Теорема Пифагора и начала тригонометрии · урок 3 из 18

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM8U-057

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии» (18 ч), урок 3/18, единица R04.3. Тип урока — Н.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · понятия 1,5 · лемма 2,5 · теорема о высоте 1,5 · теорема о катете 2 · следствия 2 · сводка 1,5.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 × 5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 15/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец на клетчатой бумаге (сл. 13) и ОГЭ 24 — в ДЗ; доказательства леммы и двух теорем не сокращать.
На титуле: две части треугольника (фиолетовая и розовая) — те самые подобные треугольники, отрезки снизу — отрезки гипотенузы. Пунктир — полуокружность на гипотенузе: вершина прямого угла всегда на ней (вспомнится в R05).

R04.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Видеть подобие

высота из прямого угла даёт три подобных треугольника (ПР-5)

Доказывать

что высота и катет — средние пропорциональные (ПР-5)

Вычислять

высоту, катеты и отрезки гипотенузы по любым двум элементам (ПР-5, ПР-9)

Решать задачи ОГЭ

линии 15, 19, 23 и 24 — с обоснованием каждого шага

0,5 мин · теория
ПР-5: «…Доказывать и применять отношения пропорциональности в прямоугольных треугольниках». ПР-9: «…Пифагора для решения геометрических и практических задач. Строить математическую модель… самостоятельно проводить чертеж и находить соответствующие длины».
Вид деятельности ФРП R04: «Доказывать соотношения между пропорциональными отрезками в прямоугольном треугольнике и применять их при решении геометрических задач».

повторение: подобие, Пифагор

Разминка · устно

Пропорции, подобие, Пифагор

На рисунке: найдите $A B$ . $10$
Площадь этого треугольника? $24$
Решите: $\frac{4}{x} = \frac{x}{9}$ , $x > 0$ . $x = 6$
Вычислите $2 \cdot 18$ . $6$
Острый угол прямоугольного треугольника $3 2^{\circ}$ . Второй острый угол? $5 8^{\circ}$
Когда два прямоугольных треугольника подобны? острый угол одного равен острому углу другого
$△ A BC \sim △ K MN$ , $A B = 4$ , $K M = 6$ , $BC = 6$ . Найдите $MN$ . $9$

R04.3

Понятия и обозначения

Среднее пропорциональное. Проекции катетов

Отрезок

x

— среднее пропорциональное отрезков

p

и

q

, если

\frac{p}{x} = \frac{x}{q}

.

x^{2} = pq, x = pq

$C H = h$ — высота к гипотенузе $A B = c$ .

$A H = b_{c}$ — проекция катета $b$ , $H B = a_{c}$ — проекция катета $a$ .

1,5 мин · теория
Пример: среднее пропорциональное 4 и 9 — это $36 = 6$ (разминка, задание 3). Его ещё называют средним геометрическим; сравните со средним арифметическим $(4 + 9) : 2 = 6, 5$ — это разные числа.
Договорённость на весь урок: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H ⊥ A B$ . Проекция катета — отрезок гипотенузы, прилежащий к этому катету: у катета $A C$ — отрезок $A H$ , у катета $BC$ — отрезок $H B$ . Цвет катета = цвет его проекции.
Вопрос: почему точка $H$ лежит между $A$ и $B$ ? (Углы $A$ и $B$ острые, поэтому основание высоты попадает на сам отрезок $A B$ .)

R04.3

Лемма · доказательство

Высота делит треугольник на подобные

Дано:

∠ C = 9 0^{\circ}

,

C H ⊥ A B

.
Доказать:

△ A C H \sim △ A BC

,

△ CB H \sim △ A BC

,

△ A C H \sim △ CB H

.

1

△ A C H

\sim △ A BC

∠ A H C = ∠ A CB = 9 0^{\circ}

,

∠ A

— общий

2

△ CB H

\sim △ A BC

∠ C H B = ∠ A CB = 9 0^{\circ}

,

∠ B

— общий

3

∠ BC H = ∠ A

,

∠ A C H = ∠ B

каждый дополняет до

9 0^{\circ}

один и тот же угол

4

△ A C H

\sim

△ CB H

прямые углы при

H

и

∠ A = ∠ BC H

2,5 мин · теория
Формулировка: высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет его на два прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному, и они подобны друг другу.
Шаг 3: $∠ BC H = 9 0^{\circ} - ∠ B$ (из $△ CB H$ ) и $∠ A = 9 0^{\circ} - ∠ B$ (из $△ A BC$ ). Одной дугой отмечены равные углы $A$ и $BC H$ , двумя — $B$ и $A C H$ .
Соответствие вершин — записывать в порядке равных углов: $△ A C H \sim △ A BC$ : $A \to A$ , $C \to B$ , $H \to C$ ; $△ CB H \sim △ A BC$ : $C \to A$ , $B \to B$ , $H \to C$ ; $△ A C H \sim △ CB H$ : $A \to C$ , $C \to B$ , $H \to H$ . От правильного соответствия зависят все пропорции дальше.

R04.3

Теорема 1 · доказательство

Высота — среднее пропорциональное отрезков гипотенузы

Дано:

∠ C = 9 0^{\circ}

,

C H ⊥ A B

.
Доказать:

C H^{2}

=

A H

\cdot

H B

.

1

△ A C H

\sim

△ CB H

,

A \to C

,

C \to B

,

H \to H

лемма

2

\frac{A H}{C H} = \frac{C H}{H B}

отношения соответственных сторон

3

h^{2} = b_{c} \cdot a_{c}

,

h = a_{c} b_{c}

основное свойство пропорции

R04.3

Образец → сам · высота по отрезкам гипотенузы

Найдите высоту и катет

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H ⊥ A B$ , $A H = 9$ , $H B = 16$ . Найдите $C H$ и $A C$ .

$C H = 9 \cdot 16 = 12$ теорема 1

$A C = 9^{2} + 1 2^{2} = 15$ Пифагор в $△ A C H$

Сам

$A H = 2$ , $H B = 8$ . Найдите $C H$ . $4$
$C H = 6$ , $A H = 4$ . Найдите $H B$ и $A B$ . $H B = 9$ , $A B = 13$
$A H = 1, 8$ , $H B = 3, 2$ . Найдите $C H$ и $BC$ . $C H = 2, 4$ , $BC = 4$

R04.3

Теорема 2 · доказательство

Катет — среднее пропорциональное гипотенузы и проекции

Дано:

∠ C = 9 0^{\circ}

,

C H ⊥ A B

.
Доказать:

A C^{2}

= A B \cdot

A H

.

1

△ A C H

\sim △ A BC

,

A \to A

,

C \to B

,

H \to C

лемма, шаг 1

2

\frac{A C}{A B} = \frac{A H}{A C}

A C \to A B

,

A H \to A C

3

b^{2} = c \cdot b_{c}

основное свойство пропорции

4так же

a^{2} = c \cdot a_{c}

из

△ CB H \sim △ A BC

R04.3

Образец → сам · катет и проекция

Найдите отрезки гипотенузы и высоту

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 6$ , $A B = 10$ . Найдите $A H$ , $H B$ и $C H$ .

$A H = \frac{A C ^{2}}{A B} = \frac{36}{10} = 3, 6$ теорема 2

$H B = 10 - 3, 6 = 6, 4$

$C H = 3, 6 \cdot 6, 4 = 4, 8$ теорема 1

Сам

$A H = 4$ , $H B = 5$ . Найдите $A C$ . $6$
$BC = 10$ , $H B = 8$ . Найдите $A B$ и $A H$ . $A B = 12, 5$ , $A H = 4, 5$
$C H = 12$ , $A B = 25$ , $A H < H B$ . Найдите $A H$ и $H B$ . $A H = 9$ , $H B = 16$

R04.3

Следствия · доказательство

Что ещё дают теоремы

Теорема Пифагора заново

$a^{2} + b^{2} = c \cdot a_{c} + c \cdot b_{c}$ теорема 2 дважды

$= c (a_{c} + b_{c}) = c^{2}$ $a_{c} + b_{c} = c$

Высота через катеты

$\frac{C H}{BC} = \frac{A C}{A B}$ $△ A C H \sim △ A BC$

$h = \frac{ab}{c}$ или: $2 S = ab = c h$

Отношение проекций

$\frac{a ^{2}}{b ^{2}} = \frac{c \cdot a _{c}}{c \cdot b _{c}}$ теорема 2

$\frac{a _{c}}{b _{c}} = \frac{a ^{2}}{b ^{2}}$ проекции — как квадраты катетов

R04.3

Схема-конспект

Шесть элементов — одна система

Что ищем	Формула	Откуда
высоту	$h^{2} = a_{c} b_{c}$ , $h = \frac{ab}{c}$	теорема 1, следствие
катет	$a^{2} = c a_{c}$ , $b^{2} = c b_{c}$	теорема 2
гипотенузу	$c = a_{c} + b_{c}$ , $c^{2} = a^{2} + b^{2}$	Пифагор
проекцию	$b_{c} = \frac{b ^{2}}{c}$ , $b_{c} = \frac{h ^{2}}{a _{c}}$	теоремы 2 и 1

R04.3

Образец → сам · комбинированная задача

По катетам — всё остальное

Образец: катеты $A C = 16$ , $BC = 12$ . Найдите $C H$ , $A H$ , $H B$ .

$A B = 1 6^{2} + 1 2^{2} = 20$ ; $C H = \frac{16 \cdot 12}{20} = 9, 6$

$A H = \frac{1 6 ^{2}}{20} = 12, 8$ , $H B = \frac{1 2 ^{2}}{20} = 7, 2$ теорема 2

Сам

Катеты $6$ и $8$ . Найдите высоту к гипотенузе. $4, 8$
$A C : BC = 3 : 4$ , $A B = 50$ . Найдите $A H$ и $H B$ . $A H = 18$ , $H B = 32$
$A H : H B = 1 : 4$ , $C H = 8$ . Найдите $A B$ . $20$

R04.3

Образец → сам · на клетчатой бумаге

Проверьте формулу по клеткам

Образец: $A (0; 0)$ , $B (5; 0)$ , $C (1; 2)$ , $∠ C = 9 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ двумя способами.

по клеткам: $A C = 1^{2} + 2^{2} = 5$ Пифагор

$A C^{2} = A B \cdot A H = 5 \cdot 1$ , $A C = 5$ ✓ теорема 2

Сам: нарисуйте в тетради

$A (0; 0)$ , $B (10; 0)$ , $C (2; 4)$ . Проверьте: $C H^{2} = A H \cdot H B$ . $16 = 2 \cdot 8$ ✓
$A (0; 0)$ , $C (1; 3)$ . Где на оси $O x$ взять $B$ , чтобы $∠ C = 9 0^{\circ}$ ? $H B = 9$ , $B (10; 0)$
$A (0; 0)$ , $B (5; 0)$ , $C (4; 2)$ . Найдите $A C$ по теореме 2. $A C = 20 = 25$

R04.3

Образец → сам · задача на доказательство

План доказательства и обоснования

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H ⊥ A B$ . Докажите: $\frac{A C ^{2}}{B C ^{2}} = \frac{A H}{H B}$ .

$A C^{2} = A B \cdot A H$ , $B C^{2} = A B \cdot H B$ теорема 2

делим: $\frac{A C ^{2}}{B C ^{2}} = \frac{A B \cdot A H}{A B \cdot H B} = \frac{A H}{H B}$

Сам: докажите

$C H \cdot A B = A C \cdot BC$ — без площадей. $△ A C H \sim △ A BC$ : $\frac{C H}{BC} = \frac{A C}{A B}$
$A C \cdot H B = BC \cdot C H$ . $△ A C H \sim △ CB H$ : $\frac{A C}{CB} = \frac{C H}{H B}$
$\frac{1}{h ^{2}} = \frac{1}{a ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}}$ . $h = \frac{ab}{c}$ , $c^{2} = a^{2} + b^{2}$

R04.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$C H^{2} = A C \cdot BC$	высота — среднее для отрезков гипотенузы, а не для катетов	$C H^{2} = A H \cdot H B$
$A C^{2} = A B \cdot H B$	взята проекция другого катета	$A C^{2} = A B \cdot A H$ — отрезок у вершины $A$
$C H = \frac{A H + H B}{2}$	это среднее арифметическое, а не пропорциональное	$C H = A H \cdot H B$
$△ A C H \sim △ BC H$ ⇒ $\frac{A H}{B H} = \frac{A C}{BC}$	вершины записаны не в порядке равных углов	$△ A C H \sim △ CB H$ : $\frac{A H}{C H} = \frac{A C}{CB}$

R04.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A H = 4$ , $H B = 12$ . Найдите $A C$ .

$A C^{2} = A H \cdot H B = 48$

$A C = 48 = 43$

$A C^{2} = A B \cdot A H = 16 \cdot 4 = 64$ , $A C = 8$

б) «Докажем», что $△ A C H \sim △ CB H$ .

$∠ A H C = ∠ C H B = 9 0^{\circ}$ и $∠ A = ∠ B$ ⇒ подобны по двум углам

$∠ A \neq = ∠ B$ в общем случае; верно: $∠ A = ∠ BC H$ (оба равны $9 0^{\circ} - ∠ B$ )

в) Катеты $9$ и $12$ . Найдите высоту к гипотенузе.

$h = 9 \cdot 12 = 108 = 63$

$c = 15$ , $h = \frac{9 \cdot 12}{15} = 7, 2$

R04.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H ⊥ A B$ )

база $A H = 3$ , $H B = 12$ . Найдите $C H$ . $6$
база $A B = 20$ , $A H = 5$ . Найдите $A C$ . $10$
база $C H = 4$ , $A H = 2$ . Найдите $H B$ . $8$

база $A C = 12$ , $A B = 16$ . Найдите $A H$ . $9$
базаКатеты $3$ и $4$ . Найдите $C H$ . $2, 4$
база $BC = 15$ , $H B = 9$ . Найдите $A B$ . $25$

R04.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $C H = 24$ , $A H : H B = 9 : 16$ . Найдите $A B$ . $50$
повыш.Катет $A C = 20$ , проекция другого катета $H B = 9$ . Найдите $A H$ и $BC$ . $A H = 16$ , $BC = 15$
повыш.Высота $12$ делит гипотенузу на отрезки, разность которых $7$ . Найдите периметр. $60$
из жизниСтропила крыши $6$ м и $8$ м сходятся в коньке под прямым углом. Какой высоты вертикальная стойка под коньком и на каком расстоянии от конца короткого стропила? $4, 8$ м; $3, 6$ м

R04.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15В прямоугольном треугольнике $A BC$ с прямым углом $C$ проведена высота $C H$ . Найдите $A B$ , если $A C = 6$ , $A H = 3$ . $12$
ОГЭ 15Катеты прямоугольного треугольника равны $15$ и $20$ . Найдите высоту, проведённую к гипотенузе. $12$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна полусумме отрезков гипотенузы.
Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.
Высота, проведённая из вершины прямого угла, делит треугольник на два треугольника, подобных ему.

Ответ: 23

R04.3 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна $24$ и отсекает от гипотенузы отрезок $18$ . Найдите катеты.

$H B = 2 4^{2} : 18 = 32$ , $A B = 50$ теорема 1

$A C = 50 \cdot 18$ , $BC = 50 \cdot 32$ теорема 2

$A C = 30$ , $BC = 40$

ОГЭ 24 В треугольнике $A BC$ угол $C$ прямой, $C H$ — высота. Докажите, что $A C \cdot B H = BC \cdot C H$ .

$∠ A H C = ∠ C H B = 9 0^{\circ}$ ,
$∠ BC H = ∠ A$ (оба равны $9 0^{\circ} - ∠ B$ )

$△ A C H \sim △ CB H$ ⇒ $\frac{A C}{CB} = \frac{C H}{B H}$ ⇒ доказано

2,5 мин · практика
23) $A H = 18$ , $C H = 24$ : $H B = 576 : 18 = 32$ , $A B = 50$ ; $A C = 50 \cdot 18 = 900 = 30$ , $BC = 50 \cdot 32 = 1600 = 40$ . Проверка: $3 0^{2} + 4 0^{2} = 2500 = 5 0^{2}$ ✓; другой путь: $A C = 1 8^{2} + 2 4^{2} = 30$ .
24) Полное решение на 2 балла: подобие по двум углам с обоснованием равенства углов (оба дополняют $∠ B$ до $9 0^{\circ}$ ), явное соответствие вершин $A \to C$ , $C \to B$ , $H \to H$ , пропорция и вывод. Ссылки «по лемме» без доказательства на экзамене недостаточно — лемму надо доказать в решении.
На уроке — устное обсуждение плана, запись 24 полностью — в ДЗ по желанию.

R04.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H ⊥ A B$ )

Вариант 1

$A H = 4$ , $H B = 25$ . Найдите $C H$ . $10$
$A B = 18$ , $A H = 2$ . Найдите $A C$ . $6$
Катеты $9$ и $12$ . Найдите $C H$ . $7, 2$
$C H = 6$ , $A B = 13$ , $A H < H B$ . Найдите $A H$ и $H B$ . $4$ и $9$

Вариант 2

$A H = 9$ , $H B = 4$ . Найдите $C H$ . $6$
$A B = 25$ , $H B = 16$ . Найдите $BC$ . $20$
Катеты $18$ и $24$ . Найдите $C H$ . $14, 4$
$C H = 12$ , $A B = 40$ , $A H < H B$ . Найдите $A H$ и $H B$ . $4$ и $36$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

На какие треугольники делит высота из прямого угла?
Среднее пропорциональное каких отрезков — высота? катет?
Как найти высоту по двум катетам?

Домашнее задание

$A H = 16$ , $H B = 9$ . Найдите $C H$ , $A C$ , $BC$ .
Катеты $24$ и $32$ . Найдите $C H$ , $A H$ , $H B$ .
* В $△ A BC$ высота $C H$ , $H$ на $A B$ , $C H^{2} = A H \cdot H B$ . Докажите: $∠ C = 9 0^{\circ}$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_primenenie_podobiya.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: 1) $C H = 12$ , $A C = 25 \cdot 16 = 20$ , $BC = 25 \cdot 9 = 15$ . 2) $c = 40$ , $C H = 768 : 40 = 19, 2$ , проекции $576 : 40 = 14, 4$ и $1024 : 40 = 25, 6$ (к катетам 24 и 32 соответственно).
3*) Обратное утверждение: $\frac{A H}{C H} = \frac{C H}{H B}$ и $∠ A H C = ∠ C H B = 9 0^{\circ}$ ⇒ $△ A H C \sim △ C H B$ (по двум сторонам и углу между ними) ⇒ $∠ A C H = ∠ CB H$ ⇒ $∠ A CB = ∠ A C H + ∠ H CB = ∠ B + ∠ H CB = 9 0^{\circ}$ .
Следующий урок — синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла (GEOM8U-058): отношения сторон подобных прямоугольных треугольников, которые сегодня мы уже записывали.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-057 · Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии», 18 ч · урок 3/18 · тип Н
Единицы → слайды	R04.3 «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике» → 2, 4–22 · повторение (подобие, R04.1 Пифагор) → 3
Результаты	ПР-5 (доказывать и применять отношения пропорциональности в прямоугольных треугольниках) → 4–21; ПР-9 (Пифагор, модель практической задачи) → 7, 10, 13, 18
Вне урока	синус, косинус, тангенс — GEOM8U-058; значения для 30°, 45°, 60° — GEOM8U-059; вписанный угол на диаметре — R05; обратное утверждение дано как задача ДЗ*
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Сегодня вы научитесь

Видеть подобие

Доказывать

Вычислять

Решать задачи ОГЭ

Пропорции, подобие, Пифагор

Среднее пропорциональное. Проекции катетов

Высота делит треугольник на подобные

Высота — среднее пропорциональное отрезков гипотенузы

Найдите высоту и катет

Образец: ∠C=90∘, CH⊥AB, AH=9, HB=16. Найдите CH и AC.

Сам

Катет — среднее пропорциональное гипотенузы и проекции

Найдите отрезки гипотенузы и высоту

Образец: ∠C=90∘, AC=6, AB=10. Найдите AH, HB и CH.

Сам

Что ещё дают теоремы

Теорема Пифагора заново

Высота через катеты

Отношение проекций

Шесть элементов — одна система

По катетам — всё остальное

Образец: катеты AC=16, BC=12. Найдите CH, AH, HB.

Сам

Проверьте формулу по клеткам

Образец: A(0;0), B(5;0), C(1;2), ∠C=90∘. Найдите AC двумя способами.

Сам: нарисуйте в тетради

План доказательства и обоснования

Образец: ∠C=90∘, CH⊥AB. Докажите: BC2AC2​=HBAH​.

Сам: докажите

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) AH=4, HB=12. Найдите AC.

б) «Докажем», что △ACH∼△CBH.

в) Катеты 9 и 12. Найдите высоту к гипотенузе.

Решите и проверьте (∠C=90∘, CH⊥AB)

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой (∠C=90∘, CH⊥AB)

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-057 · Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H ⊥ A B$ , $A H = 9$ , $H B = 16$ . Найдите $C H$ и $A C$ .

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 6$ , $A B = 10$ . Найдите $A H$ , $H B$ и $C H$ .

Образец: катеты $A C = 16$ , $BC = 12$ . Найдите $C H$ , $A H$ , $H B$ .

Образец: $A (0; 0)$ , $B (5; 0)$ , $C (1; 2)$ , $∠ C = 9 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ двумя способами.

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H ⊥ A B$ . Докажите: $\frac{A C ^{2}}{B C ^{2}} = \frac{A H}{H B}$ .

а) $A H = 4$ , $H B = 12$ . Найдите $A C$ .

б) «Докажем», что $△ A C H \sim △ CB H$ .

в) Катеты $9$ и $12$ . Найдите высоту к гипотенузе.

Решите и проверьте ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H ⊥ A B$ )

Два варианта — решите свой ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H ⊥ A B$ )