой-радиусом 1.)

R04.5

Образец → сам · значение выражения

Подставляем значения из таблицы

Образец: вычислите $2 sin 3 0^{\circ} + 3 tg 6 0^{\circ} - 2 cos 4 5^{\circ}$ .

$= 2 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot 3 - 2 \cdot \frac{2}{2}$ таблица

$= 1 + 3 - 1$ $3 \cdot 3 = 3$ , $2 \cdot 2 = 2$

$= 3$

Сам

$4 cos 6 0^{\circ} + tg 4 5^{\circ}$ $3$
$sin^{2} 4 5^{\circ} + cos^{2} 3 0^{\circ}$ $\frac{5}{4}$
$\frac{tg 3 0 ^{\circ} \cdot tg 6 0 ^{\circ}}{2 sin 3 0 ^{\circ}}$ $1$

R04.5

Треугольники-шаблоны

Знаешь одну сторону — знаешь все

$a : a : a 2$

гипотенуза $=$ катет $\cdot 2$

$a : a 3 : 2 a$

против $3 0^{\circ}$ — половина гипотенузы, против $6 0^{\circ}$ — в $3$ раз больше

R04.5

Образец → сам · стороны по углу и стороне

Найдите катеты

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $A B = 12$ . Найдите $BC$ и $A C$ .

$BC$ $= A B sin 3 0^{\circ} = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ противолежащий

$A C$ $= A B cos 3 0^{\circ} = 12 \cdot \frac{3}{2} = 63$ прилежащий

Сам

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ , $BC = 5$ . Найдите $A B$ и $A C$ . $A B = 10$ , $A C = 53$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $A B = 8$ . Найдите $A C$ . $42$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $A C = 43$ . Найдите $BC$ . $12$

R04.5

Связи в таблице · доказательство

Почему столбцы 30° и 60° «зеркальны»

1

sin α

= \frac{a}{c} =

cos (9 0^{\circ} - α)

катет

a

противолежит

∠ A

и прилежит к

∠ B = 9 0^{\circ} - α

2

tg α = \frac{a}{b} = \frac{a / c}{b / c} = \frac{sin α}{cos α}

,

tg α \cdot ctg α = 1

делим числитель и знаменатель на

c

3

sin^{2} α + cos^{2} α = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{c ^{2}} = 1

теорема Пифагора; проверка:

\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1

4

α

растёт ⇒

sin α

,

tg α

растут,

cos α

убываетв таблице

\frac{1}{2} < \frac{2}{2} < \frac{3}{2}

; по значению угол находится однозначно

2 мин · теория
П. 1 объясняет «зеркальность» столбцов: sin 30° = cos 60°, sin 60° = cos 30°, а 45° = 90° − 45° — поэтому sin 45° = cos 45°.
П. 2–3 — формулы с прошлого урока (GEOM8U-058), здесь проверяем их на табличных значениях: (√2/2)² + (√2/2)² = 1; (1/2)² + (√3/2)² = 1.
П. 4 (углублённый уровень): при неизменной гипотенузе с ростом острого угла противолежащий катет растёт, прилежащий уменьшается. Значит, если sin α = 1/2 для острого α, то α = 30° — других острых углов с таким синусом нет. На этом держится «обратная задача» на следующем слайде.

R04.5

Образец → сам · обратная задача: угол по сторонам

Узнайте угол по значению

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 7$ , $A B = 14$ . Найдите острые углы.

$cos A$ $= \frac{A C}{A B} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$ прилежащий : гипотенуза

$∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ B = 3 0^{\circ}$ таблица; $9 0^{\circ} - 6 0^{\circ}$

Сам

Катеты $6$ и $6$ . Найдите острые углы. $4 5^{\circ}$ и $4 5^{\circ}$
Катеты $3$ и $33$ . Найдите меньший острый угол. $3 0^{\circ}$
Гипотенуза $23$ , катет $3$ . Найдите угол против этого катета. $6 0^{\circ}$

R04.5

Образец → сам · комбинированная: проводим высоту

Треугольник без прямого угла

Образец: в $△ A BC$ $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ , $BC = 8$ . Найдите $A C$ и $A B$ .

Проведём высоту $B H$ : $B H = 8 sin 3 0^{\circ} = 4$ , $H C = 8 cos 3 0^{\circ} = 43$ $△ B H C$

$A H = B H = 4$ , $A B = 42$ $△ A B H$ — равнобедренный, $4 5^{\circ}$

$A C = A H + H C = 4 + 43$

Сам: сделайте чертёж

$∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ C = 4 5^{\circ}$ , $A B = 6$ . Найдите высоту $B H$ и $A C$ . $B H = 33$ , $A C = 3 + 33$
Стороны параллелограмма $10$ и $6$ , острый угол $3 0^{\circ}$ . Найдите его площадь. $30$
Угол при вершине равнобедренного треугольника $12 0^{\circ}$ , боковая сторона $10$ . Найдите основание. $103$

R04.5 · задача из жизни

Образец → сам · задача из жизни

Высота дерева по тени

Образец: Солнце стоит под углом $3 0^{\circ}$ к горизонту, тень дерева $12$ м. Найдите высоту дерева.

$h = 12 \cdot tg 3 0^{\circ} = 12 \cdot \frac{3}{3} = 43$ противолежащий : прилежащий

$h \approx 4 \cdot 1, 73 \approx 6, 9$ м $3 \approx 1, 73$

Сам

Лестница длиной $6$ м стоит под углом $6 0^{\circ}$ к земле. На какой высоте её верхний конец? $33 \approx 5, 2$ м
Нить воздушного змея $40$ м натянута под углом $4 5^{\circ}$ к земле. Высота змея? $202 \approx 28, 3$ м
Горка высотой $2$ м, угол наклона $3 0^{\circ}$ . Длина ската? $4$ м

R04.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$sin 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$	против $3 0^{\circ}$ лежит меньший катет — половина гипотенузы	$sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$
$tg 3 0^{\circ} = 3$	$tg 3 0^{\circ} = \frac{1/2}{3 /2}$ — меньше $1$ , угол меньше $4 5^{\circ}$	$tg 3 0^{\circ} = \frac{3}{3}$ , $tg 6 0^{\circ} = 3$
$sin 6 0^{\circ} = 2 sin 3 0^{\circ} = 1$	значение не пропорционально углу; синус острого угла меньше $1$	$sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$
$BC = A B cos A$ , где $BC$ против $∠ A$	косинус — для прилежащего катета	$BC = A B sin A$

R04.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $A B = 10$ . Найдите $A C$ .

$A C = A B sin 6 0^{\circ} = 53$

$A C$ прилежит к $∠ A$ : $A C = A B cos 6 0^{\circ} = 5$

б) Вычислите $sin^{2} 6 0^{\circ} + tg^{2} 3 0^{\circ}$ .

$= \frac{3}{4} + 3 = \frac{15}{4}$

$tg^{2} 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}$ , а не $3$

$\frac{3}{4} + \frac{1}{3} = \frac{13}{12}$

в) Катеты $4$ и $43$ . Найдите меньший острый угол.

$tg α = \frac{4 3}{4} = 3$
$α = 6 0^{\circ}$

это больший угол; против меньшего катета:
$tg α = \frac{4}{4 3} = \frac{3}{3}$
$α = 3 0^{\circ}$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Синус вместо косинуса: AC — прилежащий к углу A катет; AC = 10 · 1/2 = 5 (он же лежит против ∠B = 30° — половина гипотенузы, проверка).
б) Взято значение tg 60° вместо tg 30°: tg² 30° = (√3/3)² = 3/9 = 1/3; 3/4 + 1/3 = 9/12 + 4/12 = 13/12.
в) Вычисление верное, но найден больший угол: угол, тангенс которого √3, лежит против катета 4√3. Меньший угол — 30°.

R04.5

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $sin 3 0^{\circ} + cos 6 0^{\circ}$ $1$
база $tg 4 5^{\circ} \cdot cos 4 5^{\circ}$ $\frac{2}{2}$
база $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $A B = 18$ . Найдите $BC$ . $9$

база $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $A C = 7$ . Найдите $BC$ . $7$
база $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ , $BC = 3$ . Найдите $A C$ . $33$
базаКатет $5$ , гипотенуза $10$ . Найдите угол против катета. $3 0^{\circ}$

R04.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Сторона ромба $8$ , острый угол $6 0^{\circ}$ . Найдите диагонали. $8$ и $83$
повыш.Основания равнобедренной трапеции $4$ и $10$ , угол при основании $6 0^{\circ}$ . Найдите боковую сторону и высоту. $6$ и $33$
повыш.Докажите: в прямоугольном треугольнике с углом $3 0^{\circ}$ высота к гипотенузе делит её в отношении $1 : 3$ . проекция меньшего катета $= \frac{c}{2} cos 6 0^{\circ} = \frac{c}{4}$
из жизниСамолёт набирает высоту под углом $3 0^{\circ}$ к земле. На какой высоте он окажется, пролетев $3$ км? $1, 5$ км

3 мин · практика
1) Меньшая диагональ отсекает равносторонний треугольник (угол 60°, две стороны по 8) ⇒ 8. Большая диагональ = 2 · 8 · cos 30° = 8√3 (диагонали ромба перпендикулярны и делят углы пополам).
2) Проекция боковой стороны на большее основание (10 − 4) : 2 = 3; боковая = 3 : cos 60° = 6; высота = 3 · tg 60° = 3√3.
3) Гипотенуза c, катет против 30° равен c/2, ∠ между ним и гипотенузой 60°. Его проекция на гипотенузу (отрезок от вершины до основания высоты) = (c/2) · cos 60° = c/4, остальная часть 3c/4 ⇒ 1 : 3.
4) Путь — гипотенуза, высота — противолежащий катет: 3 · sin 30° = 1,5 км.

R04.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 17 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ угол $C$ равен $9 0^{\circ}$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $A B = 23$ . Найдите $A C$ . $3$
ОГЭ 15Катет, прилежащий к углу $3 0^{\circ}$ , равен $43$ . Найдите гипотенузу. $8$
ОГЭ 17Сторона ромба $12$ , острый угол $3 0^{\circ}$ . Найдите площадь ромба. $72$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

$sin 3 0^{\circ} = cos 6 0^{\circ}$ .
$tg 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ .
Катет, лежащий против угла $3 0^{\circ}$ , равен половине гипотенузы.

Ответ: 13

R04.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вычислите $2 cos 3 0^{\circ} \cdot tg 3 0^{\circ}$ . $1$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $A B = 16$ . Найдите $A C$ . $8$
Катеты $2$ и $23$ . Найдите больший острый угол. $6 0^{\circ}$
$∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ , высота $B H = 6$ . Найдите $A C$ . $6 + 23$

Вариант 2

Вычислите $2 sin 6 0^{\circ} \cdot ctg 6 0^{\circ}$ . $1$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ B = 3 0^{\circ}$ , $A B = 22$ . Найдите $A C$ . $11$
Катеты $5$ и $53$ . Найдите меньший острый угол. $3 0^{\circ}$
$∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ C = 4 5^{\circ}$ , высота $B H = 4$ . Найдите $A C$ . $43 + 4$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Из каких двух треугольников получается вся таблица?
Почему $sin 3 0^{\circ} = cos 6 0^{\circ}$ ?
Что делать, если в треугольнике нет прямого угла?

Домашнее задание

Вычислите $sin 6 0^{\circ} cos 3 0^{\circ} - sin 3 0^{\circ} cos 6 0^{\circ}$ .
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ B = 3 0^{\circ}$ , $BC = 9$ . Найдите $A B$ .
* Выразите площадь равностороннего треугольника через сторону $a$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_sootnosheniya_v_pryamougolnom_treugolnike.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-059 · Тригонометрические функции углов в 30º, 45º и 60º

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии», 18 ч · урок 5/18 · тип Н
Единицы → слайды	R04.5 «Тригонометрические функции углов в 30º, 45º и 60º» → 2, 4–21 · повторение R04.4 (GEOM8U-058) → 3 · история тригонометрии (вид деятельности R04) → 7
Результаты	ПР-11 (вычисления с применением тригонометрии, практические задачи) → 8, 10, 12–14, 17–20 · ПР-9 (Пифагор, чертёж, длины) → 4, 5, 9, 13
Вне урока	определения sin, cos, tg, ctg острого угла — GEOM8U-058; практикум по теореме Пифагора — GEOM8U-060–061; значения для 0° и 90°, тупые углы — 9 класс
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Тригонометрические функции углов 30°, 45° и 60°

Сегодня вы научитесь

Выводить значения

Составлять таблицу

Решать треугольники

Применять на практике

Синус, косинус, тангенс — вспоминаем

Равнобедренный прямоугольный треугольник

Половина равностороннего треугольника

Синус растёт, косинус убывает

От таблиц хорд к слову «синус»

II в. до н. э. · Гиппарх

V–VI вв. · Индия

XII в. · латинский перевод

1595 · Питиск; XVIII в. · Эйлер

Подставляем значения из таблицы

Образец: вычислите 2sin30∘+3​tg60∘−2​cos45∘.

Сам

Знаешь одну сторону — знаешь все

Найдите катеты

Образец: ∠C=90∘, ∠A=30∘, AB=12. Найдите BC и AC.

Сам

Почему столбцы 30° и 60° «зеркальны»

Узнайте угол по значению

Образец: ∠C=90∘, AC=7, AB=14. Найдите острые углы.

Сам

Треугольник без прямого угла

Образец: в △ABC ∠A=45∘, ∠C=30∘, BC=8. Найдите AC и AB.

Сам: сделайте чертёж

Высота дерева по тени

Образец: Солнце стоит под углом 30∘ к горизонту, тень дерева 12 м. Найдите высоту дерева.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) ∠C=90∘, ∠A=60∘, AB=10. Найдите AC.

б) Вычислите sin260∘+tg230∘.

в) Катеты 4 и 43​. Найдите меньший острый угол.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-059 · Тригонометрические функции углов в 30º, 45º и 60º

Образец: вычислите $2 sin 3 0^{\circ} + 3 tg 6 0^{\circ} - 2 cos 4 5^{\circ}$ .

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $A B = 12$ . Найдите $BC$ и $A C$ .

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 7$ , $A B = 14$ . Найдите острые углы.

Образец: в $△ A BC$ $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ , $BC = 8$ . Найдите $A C$ и $A B$ .

Образец: Солнце стоит под углом $3 0^{\circ}$ к горизонту, тень дерева $12$ м. Найдите высоту дерева.

а) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $A B = 10$ . Найдите $A C$ .

б) Вычислите $sin^{2} 6 0^{\circ} + tg^{2} 3 0^{\circ}$ .

в) Катеты $4$ и $43$ . Найдите меньший острый угол.