Площадь · урок 10 из 16 · практикум

Практикум: свойства площадей геометрических фигур

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM8U-048

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Площадь» (16 ч), урок 10/16, единица R03.2. Тип урока — П (практикум, второй по свойствам площади после GEOM8U-044).
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · свойства площади 2 · способы 1,5 · общая высота 2 · общий угол 2 · трапеция 2 · точка в параллелограмме 1,5.
Практика (33): разминка 2,5 · образцы → сам 2,5 × 5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 18/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Теоретические слайды — сводка: правила формулируют ученики, учитель только открывает шаги. Если не успеваете: задание 3 «Образец → сам» о медианах и ОГЭ 24 — в ДЗ.

R03.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Пользоваться свойствами

площади: равные фигуры, сложение частей, единица измерения (ПР-7)

Считать по клеткам

разбиением, достроением и перекраиванием

Сравнивать площади

треугольников с общей высотой и с общим углом, частей трапеции (ПР-7)

Доказывать равновеликость

и решать задачи ОГЭ 18, 23, 24

повторение: GEOM8U-047

Разминка · устно

Площадь — сколько единичных квадратов

Квадрат с периметром $20$ . Его площадь? $25$
Треугольник: основание $10$ , высота $7$ . $S$ ? $35$
Параллелограмм: сторона $9$ , высота $4$ . $S$ ? $36$
Прямоугольник с $S = 30$ разрезали по диагонали. $S$ каждой части? $15$
Фигуры 1 и 2 равны? нет, их не совместить
Их площади равны? да, по $6$ клеток

R03.2

Сводка · свойства площади

Три свойства и два слова

1Равные фигуры имеют равные площади.

2Фигура составлена из частей без общих внутренних точек ⇒ её площадь равна сумме площадей частей.

3Площадь квадрата со стороной

1

равна

1

.

Равновеликие — фигуры с равными площадями. Равносоставленные — разрезаются на попарно равные части.

$S_{A BC D} = S_{H BCE}$ , так как $△ A B H = △ D CE$

2 мин · теория (сводка: свойства называют ученики)
Щелчок 1 на чертеже: треугольник ABH «переезжает» на место DCE — параллелограмм и прямоугольник HBCE равносоставлены. Отсюда S = AD · BH (вывод из урока GEOM8U-041).
Равносоставленные ⇒ равновеликие (свойства 1 и 2). Для многоугольников верно и обратное (теорема Бойяи — Гервина, без доказательства — сильным для интереса).
Ошибка: «равновеликие фигуры равны». Контрпример: прямоугольники 2 × 8 и 4 × 4.

R03.2

Схема · три способа найти площадь

Разбить, достроить или перекроить

Разбиение

сложить площади частей

8 + 6 = 14

Достроение

из прямоугольника вычесть лишнее

20 - 11 = 9

Перекраивание

сдвинуть часть — получить прямоугольник

4 \cdot 3 = 12

R03.2

Образец → сам · клетчатая бумага, достроение

Площадь по клеткам — без формул

Образец: клетка $1 \times 1$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

$6 \cdot 4 = 24$ описанный прямоугольник

$2 + 3 + 2, 5 + 1, 5 = 9$ угловые треугольники

$S = 24 - 9 = 15$ свойство 2

Сам: отметьте точки в тетради

Треугольник $(0; 0)$ , $(6; 1)$ , $(3; 5)$ . $13, 5$
Четырёхугольник $(1; 0)$ , $(5; 1)$ , $(4; 4)$ , $(0; 3)$ . $13$
Квадрат $(0; 1)$ , $(3; 0)$ , $(4; 3)$ , $(1; 4)$ . Найдите $S$ и длину стороны. $S = 10$ , сторона $10$

R03.2

Опорный факт 1 · общая высота

Площади относятся как основания

\frac{S _{A B D}}{S _{D BC}} = \frac{\frac{1}{2} a h}{\frac{1}{2} b h} = \frac{A D}{D C}

1

B D

— медиана ⇒

S_{A B D} = S_{D BC}

медиана делит треугольник на два равновеликих

2Вершина

B

движется по прямой

∥ A C

⇒

S

не меняетсяоснование то же, высота та же

R03.2

Образец → сам · общая высота

Делим площадь в отношении оснований

Образец: $S_{A BC} = 40$ , $B D : D C = 2 : 3$ , $M$ — середина $A D$ . Найдите $S_{BM D}$ .

$S_{A B D} = \frac{2}{5} \cdot 40 = 16$ общая высота из $A$

$BM$ — медиана $△ A B D$ $A M = M D$

$S_{BM D} = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$

Сам

$A D$ — медиана, $S_{A BC} = 36$ , $M$ — середина $A D$ . Найдите $S_{A BM}$ . $9$
$K \in A C$ , $S_{A B K} = 12$ , $S_{K BC} = 20$ , $A C = 16$ . Найдите $A K$ . $6$
Медианы $△ A BC$ пересекаются в $G$ , $S_{A BC} = 27$ . Найдите $S_{A GB}$ . $9$

R03.2

Опорный факт 2 · общий угол

Площади относятся как произведения сторон

Дано:

B_{1} \in A B

,

C_{1} \in A C

.
Доказать:

\frac{S _{A B_{1} C_{1}}}{S _{A BC}} = \frac{A B _{1}}{A B} \cdot \frac{A C _{1}}{A C}

.

1

\frac{S _{A B_{1} C_{1}}}{S _{A B_{1} C}} = \frac{A C _{1}}{A C}

общая высота из

B_{1}

(факт 1)

2

\frac{S _{A B_{1} C}}{S _{A BC}} = \frac{A B _{1}}{A B}

общая высота из

C

(факт 1)

3Перемножаем равенства 1 и 2

S_{A B_{1} C}

сокращается

R03.2

Образец → сам · общий угол

Отсекаем треугольник от угла

Образец: $A M : MB = 1 : 2$ , $A N : NC = 3 : 1$ , $S_{A BC} = 24$ . Найдите $S_{A MN}$ .

$\frac{A M}{A B} = \frac{1}{3}$ , $\frac{A N}{A C} = \frac{3}{4}$ доли сторон

$S_{A MN} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot 24 = 6$ факт 2

Сам

$A M = 2$ , $MB = 3$ , $A N = 4$ , $NC = 1$ , $S_{A BC} = 50$ . Найдите $S_{A MN}$ . $16$
Точки $K$ , $L$ , $M$ делят $A B$ , $BC$ , $C A$ в отношении $1 : 2$ (от $A$ , $B$ , $C$ ), $S_{A BC} = 36$ . Найдите $S_{K L M}$ . $12$
$MN$ делит $△ A BC$ на две равновеликие части, $A M : A B = 2 : 3$ . Найдите $A N : NC$ . $3 : 1$

R03.2

Опорный факт 3 · диагонали трапеции

Треугольники у боковых сторон равновелики

Дано:

A BC D

— трапеция,

BC ∥ A D

,

A C \cap B D = O

.
Доказать:

S_{A OB} = S_{CO D}

.

1

S_{A B D}

=

S_{A C D}

общее основание

A D

, равные высоты (факт 1, п. 2)

2

S_{A OB} = S_{CO D}

из обеих площадей вычли

S_{A O D}

(свойство 2)

3

S_{A OB}^{2} = S_{BOC} \cdot S_{A O D}

S_{A OB} : S_{BOC} = A O : OC = S_{A O D} : S_{CO D}

(факт 1)

R03.2

Образец → сам · части трапеции

Четыре треугольника из диагоналей

Образец: $S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 9$ . Найдите площадь трапеции.

$S_{A OB}^{2} = 4 \cdot 9$ , $S_{A OB} = S_{CO D} = 6$ факт 3

$S = 4 + 9 + 6 + 6 = 25$ свойство 2

Сам

$S_{BOC} = 1$ , $S_{A O D} = 16$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $25$
$S_{A BO} = 6$ , $BO : O D = 1 : 3$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $32$
$A BC D$ — параллелограмм, $S = 48$ , $K$ — середина $BC$ . Найдите $S_{A KD}$ и $S_{A B K}$ . $24$ и $12$

R03.2

Опорный факт 4 · точка внутри параллелограмма

Два противоположных треугольника — половина

1

S_{A P D} + S_{BPC}

= \frac{1}{2} A D \cdot h_{2} + \frac{1}{2} BC \cdot h_{1}

BC = A D

2

= \frac{1}{2} A D (h_{1} + h_{2}) = \frac{1}{2} A D \cdot h

h_{1} + h_{2}

— высота параллелограмма

3

S_{A P D} + S_{BPC} = \frac{1}{2} S

, значит и

S_{A PB} + S_{CP D} = \frac{1}{2} S

$P = O$ (точка пересечения диагоналей): четыре треугольника по $\frac{1}{4} S$

R03.2

Образец → сам · задача на доказательство

Докажите, что площади равны

Образец: медианы $A A_{1}$ и $B B_{1}$ пересекаются в $G$ . Докажите: $S_{A GB} = S_{A_{1} G B_{1} C}$ .

$S_{A B A_{1}} = \frac{1}{2} S = S_{B B_{1} C}$ медианы $A A_{1}$ и $B B_{1}$

$S_{A B A_{1}} = S_{A GB} + S_{BG A_{1}}$ , $S_{B B_{1} C} = S_{BG A_{1}} + S_{A_{1} G B_{1} C}$

вычитаем $S_{BG A_{1}}$ ⇒ $S_{A GB} = S_{A_{1} G B_{1} C}$

Сам: план и обоснования

$P$ — точка на стороне $BC$ параллелограмма $A BC D$ . Докажите: $S_{A P D} = S_{A BP} + S_{PC D}$ . $S_{A P D} = \frac{1}{2} S$ (общее основание $A D$ )
Прямая через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма делит его на две равновеликие части. части равны: центральная симметрия, $△ BO K = △ D OM$
Докажите: медианы делят треугольник на $6$ равновеликих треугольников. $A G = 2 G A_{1}$ ⇒ $S_{A GB} = 2 S_{GB A_{1}}$ и т. д.

2,5 мин · практика
Образец: оба треугольника ABA₁ и BB₁C — половины △ABC (медиана делит пополам). У них общая часть BGA₁; вычитаем её — остаются AGB и четырёхугольник A₁GB₁C.
1) △APD: основание AD, высота — высота параллелограмма ⇒ S_APD = S/2; оставшиеся ABP и PCD вместе — тоже S/2.
2) K ∈ BC, M ∈ AD: △BOK = △DOM (BO = OD, вертикальные углы, накрест лежащие при BC ∥ AD). S_ABKM = S_ABOM + S_BOK = S_ABOM + S_DOM = S_ABD = S/2 (свойства 1 и 2). Иначе: O — центр симметрии, части равны ⇒ равновелики.
3) Шесть треугольников с вершиной G: соседние на одной стороне равновелики (медиана в малом треугольнике, напр. GA₁ в △GBC); S_AGB = 2S_GBA₁ (AG = 2GA₁, общая высота из B) — отсюда все шесть равны S/6.

R03.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
«Равновеликие фигуры равны»	прямоугольники $2 \times 8$ и $4 \times 4$ : $S = 16$ , но не равны	равные ⇒ равновеликие, обратное неверно
«Медиана делит треугольник на два равных треугольника»	равны только площади, стороны разные	на два равновеликих
$\frac{A M}{A B} = \frac{1}{3}$ ⇒ $S_{A MN} = \frac{1}{3} S_{A BC}$	у $△ A MN$ и $△ A BC$ нет общей высоты	$\frac{A M}{A B} \cdot \frac{A N}{A C} \cdot S_{A BC}$
В трапеции $S_{A OB} = S_{BOC}$	основания $A O$ и $OC$ не равны	$S_{A OB} : S_{BOC} = A O : OC$

R03.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A D$ — медиана, $S_{A BC} = 30$ , $M \in A D$ , $A M : M D = 2 : 1$ . Найдите $S_{A BM}$ .

$S_{A BM} = \frac{2}{3} \cdot 30 = 20$

$S_{A B D} = 15$ , $S_{A BM} = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10$

б) Трапеция: $S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 16$ . Найдите $S$ .

$S_{A OB} = \frac{4 + 16}{2} = 10$

$S = 4 + 16 + 10 + 10 = 40$

$S_{A OB} = 4 \cdot 16 = 8$ , $S = 36$

в) « $B D$ — медиана $△ A BC$ . Докажем, что $A B = BC$ ».

$S_{A B D} = S_{CB D}$ ⇒ $△ A B D = △ CB D$ ⇒ $A B = BC$

из равенства площадей равенство треугольников не следует; утверждение неверно

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Отношение 2 : 1 относится к AD, а не к BC: △ABM и △ABD имеют общую высоту из B ⇒ S_ABM = 2/3 · S_ABD = 2/3 · 15 = 10.
б) Среднее арифметическое не работает: AO : OC = 2 (так как S_AOD : S_COD = S_AOB : S_BOC), S_AOB = 2 · 4 = 8 = √(4 · 16); S = 4 + 16 + 8 + 8 = 36.
в) Признак перепутан: равновеликие треугольники не обязаны быть равными. Контрпример — любой разносторонний треугольник: медиана всегда делит площадь пополам, но AB ≠ BC.

R03.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $S_{A BC} = 42$ , $BM$ — медиана. Найдите $S_{A BM}$ . $21$
базаПараллелограмм, $S = 56$ , $O$ — точка пересечения диагоналей. Найдите $S_{A OB}$ . $14$
база $D \in A C$ , $A D = 3$ , $D C = 5$ , $S_{A B D} = 12$ . Найдите $S_{A BC}$ . $32$

базаПрямоугольник $10 \times 6$ , $M \in BC$ . Найдите $S_{A M D}$ . $30$
базаИз квадрата $7 \times 7$ вырезали прямоугольник $3 \times 2$ . Найдите $S$ остатка. $43$
базаСередины сторон квадрата со стороной $6$ соединили. Найдите $S$ нового квадрата. $18$

R03.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A M : MB = 2 : 3$ , $N$ — середина $A C$ , $S_{A MN} = 6$ . Найдите $S_{A BC}$ . $30$
повыш.Трапеция: $BC = 3$ , $A D = 7$ , $S = 50$ . Найдите $S_{A C D}$ . $35$
повыш. $P$ внутри параллелограмма $A BC D$ : $S_{A PB} = 13$ , $S_{BPC} = 9$ , $S_{CP D} = 17$ . Найдите $S_{A P D}$ . $21$
из жизниУчасток — параллелограмм. Забор идёт от вершины $A$ до середины стороны $C D$ . Какую долю участка он отделяет? $\frac{1}{4}$

R03.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 18 На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник. Найдите его площадь.

Ответ: $14, 5$

ОГЭ 17Диагонали параллелограмма пересекаются в $O$ , $S_{A OB} = 7$ . Найдите площадь параллелограмма. $28$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади.
Если площади двух треугольников равны, то треугольники равны.
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Ответ: 13

R03.2 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Основания трапеции $BC = 6$ и $A D = 12$ , её площадь $90$ . Диагонали пересекаются в $O$ . Найдите $S_{BOC}$ .

$A O : OC = 2$ ⇒ $S_{A OB} = S_{CO D} = 2 s$ , $S_{A O D} = 4 s$

$9 s = 90$ , $S_{BOC} = s = 10$

ОГЭ 24 $E$ — середина боковой стороны $C D$ трапеции $A BC D$ . Докажите: $S_{A BE} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$ .

$△ A E D = △ FEC$ (II) ⇒ $S_{A BC D} = S_{A BF}$ , $A E = EF$

$BE$ — медиана $△ A BF$ ⇒ $S_{A BE} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$

R03.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$S_{A BC} = 48$ , $A M$ — медиана. Найдите $S_{A BM}$ . $24$
$D \in BC$ , $B D : D C = 1 : 3$ , $S_{A BC} = 36$ . Найдите $S_{A D C}$ . $27$
Трапеция: $S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 25$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $49$
$A M : A B = 1 : 3$ , $A N : A C = 1 : 2$ , $S_{A BC} = 30$ . Найдите $S_{A MN}$ . $5$

Вариант 2

Параллелограмм, $S = 64$ . Найдите $S_{A OB}$ ( $O$ — точка пересечения диагоналей). $16$
$D \in BC$ , $B D : D C = 2 : 5$ , $S_{A BC} = 42$ . Найдите $S_{A B D}$ . $12$
Трапеция: $S_{BOC} = 1$ , $S_{A O D} = 9$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $16$
$A M : A B = 2 : 3$ , $A N : A C = 3 : 4$ , $S_{A BC} = 24$ . Найдите $S_{A MN}$ . $12$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем равновеликие фигуры отличаются от равных?
Когда площади треугольников относятся как основания?
Какие два треугольника трапеции всегда равновелики?

Домашнее задание

$A M : MB = 3 : 1$ , $N$ — середина $A C$ , $S_{A BC} = 40$ . Найдите $S_{A MN}$ .
Трапеция: $S_{BOC} = 2$ , $S_{A O D} = 18$ . Найдите $S$ .
* Докажите: отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит её на две равновеликие части.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_ploshchad_mnogougolnika.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-048 · Практикум: свойства площадей геометрических фигур

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R03 «Площадь», 16 ч · урок 10/16 · тип П
Единицы → слайды	R03.2 «Свойства площадей геометрических фигур» → 2, 4–22 · повторение GEOM8U-047 (понятие площади) → 3
Результаты	ПР-7 (вычислять различными способами площади треугольника и многоугольных фигур) → 4–22
Вне урока	вывод формул площадей — GEOM8U-041, практикум по формулам — GEOM8U-049; площади подобных фигур (R03.4) — GEOM8U-050; формула S = ½ab·sin C — 9 класс
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: свойства площадей геометрических фигур

Сегодня вы научитесь

Пользоваться свойствами

Считать по клеткам

Сравнивать площади

Доказывать равновеликость

Площадь — сколько единичных квадратов

Три свойства и два слова

Разбить, достроить или перекроить

Разбиение

Достроение

Перекраивание

Площадь по клеткам — без формул

Образец: клетка 1×1. Найдите SABCD​.

Сам: отметьте точки в тетради

Площади относятся как основания

Делим площадь в отношении оснований

Образец: SABC​=40, BD:DC=2:3, M — середина AD. Найдите SBMD​.

Сам

Площади относятся как произведения сторон

Отсекаем треугольник от угла

Образец: AM:MB=1:2, AN:NC=3:1, SABC​=24. Найдите SAMN​.

Сам

Треугольники у боковых сторон равновелики

Четыре треугольника из диагоналей

Образец: SBOC​=4, SAOD​=9. Найдите площадь трапеции.

Сам

Два противоположных треугольника — половина

Докажите, что площади равны

Образец: медианы AA1​ и BB1​ пересекаются в G. Докажите: SAGB​=SA1​GB1​C​.

Сам: план и обоснования

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) AD — медиана, SABC​=30, M∈AD, AM:MD=2:1. Найдите SABM​.

б) Трапеция: SBOC​=4, SAOD​=16. Найдите S.

в) «BD — медиана △ABC. Докажем, что AB=BC».

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-048 · Практикум: свойства площадей геометрических фигур

Образец: клетка $1 \times 1$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

Образец: $S_{A BC} = 40$ , $B D : D C = 2 : 3$ , $M$ — середина $A D$ . Найдите $S_{BM D}$ .

Образец: $A M : MB = 1 : 2$ , $A N : NC = 3 : 1$ , $S_{A BC} = 24$ . Найдите $S_{A MN}$ .

Образец: $S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 9$ . Найдите площадь трапеции.

Образец: медианы $A A_{1}$ и $B B_{1}$ пересекаются в $G$ . Докажите: $S_{A GB} = S_{A_{1} G B_{1} C}$ .

а) $A D$ — медиана, $S_{A BC} = 30$ , $M \in A D$ , $A M : M D = 2 : 1$ . Найдите $S_{A BM}$ .

б) Трапеция: $S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 16$ . Найдите $S$ .

в) « $B D$ — медиана $△ A BC$ . Докажем, что $A B = BC$ ».