Площадь · урок 14 из 16 · практикум

Практикум: свойства площадей геометрических фигур

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM8U-052

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Площадь» (16 ч), урок 14/16, единица R03.2. Тип урока — П (практикум, третий по R03.2 после GEOM8U-044 и GEOM8U-048): теория — только сводка, демонстрация и два опорных факта; остальное решают ученики.
Тема-стержень: метод площадей — свойства площади как инструмент для вычисления длин, отношений и для доказательств.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка 2,5 · демонстрация 2,5 · опорный факт 1 — 2 · опорный факт 2 — 2 · схема 2.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2 + 2,5 + 2 + 2 + 2,5 + 1,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2 · ОГЭ 18/19 — 2 · ОГЭ 24/25 — 2 · самостоятельная 3,5 · итог 1.
Если не успеваете: образец «из жизни» и ОГЭ 25 — в ДЗ; опорные факты не сокращать.

R03.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Считать одну площадь дважды

и находить высоты и расстояния (ПР-7)

Делить фигуру на части

медианами, биссектрисой, отрезками — и сравнивать их площади (ПР-2)

Строить и доказывать

делить фигуру на равновеликие части с обоснованием

Решать задачи ОГЭ

линии 18, 19, 24, 25 — с обоснованием каждого шага

0,5 мин · теория
ПР-7: «Выводить и использовать простейшие формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции. Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур».
ПР-2: «Использовать свойства точки пересечения медиан треугольника (центра масс) в решении задач» — опорный факт 1 урока.
Виды деятельности ФРП R03: формулировать свойства площади, выяснять их наглядный смысл; вычислять площади различных многоугольных фигур; решать задачи на площадь с практическим содержанием.

повторение: R03.1–R03.4

Разминка · устно

Формулы площадей — за 2 минуты

$BM$ — медиана. Найдите $S_{A BM}$ . $15$
Треугольник: основание $10$ , высота $7$ . $S$ ? $35$
Параллелограмм: сторона $9$ , высота к ней $4$ . $S$ ? $36$
Трапеция: основания $4$ и $10$ , высота $6$ . $S$ ? $42$
Ромб с диагоналями $6$ и $10$ . $S$ ? $30$
Подобные треугольники, $k = 3$ , $S_{1} = 5$ . $S_{2}$ ? $45$

R03.2

Сводка · свойства площади и опорные факты

Что уже знаем о площади

1Равные фигуры имеют равные площади.

2Площадь фигуры равна сумме площадей её частей.

3Площадь единичного квадрата равна

1

.

Метод площадей: записать одну и ту же площадь двумя способами и приравнять.

общая высота

\frac{S _{A B D}}{S _{D BC}} = \frac{A D}{D C}

общее основание, $B B^{'} ∥ A C$

S_{A BC} = S_{A B^{'} C}

общий угол $A$

\frac{S _{A PQ}}{S _{A BC}} = \frac{A P \cdot A Q}{A B \cdot A C}

2,5 мин · теория (сводка: свойства называют ученики, учитель открывает карточки)
Три опорных факта доказаны на уроках GEOM8U-044 и GEOM8U-048: общая высота ⇒ площади относятся как основания; общее основание и вершины на прямой, параллельной ему, ⇒ высоты равны ⇒ площади равны; общий угол ⇒ отношение площадей равно произведению отношений сторон, заключающих этот угол.
Вопрос: какое свойство площади используется, когда мы «вычитаем» часть фигуры? (2° — сложение площадей.)
Сегодня добавим к ним два факта: медианы делят треугольник на 6 равновеликих частей; биссектриса делит площадь в отношении прилежащих сторон.

R03.2

Демонстрация · метод площадей

Сумма расстояний до сторон равностороннего треугольника

Дано:

△ A BC

— равносторонний, сторона

a

, высота

h

;

P

— точка внутри.
Доказать:

d_{1} + d_{2} + d_{3} = h

.

1

S_{A BC} = S_{P A B} + S_{PBC} + S_{PC A}

свойство 2°: сумма частей

2

S_{A BC} = \frac{1}{2} a d_{1} + \frac{1}{2} a d_{2} + \frac{1}{2} a d_{3}

площадь треугольника; основания равны

a

3

S_{A BC} = \frac{1}{2} a h

та же площадь — другим способом

4

d_{1} + d_{2} + d_{3} = h

приравняли и разделили на

\frac{1}{2} a

2,5 мин · теория (решает учитель, класс подсказывает обоснования)
Это теорема Вивиани: сумма расстояний от любой внутренней точки равностороннего треугольника до его сторон не зависит от точки и равна высоте. Чертёж построен точно: d₁ + d₂ + d₃ = h.
Главная мысль метода площадей: площадь одна, а записать её можно двумя способами. Отсюда находят высоты, расстояния, отношения отрезков.
Вопрос: где на этом чертеже использовано свойство 2°? (Шаг 1: треугольник разбит на три части без общих внутренних точек.) Пример: a = 6 ⇒ h = 3√3, и сумма расстояний от любой точки равна 3√3.

R03.2

Образец → сам · одна площадь двумя способами

Высота через площадь

Образец: катеты $A C = 6$ , $BC = 8$ , гипотенуза $A B = 10$ . Найдите высоту $C H$ .

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ через катеты

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h$ через гипотенузу

$5 h = 24$ , $h = 4, 8$

Сам

Стороны параллелограмма $12$ и $8$ , высота к большей — $6$ . Найдите высоту к меньшей. $9$
Диагонали ромба $12$ и $16$ . Найдите его высоту. $9, 6$
В $△ A BC$ : $A C = 16$ , $BC = 12$ , высота к $A C$ равна $9$ . Найдите высоту к $BC$ . $12$

2,5 мин · практика
Образец: формула h = ab/c — следствие метода площадей; её полезно помнить для прямоугольного треугольника.
1) S = 12 · 6 = 72; высота к стороне 8: 72 : 8 = 9. Проверка: 9 ≤ 12, 6 ≤ 8 — такой параллелограмм существует.
2) Сторона ромба по теореме Пифагора о половинах диагоналей: √(6² + 8²) = 10 (или египетский треугольник). S = ½ · 12 · 16 = 96; h = 96 : 10 = 9,6.
3) S = ½ · 16 · 9 = 72; высота к BC: 2 · 72 : 12 = 12.
Типичная ошибка: делить площадь на сторону, забыв про коэффициент ½ у треугольника.

R03.2

Опорный факт 1 · доказательство

Медианы делят треугольник на 6 равновеликих частей

Дано:

A A_{1}

,

B B_{1}

,

C C_{1}

— медианы,

M

— их точка пересечения.
Доказать: все шесть треугольников имеют площадь

\frac{1}{6} S_{A BC}

.

1

S_{BM A_{1}} = S_{CM A_{1}}

M A_{1}

— медиана

△ BMC

(общая высота)

2

S_{B A A_{1}} = S_{C A A_{1}}

A A_{1}

— медиана

△ A BC

3

S_{A BM} = S_{A CM}

вычли из п. 2 равенство п. 1 (свойство 2°)

4

S_{A BM} = S_{BCM} = S_{C A M} = \frac{1}{3} S

так же через медиану

B B_{1}

5каждая треть — пополам: по

\frac{1}{6} S

M C_{1}

— медиана

△ A MB

и т. д.

R03.2

Образец → сам · медианы и центр масс

Шесть частей по $\frac{1}{6} S$

Образец: $M$ — точка пересечения медиан, $S_{A BC} = 48$ . Найдите $S_{A MB}$ и $S_{A C_{1} A_{1}}$ .

каждая из 6 частей: $48 : 6 = 8$ опорный факт 1

$S_{A MB} = 2 \cdot 8 = 16$

$S_{A C_{1} A_{1}} = \frac{1}{2} S_{A B A_{1}} = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ $A_{1} C_{1}$ — медиана $△ A B A_{1}$

Сам

$S_{BM A_{1}} = 7$ . Найдите $S_{A BC}$ . $42$
$S_{A BC} = 36$ . Найдите площадь четырёхугольника $A_{1} M B_{1} C$ . $12$
$K$ — середина медианы $A A_{1}$ , $S_{A BC} = 40$ . Найдите $S_{B K C}$ . $20$

R03.2

Опорный факт 2 · доказательство методом площадей

Биссектриса делит сторону в отношении прилежащих сторон

Дано:

A D

— биссектриса

△ A BC

.
Доказать:

\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}

.

1

DK = D L

точка биссектрисы равноудалена от сторон угла

2

\frac{S _{A B D}}{S _{A C D}} = \frac{\frac{1}{2} A B \cdot DK}{\frac{1}{2} A C \cdot D L} = \frac{A B}{A C}

площади через основания

A B

,

A C

3

\frac{S _{A B D}}{S _{A C D}} = \frac{B D}{D C}

общая высота

A H

4

\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}

одно отношение площадей — двумя способами

R03.2

Образец → сам · биссектриса и площади

Площади частей и отрезки стороны

Образец: $A D$ — биссектриса, $A B = 12$ , $A C = 18$ , $S_{A BC} = 60$ . Найдите $S_{A B D}$ и $B D : D C$ .

$S_{A B D} : S_{A C D} = 12 : 18 = 2 : 3$ опорный факт 2

$S_{A B D} = 60 \cdot \frac{2}{5} = 24$

$B D : D C = 2 : 3$ общая высота из $A$

Сам

$A B = 5$ , $A C = 7$ , $BC = 9$ , $A D$ — биссектриса. Найдите $B D$ . $3, 75$
$A B : A C = 3 : 4$ , $S_{A B D} = 18$ . Найдите $S_{A BC}$ . $42$
$B D = 4$ , $D C = 6$ , $A B = 8$ . Найдите $A C$ . $12$

R03.2

Образец → сам · общий угол и вычитание

Треугольник внутри треугольника

Образец: $A K : K B = B L : L C =$ $CN : N A = 1 : 2$ , $S_{A BC} = 27$ . Найдите $S_{K L N}$ .

$S_{A K N} = 27 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = 6$ общий угол $A$

так же $S_{B L K} = S_{CN L} = 6$

$S_{K L N} = 27 - 3 \cdot 6 = 9$ свойство 2°

Сам

То же при отношении $1 : 4$ и $S_{A BC} = 50$ . $26$
$K \in A B$ , $A K = \frac{1}{2} A B$ , $L \in A C$ , $S_{A K L} = \frac{1}{3} S_{A BC}$ . Найдите $A L : A C$ . $2 : 3$
$K$ на продолжении $A B$ за $B$ , $B K = A B$ ; $L$ — середина $A C$ ; $S_{A BC} = 20$ . Найдите $S_{A K L}$ . $20$

R03.2

Образец → сам · задача на построение

Разделите фигуру на равновеликие части

Образец: разделите $△ A BC$ на три равновеликие части прямыми через вершину $B$ .

делим $A C$ на 3 равные части: $D$ , $E$ теорема Фалеса

проводим $B D$ и $BE$

$S_{A B D} = S_{D BE} = S_{EBC}$ равные основания, общая высота

Сам: план построения

Разделите параллелограмм пополам прямой через точку $P$ на его стороне. прямая $PO$ , $O$ — центр
Разделите треугольник на 4 равновеликие части двумя способами. сторону на 4 части; средние линии
* $P \in A C$ ближе к $A$ , чем середина $M$ . Разделите $△ A BC$ пополам прямой через $P$ . $MQ ∥ PB$ , $Q \in BC$ ; прямая $PQ$

2 мин · практика
Образец: делить отрезок на равные части учили по теореме Фалеса (R01). Обоснование: у треугольников ABD, DBE, EBC общая высота из B и равные основания.
1) Любая прямая через центр O параллелограмма отсекает две части, симметричные относительно O (центральная симметрия), ⇒ равные ⇒ равновеликие.
2) Способ 1: AC на 4 равные части и отрезки из B. Способ 2: три средние линии дают 4 равных треугольника. (Способ 3: медиана, затем медианы двух половин.)
3*) Медиана BM делит пополам. Через M — прямая ∥ PB до Q на BC. S_PBQ = S_PBM (общее основание PB, вершины на прямой ∥ PB) ⇒ S_ABQP = S_ABP + S_PBQ = S_ABP + S_PBM = S_ABM = ½ S. Проверено вычислением на модели.

R03.2

Образец → сам · задача на доказательство

Середины сторон четырёхугольника

Образец: $K, L, M, N$ — середины сторон выпуклого $A BC D$ . Докажите: $S_{K L MN} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$

$S_{A K N} = \frac{1}{4} S_{A B D}$ , $S_{C L M} = \frac{1}{4} S_{CB D}$ общий угол: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$S_{A K N} + S_{C L M} = \frac{1}{4} S_{A BC D}$ ; так же $S_{B K L} + S_{D MN} = \frac{1}{4} S_{A BC D}$

$S_{K L MN} = S - \frac{1}{2} S = \frac{1}{2} S$ свойство 2°

Сам: план и обоснования

Диагональ $A C$ четырёхугольника $A BC D$ делит $B D$ пополам. Докажите: $A C$ делит $S_{A BC D}$ пополам. $A O$ , $CO$ — медианы $△ A B D$ и $△ CB D$
$D \in BC$ , $K$ — середина $A D$ . Докажите: $S_{B K C} = \frac{1}{2} S_{A BC}$ . $S_{B KD} = \frac{1}{2} S_{B A D}$ , $S_{C KD} = \frac{1}{2} S_{C A D}$

R03.2 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни

Как поделить участок

Образец: участок $A BC$ , $A C = 60$ м, $S = 1200 м^{2}$ . Разделите его заборами из $B$ в отношении $1 : 2 : 3$ .

$A D : D E : EC = 1 : 2 : 3$ : $10$ , $20$ , $30$ м общая высота из $B$

площади $200$ , $400$ , $600 м^{2}$

Сам

Огород — параллелограмм, колодец в точке $P$ . Как провести прямую дорожку через $P$ , чтобы поделить огород поровну? через $P$ и точку пересечения диагоналей
Треугольный участок $900 м^{2}$ разбили тремя медианами на грядки. Площадь грядки? $150 м^{2}$

R03.2

Схема-конспект

Метод площадей: что сравнивать

Общая высота

$\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{a _{1}}{a _{2}}$ площади — как основания

Общее основание

$\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{h _{1}}{h _{2}}$ вершина на прямой $∥$ основанию — $S$ не меняется

Общий угол

$\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{b _{1} c _{1}}{b c}$ стороны, заключающие угол

Медианы

$6$ частей по $\frac{1}{6} S$ медиана делит площадь пополам

Биссектриса

$\frac{S _{A B D}}{S _{A C D}} = \frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$

Одна площадь дважды

$h = \frac{2 S}{a}$ высоты, расстояния, $h_{c} = \frac{ab}{c}$

R03.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
«Медианы делят треугольник на 6 равных треугольников»	у частей разная форма, равны только площади	6 равновеликих частей
$\frac{S _{A PQ}}{S _{A BC}} = \frac{A P}{A B}$	у треугольников общий угол, а не общая высота	$\frac{A P}{A B} \cdot \frac{A Q}{A C}$
$S_{A B D} : S_{A C D} = A B : A C$ для любого $D \in BC$	это верно только для биссектрисы	всегда: $S_{A B D} : S_{A C D} = B D : D C$
«Фигуры равновелики, значит, равны»	прямоугольники $2 \times 8$ и $4 \times 4$	равные ⇒ равновеликие, не наоборот

R03.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A K : K B = 1 : 2$ , $L$ — середина $A C$ , $S_{A BC} = 36$ . Найдите $S_{A K L}$ .

$\frac{A K}{A B} = \frac{1}{3}$

$S_{A K L} = 36 : 3 = 12$

$S_{A K L} = 36 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = 6$

б) Диагонали ромба $6$ и $8$ . Найдите его высоту.

сторона $5$ (верно)

$S = 6 \cdot 8 = 48$ , $h = 48 : 5 = 9, 6$

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ , $h = 4, 8$

в) $M$ — точка пересечения медиан, $S_{A BC} = 42$ . Найдите $S_{A M B_{1}}$ .

медианы делят на 3 части

$S_{A M B_{1}} = 42 : 3 = 14$

$A M B_{1}$ — одна из 6 частей: $7$

R03.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаМедиана делит треугольник площади $26$ . Площадь каждой части? $13$
база $D \in A C$ , $A D = 3$ , $D C = 9$ , $S_{A BC} = 48$ . Найдите $S_{A B D}$ . $12$
база $M$ — точка пересечения медиан, $S_{A BC} = 54$ . Найдите $S_{A MB}$ . $18$

базаКатеты $9$ и $12$ . Найдите высоту к гипотенузе. $7, 2$
базаСтороны параллелограмма $10$ и $6$ , высота к стороне $10$ равна $3$ . Высота к стороне $6$ ? $5$
база $A D$ — биссектриса, $A B = 8$ , $A C = 12$ , $S_{A BC} = 20$ . Найдите $S_{A B D}$ . $8$

R03.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $E$ и $F$ — середины сторон $BC$ и $C D$ параллелограмма $A BC D$ , $S_{A BC D} = 48$ . Найдите $S_{A EF}$ . $18$
повыш.Точка внутри равностороннего треугольника со стороной $6$ удалена от двух сторон на $1$ и $2$ . Найдите расстояние до третьей. $33 - 3$
повыш. $K \in A A_{1}$ (медиана), $A K : K A_{1} = 3 : 1$ , $S_{A BC} = 64$ . Найдите $S_{A B K}$ . $24$
построениеПроведите через вершину $A$ параллелограмма прямую, отсекающую треугольник площади $\frac{1}{3} S$ . $K \in C D$ , $DK = \frac{2}{3} D C$

R03.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 18 Клетка $1 \times 1$ . Найдите площадь треугольника $D BC$ .

Ответ: 15

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.
Равновеликие треугольники равны.
Площадь ромба равна произведению его диагоналей.
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Ответ: 14

R03.2 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 24 и 25

Вторая часть: доказательство и вычисление

ОГЭ 24 $M$ — середина боковой стороны $C D$ трапеции $A BC D$ . Докажите, что $S_{A BM} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$ .

$M$ удалена от $BC$ и от $A D$ на $\frac{h}{2}$ ⇒ $S_{BCM} + S_{A D M} = \frac{1}{2} BC \cdot \frac{h}{2} + \frac{1}{2} A D \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{2} S$

$S_{A BM} = S - \frac{1}{2} S = \frac{1}{2} S$

ОГЭ 25 Биссектриса $A D$ и медиана $BM$ треугольника $A BC$ пересекаются в $O$ ; $A B = 6$ , $A C = 8$ . Найдите $S_{A BO} : S_{A BC}$ .

$A O$ — биссектриса $△ A BM$ , $A M = 4$ ⇒ $BO : OM = 6 : 4$

$S_{A BO} = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} S = \frac{3}{10} S$ ; ответ $0, 3$

2 мин · практика
24) Высота трапеции h; M — середина CD, поэтому расстояния от M до прямых BC и AD равны h/2 (средняя линия трапеции проходит через M). S_BCM + S_ADM = (BC + AD)/2 · h/2 = ½ S. По свойству 2°: S_ABM = S − ½ S = ½ S. Для 2 баллов — обосновать «h/2».
25) В △ABM отрезок AO — биссектриса угла A ⇒ BO : OM = AB : AM = 6 : 4 = 3 : 2 (опорный факт 2). S_ABM = ½ S (медиана), S_ABO = 3/5 · S_ABM = 3/10 S. Ответ: 0,3 (проверено на модели).
На уроке — устное обсуждение планов; полная запись — в ДЗ по желанию.

R03.2

Самостоятельная работа · 3,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$M$ — точка пересечения медиан, $S_{A M C_{1}} = 5$ . Найдите $S_{A BC}$ . $30$
Катеты $15$ и $20$ . Найдите высоту к гипотенузе. $12$
$A P : PB = 1 : 3$ , $Q$ — середина $A C$ , $S_{A BC} = 64$ . Найдите $S_{A PQ}$ . $8$
$A D$ — биссектриса, $A B = 10$ , $A C = 15$ , $S_{A BC} = 50$ . Найдите $S_{A B D}$ . $20$

Вариант 2

$M$ — точка пересечения медиан, $S_{BMC} = 12$ . Найдите $S_{A BC}$ . $36$
Катеты $12$ и $16$ . Найдите высоту к гипотенузе. $9, 6$
$A P : PB = 2 : 1$ , $A Q : QC = 1 : 3$ , $S_{A BC} = 72$ . Найдите $S_{A PQ}$ . $12$
$A D$ — биссектриса, $A B = 8$ , $A C = 12$ , $S_{A B D} = 14$ . Найдите $S_{A BC}$ . $35$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

В чём состоит метод площадей?
На какие части делят треугольник медианы?
Как биссектриса делит площадь треугольника?

Домашнее задание

Стороны параллелограмма $15$ и $10$ , высота к большей $4$ . Найдите высоту к меньшей.
Точки делят стороны треугольника площади $18$ в отношении $1 : 2$ (по обходу). Найдите площадь треугольника с вершинами в них.
* Докажите: $S_{B C_{1} M A_{1}} = \frac{1}{3} S_{A BC}$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_ploshchad_mnogougolnika.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-052 · Практикум: свойства площадей геометрических фигур

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R03 «Площадь», 16 ч · урок 14/16 · тип П
Единицы → слайды	R03.2 «Свойства площадей геометрических фигур» → 2, 4–23 · повторение R03.1–R03.4 → 3
Результаты	ПР-7 (формулы площадей, вычисление площадей различными способами) → 3–6, 10–23 · ПР-2 (центр масс) → 7, 8, 14, 17, 22
Вне урока	вывод формул площадей — GEOM8U-041 (практикум GEOM8U-053); площади подобных фигур — R03.4 (GEOM8U-042, 046, 050); опорные факты «общая высота», «общий угол» доказаны в GEOM8U-044, 048
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: свойства площадей геометрических фигур

Сегодня вы научитесь

Считать одну площадь дважды

Делить фигуру на части

Строить и доказывать

Решать задачи ОГЭ

Формулы площадей — за 2 минуты

Что уже знаем о площади

Сумма расстояний до сторон равностороннего треугольника

Высота через площадь

Образец: катеты AC=6, BC=8, гипотенуза AB=10. Найдите высоту CH.

Сам

Медианы делят треугольник на 6 равновеликих частей

Шесть частей по 61​S

Образец: M — точка пересечения медиан, SABC​=48. Найдите SAMB​ и SAC1​A1​​.

Сам

Биссектриса делит сторону в отношении прилежащих сторон

Площади частей и отрезки стороны

Образец: AD — биссектриса, AB=12, AC=18, SABC​=60. Найдите SABD​ и BD:DC.

Сам

Треугольник внутри треугольника

Образец: AK:KB=BL:LC= CN:NA=1:2, SABC​=27. Найдите SKLN​.

Сам

Разделите фигуру на равновеликие части

Образец: разделите △ABC на три равновеликие части прямыми через вершину B.

Сам: план построения

Середины сторон четырёхугольника

Образец: K,L,M,N — середины сторон выпуклого ABCD. Докажите: SKLMN​=21​SABCD​

Сам: план и обоснования

Как поделить участок

Образец: участок ABC, AC=60 м, S=1200 м2. Разделите его заборами из B в отношении 1:2:3.

Сам

Метод площадей: что сравнивать

Общая высота

Общее основание

Общий угол

Медианы

Биссектриса

Одна площадь дважды

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) AK:KB=1:2, L — середина AC, SABC​=36. Найдите SAKL​.

б) Диагонали ромба 6 и 8. Найдите его высоту.

в) M — точка пересечения медиан, SABC​=42. Найдите SAMB1​​.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: доказательство и вычисление

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-052 · Практикум: свойства площадей геометрических фигур

Образец: катеты $A C = 6$ , $BC = 8$ , гипотенуза $A B = 10$ . Найдите высоту $C H$ .

Шесть частей по $\frac{1}{6} S$

Образец: $M$ — точка пересечения медиан, $S_{A BC} = 48$ . Найдите $S_{A MB}$ и $S_{A C_{1} A_{1}}$ .

Образец: $A D$ — биссектриса, $A B = 12$ , $A C = 18$ , $S_{A BC} = 60$ . Найдите $S_{A B D}$ и $B D : D C$ .

Образец: $A K : K B = B L : L C =$ $CN : N A = 1 : 2$ , $S_{A BC} = 27$ . Найдите $S_{K L N}$ .

Образец: разделите $△ A BC$ на три равновеликие части прямыми через вершину $B$ .

Образец: $K, L, M, N$ — середины сторон выпуклого $A BC D$ . Докажите: $S_{K L MN} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$

Образец: участок $A BC$ , $A C = 60$ м, $S = 1200 м^{2}$ . Разделите его заборами из $B$ в отношении $1 : 2 : 3$ .

а) $A K : K B = 1 : 2$ , $L$ — середина $A C$ , $S_{A BC} = 36$ . Найдите $S_{A K L}$ .

б) Диагонали ромба $6$ и $8$ . Найдите его высоту.

в) $M$ — точка пересечения медиан, $S_{A BC} = 42$ . Найдите $S_{A M B_{1}}$ .