Площадь · урок 15 из 16 · практикум

Практикум: формулы площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM8U-053

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Площадь» (16 ч), урок 15/16, единица R03.3. Тип урока — П (третий практикум по формулам площади после GEOM8U-045 и GEOM8U-049).
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка формул 2,5 · равновеликие треугольники 2,5 · теорема о четырёх треугольниках трапеции 2,5 · построение равновеликого треугольника 2,5 · схема решения 1,5.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 3 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2 · ОГЭ 17–19 — 2 · ОГЭ 23–24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Новое по сравнению с прошлыми практикумами: отношения площадей без высот, четыре треугольника трапеции ( $S_{3} = S_{4}$ , $S_{3}^{2} = S_{1} S_{2}$ ), построение равновеликого треугольника. Если не успеваете: ОГЭ 24 — в ДЗ, задание 3 повышенного уровня — сильным.

R03.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать формулу

площади треугольника, параллелограмма, ромба, трапеции и решать обратные задачи (ПР-7)

Считать площади частей

по отношениям отрезков — без высот и длин (ПР-7)

Доказывать равенство площадей

и строить равновеликий треугольник

Решать задачи ОГЭ

линии 17, 18, 19, 23, 24 — в том числе на клетчатой бумаге

0,5 мин · теория
ПР-7: «Выводить и использовать простейшие формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции. Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур (пользуясь, где необходимо, калькулятором)».
Виды деятельности ФРП R03: вычислять площади различных многоугольных фигур; находить площади на клетчатой бумаге разбиением и достроением; решать задачи на площадь с практическим содержанием.

повторение: R03.2–R03.3

Разминка · устно

Формулы и свойства площади — в одно действие

Параллелограмм № 1: найдите $S$ . $36$
Треугольник: сторона $12$ , высота к ней $5$ . $S$ ? $30$
Ромб: диагонали $10$ и $7$ . $S$ ? $35$
Трапеция № 4: найдите $S$ . $42$
Медиана делит треугольник площади $40$ на две части. Их площади? по $20$
Равновеликие фигуры обязательно равны? нет

R03.3

Сводка · формулы площади

Шесть формул — один принцип «основание × высота»

Параллелограмм

S = a h

Треугольник

S = \frac{1}{2} a h

Прямоугольный треугольник

S = \frac{1}{2} a b

Ромб

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} = a h

Трапеция

S = \frac{a + b}{2} h

Диагонали $⊥$

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}

2,5 мин · теория
Короткая сводка (урок П): ученики по очереди называют формулу и откуда она выведена. Параллелограмм — из прямоугольника перекраиванием; треугольник — половина параллелограмма; трапеция — сумма двух треугольников (диагональ); ромб и любой четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями — сумма двух треугольников с общим основанием-диагональю.
Две формулы ромба дают обратную задачу: $\frac{1}{2} d_{1} d_{2} = a h$ ⇒ $h = \frac{d _{1} d _{2}}{2 a}$ (образец 2).
Формула трапеции через среднюю линию: $S = m h$ , $m = \frac{a + b}{2}$ .

R03.3

Образец → сам · точка внутри параллелограмма

Две высоты складываются в одну

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $S = 48$ , $P$ — внутри. Найдите $S_{A PB} + S_{CP D}$ .

$S_{A PB} + S_{CP D} = \frac{1}{2} A B \cdot h_{1} + \frac{1}{2} C D \cdot h_{2}$ $S = \frac{1}{2} ah$

$= \frac{1}{2} A B (h_{1} + h_{2}) = \frac{1}{2} A B \cdot h$ $A B = C D$ , $h_{1} + h_{2} = h$

$= \frac{1}{2} S = 24$ $S = A B \cdot h$

Сам

$S_{A BC D} = 60$ , точка $K$ лежит на $BC$ . Найдите $S_{A KD}$ . $30$
$S_{A BC D} = 60$ , $P$ — внутри, $S_{A PB} = 13$ . Найдите $S_{CP D}$ . $17$
$S_{A BC D} = 40$ , $M$ — середина $BC$ . Найдите $S_{A MC D}$ . $30$

2,5 мин · практика
Образец: $h_{1}$ и $h_{2}$ — перпендикуляры из $P$ к параллельным прямым $A B$ и $C D$ ; вместе они составляют расстояние между этими прямыми, т. е. высоту параллелограмма к стороне $A B$ . Вывод: при любом положении $P$ сумма площадей «противоположных» треугольников равна половине параллелограмма.
1) Основание $A D$ , высота — расстояние между $BC$ и $A D$ : $S_{A KD} = \frac{1}{2} A D \cdot h = 30$ при любом положении $K$ на $BC$ .
2) $S_{A PB} + S_{CP D} = 30$ ⇒ $S_{CP D} = 30 - 13 = 17$ .
3) $S_{A BM} = \frac{1}{2} BM \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} BC \cdot h = \frac{1}{4} S = 10$ ; $S_{A MC D} = 40 - 10 = 30$ .

R03.3

Образец → сам · обратная задача

Одна площадь — две формулы → неизвестный элемент

Образец: диагонали ромба $16$ и $12$ , сторона $10$ . Найдите высоту ромба.

$S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 96$ через диагонали

$S = a h = 10 h$ ромб — параллелограмм

$10 h = 96$ ⇒ $h = 9, 6$

Сам

Диагонали ромба $30$ и $40$ , сторона $25$ . Найдите высоту. $24$
Трапеция: $S = 72$ , основания $7$ и $11$ . Найдите высоту. $8$
Две стороны треугольника $15$ и $10$ , высота к стороне $15$ равна $8$ . Найдите высоту к стороне $10$ . $12$

R03.3

Сводка · равновеликие треугольники

Площади частей — без единой высоты

Общая высота — площади относятся как основания

S_{1} : S_{2} = m : n

медиана делит площадь пополам

Общее основание $A B$ , вершины на прямой $∥ A B$

S_{1} = S_{2}

высоты равны: расстояние между $∥$

Вершина на стороне параллелограмма, основание — противоположная сторона

S = \frac{1}{2} S_{A BC D}

R03.3

Образец → сам · отношения отрезков → площади

Цепочка «общая высота»

Образец: $S_{A BC} = 60$ , $BM : MC = 2 : 3$ , $N$ — середина $A M$ . Найдите $S_{BNC}$ .

$S_{A BM} = 24$ , $S_{A MC} = 36$ общая высота из $A$ , $2 : 3$

$S_{BNM} = 12$ , $S_{CNM} = 18$ $BN$ , $CN$ — медианы

$S_{BNC} = 12 + 18 = 30$

Сам

$S_{A BC} = 36$ , $A M$ — медиана, $K$ — середина $A M$ . Найдите $S_{A B K}$ . $9$
$S_{A BC} = 72$ , $M \in A C$ , $A M : MC = 1 : 3$ . Найдите $S_{A BM}$ . $18$
Медианы $△ A BC$ пересекаются в точке $G$ , $S_{A BC} = 54$ . Найдите $S_{A GB}$ . $18$

3 мин · практика
Образец: $S_{A BM} = 60 \cdot \frac{2}{5} = 24$ , $S_{A MC} = 60 \cdot \frac{3}{5} = 36$ . В $△ A BM$ отрезок $BN$ — медиана ⇒ $S_{BNM} = 12$ ; в $△ A MC$ отрезок $CN$ — медиана ⇒ $S_{CNM} = 18$ . Ответ: 30 — ровно половина, и это не случайно: $N$ — середина $A M$ , поэтому высота $△ BNC$ к $BC$ вдвое меньше высоты $△ A BC$ .
1) $S_{A BM} = 18$ (медиана), $B K$ — медиана $△ A BM$ ⇒ $S_{A B K} = 9$ .
2) Общая высота из $B$ : $S_{A BM} = 72 \cdot \frac{1}{4} = 18$ .
3) $G$ делит медиану $A A_{1}$ в отношении $2 : 1$ (R01). $S_{A B A_{1}} = 27$ , $S_{A GB} = \frac{2}{3} \cdot 27 = 18$ . Вывод для сильных: медианы делят треугольник на 6 равновеликих частей.

R03.3

Теорема · доказательство

Четыре треугольника трапеции

Дано:

A BC D

— трапеция,

BC ∥ A D

,

O = A C \cap B D

.
Доказать:

S_{3} = S_{4}

,

S_{3}^{2} = S_{1} \cdot S_{2}

.

1

S_{A B D} = S_{A C D}

основание

A D

общее, высоты равны (

BC ∥ A D

)

2

S_{3} = S_{A B D} - S_{2} = S_{A C D} - S_{2} = S_{4}

площадь целого = сумма частей

3

\frac{S _{3}}{S _{2}} = \frac{BO}{O D} = \frac{S _{1}}{S _{4}}

общая высота из

A

; общая высота из

C

4

S_{3} S_{4} = S_{1} S_{2}

⇒

S_{3}^{2} = S_{1} S_{2}

пропорция и

S_{3} = S_{4}

из п. 2

R03.3

Образец → сам · комбинированная задача

Трапеция по площадям двух треугольников

Образец: $BC ∥ A D$ , $S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 9$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

$S_{A OB}^{2} = 4 \cdot 9 = 36$ ⇒ $S_{A OB} = 6$ теорема

$S_{CO D} = S_{A OB} = 6$ боковые равновелики

$S = 4 + 9 + 6 + 6 = 25$

Сам

$S_{BOC} = 1$ , $S_{A O D} = 16$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $25$
$S_{A OB} = 10$ , $BO : O D = 2 : 5$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $49$
$BC = 3$ , $A D = 6$ , $S_{BOC} = 5$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $45$

R03.3

Построение · обоснование

Четырёхугольник → равновеликий треугольник

Дано: выпуклый четырёхугольник

A BC D

.
Построить: треугольник той же площади.

1Проведём диагональ

B D

S_{A BC D} = S_{A B D} + S_{BC D}

2Через

C

— прямая

CE ∥ B D

,

E

на луче

A D

построение параллельной прямой

3

S_{BC D} = S_{BE D}

общее основание

B D

,

C

и

E

на прямой

∥ B D

4

S_{A BE}

= S_{A B D} + S_{BE D} = S_{A BC D}

площадь целого = сумма частей

2,5 мин · теория
Учитель строит на доске циркулем и линейкой (параллельная через точку — построение 7 класса). Вершина $C$ «скользит» по прямой, параллельной $B D$ , до прямой $A D$ — площадь $△ BC D$ при этом не меняется (факт 2).
Так любой многоугольник шаг за шагом превращается в равновеликий треугольник (каждый шаг убирает одну вершину). Вопрос: сколько шагов нужно для пятиугольника? (Два.)
Ошибка: провести прямую через $C$ параллельно $A D$ или $A C$ — площадь меняется; параллельно нужно именно диагонали, отсекающей вершину $C$ .

R03.3

Образец → сам · построение на клетчатой бумаге

Площадь четырёхугольника через треугольник

Образец: $A (0; 0)$ , $B (2; 4)$ , $C (5; 3)$ , $D (6; 0)$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

$B \to D$ : 4 вправо, 4 вниз; от $C$ так же до $A D$ : $E (8; 0)$

$S_{A BC D} = S_{A BE} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16$

Сам: в тетради на клетках

$A (0; 0)$ , $B (1; 4)$ , $C (4; 3)$ , $D (5; 0)$ . Найдите $E$ и $S_{A BC D}$ . $E (7; 0)$ , $S = 14$
$A (0; 0)$ , $B (1; 3)$ , $C (5; 3)$ , $D (6; 0)$ . Найдите $E$ и проверьте формулой трапеции. $E (10; 0)$ , $S = 15$
$A BC D$ — параллелограмм. Где лежит точка $E$ ? на луче $A D$ , $A E = 2 A D$

2,5 мин · практика
Образец: сдвиг от $B (2; 4)$ к $D (6; 0)$ — на $(+ 4; - 4)$ ; из $C (5; 3)$ спускаемся до оси на 3 клетки ⇒ вправо на 3: $E (8; 0)$ . Проверка «шнурованием» или достроением до прямоугольника $6 \times 4$ : $24 - 4 - 1, 5 - 1, 5 - 1 = 16$ ✓ (лишние: $△$ слева $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4$ , сверху $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 1, 5$ , справа $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = 1, 5$ , квадрат в углу $1$ ).
1) $B D$ : $(+ 4; - 4)$ ; от $C (4; 3)$ вниз на 3, вправо на 3 ⇒ $E (7; 0)$ ; $S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 4 = 14$ .
2) $B D$ : $(+ 5; - 3)$ ; от $C (5; 3)$ ⇒ $E (10; 0)$ ; $S_{A BE} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 3 = 15$ ; трапеция: $\frac{6 + 4}{2} \cdot 3 = 15$ ✓.
3) $CE ∥ B D$ и $BC ∥ D E$ ⇒ $BCE D$ — параллелограмм, $D E = BC = A D$ ⇒ $A E = 2 A D$ . Треугольник $A BE$ с основанием $2 A D$ и той же высотой: $\frac{1}{2} \cdot 2 A D \cdot h = A D \cdot h$ ✓.

R03.3

Схема-конспект · как найти площадь

Четыре пути к ответу

1. Есть основание и высота

формула сразу; ромб и $⊥$ диагонали — $\frac{1}{2} d_{1} d_{2}$

2. Ищем элемент

одну площадь записать двумя формулами и приравнять

3. Фигура неудобная

разбить, достроить или перестроить в равновеликий треугольник

4. Длин нет — есть отношения

общая высота, общее основание, четыре треугольника трапеции

R03.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
Ромб: $S = d_{1} d_{2}$	ромб — две половинки прямоугольника $d_{1} \times d_{2}$	$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$
Трапеция: $S_{A OB} = S_{BOC}$	равны только боковые треугольники	$S_{A OB} = S_{CO D}$ , $S_{A OB}^{2} = S_{BOC} S_{A O D}$
«Медиана делит треугольник на два равных»	равны площади, а не треугольники	на два равновеликих
$K \in A M$ , $A K : K M = 3 : 1$ ⇒ $S_{A B K} = \frac{3}{4} S_{A BC}$	общая высота у $△ A B K$ и $△ A BM$ , а не $△ A BC$	$S_{A B K} = \frac{3}{4} S_{A BM}$

R03.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Трапеция: $S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 25$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

$S_{A OB} = S_{CO D} = \frac{4 + 25}{2} = 14, 5$

$S = 4 + 25 + 29 = 58$

$S_{A OB} = 100 = 10$ , $S = 49$

б) $S_{A BC} = 40$ , $M$ — середина $BC$ , $K \in A M$ , $A K : K M = 3 : 1$ . Найдите $S_{A B K}$ .

$S_{A B K} = 40 \cdot \frac{3}{4} = 30$

$S_{A BM} = 20$ , $S_{A B K} = 20 \cdot \frac{3}{4} = 15$

в) Диагонали ромба $30$ и $40$ , сторона $25$ . Найдите высоту.

$S = 30 \cdot 40 = 1200$

$h = 1200 : 25 = 48$

$S = 600$ , $h = 24$

R03.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаСтороны параллелограмма $10$ и $6$ , высота к стороне $10$ равна $3$ . Найдите высоту к стороне $6$ . $5$
базаРомб: $S = 54$ , одна диагональ $12$ . Найдите другую. $9$
базаОснования трапеции $8$ и $14$ , высота $5$ . $S$ ? $55$

базаТреугольник: $S = 42$ , сторона $12$ . Найдите высоту к ней. $7$
база $S_{A BC} = 50$ , $M \in A C$ , $A M : MC = 2 : 3$ . $S_{A BM}$ ? $20$
базаТрапеция: $S_{BOC} = 9$ , $S_{A O D} = 16$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $49$

R03.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Высоты параллелограмма $4$ и $6$ , его площадь $48$ . Найдите периметр. $40$
повыш.Трапеция: $BC = 4$ , $A D = 10$ , $S_{A BC D} = 98$ . Найдите $S_{A O D}$ ( $O$ — точка пересечения диагоналей). $50$
повыш. $A BC D$ — параллелограмм, $S = 72$ , $M$ — середина $C D$ , $K = A M \cap B D$ . Найдите $S_{A KD}$ . $12$
из жизниДва ската крыши — трапеции с основаниями $8$ м и $12$ м и высотой $5$ м. Сколько листов кровли по $2$ м² нужно? $50$

R03.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17, 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 17Площадь параллелограмма $A BC D$ равна $56$ . Точка $E$ — середина стороны $A D$ . Найдите площадь трапеции $BC D E$ . $42$
ОГЭ 18На клетчатой бумаге с клетками $1 \times 1$ изображена трапеция. Найдите её площадь. $20$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.
Площадь ромба равна произведению его диагоналей.
Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади.

Ответ: 13

R03.3 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Диагонали трапеции $A BC D$ ( $BC ∥ A D$ ) пересекаются в точке $O$ , $S_{BOC} = 8$ , $S_{A O D} = 32$ , $A D = 10$ . Найдите $BC$ .

$S_{CO D} = 8 \cdot 32 = 16$ теорема о четырёх треугольниках

$BO : O D = S_{BOC} : S_{CO D} = 1 : 2$ общая высота из $C$

$BC = \frac{1}{2} A D = 5$ $△ BOC \sim △ D O A$

ОГЭ 24 $E$ — середина боковой стороны $C D$ трапеции $A BC D$ . Докажите, что $S_{A BE} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$ .

$A E \cap BC = F$ ; $△ A D E = △ FCE$ (II признак) ⇒ $S_{A BC D} = S_{A BF}$ , $A E = EF$

$BE$ — медиана $△ A BF$ ⇒ $S_{A BE} = \frac{1}{2} S_{A BF} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$

2 мин · практика
23) $S_{CO D} = S_{A OB}$ , $S_{CO D}^{2} = 8 \cdot 32 = 256$ ⇒ $S_{CO D} = 16$ . $△ BOC$ и $△ CO D$ имеют общую высоту из $C$ ⇒ $BO : O D = 8 : 16 = 1 : 2$ . $△ BOC \sim △ D O A$ (вертикальные и накрест лежащие углы) ⇒ $BC : A D = BO : O D = 1 : 2$ ⇒ $BC = 5$ . Ответ: 5.
24) Полное решение на 2 балла: $CE = E D$ , $∠ CEF = ∠ D E A$ (вертикальные), $∠ ECF = ∠ E D A$ (накрест лежащие, $BF ∥ A D$ , секущая $C D$ ) ⇒ $△ FCE = △ A D E$ ⇒ $A E = EF$ и равны площади. $S_{A BC D} = S_{A BCE} + S_{A D E} = S_{A BCE} + S_{FCE} = S_{A BF}$ . $BE$ — медиана $△ A BF$ ⇒ делит его площадь пополам.
Другой способ (для сильных): провести через $E$ среднюю линию и сложить площади двух треугольников с высотами $\frac{h}{2}$ .

R03.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Диагонали ромба $14$ и $6$ . Найдите $S$ . $42$
Стороны параллелограмма $12$ и $8$ , высота к стороне $12$ равна $6$ . Найдите высоту к стороне $8$ . $9$
$S_{A BC} = 63$ , $M \in BC$ , $BM : MC = 4 : 3$ . Найдите $S_{A BM}$ . $36$
Трапеция: $S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 49$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $81$

Вариант 2

Диагонали ромба $16$ и $5$ . Найдите $S$ . $40$
Стороны параллелограмма $15$ и $10$ , высота к стороне $15$ равна $4$ . Найдите высоту к стороне $10$ . $6$
$S_{A BC} = 56$ , $M \in A C$ , $A M : MC = 3 : 5$ . Найдите $S_{A BM}$ . $21$
Трапеция: $S_{BOC} = 9$ , $S_{A O D} = 25$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $64$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти высоту ромба по диагоналям и стороне?
Какие из четырёх треугольников трапеции равновелики?
Как перестроить четырёхугольник в равновеликий треугольник?

Домашнее задание

Трапеция: $S_{BOC} = 16$ , $S_{A O D} = 25$ . Найдите $S_{A BC D}$ .
Диагонали ромба $18$ и $24$ , сторона $15$ . Найдите высоту.
* $P$ внутри параллелограмма. Докажите: $S_{A PB} + S_{CP D} = S_{BPC} + S_{D P A}$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_ploshchadi_parallelogramma_treugolnika_trapecii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-053 · Практикум: Простейшие формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R03 «Площадь», 16 ч · урок 15/16 · тип П
Единицы → слайды	R03.3 «Простейшие формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции» → 2, 4–21 · повторение R03.2 → 3
Результаты	ПР-7 (выводить и использовать формулы площади; вычислять площади различными способами) → 4–21
Вне урока	площади подобных фигур (R03.4) — только через отношение отрезков; теорема Пифагора (R04) не используется; обобщение темы — GEOM8U-054
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: формулы площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции

Сегодня вы научитесь

Выбирать формулу

Считать площади частей

Доказывать равенство площадей

Решать задачи ОГЭ

Формулы и свойства площади — в одно действие

Шесть формул — один принцип «основание × высота»

Параллелограмм

Треугольник

Прямоугольный треугольник

Ромб

Трапеция

Диагонали ⊥

Две высоты складываются в одну

Образец: ABCD — параллелограмм, S=48, P — внутри. Найдите SAPB​+SCPD​.

Сам

Одна площадь — две формулы → неизвестный элемент

Образец: диагонали ромба 16 и 12, сторона 10. Найдите высоту ромба.

Сам

Площади частей — без единой высоты

Цепочка «общая высота»

Образец: SABC​=60, BM:MC=2:3, N — середина AM. Найдите SBNC​.

Сам

Четыре треугольника трапеции

Трапеция по площадям двух треугольников

Образец: BC∥AD, SBOC​=4, SAOD​=9. Найдите SABCD​.

Сам

Четырёхугольник → равновеликий треугольник

Площадь четырёхугольника через треугольник

Образец: A(0;0), B(2;4), C(5;3), D(6;0). Найдите SABCD​.

Сам: в тетради на клетках

Четыре пути к ответу

1. Есть основание и высота

2. Ищем элемент

3. Фигура неудобная

4. Длин нет — есть отношения

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Трапеция: SBOC​=4, SAOD​=25. Найдите SABCD​.

б) SABC​=40, M — середина BC, K∈AM, AK:KM=3:1. Найдите SABK​.

в) Диагонали ромба 30 и 40, сторона 25. Найдите высоту.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-053 · Практикум: Простейшие формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции

Диагонали $⊥$

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $S = 48$ , $P$ — внутри. Найдите $S_{A PB} + S_{CP D}$ .

Образец: диагонали ромба $16$ и $12$ , сторона $10$ . Найдите высоту ромба.

Образец: $S_{A BC} = 60$ , $BM : MC = 2 : 3$ , $N$ — середина $A M$ . Найдите $S_{BNC}$ .

Образец: $BC ∥ A D$ , $S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 9$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

Образец: $A (0; 0)$ , $B (2; 4)$ , $C (5; 3)$ , $D (6; 0)$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

а) Трапеция: $S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 25$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

б) $S_{A BC} = 40$ , $M$ — середина $BC$ , $K \in A M$ , $A K : K M = 3 : 1$ . Найдите $S_{A B K}$ .

в) Диагонали ромба $30$ и $40$ , сторона $25$ . Найдите высоту.