Площадь · урок 11 из 16 · практикум

Практикум: формулы площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM8U-049

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 11,5 мин · практика 33,5 мин (74 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Площадь» (16 ч), урок 11/16, единица R03.3. Тип урока — П (практикум, второй по формулам площади после GEOM8U-045; вывод формул — GEOM8U-041).
Теория (11,5): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка формул 3 · основание и высота 1,5 · следствия 1,5 · метод площадей 2,5 · демонстрация «два способа» 2.
Практика (33,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2 · ОГЭ 17/18 — 1,5 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Новое по сравнению с GEOM8U-041/045: высота через угол 30°, 45°, 150°; две высоты параллелограмма; метод площадей; площадь «косых» фигур на клетчатой бумаге; доказательства равновеликости.
Если не успеваете: образец 6 (доказательство) — разобрать только план, «сам» — в ДЗ; ОГЭ 24 — в ДЗ.

R03.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать формулу

для треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции (ПР-7)

Находить высоту

через угол $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ , $15 0^{\circ}$ и через площадь

Считать разными способами

разбиение, достроение, метод площадей (ПР-7)

Решать задачи ОГЭ

линии 17, 18, 23, 24 — с обоснованием

0,5 мин · теория
ПР-7: «Выводить и использовать простейшие формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции. Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур (пользуясь, где необходимо, калькулятором)».
Виды деятельности ФРП R03: находить площади фигур на клетчатой бумаге, использовать разбиение на части и достроение; вычислять площади многоугольных фигур; решать задачи с практическим содержанием.

R03.1–R03.2 · повторение

Разминка · устно

Площадь и прямоугольный треугольник

Чему равен катет $BC$ на рисунке? $7$ — против угла $3 0^{\circ}$
Прямоугольник $5 \times 8$ . Его площадь? $40$
Площадь квадрата $49$ . Его сторона? $7$
Фигуру разрезали на части площадью $12$ и $15$ . Площадь фигуры? $27$
Равные фигуры имеют равные площади. А обратное верно? нет
Прямоугольный треугольник с острым углом $4 5^{\circ}$ , катет $6$ . Второй катет? $6$
$1 м^{2}$ — сколько $см^{2}$ ? $10000$

R03.3

Сводка · формулы площади

Все формулы — на одном слайде

Параллелограмм

S = a h

Треугольник

S = \frac{1}{2} a h

Прямоугольный треугольник

S = \frac{1}{2} a b

Ромб

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} = a h

Трапеция

S = \frac{a + b}{2} h

Диагонали $⊥$

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}

3 мин · теория
Фронтальный опрос по сводке: откуда каждая формула (прямоугольник → параллелограмм перекладыванием → треугольник как половина параллелограмма → трапеция диагональю на два треугольника → четырёхугольник с ⟂ диагоналями — два треугольника с общим основанием d₁).
Вопросы: какие две формулы есть у ромба и почему? (Ромб — параллелограмм, S = a·h, и у него диагонали ⟂, S = ½d₁d₂.) Какая формула трапеции через среднюю линию? (S = m·h.)
Цвета в формулах совпадают с цветами на рисунках: основание — бирюзовый, высота — розовый.

R03.3

Сводка · основание и высота

Высота — перпендикуляр к прямой, содержащей основание

Тупоугольный $△ A BC$ : высота $B H$ падает на продолжение $A C$ .

$S = \frac{1}{2} A C \cdot B H$ — формула та же

У параллелограмма две высоты: к стороне $a$ и к стороне $b$ .

$S = a h_{a} = b h_{b}$ — к большей стороне меньшая высота

R03.3

Образец → сам · высота через угол

Высоты нет в условии — найдём её

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A B = 8$ , $A D = 14$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .

$B H ⊥ A D$ , $△ A B H$ — прямоугольный

$B H = \frac{1}{2} A B = 4$ катет против угла $3 0^{\circ}$

$S = A D \cdot B H = 14 \cdot 4 = 56$

Сам

Сторона ромба $10$ , тупой угол $15 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $50$
В $△ A BC$ : $A B = 12$ , $A C = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $30$
Две стороны треугольника $6$ и $8$ , угол между ними $15 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $12$

R03.3

Образец → сам · обратная задача

Одна площадь — две высоты

Образец: стороны параллелограмма $12$ и $10$ , высота к большей стороне $8$ . Найдите высоту к меньшей.

$S = A D \cdot B H = 12 \cdot 8 = 96$

$S = A B \cdot DK \Rightarrow DK = 96 : 10 = 9, 6$

проверка: $9, 6 < 12$ — высота короче наклонной $A D$ ✓

Сам

Стороны параллелограмма $10$ и $16$ , меньшая высота $5$ . Найдите большую высоту. $8$
Катеты $9$ и $12$ , гипотенуза $15$ . Найдите высоту к гипотенузе. $7, 2$
Площадь трапеции $60$ , высота $5$ , одно основание $7$ . Найдите другое. $17$

R03.3

Сводка · следствия для треугольников

Сравниваем площади, не вычисляя их

Общая высота: $\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{A M}{MC}$

отношение площадей = отношению оснований

$BM$ — медиана: $S_{A BM} = S_{CBM}$

медиана делит площадь пополам

$BC ∥ A D$ : $S_{A B D} = S_{A C D}$

общее основание, равные высоты

R03.3

Метод площадей · доказательство

Площадь, записанная двумя способами

Дано:

A B = BC

,

M \in A C

,

MP ⊥ A B

,

MQ ⊥ BC

,

A K ⊥ BC

.
Доказать:

MP

+

MQ

=

A K

.

1

S_{A BC} = S_{A BM} + S_{CBM}

отрезок

BM

разбивает треугольник на два

2

S_{A BC} = \frac{1}{2} A B \cdot MP + \frac{1}{2} BC \cdot MQ

MP

,

MQ

— высоты треугольников

A BM

и

CBM

3

S_{A BC} = \frac{1}{2} BC (MP + MQ)

A B = BC

4

S_{A BC} = \frac{1}{2} BC \cdot A K

\Rightarrow

MP + MQ = A K

сравниваем две записи одной площади

2,5 мин · теория (учитель доказывает, класс называет обоснования)
Формулировка: сумма расстояний от любой точки основания равнобедренного треугольника до боковых сторон постоянна и равна высоте, проведённой к боковой стороне.
Суть метода площадей: одну и ту же площадь записать двумя способами и приравнять. Так находят высоты, расстояния, доказывают равенства отрезков.
Вопрос: что будет, если M совпадёт с A? (MP = 0, MQ = AK — сходится.)

R03.3

Образец → сам · метод площадей

Найдите вторую высоту треугольника

Образец: $A B = BC = 10$ , $A C = 12$ , высота $B H = 8$ . Найдите высоту $A K$ .

$S = \frac{1}{2} A C \cdot B H = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$

$S = \frac{1}{2} BC \cdot A K \Rightarrow A K = \frac{2 \cdot 48}{10} = 9, 6$

Сам

В том же треугольнике $M \in A C$ . Найдите сумму расстояний от $M$ до $A B$ и $BC$ . $9, 6$
Стороны треугольника $8$ и $12$ , высота к стороне $12$ равна $4$ . Найдите высоту к стороне $8$ . $6$
Диагонали ромба $6$ и $8$ , сторона $5$ . Найдите высоту ромба. $4, 8$

R03.3 · клетчатая бумага

Демонстрация · два способа

Разбиение и достроение дают одно число

Разбиение диагональю $A C$

$S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot (3 + 2) = 17, 5$

Достроение до прямоугольника

$S = 35 - (4, 5 + 6 + 5 + 2) = 17, 5$

R03.3

Образец → сам · комбинированная задача

Трапеция: сначала высота, потом формула

Образец: $A BC D$ — равнобедренная трапеция, $A D = 20$ , $BC = 8$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите $S$ .

$A H = \frac{20 - 8}{2} = 6$ равнобедренная трапеция

$B H = A H = 6$ $△ A B H$ : углы $4 5^{\circ}$ и $4 5^{\circ}$

$S = \frac{20 + 8}{2} \cdot 6 = 84$

Сам

Основания трапеции $5$ и $13$ , боковая сторона $8$ образует с основанием угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $36$
Прямоугольная трапеция: основания $4$ и $10$ , острый угол $4 5^{\circ}$ . Найдите $S$ . $42$
Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны и равны $10$ . Найдите $S$ . $50$

R03.3 · ОГЭ 18

Образец → сам · площадь на клетчатой бумаге

Ни одна сторона не идёт по линиям сетки

Образец: клетка $1 \times 1$ . Найдите площадь параллелограмма $A BC D$ .

прямоугольник $6 \times 4 = 24$

углы: $3 + 2 + 3 + 2 = 10$ $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3$ , $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1$

$S = 24 - 10 = 14$

Сам: найдите площади фигур 1–3

1) $5, 5$
2) $9$
3) $10$

R03.3

Образец → сам · задача на доказательство

Равновеликие треугольники в трапеции

Образец: $A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$ , $O$ — точка пересечения диагоналей. Докажите: $S_{A OB} = S_{CO D}$ .

$S_{A B D} = S_{A C D}$ основание $A D$ , высоты — расстояние между $BC$ и $A D$

$S_{A OB} = S_{A B D} - S_{A O D} = S_{A C D} - S_{A O D} = S_{CO D}$

Сам: план и обоснования

$M$ — любая точка стороны $BC$ параллелограмма $A BC D$ . Докажите: $S_{A M D} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$ . основание $A D$ , высота — высота параллелограмма
Докажите: диагонали параллелограмма делят его на 4 равновеликих треугольника. $A O$ , $BO$ , … — медианы
$BM$ — медиана $△ A BC$ , $K$ — середина $BM$ . Докажите: $S_{A B K} = \frac{1}{4} S_{A BC}$ . две медианы: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

2,5 мин · практика
Образец: равновеликость ABD и ACD — следствие 3 (сл. 8); вычитаем общую часть AOD.
1) S_AMD = ½ · AD · h, где h — расстояние между BC и AD, то есть высота параллелограмма; S_ABCD = AD · h.
2) Диагонали делятся точкой O пополам ⇒ AO — медиана △ABD ⇒ S_AOB = S_AOD; BO — медиана △ABC ⇒ S_AOB = S_BOC; аналогично S_BOC = S_COD. Все четыре равны.
3) BM — медиана △ABC ⇒ S_ABM = ½S_ABC; AK — медиана △ABM ⇒ S_ABK = ½S_ABM = ¼S_ABC.
Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования.

R03.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$S_{пар .} = a \cdot b$ (две стороны)	боковая сторона — наклонная, а не высота	$S = a h$ , $h < b$
$S_{ромба} = d_{1} d_{2}$	ромб — половина прямоугольника со сторонами $d_{1}$ , $d_{2}$	$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$
треугольник: $h = S : a$	из $S = \frac{1}{2} ah$ потеряна двойка	$h = \frac{2 S}{a}$
«высота тупоугольного треугольника — сторона $BC$ »	высота перпендикулярна основанию и падает на его продолжение	$B H ⊥$ прямой $A C$

R03.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Параллелограмм: $A B = 6$ , $A D = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .

$S = 6 \cdot 10 = 60$

$h = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$

$S = 10 \cdot 3 = 30$

б) Основания трапеции $4$ и $10$ , боковая сторона $5$ — под углом $3 0^{\circ}$ к основанию.

$h = 5$

$S = \frac{4 + 10}{2} \cdot 5 = 35$

$h = 2, 5$ , $S = 7 \cdot 2, 5 = 17, 5$

в) Стороны параллелограмма $8$ и $12$ , высота к стороне $8$ равна $9$ . Высота к $12$ ?

$h = \frac{9 \cdot 12}{8} = 13, 5$

$S = 8 \cdot 9 = 72$

$h = 72 : 12 = 6$

R03.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаПараллелограмм: сторона $13$ , высота к ней $6$ . $S$ ? $78$
базаТреугольник: сторона $15$ , высота к ней $8$ . $S$ ? $60$
базаДиагонали ромба $9$ и $14$ . $S$ ? $63$

базаОснования трапеции $5$ и $11$ , высота $7$ . $S$ ? $56$
базаПлощадь прямоугольного треугольника $30$ , катет $5$ . Другой катет? $12$
база $S_{пар .} = 40$ , стороны $8$ и $10$ . Высоты? $5$ и $4$

R03.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Средняя линия трапеции $9$ , высота $6$ . Найдите $S$ . $54$
повыш. $D \in BC$ , $B D : D C = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 40$ . Найдите $S_{A B D}$ . $16$
повыш. $M$ — середина $BC$ параллелограмма $A BC D$ , $S_{A BC D} = 60$ . Найдите $S_{A BM}$ и $S_{A M D}$ . $15$ и $30$
из жизниФронтон дома — треугольник с основанием $9$ м и высотой $3$ м. Банки краски хватает на $5 м^{2}$ . Сколько банок купить? $3$

R03.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17 и 18

Ответ — одно число

ОГЭ 17 Площадь параллелограмма $A BC D$ равна $56$ , $E$ — середина $A B$ . Найдите площадь трапеции $A EC D$ .

Ответ: $42$

ОГЭ 17 Основания трапеции $16$ и $6$ , боковая сторона $8$ образует с основанием угол $15 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .

Ответ: $44$

ОГЭ 18 Клетка $1 \times 1$ . Найдите площадь трапеции.

Ответ: $22$

R03.3 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Биссектриса угла $A$ параллелограмма $A BC D$ пересекает $BC$ в точке $K$ , $B K = 7$ , $K C = 3$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .

$A B = B K = 7$ $△ A B K$ равнобедренный

$h = 3, 5$ , $A D = 10$

$S = 10 \cdot 3, 5 = 35$

ОГЭ 24 $E$ — середина боковой стороны $C D$ трапеции $A BC D$ . Докажите: $S_{A BE} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$ .

$△ A D E = △ FCE$ (II признак) $\Rightarrow$ $S_{A BC D} = S_{A BF}$ , $A E = EF$

$BE$ — медиана $△ A BF$ $\Rightarrow$ $S_{A BE} = \frac{1}{2} S_{A BF}$

R03.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Сторона треугольника $16$ , высота к ней $5$ . Найдите $S$ . $40$
Диагонали ромба $10$ и $14$ . Найдите $S$ . $70$
Стороны параллелограмма $10$ и $6$ , угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $30$
Площадь трапеции $66$ , высота $6$ , одно основание $7$ . Найдите другое. $15$

Вариант 2

Сторона треугольника $18$ , высота к ней $4$ . Найдите $S$ . $36$
Диагонали ромба $8$ и $13$ . Найдите $S$ . $52$
Стороны параллелограмма $12$ и $8$ , угол $15 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $48$
Площадь трапеции $72$ , высота $8$ , одно основание $5$ . Найдите другое. $13$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти высоту, если дан угол $3 0^{\circ}$ ? $4 5^{\circ}$ ?
В чём суть метода площадей?
Когда выгодно достроение, а когда — разбиение?

Домашнее задание

Стороны параллелограмма $12$ и $15$ , высота к большей $8$ . Найдите высоту к меньшей.
Равнобедренная трапеция: основания $7$ и $13$ , угол $4 5^{\circ}$ . Найдите $S$ .
* $M$ — точка внутри параллелограмма $A BC D$ . Докажите: $S_{A MB} + S_{CM D} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_ploshchadi_parallelogramma_treugolnika_trapecii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-049 · Практикум: Простейшие формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R03 «Площадь», 16 ч · урок 11/16 · тип П
Единицы → слайды	R03.3 «Простейшие формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции» → 2, 4–22 · повторение R03.1–R03.2 → 3
Результаты	ПР-7 (выводить и использовать формулы площади; вычислять площади различными способами) → 4–22
Вне урока	площади подобных фигур — GEOM8U-050; теорема Пифагора (R04) не используется — все высоты через углы 30°/45° или даны в условии
Время	теория 11,5 мин · практика 33,5 мин (74 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: формулы площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции

Сегодня вы научитесь

Выбирать формулу

Находить высоту

Считать разными способами

Решать задачи ОГЭ

Площадь и прямоугольный треугольник

Все формулы — на одном слайде

Параллелограмм

Треугольник

Прямоугольный треугольник

Ромб

Трапеция

Диагонали ⊥

Высота — перпендикуляр к прямой, содержащей основание

Высоты нет в условии — найдём её

Образец: ABCD — параллелограмм, AB=8, AD=14, ∠A=30∘. Найдите S.

Сам

Одна площадь — две высоты

Образец: стороны параллелограмма 12 и 10, высота к большей стороне 8. Найдите высоту к меньшей.

Сам

Сравниваем площади, не вычисляя их

Площадь, записанная двумя способами

Найдите вторую высоту треугольника

Образец: AB=BC=10, AC=12, высота BH=8. Найдите высоту AK.

Сам

Разбиение и достроение дают одно число

Разбиение диагональю AC

Достроение до прямоугольника

Трапеция: сначала высота, потом формула

Образец: ABCD — равнобедренная трапеция, AD=20, BC=8, ∠A=45∘. Найдите S.

Сам

Ни одна сторона не идёт по линиям сетки

Образец: клетка 1×1. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Сам: найдите площади фигур 1–3

Равновеликие треугольники в трапеции

Образец: ABCD — трапеция, BC∥AD, O — точка пересечения диагоналей. Докажите: SAOB​=SCOD​.

Сам: план и обоснования

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Параллелограмм: AB=6, AD=10, ∠A=30∘. Найдите S.

б) Основания трапеции 4 и 10, боковая сторона 5 — под углом 30∘ к основанию.

в) Стороны параллелограмма 8 и 12, высота к стороне 8 равна 9. Высота к 12?

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-049 · Практикум: Простейшие формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции

Диагонали $⊥$

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A B = 8$ , $A D = 14$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .

Образец: стороны параллелограмма $12$ и $10$ , высота к большей стороне $8$ . Найдите высоту к меньшей.

Образец: $A B = BC = 10$ , $A C = 12$ , высота $B H = 8$ . Найдите высоту $A K$ .

Разбиение диагональю $A C$

Образец: $A BC D$ — равнобедренная трапеция, $A D = 20$ , $BC = 8$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите $S$ .

Образец: клетка $1 \times 1$ . Найдите площадь параллелограмма $A BC D$ .

Образец: $A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$ , $O$ — точка пересечения диагоналей. Докажите: $S_{A OB} = S_{CO D}$ .

а) Параллелограмм: $A B = 6$ , $A D = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .

б) Основания трапеции $4$ и $10$ , боковая сторона $5$ — под углом $3 0^{\circ}$ к основанию.

в) Стороны параллелограмма $8$ и $12$ , высота к стороне $8$ равна $9$ . Высота к $12$ ?