Площадь · урок 12 из 16 · практикум

Практикум: площади подобных фигур

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM8U-050

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Площадь» (16 ч), урок 12/16, единица R03.4. Тип урока — П (второй практикум по теме; теорема — GEOM8U-042, первый практикум — GEOM8U-046).
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка 2 · приём «полосы» 2,5 · приём «достроение трапеции» 2 · приём «высота прямоугольного треугольника» 2 · разбор ОГЭ 25 учителем 2,5.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 3 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 15/17/19 — 2,5 · ОГЭ 23/25 — 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Новое по сравнению с прошлыми уроками темы: деление треугольника на полосы (1 : 3 : 5), достроение трапеции до треугольника, подобие в прямоугольном треугольнике с высотой. Если не успеваете: образец на клетчатой бумаге и ОГЭ 23 — в ДЗ.

R03.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Делить площадь

треугольника прямыми, параллельными стороне, — в заданном отношении (ПР-8)

Видеть подобие

в трапеции и в прямоугольном треугольнике с высотой

Доказывать

соотношения через отношение площадей подобных фигур

Решать задачи

ОГЭ 15, 17, 19, 23, 25 и практические — масштаб, карта (ПР-7, ПР-8)

0,5 мин · теория
ПР-8: «Знать отношение площадей подобных фигур и применять при решении задач. Применять полученные умения в практических задачах».
ПР-7: «Выводить и использовать простейшие формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции. Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур».
Виды деятельности ФРП R03: находить площади подобных фигур; вычислять площади многоугольных фигур; решать задачи на площадь с практическим содержанием.

повторение: R02, R03.4

Разминка · устно

Длины — в $k$ раз, площади — в $k^{2}$

$k = 3$ . Как относятся площади? $9 : 1$
$S_{1} : S_{2} = 16 : 25$ . Найдите $k$ . $\frac{4}{5}$
Периметры $12$ и $18$ , $S$ меньшего $8$ . $S$ большего? $18$
Средняя линия отсекает треугольник площадью $6$ . Площадь всего? $24$

Общая высота, основания $2$ и $5$ , $S_{1} = 4$ . $S_{2}$ ? $10$
Площади относятся как $2 : 1$ . Стороны? $2 : 1$
Высота к гипотенузе делит прямоугольный треугольник на два треугольника, которые… подобны исходному и друг другу

R03.4

Сводка правил

Четыре инструмента практикума

Подобные фигуры

$\frac{S _{1}}{S _{2}} = k^{2}$ , $k = \frac{S _{1}}{S _{2}}$

$k$ — по любым соответственным длинам: сторонам, высотам, периметрам

Прямая $∥$ стороне

$S_{отс} = k^{2} S$ , $k = \frac{B D}{B A}$ (часть : целое)

$S_{трап} = (1 - k^{2}) S$

Трапеция: диагонали

$△ BOC \sim △ D O A$ , $k = \frac{BC}{A D}$

$S_{A OB} = S_{CO D} = S_{BOC} \cdot S_{A O D}$

Общая высота — не подобие

$\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{a _{1}}{a _{2}}$ — отношение оснований, без квадрата

2 мин · теория
Это повторение GEOM8U-042 и GEOM8U-046 — короткая сводка, без доказательств. Правило «сначала k»: найти коэффициент по соответственным длинам, потом возвести в квадрат; из площадей — наоборот, извлечь корень.
Вопрос классу: почему S_AOB = S_COD? (S_ABD = S_ACD — общее основание AD, равные высоты; вычесть S_AOD.) Почему S_AOB = √(S_BOC · S_AOD)? (S_AOB : S_BOC = AO : OC = 1/k и S_AOD : S_AOB = OD : OB = 1/k.)
Четвёртая карточка — главный источник ошибок: треугольники с общей высотой обычно не подобны.

R03.4

Приём 1 · полосы в треугольнике

Сторона — на равные части, площадь — $1 : 3 : 5$

$B D_{1} = D_{1} D_{2} = D_{2} A$ , $D_{1} E_{1} ∥ D_{2} E_{2} ∥ A C$
$S = S_{A BC}$

1 $△ D_{1} B E_{1} \sim △ A BC$ , $k = \frac{1}{3}$ ⇒ $\frac{S}{9}$ часть : целое, площади — $k^{2}$

2 $k = \frac{2}{3}$ ⇒ $S_{D_{2} B E_{2}} = \frac{4 S}{9}$ , полоса $\frac{3 S}{9}$ свойство площадей: вычитаем

3трапеция $S - \frac{4 S}{9} =$ $\frac{5 S}{9}$

!Полосы $1 : 3 : 5$ на $n$ частей: $1 : 3 : \dots : (2 n - 1)$ ; равные площади ⇒ $\frac{B D}{B A} = \frac{m}{n}$

2,5 мин · теория
Щелчки открывают полосы по очереди вместе со строками. Засечки на BA — равные отрезки; стрелки — параллельность.
Почему нечётные числа: отсечённые треугольники — 1, 4, 9, 16, … девятых (n-х в квадрате) долей, разности соседних квадратов: 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5, (m + 1)^2 − m^2 = 2m + 1.
Обратная задача: чтобы прямые делили площадь на n равных частей, отсечённый треугольник с номером m должен иметь площадь mS/n ⇒ k^2 = m/n ⇒ BD : BA = √(m/n). Стороны делятся при этом НЕ на равные части.

R03.4

Образец → сам · полосы и доли

Площади частей треугольника

Образец: прямые $∥ A C$ делят $B A$ на три равные части, $S_{A BC} = 45$ . Найдите площади частей.

$k = \frac{1}{3}$ : $45 \cdot \frac{1}{9} = 5$ верхний треугольник

$k = \frac{2}{3}$ : $45 \cdot \frac{4}{9} = 20$ , полоса $20 - 5 = 15$

трапеция $45 - 20 = 25$ проверка: $5 : 15 : 25 = 1 : 3 : 5$

Сам

$B A$ разделена на $4$ равные части прямыми $∥ A C$ , $S_{A BC} = 32$ . Площадь самой большой части? $14$
При делении $B A$ на три равные части средняя полоса имеет площадь $12$ . Найдите $S_{A BC}$ . $36$
Прямая $∥ A C$ делит площадь $△ A BC$ пополам, $A B = 10$ . Найдите $B D$ . $52$

R03.4

Приём 2 · достроение трапеции до треугольника

Продолжим боковые стороны до пересечения

$A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$ ; прямые $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ , $S = S_{E A D}$ .

1 $∠ E$ — общий, $∠ EBC = ∠ E A D$ ⇒ $△ EBC \sim △ E A D$ соответственные углы при $BC ∥ A D$ ; I признак

2 $k = \frac{BC}{A D} = \frac{EB}{E A}$ ⇒ $S_{EBC} = k^{2} S$

3 $S_{A BC D} = (1 - k^{2}) S$ трапеция = большой треугольник минус малый

R03.4

Образец → сам · трапеция → треугольник

Площадь трапеции и «шапки»

Образец: $BC = 4$ , $A D = 10$ , $S_{A BC D} = 84$ . Найдите $S_{EBC}$ .

$k = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ , $k^{2} = \frac{4}{25}$ $△ EBC \sim △ E A D$

$(1 - \frac{4}{25}) S_{E A D} = 84$ ⇒ $S_{E A D} = 100$

$S_{EBC} = 100 \cdot \frac{4}{25} = 16$ проверка: $100 - 16 = 84$

Сам

$BC = 3$ , $A D = 6$ , $S_{EBC} = 7$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $21$
$S_{EBC} = 9$ , $S_{A BC D} = 16$ . Найдите $BC : A D$ . $3 : 5$
$EB = 4$ , $B A = 6$ , $S_{A BC D} = 42$ . Найдите $S_{EBC}$ . $8$

R03.4

Приём 3 · высота прямоугольного треугольника

Три подобных треугольника

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H ⊥ A B$ .

1 $△ A C H \sim △ A BC \sim △ CB H$ по двум углам: прямой и общий острый

2 $\frac{S _{1}}{S _{A BC}} = (\frac{A C}{A B})^{2}$ , $\frac{S _{2}}{S _{A BC}} = (\frac{BC}{A B})^{2}$

3 $\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{A C ^{2}}{B C ^{2}} = \frac{A H}{H B}$ второе — общая высота $C H$

R03.4

Образец → сам · высота к гипотенузе

Площади частей прямоугольного треугольника

Образец: $A C = 6$ , $BC = 8$ , $A B = 10$ . Найдите $S_{A C H}$ и $S_{CB H}$ .

$S_{A BC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ катеты — основание и высота

$S_{A C H} = 24 \cdot (\frac{6}{10})^{2} = 8, 64$ $k = \frac{A C}{A B}$

$S_{CB H} = 24 \cdot (\frac{8}{10})^{2} = 15, 36$ сумма $24$ ✓

Сам

$A H = 4$ , $H B = 9$ . Найдите $S_{A C H} : S_{CB H}$ и $A C : BC$ . $4 : 9$ ; $2 : 3$
$S_{A C H} = 9$ , $S_{CB H} = 16$ . Найдите $A C : BC$ и $S_{A BC}$ . $3 : 4$ ; $25$
$A C : BC = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 26$ . Найдите $S_{A C H}$ . $8$

R03.4

Образец → сам · задача на доказательство

Доказываем через отношение площадей

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота. Докажите: $A C^{2} = A H \cdot A B$ .

$△ A C H \sim △ A BC$ ⇒ $\frac{S _{A C H}}{S _{A BC}} = \frac{A C ^{2}}{A B ^{2}}$ общий $∠ A$

$\frac{S _{A C H}}{S _{A BC}} = \frac{A H}{A B}$ общая высота $C H$

$\frac{A C ^{2}}{A B ^{2}} = \frac{A H}{A B}$ ⇒ $A C^{2} = A H \cdot A B$

Сам: план и обоснования

$A D$ и $BC$ пересекаются в $O$ , $A B ∥ C D$ . Докажите: $\frac{S _{A OB}}{S _{D OC}} = \frac{A B ^{2}}{C D ^{2}}$ . подобие по двум углам, $k = \frac{A B}{D C}$
Площади подобных треугольников равны. Докажите, что треугольники равны. $k^{2} = 1$ ⇒ $k = 1$ ⇒ III признак
$M$ , $N$ — середины $A B$ и $BC$ параллелограмма $A BC D$ . Докажите: $S_{MBN} = \frac{1}{8} S_{A BC D}$ . $MN$ — средняя линия $△ A BC$

2,5 мин · практика
Образец — новое доказательство известного соотношения (R02) через площади: подсветка — △ACH и общая высота CH. Каждый шаг: «почему?».
1) ∠AOB = ∠DOC (вертикальные), ∠BAO = ∠CDO (накрест лежащие при AB ∥ CD и секущей AD) ⇒ △AOB ~ △DOC, k = AB : DC ⇒ отношение площадей k^2.
2) S1 = k^2S2 и S1 = S2 ⇒ k^2 = 1, k = 1 ⇒ соответственные стороны равны ⇒ треугольники равны по III признаку.
3) MN ∥ AC, MN = AC/2 ⇒ △MBN ~ △ABC, k = 1/2 ⇒ S_MBN = S_ABC/4; диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника ⇒ S_ABC = S_ABCD/2 ⇒ S_MBN = S_ABCD/8.
Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования.

R03.4

Образец → сам · клетчатая бумага

Считаем по клеткам и через $k^{2}$

Образец: клетка $1 \times 1$ . Найдите $S_{A D EC}$ .

$D E = 3$ , $A C = 9$ , $D E ∥ A C$ ⇒ $k = \frac{1}{3}$ по клеткам

$S_{A BC} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 6 = 27$ , $S_{D BE} = \frac{27}{9} = 3$

$S_{A D EC} = 27 - 3 = 24$ проверка: $S_{D BE} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2$

Сам — в тетради

Треугольник: основание $8$ клеток, высота $6$ . Отрезок $∥$ основанию на высоте $3$ от вершины. Площадь трапеции? $18$
Нарисуйте квадрат площадью $8$ клеток с вершинами в узлах. Во сколько раз его сторона больше стороны квадрата $2 \times 2$ ? в $2$ раз
Треугольник с катетами $4$ и $2$ клетки увеличили с $k = 1, 5$ . Его площадь? $9$

R03.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$B D : D A = 1 : 2$ ⇒ $S_{D BE} = \frac{1}{4} S$	$k$ — «часть : целое», а не «часть : часть»	$k = \frac{B D}{B A} = \frac{1}{3}$ , $S_{D BE} = \frac{1}{9} S$
Сторона разделена на три равные части ⇒ полосы равновелики	площади растут как квадраты: $1, 4, 9$	полосы $1 : 3 : 5$
$S_{A BC D} = k^{2} S_{E A D}$	$k^{2} S_{E A D}$ — это малый треугольник $EBC$	$S_{A BC D} = (1 - k^{2}) S_{E A D}$
$\frac{S _{A C H}}{S _{CB H}} = \frac{A C}{BC}$	треугольники подобны — нужен квадрат	$\frac{S _{A C H}}{S _{CB H}} = \frac{A C ^{2}}{B C ^{2}} = \frac{A H}{H B}$

R03.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Прямая $∥ A C$ делит $△ A BC$ на две равновеликие части, $A B = 8$ . Найдите $B D$ .

Площадь пополам ⇒ $k = \frac{1}{2}$

$B D = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$

$k^{2} = \frac{1}{2}$ , $k = \frac{1}{2}$ , $B D = 42$

б) Трапеция: $BC = 2$ , $A D = 5$ , $S_{EBC} = 8$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

$S_{E A D} = 8 \cdot (\frac{5}{2})^{2} = 50$

$S_{A BC D} = 50 + 8 = 58$

$S_{A BC D} = 50 - 8 = 42$

в) Площади подобных треугольников $12$ и $27$ , $P$ меньшего $20$ . Найдите $P$ большего.

$k = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}$

$P = 20 \cdot \frac{9}{4} = 45$

$k = \frac{27}{12} = \frac{3}{2}$ , $P = 30$

R03.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $k = 4$ , $S$ меньшего $3$ . $S$ большего? $48$
базаПлощади подобных многоугольников $50$ и $8$ . Отношение периметров? $5 : 2$
база $D E ∥ A C$ , $B D : D A = 3 : 1$ , $S_{A BC} = 32$ . Найдите $S_{D BE}$ . $18$

базаТрапеция: $BC = 5$ , $A D = 15$ , $S_{BOC} = 3$ . Найдите $S_{A O D}$ . $27$
база $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A H = 1$ , $H B = 4$ , $S_{A C H} = 2$ . Найдите $S_{CB H}$ . $8$
базаСторону разделили на $5$ равных частей прямыми $∥$ основанию; меньшая часть — $2$ . Найдите $S$ . $50$

R03.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Боковые стороны трапеции $A BC D$ продолжены до пересечения в $E$ , $BC : A D = 3 : 5$ , $S_{A BC D} = 32$ . Найдите $S_{EBC}$ . $18$
повыш.Две прямые $∥ A C$ делят $△ A BC$ на три равновеликие части, $A B = 9$ . Найдите отрезки $B D$ и $BE$ стороны $A B$ от вершины $B$ . $33$ и $36$
повыш. $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $S_{A C H} = 12$ , $S_{CB H} = 27$ . Найдите $A C : BC$ и $A H : H B$ . $2 : 3$ ; $4 : 9$
из жизниКарта масштаба $1 : 25000$ , лес на карте занимает $12 см^{2}$ . Площадь леса в гектарах? $75$ га

R03.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 17 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15 $D E$ — средняя линия треугольника $A BC$ ( $D \in A B$ , $E \in BC$ ). Площадь треугольника $B D E$ равна $17$ . Найдите площадь треугольника $A BC$ . $68$
ОГЭ 17Основания трапеции $2$ и $6$ , диагонали пересекаются в $O$ , $S_{BOC} = 5$ . Найдите площадь трапеции. $80$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Площади подобных треугольников относятся как коэффициент подобия.
Если сторона одного квадрата втрое больше стороны другого, то его площадь в $9$ раз больше.
Любые два прямоугольника подобны.
Средняя линия отсекает от треугольника четверть его площади.

Ответ: 24

R03.4 · ОГЭ, ч. 2

Разбор · ОГЭ 25 решает учитель

Прямая через точку пересечения диагоналей

Основания трапеции относятся как $1 : 3$ . Через точку $O$ пересечения диагоналей проведена прямая $MN ∥ A D$ . В каком отношении она делит площадь трапеции?

1 $△ BOC \sim △ D O A$ , $k = \frac{1}{3}$ высоты из $O$ — как $k$ : $\frac{h}{4}$ и $\frac{3 h}{4}$

2 $A O : A C = 3 : 4$ , $△ A MO \sim △ A BC$ ⇒ $MO = \frac{3}{4} a$ ; так же $ON = \frac{3}{4} a$ ⇒ $MN = \frac{3}{2} a$

3 $S_{MBCN} = \frac{a + \frac{3}{2} a}{2} \cdot \frac{h}{4} = \frac{5 ah}{16}$

4 $S_{A MN D} = \frac{\frac{3}{2} a + 3 a}{2} \cdot \frac{3 h}{4} = \frac{27 ah}{16}$

!Ответ: $5 : 27$ проверка: $\frac{5 + 27}{16} ah = 2 ah = \frac{a + 3 a}{2} h$

2,5 мин · теория (демонстрационный пример: решает учитель, класс отвечает на «почему?»)
BC = a, AD = 3a, h — высота трапеции. Шаг 1: AO : OC = DO : OB = 3 : 1 (из подобия), расстояния от O до оснований — в том же отношении.
Шаг 2: в △ABC отрезок MO ∥ BC ⇒ △AMO ~ △ABC с k = AO : AC = 3/4. В △DBC отрезок ON ∥ BC ⇒ ON = (DO : DB) · BC = 3a/4.
Общий вывод (для сильных): отрезок через O параллельно основаниям равен 2ab/(a + b) — среднее гармоническое оснований. Ошибка: считать MN средней линией (MN = 2a ≠ 1,5a) и получать отношение 3 : 5 «по высотам пополам».
Оформление на 2 балла: подобие с обоснованием, вычисление MN, площади частей, ответ.

R03.4 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 25

Вторая часть: решите сами

ОГЭ 23 Боковые стороны трапеции $A BC D$ с основаниями $BC = 6$ и $A D = 15$ продолжены до пересечения в точке $E$ . Площадь треугольника $EBC$ равна $12$ . Найдите площадь трапеции.

$k = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ ⇒ $S_{E A D} = 12 \cdot \frac{25}{4} = 75$

$S_{A BC D} = 75 - 12 = 63$

ОГЭ 25 На стороне $A B$ треугольника $A BC$ взята точка $D$ , $∠ A C D = ∠ A BC$ , $A C = 6$ , $A B = 9$ , $S_{A BC} = 18$ . Найдите $S_{BC D}$ .

$∠ A$ — общий ⇒ $△ A C D \sim △ A BC$ , $k = \frac{A C}{A B} = \frac{2}{3}$

$S_{A C D} = 18 \cdot \frac{4}{9} = 8$ , $S_{BC D} = 10$

R03.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$k = \frac{3}{2}$ , $S$ меньшего $12$ . Найдите $S$ большего. $27$
$D E ∥ A C$ , $B D : D A = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 75$ . Найдите $S_{A D EC}$ . $63$
Трапеция: $BC = 2$ , $A D = 6$ , $S_{BOC} = 3$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $48$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A C : BC = 3 : 4$ , $S_{A BC} = 50$ . Найдите $S_{CB H}$ . $32$

Вариант 2

$k = \frac{5}{3}$ , $S$ большего $75$ . Найдите $S$ меньшего. $27$
$D E ∥ A C$ , $B D : D A = 3 : 2$ , $S_{A BC} = 50$ . Найдите $S_{A D EC}$ . $32$
Трапеция: $BC = 3$ , $A D = 6$ , $S_{BOC} = 4$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $36$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A C : BC = 1 : 2$ , $S_{A BC} = 40$ . Найдите $S_{A C H}$ . $8$

4 мин · практика
Вариант 1: 1) 12 · 9/4 = 27. 2) k = 2/5, S_DBE = 75 · 4/25 = 12, S_ADEC = 63. 3) k = 1/3, S_AOD = 27, S_AOB = S_COD = √(3 · 27) = 9; S = 3 + 27 + 18 = 48. 4) AB^2 : BC^2 = 25 : 16 ⇒ S_CBH = 50 · 16/25 = 32.
Вариант 2: 1) 75 · 9/25 = 27. 2) k = 3/5, S_DBE = 50 · 9/25 = 18, S_ADEC = 32. 3) k = 1/2, S_AOD = 16, S_AOB = S_COD = √(4 · 16) = 8; S = 4 + 16 + 16 = 36. 4) AC^2 : AB^2 = 1 : 5 ⇒ S_ACH = 40/5 = 8.
В задании 4 гипотенуза в частях: 3^2 + 4^2 = 5^2 (вариант 1), 1^2 + 2^2 = 5 (вариант 2) — то есть S_ACH : S_CBH = 9 : 16 и 1 : 4, части от целого 16/25 и 1/5. Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3». Взаимопроверка по ответам (по щелчку).

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему полосы относятся как $1 : 3 : 5$ ?
Как найти площадь трапеции через «шапку» $EBC$ ?
Когда отношение площадей — без квадрата?

Домашнее задание

Прямые $∥ A C$ делят $B A$ на $4$ равные части, $S_{A BC} = 48$ . Найдите площади частей.
Трапеция: $BC : A D = 2 : 7$ , $S_{EBC} = 8$ . Найдите $S_{A BC D}$ .
* Основания трапеции $1 : 2$ , прямая через $O$ $∥$ основаниям. В каком отношении она делит площадь?
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_ploshchadi_parallelogramma_treugolnika_trapecii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-050 · Практикум: площади подобных фигур

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R03 «Площадь», 16 ч · урок 12/16 · тип П
Единицы → слайды	R03.4 «Площади подобных фигур» → 2, 4–21 · повторение R02 (подобие), R03.4 → 3
Результаты	ПР-8 (отношение площадей подобных фигур, практические задачи) → 4–21 · ПР-7 (площади треугольника и трапеции) → 8, 10, 12, 18–19
Вне урока	теорема об отношении площадей — GEOM8U-042; первый практикум — GEOM8U-046; понятие площади — GEOM8U-051; теорема Пифагора — R04
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: площади подобных фигур

Сегодня вы научитесь

Делить площадь

Видеть подобие

Доказывать

Решать задачи

Длины — в k раз, площади — в k2

Четыре инструмента практикума

Подобные фигуры

Прямая ∥ стороне

Трапеция: диагонали

Общая высота — не подобие

Сторона — на равные части, площадь — 1:3:5

Площади частей треугольника

Образец: прямые ∥AC делят BA на три равные части, SABC​=45. Найдите площади частей.

Сам

Продолжим боковые стороны до пересечения

Площадь трапеции и «шапки»

Образец: BC=4, AD=10, SABCD​=84. Найдите SEBC​.

Сам

Три подобных треугольника

Площади частей прямоугольного треугольника

Образец: AC=6, BC=8, AB=10. Найдите SACH​ и SCBH​.

Сам

Доказываем через отношение площадей

Образец: ∠C=90∘, CH — высота. Докажите: AC2=AH⋅AB.

Сам: план и обоснования

Считаем по клеткам и через k2

Образец: клетка 1×1. Найдите SADEC​.

Сам — в тетради

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Прямая ∥AC делит △ABC на две равновеликие части, AB=8. Найдите BD.

б) Трапеция: BC=2, AD=5, SEBC​=8. Найдите SABCD​.

в) Площади подобных треугольников 12 и 27, P меньшего 20. Найдите P большего.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Прямая через точку пересечения диагоналей

Вторая часть: решите сами

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-050 · Практикум: площади подобных фигур

Длины — в $k$ раз, площади — в $k^{2}$

Прямая $∥$ стороне

Сторона — на равные части, площадь — $1 : 3 : 5$

Образец: прямые $∥ A C$ делят $B A$ на три равные части, $S_{A BC} = 45$ . Найдите площади частей.

Образец: $BC = 4$ , $A D = 10$ , $S_{A BC D} = 84$ . Найдите $S_{EBC}$ .

Образец: $A C = 6$ , $BC = 8$ , $A B = 10$ . Найдите $S_{A C H}$ и $S_{CB H}$ .

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота. Докажите: $A C^{2} = A H \cdot A B$ .

Считаем по клеткам и через $k^{2}$

Образец: клетка $1 \times 1$ . Найдите $S_{A D EC}$ .

а) Прямая $∥ A C$ делит $△ A BC$ на две равновеликие части, $A B = 8$ . Найдите $B D$ .

б) Трапеция: $BC = 2$ , $A D = 5$ , $S_{EBC} = 8$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

в) Площади подобных треугольников $12$ и $27$ , $P$ меньшего $20$ . Найдите $P$ большего.