Площадь · урок 16 из 16 · обобщение

Обобщение и систематизация по теме «Площадь»

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM8U-054

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Площадь» (16 ч), урок 16/16, единицы R03.1–R03.4. Тип урока — О (обобщение и систематизация): теория — только сводки, без новых теорем.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · понятие и свойства 2,5 · цепочка выводов формул 3 · отношения площадей треугольников 2 · подобные фигуры 2 · схема «как найти площадь» 1,5.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2 + 2 + 2 + 2,5 + 2 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 17/18 — 2 · ОГЭ 24/25 — 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец 6 (доказательство) — устно по плану, ОГЭ 25 — в ДЗ. Сводки не пропускать: это опорный конспект перед контрольной.

R03.1–R03.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Собрать тему в систему

свойства площади → формулы → отношения площадей (ПР-7)

Выбирать способ

формула, разбиение, достроение или отношение — для любой фигуры (ПР-7)

Применять подобие

$S_{2} : S_{1} = k^{2}$ — в задачах на трапецию и треугольник (ПР-8)

Решать задачи ОГЭ

линии 17, 18, 24, 25 и практические задачи на план и масштаб

0,5 мин · теория
ПР-7: «Выводить и использовать простейшие формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции. Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур (пользуясь, где необходимо, калькулятором)».
ПР-8: «Знать отношение площадей подобных фигур и применять при решении задач. Применять полученные умения в практических задачах».
Виды деятельности ФРП R03: формулировать свойства площади, выводить формулы из формулы площади прямоугольника, находить площади на клетчатой бумаге разбиением и достроением, находить площади подобных фигур, решать практические задачи.

повторение: R03

Разминка · устно

Семь формул за две минуты

Прямоугольник $6 \times 4$ . Площадь? $24$
Параллелограмм: $a = 8$ , $h_{a} = 5$ . $S$ ? $40$
Треугольник: $a = 10$ , $h_{a} = 7$ . $S$ ? $35$
Ромб с диагоналями $6$ и $10$ . $S$ ? $30$

Трапеция: $a = 3$ , $b = 9$ , $h = 4$ . $S$ ? $24$
$1 м^{2}$ — это сколько $см^{2}$ ? $10000$
Треугольники подобны, $k = 3$ . $S_{2} : S_{1}$ ? $9 : 1$

R03.1 · R03.2

Сводка · понятие и свойства площади

Площадь — сколько единичных квадратов помещается в фигуре

1. Равные фигуры имеют равные площади.

2. Фигура составлена из частей без общих внутренних точек ⇒ её площадь равна сумме площадей частей.

3. Площадь квадрата со стороной

a

равна

a^{2}

; единица — квадрат со стороной

1

.

Разбиение: $12$ $+$ $9$ $= 21$ · достроение: $6 \cdot 5 - 9 = 21$

2,5 мин · теория
Повторяем GEOM8U-039/040: площадь — величина, сопоставляющая фигуре положительное число; три свойства — аксиомы, на них держатся все выводы формул.
Вопрос классу: какое свойство использовано при разбиении? (2.) При достроении? (2, записанное как вычитание: S(большой) = S(фигуры) + S(добавки).) Равновеликие фигуры — с равными площадями; равные фигуры всегда равновелики, обратное неверно (пример: прямоугольник 2 × 8 и квадрат 4 × 4).
Единицы: 1 м² = 10 000 см², 1 а (сотка) = 100 м², 1 га = 10 000 м².

R03.3

Сводка · вывод формул

Все формулы выводятся из площади прямоугольника

Прямоугольник

a

\cdot

b

свойство 3 и разбиение на квадраты

→

Параллелограмм

a

\cdot

h

треугольник переложили — получился прямоугольник

→

Треугольник

\frac{1}{2}

a

h

половина параллелограмма

→

Трапеция

\frac{a + b}{2}

h

диагональ делит на два треугольника

Ромб и любой четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями:

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}

; прямоугольный треугольник:

S = \frac{1}{2} ab

.

3 мин · теория
Ученики по цепочке проговаривают вывод (GEOM8U-041): 1) параллелограмм: отрезаем прямоугольный треугольник у вершины A и прикладываем к стороне CD — равные фигуры, площадь не изменилась, получился прямоугольник a × h. 2) Треугольник ABD дополняется равным треугольником до параллелограмма — S = ½ah. 3) Диагональ AC делит трапецию на треугольники с основаниями a, b и общей высотой h: ½ah + ½bh.
Ромб: диагонали перпендикулярны, ромб делится диагональю d1 на два треугольника с высотами d2/2: 2 · ½ · d1 · d2/2 = ½d1d2. Формула верна для любого четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями (углублённый уровень) — но не для параллелограмма!
Каждая формула опирается на предыдущую — это и есть систематизация.

R03.2 · R03.3

Сводка · отношения площадей

Треугольники с общей высотой и с общим углом

\frac{S _{A BM}}{S _{MBC}} = \frac{a _{1}}{a _{2}}

общая высота $h$ ⇒ площади относятся как основания

медиана делит треугольник на два равновеликих

общий угол $A$ :

$\frac{S _{A K M}}{S _{A BC}} = \frac{A K \cdot A M}{A B \cdot A C}$

2 мин · теория
Доказательство первого правила в одну строку: S(ABM) = ½ · AM · h, S(MBC) = ½ · MC · h — высота BH общая, при делении h сокращается.
Медиана: AM = MC ⇒ площади равны. Следствие: три медианы делят треугольник на 6 равновеликих частей, площадь треугольника AOB (O — точка пересечения медиан) равна трети площади ABC.
Общий угол (углублённый уровень, GEOM8U-040/044): провести высоту из K и из B к прямой AC — они относятся как AK : AB (подобные прямоугольные треугольники), отсюда отношение площадей (AK · AM) : (AB · AC).

R03.4

Сводка · площади подобных фигур

Длины в $k$ раз — площадь в $k^{2}$ раз

1все соответственные длины — в $k$ разстороны, высоты, медианы, периметры

2 $S_{2} = \frac{1}{2} \cdot ka \cdot kh = k^{2} \cdot \frac{1}{2} ah$ формула площади треугольника

\frac{S _{2}}{S _{1}} = k^{2}

верно для любых подобных многоугольников: их делят на подобные треугольники

R03.1–R03.4

Схема-конспект · как найти площадь

Четыре способа — выбираем по чертежу

1. Формула

есть основание и перпендикулярная ему высота

$S = ah$ , $\frac{1}{2} ah$ , $\frac{a + b}{2} h$

2. Разбиение

режем на фигуры с известными формулами и складываем

$S = 12 + 9$

3. Достроение

достраиваем до прямоугольника и вычитаем лишнее — клетчатая бумага

$S = 35 - 19$

4. Отношение

общая высота — как основания; подобие — как $k^{2}$

$\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{a _{1}}{a _{2}}$ или $k^{2}$

R03.3

Образец → сам · формула на готовом чертеже

Одна площадь — две высоты

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A D = 20$ , $A B = 15$ , $B H = 12$ . Найдите высоту $DK$ .

$S = A D \cdot B H = 20 \cdot 12 = 240$ основание и высота

$S = A B \cdot DK$ та же площадь, другая пара

$DK = 240 : 15 = 16$

Сам

Стороны параллелограмма $10$ и $15$ , высота к большей $4$ . Найдите высоту к меньшей. $6$
Диагонали ромба $12$ и $16$ , сторона $10$ . Найдите высоту ромба. $9, 6$
В $△ A BC$ $A B = 12$ , $BC = 9$ , высота к $A B$ равна $6$ . Найдите высоту к $BC$ . $8$

R03.3

Образец → сам · трапеция: строим высоту

Высоты нет на чертеже — проведите её

Образец: $A D ∥ BC$ , $A B ⊥ A D$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$ , $A D = 16$ , $BC = 10$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

$C H ⊥ A D$ , $HD = 16 - 10 = 6$ $A BC H$ — прямоугольник

$C H = HD = 6$ $△ C HD$ — прямоугольный, $∠ D = 4 5^{\circ}$

$S = \frac{16 + 10}{2} \cdot 6 = 78$

Сам

Площадь трапеции $60$ , высота $5$ , одно основание $9$ . Найдите другое. $15$
Равнобедренная трапеция: основания $7$ и $15$ , угол при основании $4 5^{\circ}$ . Найдите $S$ . $44$
Основания трапеции $6$ и $14$ , боковая сторона $10$ образует с большим основанием угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $50$

R03.2

Образец → сам · отношение площадей

Длин нет — есть отношение и площадь

Образец: $M \in A C$ , $A M : MC = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 40$ . Найдите $S_{A BM}$ и $S_{MBC}$ .

$S_{A BM} : S_{MBC} = 2 : 3$ общая высота $B H$

$40 : 5 = 8$ — одна часть

$S_{A BM} = 16$ , $S_{MBC} = 24$

Сам

$BM$ — медиана $△ A BC$ , $S_{A BM} = 13$ . Найдите $S_{A BC}$ . $26$
$K \in A B$ , $M \in A C$ , $A K = 4$ , $A B = 10$ , $A M = 3$ , $A C = 8$ , $S_{A BC} = 40$ . Найдите $S_{A K M}$ . $6$
Медианы $△ A BC$ пересекаются в точке $O$ , $S_{A BC} = 48$ . Найдите $S_{A OB}$ . $16$

R03.4

Образец → сам · подобные фигуры

Прямая, параллельная стороне, отсекает подобный треугольник

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM : M A = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 75$ . Найдите $S_{MBN}$ и $S_{A MNC}$ .

$△ MBN \sim △ A BC$ $∠ B$ общий, $∠ BMN = ∠ A$ (соответственные)

$k = \frac{BM}{B A} = \frac{2}{5}$ часть : целое, а не $2 : 3$

$S_{MBN} = \frac{4}{25} \cdot 75 = 12$ , $S_{A MNC} = 75 - 12 = 63$

Сам

Площади подобных треугольников $18$ и $50$ , сторона меньшего $6$ . Найдите соответственную сторону большего. $10$
Средняя линия отсекает от треугольника трапецию площадью $27$ . Найдите площадь треугольника. $36$
Трапеция, $BC = 4$ , $A D = 10$ , диагонали пересекаются в $O$ , $S_{BOC} = 8$ . Найдите $S_{A O D}$ . $50$

R03.1 · R03.2

Образец → сам · клетчатая бумага

Достроение до прямоугольника

Образец: клетка $1 \times 1$ . Найдите площадь треугольника.

прямоугольник $7 \times 5 = 35$ достроили

лишнее: $3, 5 + 8 + 7, 5 = 19$ по $\frac{1}{2} ab$

$S = 35 - 19 = 16$

Сам: отметьте точки в тетради

Параллелограмм $(1; 1)$ , $(7; 1)$ , $(9; 5)$ , $(3; 5)$ . $24$
Треугольник $(0; 0)$ , $(6; 2)$ , $(2; 5)$ . $13$
Четырёхугольник $(0; 0)$ , $(6; 1)$ , $(5; 5)$ , $(1; 4)$ . $20$

2 мин · практика
Образец: вершины (1; 1), (8; 2), (4; 6). Прямоугольник 7 × 5 = 35; угловые треугольники: катеты 7 и 1 — 3,5; катеты 4 и 4 — 8; катеты 3 и 5 — 7,5; сумма 19; S = 16.
1) Основание 6, высота 4 (по клеткам): S = 24 — формула, достраивать не нужно. 2) Прямоугольник 6 × 5 = 30; треугольники 6, 6, 5; S = 30 − 17 = 13. 3) Прямоугольник 6 × 5 = 30; лишнее: внизу треугольник 3, справа 2, слева сверху фигура площадью 5 (треугольник 1 · 4 : 2 = 2, треугольник 4 · 1 : 2 = 2 и квадрат 1); S = 30 − 10 = 20. Можно и разбиением диагональю.
Все ответы проверены по формуле площади многоугольника по координатам.

R03.2 · R03.3

Образец → сам · задача на доказательство

Точка внутри параллелограмма

Образец: точка $P$ лежит внутри параллелограмма. Докажите: $S_{A PB} + S_{CP D} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$ .

$h_{1} + h_{2} = h$ перпендикуляр к $A B ∥ C D$ через $P$

$\frac{1}{2} A B \cdot h_{1} + \frac{1}{2} C D \cdot h_{2} = \frac{1}{2} A B (h_{1} + h_{2})$ $A B = C D$

$= \frac{1}{2} A B \cdot h = \frac{1}{2} S_{A BC D}$ что и требовалось

Сам: план доказательства

Диагонали делят параллелограмм на 4 равновеликих треугольника. $A O = OC$ ⇒ $S_{A OB} = S_{BOC}$ (общая высота)
Трапеция $A BC D$ , $A D ∥ BC$ , $A C \cap B D = O$ . Докажите $S_{A OB} = S_{CO D}$ . $S_{A B D} = S_{A C D}$ , вычесть $S_{A O D}$
$M$ — середина $BC$ параллелограмма $A BC D$ . Докажите $S_{A M D} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$ . основание $A D$ , высота $h$

2,5 мин · практика
Образец: через P проводим прямую, перпендикулярную AB; она перпендикулярна и CD (AB ∥ CD). Отрезки h1 и h2 — высоты треугольников APB и CPD, их сумма — расстояние между AB и CD, то есть высота h параллелограмма. Подставляем, выносим ½AB.
1) AO = OC ⇒ S(AOB) = S(BOC) (общая высота из B), аналогично S(BOC) = S(COD) = S(DOA). 2) Треугольники ABD и ACD: общее основание AD, высоты равны (расстояние между AD и BC) ⇒ равновелики; вычитаем общую часть AOD. 3) S(AMD) = ½ · AD · h = ½S — для любой точки M на BC, середина не нужна (обсудить с классом!).
Задание 3 — следствие образца: точка P «переехала» на сторону BC.

R03.1–R03.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$S_{парал .} = A B \cdot A D$	сторона $A B$ не перпендикулярна $A D$ — это не высота	$S = A D \cdot B H$ , $B H ⊥ A D$
$k = 3$ ⇒ площади в $3$ раза	длины в $k$ раз, площадь — произведение двух длин	в $k^{2} = 9$ раз
$S_{трап .} = (a + b) h$	потеряна половина: трапеция — два треугольника	$S = \frac{a + b}{2} h$
$S_{парал .} = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$	формула только при $d_{1} ⊥ d_{2}$	для ромба — да, для параллелограмма — нет

R03.3 · R03.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Ромб со стороной $10$ и углом $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .

$S = 10 \cdot 10 = 100$

$h = 10 : 2 = 5$ (катет против $3 0^{\circ}$ ), $S = 10 \cdot 5 = 50$

б) Треугольники подобны, $S_{1} = 12$ , $S_{2} = 27$ , сторона меньшего $4$ . Найдите сторону большего.

$k = 27 : 12 = 2, 25$

$4 \cdot 2, 25 = 9$

$k^{2} = \frac{9}{4}$ , $k = 1, 5$ , сторона $6$

в) Параллелограмм: $A D = 9$ , $A B = 5$ , $B H = 4$ ( $B H ⊥ A D$ ). Найдите высоту к $A B$ .

$S = 9 \cdot 5 = 45$

$h = 45 : 5 = 9$

$S = 9 \cdot 4 = 36$ , $h = 36 : 5 = 7, 2$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Перемножены две стороны — так считают только квадрат. Высота ромба из вершины тупого угла — катет против угла 30°: 5; S = 50.
б) Отношение площадей — это k², а не k: k = √(27/12) = √(9/4) = 1,5; сторона 4 · 1,5 = 6.
в) Та же ошибка, что в а): сторона вместо высоты. Признак ошибки: высота к AB, равная 9 = AD, возможна только у прямоугольника, а здесь BH = 4 < AB = 5 — не прямоугольник. Верно: 7,2.

R03.3 · R03.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаДиагональ квадрата $10$ . Найдите его площадь. $50$
базаКатеты прямоугольного треугольника $7$ и $12$ . Найдите $S$ . $42$
базаПлощадь параллелограмма $84$ , сторона $12$ . Найдите высоту к ней. $7$

базаОснования трапеции $5$ и $11$ , высота $6$ . Найдите $S$ . $48$
базаПлощадь ромба $54$ , одна диагональ $9$ . Найдите другую. $12$
базаТреугольники подобны, $k = \frac{2}{3}$ , площадь большего $45$ . Найдите площадь меньшего. $20$

R03.2–R03.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $M$ — середина $BC$ параллелограмма $A BC D$ , $S_{A BC D} = 60$ . Найдите $S_{A BM}$ и $S_{A MC D}$ . $15$ и $45$
повыш.Трапеция: $A D = 12$ , $BC = 4$ , $S_{A BC D} = 64$ , диагонали пересекаются в $O$ . Найдите $S_{BOC}$ . $4$
повыш.Прямая $MN ∥ A C$ делит $△ A BC$ на две равновеликие части, $A B = 12$ , $M \in A B$ . Найдите $BM$ . $62$
из жизниНа плане $1 : 1000$ участок — трапеция с основаниями $6$ см и $4$ см, высотой $3$ см. Сколько это соток? $15$ соток

R03 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17 и 18

Ответ — одно число

ОГЭ 17Площадь параллелограмма $A BC D$ равна $56$ . Точка $E$ — середина стороны $A B$ . Найдите площадь трапеции $EBC D$ . $42$
ОГЭ 17Основания трапеции $18$ и $12$ , боковая сторона $6$ образует с одним из оснований угол $15 0^{\circ}$ . Найдите площадь трапеции. $45$

ОГЭ 18 Клетка $1 \times 1$ . Найдите площадь четырёхугольника.

Ответ: 24

2 мин · практика
17.1) S(AED) = ½ · AE · h = ½ · (AB/2) · h = S/4 = 14 (h — высота к AB); трапеция EBCD = 56 − 14 = 42.
17.2) Угол между боковой стороной и другим основанием 180° − 150° = 30°; высота — катет против 30°: 6 : 2 = 3; S = (18 + 12) : 2 · 3 = 45.
18) Вершины (1; 1), (8; 2), (7; 6), (2; 5). Прямоугольник 7 × 5 = 35, лишнее: треугольники 7 · 1 : 2 = 3,5 (снизу), 1 · 4 : 2 = 2 (справа), 5 · 1 : 2 = 2,5 (сверху), 1 · 4 : 2 = 2 (слева) и квадрат 1 × 1 в левом верхнем углу — всего 11; S = 35 − 11 = 24. Проверено формулой площади по координатам.

R03 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 24 и 25

Вторая часть: доказательство и сложная задача

ОГЭ 24 $E$ — середина боковой стороны $C D$ трапеции $A BC D$ . Докажите, что $S_{A BE} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$ .

$A E \cap BC = F$ : $△ A E D = △ FEC$ (II признак) ⇒ $S_{A BC D} = S_{A BF}$ , $A E = EF$

$BE$ — медиана $△ A BF$ ⇒ $S_{A BE} = \frac{1}{2} S_{A BF}$

ОГЭ 25 $K, L, M, N$ — середины сторон четырёхугольника площадью $46$ . Найдите $S_{K L MN}$ .

$S_{A K N} = \frac{1}{4} S_{A B D}$ , $S_{C L M} = \frac{1}{4} S_{CB D}$ ( $k = \frac{1}{2}$ )

отрезано $\frac{1}{2} S$ ⇒ $S_{K L MN} = 23$

2,5 мин · практика
24) Полное доказательство на 2 балла: продлим AE до пересечения с прямой BC в точке F. △AED = △FEC: DE = EC, ∠AED = ∠FEC (вертикальные), ∠ADE = ∠FCE (накрест лежащие при AD ∥ BF и секущей CD) — II признак. Значит, S(ABCD) = S(ABCE) + S(AED) = S(ABCE) + S(FEC) = S(ABF), и AE = EF. BE — медиана △ABF ⇒ S(ABE) = ½S(ABF) = ½S(ABCD).
25) KN — средняя линия △ABD ⇒ △AKN ∼ △ABD, k = ½, S(AKN) = ¼S(ABD); аналогично S(CLM) = ¼S(CBD); сумма ¼S. Так же с диагональю AC: S(BKL) + S(DMN) = ¼S. Всего отрезано ½S ⇒ S(KLMN) = 46 : 2 = 23.
На уроке — устное обсуждение планов, запись 24 полностью — в ДЗ по желанию.

R03.2–R03.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Сторона параллелограмма $14$ , высота к ней $5$ . Найдите $S$ . $70$
Основания трапеции $8$ и $12$ , $S = 70$ . Найдите высоту. $7$
$K \in A C$ , $A K : K C = 3 : 4$ , $S_{A BC} = 56$ . Найдите $S_{A B K}$ . $24$
Площади подобных треугольников $16$ и $36$ , периметр меньшего $20$ . Найдите периметр большего. $30$

Вариант 2

Диагонали ромба $14$ и $8$ . Найдите $S$ . $56$
Площадь треугольника $36$ , сторона $9$ . Найдите высоту к ней. $8$
$K \in A C$ , $A K : K C = 2 : 5$ , $S_{A BC} = 42$ . Найдите $S_{K BC}$ . $30$
Площади подобных треугольников $25$ и $9$ , периметр большего $30$ . Найдите периметр меньшего. $18$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Из какой формулы выводятся все остальные?
Какие четыре способа найти площадь вы знаете?
Во сколько раз изменится площадь, если все длины увеличить в $k$ раз?

Домашнее задание

Трапеция: основания $3$ и $7$ , $S = 30$ . Найдите площади четырёх треугольников, на которые её делят диагонали.
* Докажите: медианы делят треугольник на шесть равновеликих.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_ploshchadi_parallelogramma_treugolnika_trapecii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-054 · Обобщение и систематизация по теме «Площадь»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R03 «Площадь», 16 ч · урок 16/16 · тип О
Единицы → слайды	R03.1 «Понятие площади» → 4, 8, 13 · R03.2 «Свойства площадей» → 4, 6, 11, 13, 14, 18, 20 · R03.3 «Простейшие формулы» → 5, 8–10, 14–17, 19, 21 · R03.4 «Площади подобных фигур» → 7, 12, 15–18, 20, 21
Результаты	ПР-7 (выводить и использовать формулы площади, вычислять площади различными способами) → 3–6, 8–11, 13–17, 19–21 · ПР-8 (отношение площадей подобных фигур, практические задачи) → 7, 12, 16–18, 20, 21
Вне урока	теорема Пифагора и задачи с ней — GEOM8U-055 (R04); тригонометрическая формула площади — R04; формула Пика — только как дополнительный материал GEOM8U-047
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Обобщение и систематизация по теме «Площадь»

Сегодня вы научитесь

Собрать тему в систему

Выбирать способ

Применять подобие

Решать задачи ОГЭ

Семь формул за две минуты

Площадь — сколько единичных квадратов помещается в фигуре

Все формулы выводятся из площади прямоугольника

Прямоугольник

Параллелограмм

Треугольник

Трапеция

Треугольники с общей высотой и с общим углом

Длины в k раз — площадь в k2 раз

Четыре способа — выбираем по чертежу

1. Формула

2. Разбиение

3. Достроение

4. Отношение

Одна площадь — две высоты

Образец: ABCD — параллелограмм, AD=20, AB=15, BH=12. Найдите высоту DK.

Сам

Высоты нет на чертеже — проведите её

Образец: AD∥BC, AB⊥AD, ∠D=45∘, AD=16, BC=10. Найдите SABCD​.

Сам

Длин нет — есть отношение и площадь

Образец: M∈AC, AM:MC=2:3, SABC​=40. Найдите SABM​ и SMBC​.

Сам

Прямая, параллельная стороне, отсекает подобный треугольник

Образец: MN∥AC, BM:MA=2:3, SABC​=75. Найдите SMBN​ и SAMNC​.

Сам

Достроение до прямоугольника

Образец: клетка 1×1. Найдите площадь треугольника.

Сам: отметьте точки в тетради

Точка внутри параллелограмма

Образец: точка P лежит внутри параллелограмма. Докажите: SAPB​+SCPD​=21​SABCD​.

Сам: план доказательства

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Ромб со стороной 10 и углом 30∘. Найдите S.

б) Треугольники подобны, S1​=12, S2​=27, сторона меньшего 4. Найдите сторону большего.

в) Параллелограмм: AD=9, AB=5, BH=4 (BH⊥AD). Найдите высоту к AB.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Вторая часть: доказательство и сложная задача

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-054 · Обобщение и систематизация по теме «Площадь»

Длины в $k$ раз — площадь в $k^{2}$ раз

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A D = 20$ , $A B = 15$ , $B H = 12$ . Найдите высоту $DK$ .

Образец: $A D ∥ BC$ , $A B ⊥ A D$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$ , $A D = 16$ , $BC = 10$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

Образец: $M \in A C$ , $A M : MC = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 40$ . Найдите $S_{A BM}$ и $S_{MBC}$ .

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM : M A = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 75$ . Найдите $S_{MBN}$ и $S_{A MNC}$ .

Образец: клетка $1 \times 1$ . Найдите площадь треугольника.

Образец: точка $P$ лежит внутри параллелограмма. Докажите: $S_{A PB} + S_{CP D} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$ .

а) Ромб со стороной $10$ и углом $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .

б) Треугольники подобны, $S_{1} = 12$ , $S_{2} = 27$ , сторона меньшего $4$ . Найдите сторону большего.

в) Параллелограмм: $A D = 9$ , $A B = 5$ , $B H = 4$ ( $B H ⊥ A D$ ). Найдите высоту к $A B$ .