Теорема Пифагора и начала тригонометрии · урок 4 из 18

Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM8U-058

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии» (18 ч), урок 4/18, единица R04.4. Тип урока — Н.
Теория (13): титул 0,5 · цели 0,5 · корректность определения 2,5 · определения 2,5 · соотношения сторон 2 · углы A и B 1,5 · основное тождество 2 · схема-конспект 1,5.
Практика (32): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4,5 · итог 1.
Если не успеваете: «Образец → сам» на клетчатой бумаге и задачу ОГЭ 23 — в ДЗ; доказательство корректности и тождества не сокращать. Значения для 30°, 45°, 60° — следующий урок (GEOM8U-059), сегодня их не вводить.

R04.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Определять

синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла по сторонам треугольника

Доказывать

что они зависят только от угла, и основное тригонометрическое тождество (ПР-5)

Находить стороны

по углу и одной стороне, одну функцию — по другой

Решать задачи

практические, на клетчатой бумаге и ОГЭ 15, 18, 23 (ПР-11)

0,5 мин · теория
ПР-5: «…Доказывать и применять отношения пропорциональности в прямоугольных треугольниках».
ПР-11: «Применять полученные знания на практике – строить математические модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с применением подобия и тригонометрии (пользуясь, где необходимо, калькулятором)».
Виды деятельности ФРП R04: «Определять основные тригонометрические функции угла с помощью прямоугольного треугольника… Знакомиться с историей развития тригонометрии».

повторение: R04.1–R04.3, R02

Разминка · устно

Прямоугольный треугольник и подобие

Как называется сторона $A B$ ? гипотенуза
Найдите $A B$ . $10$
Какой катет лежит против $∠ A$ ? Какой прилежит к нему? $BC$ и $A C$
$∠ A = 3 7^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ . $5 3^{\circ}$
У двух прямоугольных треугольников равны острые углы. Подобны ли они? да, по двум углам
Высота делит гипотенузу на отрезки $4$ и $9$ . Найдите высоту. $6$

2 мин · практика
1) AB — гипотенуза (лежит против прямого угла). 2) AB = √(8² + 6²) = √100 = 10. 3) BC — противолежащий катет, AC — прилежащий (относительно ∠A!). Спросить: а для ∠B? (Наоборот: AC — противолежащий, BC — прилежащий.)
4) 90° − 37° = 53° — острые углы прямоугольного треугольника в сумме 90°. 5) Да: прямые углы равны и острые равны — признак подобия по двум углам. 6) h² = 4 · 9 = 36, h = 6 (прошлый урок GEOM8U-057).
Ключевые для урока факты: «противолежащий/прилежащий» — всегда относительно угла; подобие по двум углам.

R04.4

Теорема · доказательство

Отношение сторон зависит только от угла

Дано:

∠ C = ∠ C_{1} = 9 0^{\circ}

,

∠ A

— общий.
Доказать:

\frac{B _{1} C _{1}}{A B _{1}} = \frac{BC}{A B}

.

1

△ A B_{1} C_{1} \sim △ A BC

по двум углам:

∠ A

общий,

∠ C_{1} = ∠ C

2

\frac{B _{1} C _{1}}{BC} = \frac{A B _{1}}{A B}

соответственные стороны пропорциональны

3

\frac{B _{1} C _{1}}{A B _{1}} = \frac{BC}{A B}

свойство пропорции: переставили средние члены

Число

\frac{BC}{A B}

определяется только величиной

∠ A

, а не размерами треугольника.

2,5 мин · теория
Вопрос перед доказательством: в треугольнике 3–4–5 отношение противолежащего катета к гипотенузе 0,6; в треугольнике 6–8–10 с тем же углом? (Тоже 0,6.) Случайно ли?
Это проверка корректности будущего определения (вид деятельности ФРП): если бы отношение зависело от размеров, «синус угла» был бы не определён.
Так же доказывается, что AC : AB и BC : AC зависят только от ∠A — спросить у класса, какие стороны взять в пропорции.

R04.4

Определения

Четыре отношения — четыре названия

sin A = \frac{BC}{A B}

синус — противолежащий катет к гипотенузе

cos A = \frac{A C}{A B}

косинус — прилежащий катет к гипотенузе

tg A = \frac{BC}{A C}

тангенс — противолежащий катет к прилежащему

ctg A = \frac{A C}{BC}

котангенс — прилежащий катет к противолежащему

2,5 мин · теория
Определения записать в тетрадь вместе с цветным чертежом. Обозначения как в учебниках: sin A, cos A, tg A, ctg A. Определены для острого угла прямоугольного треугольника.
Вопрос: чему равны sin A, cos A, tg A, ctg A для треугольника на чертеже (AC = 8, BC = 6, AB = 10)? (0,6; 0,8; 0,75; 4/3.)
История: слово «синус» — латинский перевод (XII в.) арабского «джайб», которым передали индийское «джива» — полухорда; «тангенс» — лат. «касающийся», термин ввёл Т. Финк (1583); «котангенс» — сокращение от «тангенс дополнения» (Э. Гантер, 1620).

R04.4

Образец → сам · функции по двум сторонам

Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 12$ , $BC = 5$ . Найдите функции угла $A$ .

$A B = 1 2^{2} + 5^{2} = 13$ теорема Пифагора

$sin A = \frac{5}{13}$ , $cos A = \frac{12}{13}$ к гипотенузе

$tg A = \frac{5}{12}$ , $ctg A = \frac{12}{5}$ катет к катету

Сам ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ )

$A C = 8$ , $BC = 6$ . Найдите $sin B$ , $cos B$ , $tg B$ . $0, 8$ ; $0, 6$ ; $\frac{4}{3}$
$A B = 25$ , $A C = 24$ . Найдите $cos A$ и $ctg A$ . $0, 96$ ; $\frac{24}{7}$
$A B = 3$ , $BC = 2$ . Найдите $tg A$ . $\frac{2}{5} = \frac{2 5}{5}$

R04.4

Соотношения сторон

Как найти сторону по углу и другой стороне

a = c \cdot sin A

,

b = c \cdot cos A

a = b \cdot tg A

,

b = a \cdot ctg A

c = \frac{a}{sin A} = \frac{b}{cos A}

Катет = гипотенуза × синус противолежащего угла = гипотенуза × косинус прилежащего.

R04.4

Образец → сам · обратная задача: сторона по углу

Найдите катеты

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 20$ , $sin A = 0, 6$ . Найдите $BC$ и $A C$ .

$BC = A B \cdot sin A = 20 \cdot 0, 6 = 12$ противолежащий катет

$A C = 2 0^{2} - 1 2^{2} = 16$ теорема Пифагора

Сам ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ )

$A C = 9$ , $tg A = \frac{4}{3}$ . Найдите $BC$ и $A B$ . $12$ и $15$
$BC = 14$ , $sin A = 0, 7$ . Найдите $A B$ . $20$
$A B = 26$ , $cos B = \frac{5}{13}$ . Найдите $BC$ и $A C$ . $10$ и $24$

R04.4

Свойства · два острых угла

Синус одного угла — косинус другого

1

sin B = \frac{b}{c} = cos A

,

cos B = \frac{a}{c} = sin A

катет

b

противолежит

∠ B

и прилежит к

∠ A

2

tg B = \frac{b}{a} = ctg A

∠ B = 9 0^{\circ} - ∠ A

3

tg A = \frac{a}{b} = \frac{a : c}{b : c} = \frac{sin A}{cos A}

делим числитель и знаменатель на

c

4

ctg A = \frac{cos A}{sin A}

,

tg A \cdot ctg A = 1

\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1

R04.4

Основное тригонометрическое тождество · доказательство

$sin^{2} A + cos^{2} A = 1$

1

a^{2} + b^{2} = c^{2}

теорема Пифагора

2

(\frac{a}{c})^{2} + (\frac{b}{c})^{2} = 1

разделили обе части на

c^{2}

3

sin^{2} A + cos^{2} A = 1

определения синуса и косинуса

Следствия:

1 + tg^{2} A = \frac{1}{cos ^{2} A}

,

1 + ctg^{2} A = \frac{1}{sin ^{2} A}

Катет короче гипотенузы:

0 < sin A < 1

,

0 < cos A < 1

.

2 мин · теория
Запись sin²A означает (sin A)², а не sin(A²).
Следствия (углублённый уровень): делим тождество на cos²A — получаем tg²A + 1 = 1/cos²A; делим на sin²A — 1 + ctg²A = 1/sin²A. Попросить сильного ученика вывести второе у доски.
Зачем: по одной функции острого угла находятся все остальные — без чертежа и без транспортира. Так как угол острый, корни берём положительные.
Тангенс и котангенс — отношение катетов — могут быть любыми положительными числами (например, tg A = 5).

R04.4

Образец → сам · по одной функции — остальные

Известен синус. Найдите косинус, тангенс, котангенс

Образец: $A$ — острый угол, $sin A = 0, 6$ .

$cos A = 1 - 0, 36 = 0, 8$ тождество, $cos A > 0$

$tg A = \frac{0 , 6}{0 , 8} = 0, 75$ , $ctg A = \frac{4}{3}$ $tg \cdot ctg = 1$

Сам ( $A$ — острый угол)

$cos A = \frac{5}{13}$ . Найдите $sin A$ и $tg A$ . $\frac{12}{13}$ ; $\frac{12}{5}$
$sin A = \frac{2 6}{5}$ . Найдите $cos A$ и $tg A$ . $\frac{1}{5}$ ; $26$
$tg A = 2$ . Найдите $cos A$ . $\frac{1}{5} = \frac{5}{5}$

R04.4

Схема-конспект

Всё о тригонометрии острого угла — на одном листе

Определения

$sin A = \frac{a}{c}$ , $cos A = \frac{b}{c}$

$tg A = \frac{a}{b}$ , $ctg A = \frac{b}{a}$

зависят только от угла

Связи

$a = c sin A$ , $b = c cos A$

$sin B = cos A$

$tg B = ctg A$

$tg A = \frac{sin A}{cos A}$

$tg A \cdot ctg A = 1$

Тождества

$sin^{2} A + cos^{2} A = 1$

$1 + tg^{2} A = \frac{1}{cos ^{2} A}$

$0 < sin A < 1$

$0 < cos A < 1$

R04.4 · R04.3

Образец → сам · задача на доказательство

Высота к гипотенузе и косинус

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота. Докажите: $A H = A B \cdot cos^{2} A$ .

$A C = A B cos A$ $△ A BC$ , прилежащий катет

$A H = A C cos A$ $△ A C H$ : $∠ H = 9 0^{\circ}$ , $∠ A$ общий

$A H = A B cos A \cdot cos A = A B c o s^{2} A$

Сам: план и обоснования

Докажите: $B H = A B sin^{2} A$ . $BC = A B sin A$ , $B H = BC cos B = BC sin A$
Докажите: $C H = A B sin A cos A$ . $C H = A C sin A$ , $A C = A B cos A$
Через тангенсы докажите $C H^{2} = A H \cdot B H$ . $∠ BC H = ∠ A$ : $\frac{C H}{A H} = \frac{B H}{C H}$

3 мин · практика
Образец: ключ — один и тот же ∠A входит в два прямоугольных треугольника (ABC и ACH); в каждом берём косинус как отношение прилежащего катета к гипотенузе.
1) В △ABC: BC = AB · sin A. В △BCH (∠H = 90°): BH = BC · cos B, а cos B = sin A ⇒ BH = AB · sin²A. Проверка: AH + BH = AB(cos²A + sin²A) = AB ✓.
2) В △ACH: CH — противолежащий ∠A катет, CH = AC · sin A; AC = AB · cos A ⇒ CH = AB · sin A · cos A.
3) ∠BCH = 90° − ∠B = ∠A. tg A = CH/AH (△ACH), tg ∠BCH = BH/CH (△BCH) ⇒ CH/AH = BH/CH ⇒ CH² = AH · BH — новое доказательство теоремы прошлого урока (GEOM8U-057).
Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования. Всем — 1 и 2, сильным — 3.

R04.4

Образец → сам · клетчатая бумага

Тангенс угла по клеткам

Образец: найдите $tg ∠ A OB$ .

Опустим перпендикуляр $B H$ на $O A$ : прямоугольный $△ OB H$ по линиям сетки

$tg ∠ A OB = \frac{B H}{O H} = \frac{4}{3}$

Сам: отметьте точки в тетради

$O (0; 0)$ , $A (6; 0)$ , $B (2; 6)$ . Найдите $tg ∠ A OB$ . $3$
$O (0; 0)$ , $A (5; 0)$ , $B (3; 4)$ . Найдите $cos ∠ A OB$ . $0, 6$
$O (0; 0)$ , $A (4; 2)$ , $B (- 1; 2)$ . Найдите $tg ∠ O A B$ . $0, 5$

R04.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$sin A = \frac{A C}{A B}$	$A C$ прилежит к $∠ A$ — это косинус	$sin A = \frac{BC}{A B}$ , $cos A = \frac{A C}{A B}$
$BC = \frac{A B}{sin A}$	катет вышел бы длиннее гипотенузы	$BC = A B \cdot sin A$
$cos A = 1 - sin A$	в тождестве — квадраты	$cos A = 1 - sin^{2} A$
$tg A = \frac{A C}{BC}$	перевёрнута дробь: это котангенс	$tg A = \frac{BC}{A C}$

R04.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 10$ , $sin A = 0, 8$ . Найдите $A C$ .

$A C = A B \cdot sin A$

$A C = 10 \cdot 0, 8 = 8$

$A C$ — прилежащий катет: $cos A = 0, 6$ , $A C = 6$

б) $cos A = 0, 6$ . Найдите $tg A$ .

$sin A = 1 - 0, 6 = 0, 4$

$tg A = \frac{0 , 4}{0 , 6} = \frac{2}{3}$

$sin A = 1 - 0, 36 = 0, 8$
$tg A = \frac{4}{3}$

в) В $△ A BC$ $∠ C = 7 0^{\circ}$ , $A B = 10$ , $BC = 6$ . Найдите $sin A$ .

$sin A = \frac{BC}{A B} = 0, 6$

треугольник не прямоугольный — определение неприменимо

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) BC = 10 · 0,8 = 8 — противолежащий катет; AC прилежит к ∠A: cos A = √(1 − 0,64) = 0,6, AC = 10 · 0,6 = 6 (или √(100 − 64) = 6).
б) Квадраты потеряны: sin A = √(1 − 0,36) = 0,8; tg A = 0,8 : 0,6 = 4/3.
в) Определение синуса через стороны — только для прямоугольного треугольника. Здесь нужно провести высоту из B к AC и работать с прямоугольными треугольниками (такие задачи — в 9 классе, теорема синусов). Это «на рисунке видно прямой угол» — без обоснования.

R04.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ )

база $BC = 3$ , $A B = 5$ . Найдите $sin A$ . $0, 6$
база $A C = 4$ , $A B = 5$ . Найдите $cos A$ . $0, 8$
база $BC = 7$ , $A C = 24$ . Найдите $ctg A$ . $\frac{24}{7}$

база $A B = 15$ , $sin A = 0, 4$ . Найдите $BC$ . $6$
база $A C = 12$ , $tg A = 0, 75$ . Найдите $BC$ . $9$
база $sin A = 0, 28$ . Найдите $cos A$ . $0, 96$

R04.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.В $△ A BC$ $A C = BC = 10$ , $A B = 12$ . Найдите $tg A$ . $\frac{4}{3}$
повыш.Диагонали ромба $10$ и $24$ . Найдите синус угла между стороной и большей диагональю. $\frac{5}{13}$
повыш. $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A H = 4$ , $B H = 9$ . Найдите $tg A$ . $1, 5$
из жизниУклон пандуса по нормам — не больше $1 : 12$ ( $tg α \leq \frac{1}{12}$ ). Высота крыльца $0, 45$ м. Какой наименьшей длины проекция пандуса на землю? $5, 4$ м

2,5 мин · практика
1) Высота CH к основанию — медиана: AH = 6, CH = √(100 − 36) = 8; tg A = CH/AH = 8/6 = 4/3. Ошибка: искать tg в непрямоугольном △ABC — сначала строим прямоугольный.
2) Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам: катеты 5 и 12, сторона 13; против искомого угла (между стороной и большей диагональю) — половина меньшей диагонали: sin = 5/13.
3) CH² = 4 · 9 = 36, CH = 6; tg A = CH/AH = 6/4 = 1,5.
4) tg α = h : l ≤ 1/12 ⇒ l ≥ 12h = 12 · 0,45 = 5,4 м. Модель: прямоугольный треугольник «высота — проекция — пандус». Уклон дороги на знаке (10 %) — тоже тангенс угла наклона.

R04.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 18 и 23

Ответ — одно число

ОГЭ 15В $△ A BC$ $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $sin A = \frac{7}{25}$ , $A C = 48$ . Найдите $A B$ . $50$
ОГЭ 15В $△ A BC$ $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $BC = 9$ , $tg A = 0, 75$ . Найдите $A B$ . $15$
ОГЭ 23 $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A B = 34$ , $tg A = \frac{3}{5}$ . Найдите $A H$ . $25$

ОГЭ 18 Найдите $tg ∠ A OB$ .

Ответ: 2,5

R04.4

Самостоятельная работа · 4,5 минуты

Два варианта — решите свой ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ )

Вариант 1

$BC = 8$ , $A B = 17$ . Найдите $sin A$ и $cos A$ . $\frac{8}{17}$ ; $\frac{15}{17}$
$A B = 30$ , $cos A = 0, 8$ . Найдите $A C$ . $24$
$A C = 10$ , $tg A = 1, 2$ . Найдите $BC$ . $12$
$cos A = 0, 6$ . Найдите $tg A$ . $\frac{4}{3}$

Вариант 2

$A C = 20$ , $A B = 29$ . Найдите $sin A$ и $cos A$ . $\frac{21}{29}$ ; $\frac{20}{29}$
$A B = 40$ , $sin A = 0, 35$ . Найдите $BC$ . $14$
$BC = 18$ , $ctg A = 0, 5$ . Найдите $A C$ . $9$
$sin A = \frac{5}{13}$ . Найдите $tg A$ . $\frac{5}{12}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему синус угла не зависит от размеров треугольника?
Как найти катет по гипотенузе и углу?
Может ли косинус острого угла быть равен $1, 1$ ?

Домашнее задание

$A C = 15$ , $BC = 8$ , $∠ C = 9 0^{\circ}$ . Найдите все функции углов $A$ и $B$ .
$A B = 50$ , $sin A = 0, 28$ . Найдите катеты.
* Докажите: $1 + ctg^{2} A = \frac{1}{sin ^{2} A}$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_sootnosheniya_v_pryamougolnom_treugolnike.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-058 · Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии», 18 ч · урок 4/18 · тип Н
Единицы → слайды	R04.4 «Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника» → 2, 4–21 · повторение R04.1–R04.3, R02 → 3, 13
Результаты	ПР-5 (отношения пропорциональности в прямоугольных треугольниках) → 4, 13 · ПР-11 (модели реальной жизни с тригонометрией) → 14, 18 · ПР-9 (теорема Пифагора) → 6, 8, 10
Вне урока	значения для 30°, 45°, 60° — GEOM8U-059 (R04.5); тригонометрия тупого угла и теорема синусов — 9 класс
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника

Сегодня вы научитесь

Определять

Доказывать

Находить стороны

Решать задачи

Прямоугольный треугольник и подобие

Отношение сторон зависит только от угла

Четыре отношения — четыре названия

Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс

Образец: ∠C=90∘, AC=12, BC=5. Найдите функции угла A.

Сам (∠C=90∘)

Как найти сторону по углу и другой стороне

Найдите катеты

Образец: ∠C=90∘, AB=20, sinA=0,6. Найдите BC и AC.

Сам (∠C=90∘)

Синус одного угла — косинус другого

sin2A+cos2A=1

Известен синус. Найдите косинус, тангенс, котангенс

Образец: A — острый угол, sinA=0,6.

Сам (A — острый угол)

Всё о тригонометрии острого угла — на одном листе

Определения

Связи

Тождества

Высота к гипотенузе и косинус

Образец: ∠C=90∘, CH — высота. Докажите: AH=AB⋅cos2A.

Сам: план и обоснования

Тангенс угла по клеткам

Образец: найдите tg∠AOB.

Сам: отметьте точки в тетради

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) ∠C=90∘, AB=10, sinA=0,8. Найдите AC.

б) cosA=0,6. Найдите tgA.

в) В △ABC ∠C=70∘, AB=10, BC=6. Найдите sinA.

Решите и проверьте (∠C=90∘)

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 18 Найдите tg∠AOB.

Два варианта — решите свой (∠C=90∘)

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-058 · Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 12$ , $BC = 5$ . Найдите функции угла $A$ .

Сам ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ )

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 20$ , $sin A = 0, 6$ . Найдите $BC$ и $A C$ .

Сам ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ )

$sin^{2} A + cos^{2} A = 1$

Образец: $A$ — острый угол, $sin A = 0, 6$ .

Сам ( $A$ — острый угол)

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота. Докажите: $A H = A B \cdot cos^{2} A$ .

Образец: найдите $tg ∠ A OB$ .

а) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 10$ , $sin A = 0, 8$ . Найдите $A C$ .

б) $cos A = 0, 6$ . Найдите $tg A$ .

в) В $△ A BC$ $∠ C = 7 0^{\circ}$ , $A B = 10$ , $BC = 6$ . Найдите $sin A$ .

Решите и проверьте ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ )

ОГЭ 18 Найдите $tg ∠ A OB$ .

Два варианта — решите свой ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ )