Площадь · урок 13 из 16 · практикум

Практикум: понятие площади

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM8U-051

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Площадь» (16 ч), урок 13/16, единица R03.1 «Понятие площади». Тип урока — П (третий практикум по этой единице, после GEOM8U-043 и GEOM8U-047).
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка 2,5 · квадрат на клетках 2,5 · оценка снизу и сверху 2,5 · теорема о прямой через центр 2,5 · схема выбора приёма 1,5.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 18/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Новое по сравнению с GEOM8U-039 и GEOM8U-043: квадрат с наклонными сторонами в общем виде ( $S = a^{2} + b^{2}$ ) и построение квадрата заданной площади; координаты с отрицательными числами; площадь как число между двумя «ступенчатыми» оценками; деление фигуры пополам прямой через центр симметрии.
Если не успеваете: третье задание «сам» в каждом образце и ОГЭ 24 — в ДЗ; сводку и доказательство теоремы не сокращать.

R03.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Строить квадраты заданной площади

на клетках: $S = a^{2} + b^{2}$ (ПР-7)

Считать площадь по координатам

описанный прямоугольник минус «углы» (ПР-7)

Оценивать площадь

фигуры с кривой границей — снизу и сверху

Делить фигуру пополам

одной прямой и доказывать это, в том числе ОГЭ 23–24

0,5 мин · теория
ПР-7: «Выводить и использовать простейшие формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции. Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур (пользуясь, где необходимо, калькулятором)».
Виды деятельности ФРП R03: формулировать свойства площади, выяснять их наглядный смысл; находить площади фигур на клетчатой бумаге, использовать разбиение на части и достроение; решать задачи на площадь с практическим содержанием.

повторение: R03.1, R01.11

Разминка · устно

Единицы, треугольник на клетках, центр

$1 км^{2} = ?$ га $100$
$5$ соток $= ? м^{2}$ $500$
Площадь розового треугольника (клетка $1 \times 1$ )? $1, 5$
Площадь квадрата $2, 25$ . Его сторона? $1, 5$
Все длины уменьшили на $10 %$ . Площадь? $\cdot 0, 81$ , т. е. на $19 %$ меньше
Что за точка $O$ у параллелограмма? центр симметрии
Квадрат со стороной $1$ дм — сколько в нём $см^{2}$ ? $100$

R03.1

Сводка · что такое площадь

Площадь — число с тремя свойствами

Свойства площади

равные фигуры имеют равные площади
фигура из частей без общих внутренних точек: $S = S_{1} + S_{2} + \dots$
квадрат со стороной $1$ : $S = 1$

Равные и равновеликие

равновеликие — с равными площадями

равные ⇒ равновеликие; обратное неверно: $4 \times 4$ и $2 \times 8$

Измерить площадь

сколько единичных квадратов укладывается в фигуре

кривая граница: число между двумя оценками по клеткам

Изменение размеров

стороны умножили на $k_{1}$ и $k_{2}$ : $S^{'} = k_{1} k_{2} \cdot S$

все длины в $k$ раз ⇒ $S$ в $k^{2}$ раз

2,5 мин · теория
Сводка вместо нового материала (практикум). Класс по очереди формулирует свойства, учитель уточняет: части не должны перекрываться (общие только граничные точки).
Равновеликие ≠ равные: квадрат 4 × 4 и прямоугольник 2 × 8 — оба площади 16, но не совмещаются наложением.
Строка «кривая граница» — опора слайда «Измерение»: площадь фигуры, не составленной из квадратов, — число, которое больше площади любой ступенчатой фигуры внутри и меньше площади любой ступенчатой фигуры снаружи.
Изменение размеров: прямоугольник ab → (k₁a)(k₂b) = k₁k₂ · ab; при k₁ = k₂ = k — k².

R03.1

Метод · показывает учитель

Квадрат с наклонными сторонами: $S = a^{2} + b^{2}$

Вершины в узлах, сдвиг вдоль стороны:

a

клеток по горизонтали,

b

— по вертикали.

1Описанный квадрат:

(a + b)^{2}

его стороны идут по линиям сетки

2Четыре равных треугольника:

4 \cdot \frac{1}{2} ab = 2 ab

катеты

a

и

b

, I признак равенства

3

S = (a + b)^{2} - 2 ab = a^{2} + b^{2}

свойство 2; при

a = 3

,

b = 2

:

S = 13

2,5 мин · теория
Щелчки: 1 — пунктиром описанный квадрат 5 × 5; 2 — закрашиваются четыре «угловых» треугольника; затем строки 1–3.
Почему розовая фигура — квадрат: четыре треугольника равны по двум катетам (I признак) ⇒ стороны равны; угол между соседними сторонами 180° − (α + β) = 180° − 90° = 90°, так как острые углы прямоугольного треугольника в сумме 90°.
Проверка на чертеже: 25 − 4 · 3 = 13 = 3² + 2² (сверено вычислением по координатам вершин (3; 0), (5; 3), (2; 5), (0; 2)).
Вопрос: а как найти сторону такого квадрата? (Число, квадрат которого равен 13; подробно — теорема Пифагора, R04.)

R03.1

Образец → сам · построение на клетках

Начертите квадрат заданной площади

Образец: начертите на клетках квадрат площадью $5$ .

$5 = 2^{2} + 1^{2}$ подбираем $a$ , $b$

сдвиг: $2$ вправо, $1$ вверх сторона

поворот на $9 0^{\circ}$ : $1$ влево, $2$ вверх

проверка: $9 - 4 \cdot 1 = 5$

Сам: начертите и проверьте

Квадрат площадью $10$ . $10 = 3^{2} + 1^{2}$ : $16 - 4 \cdot 1, 5 = 10$
Квадрат площадью $13$ . $13 = 3^{2} + 2^{2}$ : $25 - 4 \cdot 3 = 13$
Можно ли начертить квадрат площадью $3$ с вершинами в узлах? нет: $3 \neq = a^{2} + b^{2}$ при целых $a$ , $b$

2,5 мин · практика
Образец: вершины (1; 0), (3; 1), (2; 3), (0; 2); описанный квадрат 3 × 3 = 9, четыре треугольника с катетами 2 и 1 по 1 ⇒ 5 (сверено по координатам).
1) Сдвиг (3; 1): квадрат (1; 0), (4; 1), (3; 4), (0; 3); 16 − 4 · 1,5 = 10. 2) Сдвиг (3; 2): (2; 0), (5; 2), (3; 5), (0; 3); 25 − 4 · 3 = 13.
3) Любой квадрат с вершинами в узлах имеет сторону-сдвиг (a; b) с целыми a, b, значит S = a² + b². Перебор: 0 + 1, 1 + 1, 0 + 4, 1 + 4 … — числа 3 среди сумм двух квадратов нет. Ответ: нельзя.
Типичная ошибка: «квадрат площадью 5 — сторона 5 клеток» — путают сторону и площадь.

R03.1

Образец → сам · площадь по координатам

Описанный прямоугольник минус «углы»

Образец: $A (1; 1)$ , $B (7; 2)$ , $C (5; 6)$ , $D (1; 4)$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

$x$ от $1$ до $7$ , $y$ от $1$ до $6$ : $6 \cdot 5 = 30$

$\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 1 = 3$ , $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4$ , $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$

$S = 30 - 11 = 19$

Сам

$K (- 2; 1)$ , $L (4; - 1)$ , $M (2; 5)$ . Найдите $S_{K L M}$ . $36 - 6 - 6 - 8 = 16$
$A (0; 0)$ , $B (6; 2)$ , $C (4; 5)$ . Найдите $S_{A BC}$ . $30 - 6 - 3 - 10 = 11$
Квадрат $(1; 2)$ , $(4; 1)$ , $(5; 4)$ , $(2; 5)$ : найдите $S$ и проверьте по $a^{2} + b^{2}$ . $10 = 3^{2} + 1^{2}$

2,5 мин · практика
Образец: каждая вершина лежит на стороне описанного прямоугольника (A — в углу, сторона AD — на его левой стороне), поэтому «лишние» части — три прямоугольных треугольника. Длины катетов — разности координат. Проверка вычислением: 19.
1) x от −2 до 4 (6), y от −1 до 5 (6): 36. Углы: ½ · 6 · 2 = 6 (K, L), ½ · 2 · 6 = 6 (L, M), ½ · 4 · 4 = 8 (M, K). 36 − 20 = 16 ✓.
2) 6 × 5 = 30; ½ · 6 · 2 = 6, ½ · 2 · 3 = 3, ½ · 4 · 5 = 10; 30 − 19 = 11 ✓.
3) 4 × 4 = 16 − 4 · 1,5 = 10; сдвиг (3; −1) ⇒ 3² + 1² = 10 ✓.
Ошибка: с отрицательными координатами длину считают как «4 − 1 = 3» вместо 4 − (−1) = 5. Длина отрезка по сетке — разность координат: большая минус меньшая.

R03.1

Измерение · оценка снизу и сверху

Площадь круга радиуса $4$ — между двумя числами

клетка $1$ : $32 \leq S \leq 60$

клетка $\frac{1}{2}$ : $41 \leq S \leq 56$

внутри: $n$ задеты: $m$

n \leq S \leq n + m

,

S \approx n + \frac{m}{2}

мельче клетка — ближе оценки: разрыв $28 \to 15$

точно $S \approx 50, 3$ — формулу узнаете в 9 классе

2,5 мин · теория
Клетка 1: целиком внутри круга n = 32 клетки, задевают круг ещё m = 28 ⇒ 32 ≤ S ≤ 60, середина 46. Клетка ½ (площадь клетки ¼): 164 и 60 клеток ⇒ 164 · ¼ = 41 ≤ S ≤ (164 + 60) · ¼ = 56, середина 48,5. Подсчёт клеток выполнен программой по чертежу.
Разрыв между оценками — площадь задетых клеток: 28 и 60 · ¼ = 15. При измельчении сетки он стремится к нулю; число, к которому сходятся обе оценки, и называют площадью фигуры.
Точное значение 16π ≈ 50,27 — для сведения учителя; в 8 классе важно двойное неравенство и смысл «площадь — предел оценок по клеткам».

R03.1

Образец → сам · оценка площади по карте

Площадь озера: оценки и масштаб

Образец: клетка $1 \times 1$ см, карта $1 : 10000$ . Оцените площадь озера в гектарах.

$n = 21$ , $m = 26$ : $21 \leq S \leq 47$

$S \approx 21 + 13 = 34 см^{2}$

$1 см^{2} \to 100 \cdot 100 = 10000 м^{2} = 1$ га

$S \approx 34$ га

Сам

Клетка $0, 5 \times 0, 5$ см: внутри $40$ , задеты $24$ . Оцените $S$ в $см^{2}$ . $10 \leq S \leq 16$ , $S \approx 13 см^{2}$
На карте $1 : 50000$ озеро $\approx 13 см^{2}$ . Сколько это га? $325$ га
Оценки $21 \leq S \leq 47$ . Какая наибольшая возможная погрешность ответа $34$ ? $13 см^{2}$ — половина разрыва

2,5 мин · практика
Образец: зелёных клеток (целиком внутри) 21, жёлтых (задетых границей) 26 — подсчитано программой по чертежу; площадь фигуры на чертеже ≈ 31,6 см², оценка 34 отличается меньше чем на 13.
Масштаб: 1 см на карте = 10 000 см = 100 м; 1 см² = 100 · 100 = 10 000 м² = 1 га.
1) Площадь клетки 0,25 см²: 40 · 0,25 = 10, (40 + 24) · 0,25 = 16; середина 13.
2) 1 см = 500 м, 1 см² = 250 000 м² = 25 га; 13 · 25 = 325 га.
3) Истинное S лежит в [21; 47], середина 34 ⇒ отклонение не больше (47 − 21) : 2 = 13.
Ошибка: «S ≈ n + m = 47» — это лишь оценка сверху.

R03.1

Теорема · доказательство

Прямая через центр делит параллелограмм пополам

Дано:

A BC D

— параллелограмм,

O = A C \cap B D

, прямая

l ∋ O

,

M \in BC

,

N \in A D

.
Доказать:

S_{1} = S_{2}

.

1

BO = O D

диагонали параллелограмма делятся пополам

2

∠ OBM = ∠ O D N

,

∠ BOM = ∠ D ON

накрест лежащие (

BC ∥ A D

); вертикальные

3

△ BOM = △ D ON

⇒ равные площадиII признак; свойство 1

4

S_{1} = S_{A B D} - S_{D ON} + S_{BOM} = S_{A B D} = \frac{1}{2} S

свойство 2;

B D

делит

A BC D

на равные треугольники

2,5 мин · теория
Щелчки: диагональ BD → синие треугольники BOM и DON → строки 1–4. Часть 1 (фиолетовая) = ABMN, часть 2 (розовая) = MCDN.
Шаг 4 словами: часть 1 получается из △ABD, если отрезать от него △DON и приложить равный ему △BOM. Значит, S₁ = S_ABD = ½S, и S₂ = S − S₁ = ½S.
Короче для сильных: центральная симметрия относительно O переводит параллелограмм и прямую l в себя, а часть 1 — в часть 2; равные фигуры равновелики (R01.11).
Если l пересекает стороны AB и CD — доказательство то же с диагональю AC. Обратное тоже верно: прямая, делящая параллелограмм на равновеликие части, проходит через O (ДЗ*).

R03.1

Образец → сам · задача на построение и доказательство

Разрежьте фигуру одной прямой на равновеликие части

Образец: Г-образная фигура (все углы прямые). Разрежьте её одной прямой пополам.

делим на прямоугольники $6 \times 2$ и $2 \times 4$

прямая через центры $O_{1}$ и $O_{2}$

каждый прямоугольник — пополам теорема

части: $6 + 4 = 10$ и $10$ свойство 2

Сам

Из прямоугольника вырезали прямоугольное «окно». Как разрезать остаток одной прямой пополам? прямая через центры прямоугольника и «окна»
Через вершину $A$ параллелограмма $A BC D$ проведите прямую, делящую его пополам. диагональ $A C$ — через центр $O$
Сколько таких прямых проходит через точку $P \neq = O$ внутри параллелограмма? одна — прямая $PO$

2,5 мин · практика
Образец: прямоугольник 6 × 2 (центр O₁(3; 1)) и 2 × 4 (центр O₂(1; 4)), площадь фигуры 12 + 8 = 20. Прямая O₁O₂ делит каждый прямоугольник на две равные части (теорема), поэтому каждая сторона получает 6 + 4 = 10 (проверено численно). Другое разбиение (2 × 6 и 4 × 2) даёт другую прямую — тоже верную.
1) Площадь остатка = S − S_окна; прямая через оба центра делит пополам и прямоугольник, и окно, значит, и разность.
2) Прямая через A и O — это диагональ AC (O — середина AC).
3) Прямая PO подходит. Другая прямая через P не проходит через O; проведём через O параллельную ей — та делит пополам, а между ними полоса положительной площади, значит, вторая прямая пополам не делит. Ответ: ровно одна.

R03.1

Образец → сам · задача из жизни

Как меняется площадь участка

Образец: огород $20 \times 15$ м. Длину увеличили на $20 %$ , ширину уменьшили на $10 %$ . Как изменилась площадь? Сколько стало соток?

$S = 20 \cdot 15 = 300 м^{2} = 3$ сотки

$S^{'} = 1, 2 \cdot 0, 9 \cdot S = 1, 08 S$ $S^{'} = k_{1} k_{2} S$

увеличилась на $8 %$ $24 \cdot 13, 5 = 324$

$324 м^{2} = 3, 24$ сотки

Сам

Длину участка увеличили на $30 %$ , ширину уменьшили на $30 %$ . Как изменилась площадь? уменьшилась на $9 %$
Сторону квадратной клумбы увеличили на $3$ м, площадь выросла на $39 м^{2}$ . Найдите сторону. $5$ м
План $1 : 200$ , комната на плане $15 см^{2}$ . Её площадь? $60 м^{2}$

R03.1

Схема · какой приём выбрать

Задача → приём → почему верно

Задача	Приём	На чём держится
многоугольник, вершины в узлах	описанный прямоугольник минус «углы»	свойство 2
квадрат с наклонными сторонами	$S = a^{2} + b^{2}$ , $(a; b)$ — сдвиг	$(a + b)^{2} - 2 ab$
кривая граница	$n \leq S \leq n + m$ , $S \approx n + \frac{m}{2}$	ступенчатые фигуры внутри и снаружи
разрезать пополам	прямая через центр симметрии	$△ BOM = △ D ON$
размеры изменили	$S^{'} = k_{1} k_{2} S$ ; масштаб $1 : k$ — в $k^{2}$ раз	свойство 3, единичный квадрат

R03.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
Равновеликие фигуры равны	$4 \times 4$ и $2 \times 8$ : $S = 16$ , но не совмещаются	равные ⇒ равновеликие, не наоборот
По клеткам: $S \approx n + m$	задетые клетки лишь частично внутри	$n \leq S \leq n + m$ , $S \approx n + \frac{m}{2}$
Стороны $+ 10 %$ ⇒ площадь $+ 10 %$	множится каждая сторона: $1, 1 \cdot 1, 1$	$1, 21$ , т. е. на $21 %$ больше

R03.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Квадрат $(0; 1)$ , $(3; 0)$ , $(4; 3)$ , $(1; 4)$ . Найдите $S$ .

описанный: $4 \cdot 4 = 16$

угол: $3 \cdot 1 = 3$ , $16 - 12 = 4$

угол: $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 1, 5$
$16 - 6 = 10 = 3^{2} + 1^{2}$

б) $A BC D$ — трапеция, $BC = 2$ , $A D = 6$ , $O = A C \cap B D$ .

« $B D$ проходит через $O$ ⇒ делит трапецию пополам, как в параллелограмме»

теорема — только для центра симметрии: $S_{A B D} : S_{BC D} = 6 : 2$

в) Внутри $20$ клеток, задеты $16$ (клетка $1 см^{2}$ ).

$S \approx 20 + 16 = 36 см^{2}$

$20 \leq S \leq 36$ ,
$S \approx 20 + 8 = 28 см^{2}$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Первая строка верна, ошибка во второй: площадь прямоугольного треугольника — половина произведения катетов. S = 10 (проверено по координатам).
б) Пропущено условие теоремы: нужен центр симметрии (BO = OD). У трапеции O делит диагонали в отношении BC : AD = 1 : 3. Треугольники ABD и BCD имеют общую высоту (высоту трапеции) h, поэтому S_ABD : S_BCD = AD : BC = 6 : 2 = 3 : 1 — не пополам.
в) Сумма n + m — оценка сверху; верно: 20 ≤ S ≤ 36, S ≈ 28.

R03.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $0, 35$ га $= ? м^{2}$ $3500$
базаПрямоугольник $1, 2$ дм $\times$ $35$ см. $S$ в $см^{2}$ ? $420$
базаКвадрат $(0; 2)$ , $(2; 0)$ , $(4; 2)$ , $(2; 4)$ . Найдите $S$ . $8$

база $A (0; 0)$ , $B (6; 0)$ , $C (2; 4)$ . Найдите $S_{A BC}$ . $12$
база $S = 48$ . Одну сторону увеличили в $3$ раза, другую уменьшили в $4$ раза. Новая $S$ ? $36$
базаВнутри $26$ клеток, задеты $18$ (клетка $1 см^{2}$ ). Между какими числами $S$ ? $26 \leq S \leq 44$

R03.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Длину прямоугольника увеличили на $25 %$ . На сколько процентов уменьшить ширину, чтобы площадь не изменилась? на $20 %$
повыш.Каждую сторону квадрата увеличили на $2$ , площадь выросла на $32$ . Найдите сторону. $7$
повыш.Какие площади до $10$ бывают у квадратов с вершинами в узлах сетки? $1, 2, 4, 5, 8, 9, 10$
повыш. $A (- 3; - 1)$ , $B (3; - 3)$ , $C (5; 3)$ , $D (- 1; 5)$ . Докажите, что $A BC D$ — квадрат, и найдите $S$ . сдвиги $(6; - 2)$ , $(2; 6)$ ; $S = 40$

2,5 мин · практика
1) 1,25 · x = 1 ⇒ x = 0,8 ⇒ ширину уменьшить на 20 % (а не на 25 %).
2) (a + 2)² − a² = 4a + 4 = 32 ⇒ a = 7. Проверка: 81 − 49 = 32 ✓.
3) S = a² + b² с целыми a, b ≥ 0: 1 = 1 + 0, 2 = 1 + 1, 4, 5 = 4 + 1, 8 = 4 + 4, 9, 10 = 9 + 1. Чисел 3, 6, 7 так не получить.
4) Сдвиги AB = (6; −2), BC = (2; 6), CD = (−6; 2), DA = (−2; −6): каждая сторона — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 6 и 2, все четыре треугольника равны (I признак) ⇒ стороны равны, углы прямые (как на слайде «Метод»). S = 8 · 8 − 4 · ½ · 6 · 2 = 64 − 24 = 40 = 6² + 2² ✓ (проверено по координатам).

R03.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 18 На клетчатой бумаге с клетками $1 \times 1$ изображён четырёхугольник. Найдите его площадь.

$22, 5$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Если два прямоугольника равновелики, то они равны.
Равные фигуры имеют равные площади.
Если каждую сторону квадрата увеличить в $2$ раза, его площадь увеличится в $2$ раза.
Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей параллелограмма, делит его на две равновеликие части.

Ответ: 24

R03.1 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 $A BC D$ — прямоугольник, $A B = 6$ , $A D = 8$ . Прямая через центр $O$ пересекает $BC$ в точке $M$ , $A D$ — в точке $N$ , $BM = 2$ . Найдите $S_{A BMN}$ .

$△ BOM = △ D ON$ ⇒ $D N = 2$ , $A N = 6$

$S = \frac{2 + 6}{2} \cdot 6$

$24 = \frac{1}{2} \cdot 48$

ОГЭ 24 $E$ — середина стороны $C D$ параллелограмма $A BC D$ . Докажите: $S_{A BE} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$ .

высота $△ A BE$ из $E$ на $A B$ равна высоте $h$ параллелограмма ( $C D ∥ A B$ )

$S_{A BE} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot h = \frac{1}{2} S_{A BC D}$

2,5 мин · практика
23) △BOM = △DON (BO = OD, вертикальные углы, накрест лежащие при BC ∥ AD) ⇒ DN = BM = 2, AN = 8 − 2 = 6. ABMN — прямоугольная трапеция с основаниями 2 и 6 и высотой AB = 6: S = 24 (проверено по координатам). Другой путь — теорема урока: ½ · 6 · 8 = 24. Ответ: 24.
24) Полное решение на 2 балла: все точки прямой CD удалены от прямой AB на одно и то же расстояние h (CD ∥ AB), поэтому высота △ABE, проведённая из E, равна h. S_ABE = ½ · AB · h, S_ABCD = AB · h ⇒ S_ABE = ½S_ABCD. Условие «E — середина» не понадобилось — верно для любой точки E на CD (спросить класс!).

R03.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$2, 4$ га $= ? м^{2}$ $24000$
Квадрат $(1; 0)$ , $(4; 1)$ , $(3; 4)$ , $(0; 3)$ . Найдите $S$ . $10$
Длину прямоугольника увеличили на $50 %$ , ширину уменьшили на $20 %$ . Как изменилась площадь? увеличилась на $20 %$
Прямоугольник $A BC D$ , $A D = 10$ , $A B = 4$ ; прямая через центр, $M \in BC$ , $N \in A D$ , $BM = 3$ . Найдите $D N$ и $S_{A BMN}$ . $D N = 3$ , $S = 20$

Вариант 2

$35000 м^{2} = ?$ га $3, 5$
Квадрат $(2; 0)$ , $(5; 2)$ , $(3; 5)$ , $(0; 3)$ . Найдите $S$ . $13$
Длину прямоугольника увеличили на $20 %$ , ширину уменьшили на $25 %$ . Как изменилась площадь? уменьшилась на $10 %$
Прямоугольник $A BC D$ , $A D = 12$ , $A B = 5$ ; прямая через центр, $M \in BC$ , $N \in A D$ , $BM = 4$ . Найдите $D N$ и $S_{A BMN}$ . $D N = 4$ , $S = 30$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как начертить на клетках квадрат площадью $13$ ?
Почему по клеткам площадь кривой фигуры — двойное неравенство?
Как одной прямой разрезать Г-образную фигуру пополам?

Домашнее задание

Начертите на клетках квадраты площадью $17$ и $20$ .
Найдите площадь четырёхугольника $(- 1; 0)$ , $(4; - 2)$ , $(5; 3)$ , $(0; 4)$ .
* Докажите: прямая, делящая параллелограмм на равновеликие части, проходит через его центр.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_ploshchad_mnogougolnika.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: 1) 17 = 4² + 1² (сдвиг (4; 1)), 20 = 4² + 2² (сдвиг (4; 2)). 2) Описанный прямоугольник 6 × 6 = 36 минус 5 + 2,5 + 2,5 + 2 = 12 ⇒ 24 (проверено по координатам).
3*) Пусть прямая l делит параллелограмм пополам и не проходит через O. Прямая l′ ∥ l через O тоже делит его пополам (теорема урока). Между l и l′ лежит часть параллелограмма положительной площади, и одна из «половин» больше другой на эту площадь — противоречие.
Следующий урок — практикум по свойствам площадей (GEOM8U-052).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-051 · Практикум: понятие площади

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R03 «Площадь», 16 ч · урок 13/16 · тип П
Единицы → слайды	R03.1 «Понятие площади» → 2, 4–21 · повторение R03.1, R01.11 (центр симметрии) → 3
Результаты	ПР-7 (вычислять различными способами площади многоугольных фигур) → 2, 5–7, 13, 16–20; задачи с практическим содержанием (виды деятельности R03) → 9, 12; свойства площади и их наглядный смысл → 4, 8, 10–11, 14–15
Вне урока	свойства площадей — GEOM8U-052; формулы площадей треугольника, параллелограмма, ромба, трапеции — GEOM8U-053; обобщение — GEOM8U-054
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: понятие площади

Сегодня вы научитесь

Строить квадраты заданной площади

Считать площадь по координатам

Оценивать площадь

Делить фигуру пополам

Единицы, треугольник на клетках, центр

Площадь — число с тремя свойствами

Свойства площади

Равные и равновеликие

Измерить площадь

Изменение размеров

Квадрат с наклонными сторонами: S=a2+b2

Начертите квадрат заданной площади

Образец: начертите на клетках квадрат площадью 5.

Сам: начертите и проверьте

Описанный прямоугольник минус «углы»

Образец: A(1;1), B(7;2), C(5;6), D(1;4). Найдите SABCD​.

Сам

Площадь круга радиуса 4 — между двумя числами

Площадь озера: оценки и масштаб

Образец: клетка 1×1 см, карта 1:10000. Оцените площадь озера в гектарах.

Сам

Прямая через центр делит параллелограмм пополам

Разрежьте фигуру одной прямой на равновеликие части

Образец: Г-образная фигура (все углы прямые). Разрежьте её одной прямой пополам.

Сам

Как меняется площадь участка

Образец: огород 20×15 м. Длину увеличили на 20%, ширину уменьшили на 10%. Как изменилась площадь? Сколько стало соток?

Сам

Задача → приём → почему верно

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Квадрат (0;1), (3;0), (4;3), (1;4). Найдите S.

б) ABCD — трапеция, BC=2, AD=6, O=AC∩BD.

в) Внутри 20 клеток, задеты 16 (клетка 1 см2).

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-051 · Практикум: понятие площади

Квадрат с наклонными сторонами: $S = a^{2} + b^{2}$

Образец: начертите на клетках квадрат площадью $5$ .

Образец: $A (1; 1)$ , $B (7; 2)$ , $C (5; 6)$ , $D (1; 4)$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

Площадь круга радиуса $4$ — между двумя числами

Образец: клетка $1 \times 1$ см, карта $1 : 10000$ . Оцените площадь озера в гектарах.

Образец: огород $20 \times 15$ м. Длину увеличили на $20 %$ , ширину уменьшили на $10 %$ . Как изменилась площадь? Сколько стало соток?

а) Квадрат $(0; 1)$ , $(3; 0)$ , $(4; 3)$ , $(1; 4)$ . Найдите $S$ .

б) $A BC D$ — трапеция, $BC = 2$ , $A D = 6$ , $O = A C \cap B D$ .

в) Внутри $20$ клеток, задеты $16$ (клетка $1 см^{2}$ ).