Площадь · урок 8 из 16 · практикум

Площади подобных фигур

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM8U-046

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Площадь» (16 ч), урок 8/16, единица R03.4. Тип урока — П (практикум): теория — только сводки и один разбор у доски.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка-теорема 2,5 · отсечённый треугольник 2 · трапеция 2,5 · разбор ОГЭ 25 у доски 2,5 · схема-конспект 1,5.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Картинка на титуле: сторона большого треугольника втрое больше стороны маленького, а помещается в нём 9 маленьких — вопрос классу «почему 9, а не 3?».
Если не успеваете: построение (образец 5) и задачу о масштабе модели — в ДЗ.

R03.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Переходить от $k$ к $k^{2}$

находить площадь подобной фигуры по сторонам и стороны — по площадям (ПР-8)

Видеть подобие внутри фигуры

прямая, параллельная стороне; диагонали трапеции

Строить и доказывать

прямую, делящую площадь в заданном отношении; соотношения площадей

Решать практические задачи

масштаб плана и модели, задачи ОГЭ 15, 17, 25 (ПР-8)

повторение: R03.3, R02

Разминка · устно

Формулы площадей и коэффициент подобия

Треугольник: основание $10$ , высота $6$ . $S$ ? $30$
Параллелограмм: сторона $8$ , высота к ней $5$ . $S$ ? $40$
Ромб с диагоналями $6$ и $10$ . $S$ ? $30$
Трапеция: основания $4$ и $10$ , высота $6$ . $S$ ? $42$

$△ A BC \sim △ K MN$ , $A B = 4$ , $K M = 12$ . Коэффициент $k$ ? $3$
Стороны квадратов $2$ и $6$ . Во сколько раз отличаются площади? в $9$ раз
$x^{2} = 2, 25$ , $x > 0$ . Найдите $x$ . $1, 5$

R03.4

Сводка · теорема об отношении площадей

Площади подобных фигур относятся как $k^{2}$

Дано:

△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}

,

\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = k

.
Доказать:

\frac{S _{A BC}}{S _{A_{1} B_{1} C_{1}}} = k^{2}

.

1

△ A B H \sim △ A_{1} B_{1} H_{1}

по двум углам:

∠ A = ∠ A_{1}

,

∠ H = ∠ H_{1} = 9 0^{\circ}

2

B H = k \cdot B_{1} H_{1}

,

A C = k \cdot A_{1} C_{1}

соответственные стороны подобных треугольников

3

\frac{S}{S _{1}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot ka \cdot kh}{\frac{1}{2} \cdot a \cdot h} = k^{2}

многоугольник делим на треугольники — каждый умножается на

k^{2}

2,5 мин · теория
Это повторение теоремы урока GEOM8U-042: учитель ведёт, класс называет обоснование каждого шага («почему треугольники ABH и A1B1H1 подобны?»).
Для многоугольников: подобные многоугольники разбиваются диагоналями из соответственных вершин на попарно подобные треугольники с тем же k; площадь каждого умножается на k², значит и сумма.
Запомнить тройку: длины (стороны, высоты, медианы, периметры) — в k раз, площади — в k² раз.

R03.4

Образец → сам · прямое применение

Знаем стороны — находим площадь

Образец: $△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $A B = 6$ , $A_{1} B_{1} = 9$ , $S_{A BC} = 20$ . Найдите $S_{A_{1} B_{1} C_{1}}$ .

$k = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ соответственные стороны

$S_{A_{1} B_{1} C_{1}} = 20 \cdot (\frac{3}{2})^{2} = 20 \cdot \frac{9}{4} = 45$ теорема

Сам

Стороны подобных треугольников относятся как $2 : 5$ , площадь меньшего $8$ . Площадь большего? $50$
Периметры подобных многоугольников $12$ и $18$ , площадь меньшего $24$ . Площадь большего? $54$
Сторону квадрата увеличили в $4$ раза. Во сколько раз увеличилась площадь? в $16$ раз

R03.4

Образец → сам · обратная задача

Знаем площади — находим стороны

Образец: площади подобных треугольников $16$ и $25$ , сторона меньшего $12$ . Найдите соответственную сторону большего.

$k^{2} = \frac{25}{16}$ , $k = \frac{5}{4}$ извлекаем корень

$x = 12 \cdot \frac{5}{4} = 15$ стороны — в $k$ раз

Сам

Площади подобных многоугольников $18$ и $50$ , периметр большего $30$ . Периметр меньшего? $18$
Площадь одного квадрата в $2, 25$ раза больше площади другого, сторона меньшего $6$ . Сторона большего? $9$
Стороны подобных треугольников относятся как $2 : 3$ , сумма площадей $65$ . Найдите площади. $20$ и $45$

R03.4

Сводка · прямая, параллельная стороне

Отсечённый треугольник подобен исходному

Дано:

MN ∥ A C

,

M \in A B

,

N \in BC

.

1

△ MBN \sim △ A BC

∠ B

— общий,

∠ BMN = ∠ B A C

(соответственные)

2

k = \frac{BM}{B A}

,

S_{MBN} = k^{2} \cdot S_{A BC}

берём отношение к всей стороне

B A

, а не к

M A

3средняя линия:

S_{MBN} = \frac{1}{4} S

,

S_{A MNC} = \frac{3}{4} S

R03.4

Образец → сам · отсечённый треугольник и трапеция

Площадь части треугольника

Образец: $S_{A BC} = 50$ , $MN ∥ A C$ , $BM : M A = 3 : 2$ . Найдите $S_{A MNC}$ .

$k = \frac{BM}{B A} = \frac{3}{5}$ подобие

$S_{MBN} = 50 \cdot \frac{9}{25} = 18$

$S_{A MNC} = 50 - 18 = 32$

Сам

Средняя линия отсекает от треугольника треугольник площадью $7$ . Площадь исходного? $28$
$MN ∥ A C$ , $BM : M A = 1 : 3$ , $S_{A BC} = 48$ . Найдите $S_{A MNC}$ . $45$
$MN ∥ A C$ , $S_{MBN} = 9$ , $S_{A MNC} = 16$ , $A C = 15$ . Найдите $MN$ . $9$

R03.4

Вывод · диагонали трапеции

Четыре треугольника в трапеции

1

△ BOC \sim △ D O A

,

k = \frac{b}{a}

вертикальные углы при

O

; накрест лежащие при

BC ∥ A D

2

S_{1} : S_{2} = b^{2} : a^{2}

теорема об отношении площадей

3

S_{A OB} = S_{CO D} = S_{3}

S_{A B D} = S_{A C D}

: общее основание

A D

, равные высоты

4

\frac{S _{3}}{S _{1}} = \frac{A O}{OC} = \frac{a}{b} = \frac{S _{2}}{S _{3}}

⇒

S_{3} = S_{1} S_{2}

общая высота из

B

(и из

A

); итог:

S = (S_{1} + S_{2})^{2}

2,5 мин · теория
Шаг 3: треугольники ABD и ACD имеют общее основание AD и одинаковые высоты (расстояние между параллельными BC и AD); из обоих вычитаем общий △AOD.
Шаг 4: △AOB и △BOC имеют общую высоту из B, поэтому площади относятся как основания AO : OC = AD : BC = a : b (из подобия шага 1). Так же △AOD и △AOB — общая высота из A, основания OD : OB = a : b. Значит S3² = S1 · S2.
Итог: S = S1 + S2 + 2√(S1S2) = (√S1 + √S2)². Классика ОГЭ 25 и олимпиад.
Ошибка: S3 : S1 = k² — нет: △AOB и △BOC не подобны, их площади относятся как AO : OC (первая степень).

R03.4

Образец → сам · комбинированная задача: трапеция

Площадь трапеции по двум треугольникам

Образец: $A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$ , $S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 9$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

$k^{2} = \frac{4}{9}$ , $\frac{A O}{OC} = \frac{3}{2}$ подобие

$S_{A OB} = S_{CO D} = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6$

$S = 4 + 9 + 12 = 25$

Сам

$BC = 3$ , $A D = 6$ , $S_{BOC} = 5$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $45$
$S_{A OB} = 12$ , $S_{BOC} = 8$ . Найдите $S_{A O D}$ и $S_{A BC D}$ . $18$ и $50$
$S_{A O D} : S_{BOC} = 4$ , $A D + BC = 18$ . Найдите $A D$ . $12$

R03.4

Образец → сам · построение циркулем и линейкой

Прямая, делящая площадь пополам

Образец: постройте $MN ∥ A C$ , которая делит площадь $△ A BC$ пополам.

$k^{2} = \frac{1}{2}$ ⇒ $BM = \frac{A B}{2}$ анализ

$P$ — середина полуокружности на $A B$ ⇒ $BP = \frac{A B}{2}$

дуга $(B; BP)$ даёт $M$ , затем $MN ∥ A C$ построение

Сам

$MN ∥ A C$ делит площадь в отношении $S_{MBN} : S_{A MNC} = 1 : 3$ . Найдите $BM : M A$ . $1 : 1$
Две прямые, параллельные $A C$ , делят $A B$ на три равные части. В каком отношении они делят площадь? $1 : 3 : 5$
$MN ∥ A C$ делит площадь пополам, $A B = 10$ . Найдите $BM$ . $52$

2,5 мин · практика
Образец: S_MBN = ½ S_ABC ⇒ k = 1/√2 ⇒ BM = AB/√2. Такой отрезок — катет равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой AB: строим серединный перпендикуляр к AB (середина O) и окружность с центром O радиуса OA; P — их общая точка. OP = OA = OB и OP ⊥ AB ⇒ △AOP и △BOP — равнобедренные прямоугольные ⇒ ∠APB = 45° + 45° = 90°, AP = BP. Длину BP находим через площадь (теорема Пифагора — позже, GEOM8U-055): S_APB = ½·BP·AP = ½·BP² и S_APB = ½·AB·OP = ½·AB·(AB/2) = AB²/4 ⇒ BP² = AB²/2 ⇒ BP = AB/√2. Дуга с центром B радиуса BP даёт M на BA; через M — прямая ∥ AC.
1) k² = 1/4, k = 1/2 ⇒ M — середина, 1 : 1. 2) k = 1/3 и 2/3 ⇒ доли 1/9, 4/9, 1 ⇒ части 1, 3, 5 (девятых). 3) BM = 10/√2 = 5√2 ≈ 7,07.
Сильным: как поделить площадь на три равные части? (BM1 = AB/√3, BM2 = AB·√(2/3).)

R03.4 · из жизни

Образец → сам · практическая задача: масштаб

План, карта, модель

Образец: на плане в масштабе $1 : 500$ участок занимает $24$ клетки по $1$ см². Найдите площадь участка.

$1$ см на плане — $500$ см $= 5$ м $k = 500$

$1$ см² — $5 \cdot 5 = 25$ м²; $S = 24 \cdot 25 = 600$ м²

Сам

Карта $1 : 10000$ , озеро на карте — $3, 5$ см². Площадь озера в гектарах? $3, 5$ га
Фото $10 \times 15$ увеличили до $20 \times 30$ . Во сколько раз больше бумаги? в $4$ раза
Модель самолёта $1 : 72$ покрасили $15$ г краски. Сколько краски нужно на самолёт тем же слоем? $77760$ г $\approx 78$ кг

R03.4 · ОГЭ, ч. 2

Разбор у доски · ОГЭ 25

Три треугольника внутри треугольника

Через точку

O

внутри

△ A BC

провели прямые, параллельные сторонам. Площади трёх треугольников с вершиной

O

равны

4

,

9

,

16

. Найдите

S_{A BC}

.

1каждый треугольник подобен

△ A BC

,

k_{i} = \frac{S _{i}}{S}

стороны параллельны сторонам

A BC

2

k_{1} + k_{2} + k_{3} = 1

их стороны, параллельные

A C

, вместе равны

A C

(параллелограммы)

3

S = 2 + 3 + 4 = 9

,

S = 81

2,5 мин · теория (учитель решает у доски, класс подсказывает обоснования)
Шаг 2 подробно: у треугольника, лежащего на AC, сторона на AC; у двух других стороны, параллельные AC, равны противоположным сторонам параллелограммов, лежащих на AC. Три отрезка складываются в AC, поэтому k1 + k2 + k3 = 1.
√(4/S) + √(9/S) + √(16/S) = 1 ⇒ (2 + 3 + 4)/√S = 1 ⇒ √S = 9 ⇒ S = 81. Проверено на чертеже: треугольники построены по координатам с k = 2/9, 3/9, 4/9.
Общая формула: S = (√S1 + √S2 + √S3)². Сравнить с трапецией: S = (√S1 + √S2)².

R03.4

Схема-конспект · приёмы практикума

От $k$ к $k^{2}$ и обратно

Подобие с коэффициентом $k$

k

стороны, высоты, медианы, периметры

k^{2}

площади

S

от площадей к сторонам:

k = S_{2} : S_{1}

Где искать подобие

$MN ∥ A C$ : $k = \frac{BM}{B A}$ (к всей стороне)
средняя линия: $\frac{1}{4}$ и $\frac{3}{4}$ площади
трапеция: $S_{3} = S_{1} S_{2}$ , $S = (S_{1} + S_{2})^{2}$
масштаб $1 : n$ — площади $1 : n^{2}$

R03.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$k = 3$ ⇒ площадь больше в $3$ раза	площадь — произведение двух длин	в $k^{2} = 9$ раз
$BM : M A = 2 : 3$ ⇒ $k = \frac{2}{3}$	коэффициент — отношение к целой стороне $B A$	$k = \frac{BM}{B A} = \frac{2}{5}$
площади $4$ и $9$ ⇒ стороны $4 : 9$	от площадей к сторонам — через корень	стороны $2 : 3$
трапеция: $S_{A OB} : S_{BOC} = k^{2}$	$△ A OB$ и $△ BOC$ не подобны, у них общая высота	$S_{A OB} : S_{BOC} = A O : OC$

R03.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Площади подобных треугольников $12$ и $27$ , сторона меньшего $4$ . Найдите сторону большего.

$k = \frac{27}{12} = 2, 25$

$x = 4 \cdot 2, 25 = 9$

$k = 2, 25 = 1, 5$ , $x = 6$

б) $S_{A BC} = 36$ , $MN$ — средняя линия, $MN ∥ A C$ . Найдите $S_{A MNC}$ .

$k = \frac{1}{2}$ ⇒ $S_{MBN} = 18$

$S_{A MNC} = 36 - 18 = 18$

$S_{MBN} = 36 \cdot \frac{1}{4} = 9$ , $S_{A MNC} = 27$

в) Трапеция: $S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 16$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

$S_{A OB} = \frac{4 + 16}{2} = 10$

$S = 4 + 16 + 2 \cdot 10 = 40$

$S_{A OB} = 4 \cdot 16 = 8$

$S = 4 + 16 + 16 = 36$

R03.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $k = 4$ , площадь меньшей фигуры $3$ . Площадь большей? $48$
базаСтороны относятся как $3 : 4$ , площадь большего $48$ . Площадь меньшего? $27$
базаПлощади подобных треугольников $9$ и $36$ . Отношение периметров? $1 : 2$

база $S_{A BC} = 64$ . Площадь треугольника, отсечённого средней линией? $16$
базаПлощадь квадрата увеличилась в $49$ раз. Во сколько раз — сторона? в $7$ раз
базаСоответственные стороны $5$ и $15$ , площадь большего $54$ . Площадь меньшего? $6$

R03.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $MN ∥ A C$ , $S_{MBN} : S_{A MNC} = 4 : 5$ . Найдите $BM : M A$ . $2 : 1$
повыш.Основания трапеции $4$ и $10$ , площадь $49$ . Найдите площадь $△ BOC$ ( $O$ — точка пересечения диагоналей). $4$
повыш.Высоту треугольника разделили на три равные части и через точки деления провели прямые, параллельные основанию; $S = 45$ . Площадь средней части? $15$
повыш.В $△ A BC$ $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A C = 6$ , $BC = 8$ . Найдите $S_{A C H} : S_{CB H}$ . $9 : 16$

R03.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 17 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15Площадь треугольника $A BC$ равна $76$ , $D E$ — средняя линия, параллельная $A B$ . Найдите площадь треугольника $C D E$ . $19$
ОГЭ 15Площадь треугольника $A BC$ равна $84$ , $D E$ — средняя линия, параллельная $A B$ . Найдите площадь трапеции $A BE D$ . $63$
ОГЭ 17Основания трапеции $3$ и $9$ , площадь треугольника, образованного меньшим основанием и отрезками диагоналей, равна $2$ . Найдите площадь треугольника при большем основании. $18$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Если стороны двух квадратов относятся как $1 : 3$ , то их площади относятся как $1 : 9$ .
Средняя линия отсекает от треугольника половину его площади.

Ответ: 2

R03.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Стороны подобных треугольников $3 : 5$ , площадь меньшего $18$ . Площадь большего? $50$
$S_{A BC} = 72$ , $MN ∥ A C$ , $BM : M A = 1 : 2$ . Найдите $S_{MBN}$ . $8$
Площади подобных многоугольников $20$ и $45$ , периметр меньшего $16$ . Периметр большего? $24$
Трапеция: $S_{BOC} = 9$ , $S_{A O D} = 25$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $64$

Вариант 2

Стороны подобных треугольников $2 : 7$ , площадь меньшего $8$ . Площадь большего? $98$
$S_{A BC} = 75$ , $MN ∥ A C$ , $BM : M A = 2 : 3$ . Найдите $S_{MBN}$ . $12$
Площади подобных многоугольников $12$ и $75$ , периметр большего $35$ . Периметр меньшего? $14$
Трапеция: $S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 49$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $81$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Во сколько раз меняется площадь, если стороны — в $k$ раз?
Как найти $k$ , зная площади?
Какую часть площади отсекает средняя линия?

Домашнее задание

Площади подобных треугольников $27$ и $48$ , сторона меньшего $9$ . Найдите соответственную сторону большего.
$S_{A BC} = 98$ , $MN ∥ A C$ , $BM : M A = 5 : 2$ . Найдите $S_{A MNC}$ .
* Трапеция: $S_{A OB} = 15$ , $S_{A O D} = 25$ . Найдите $S_{A BC D}$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_ploshchadi_parallelogramma_treugolnika_trapecii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-046 · Практикум: Площади подобных фигур

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R03 «Площадь», 16 ч · урок 8/16 · тип П
Единицы → слайды	R03.4 «Площади подобных фигур» → 2, 4–21 · повторение R03.3 и R02 → 3
Результаты	ПР-8 (отношение площадей подобных фигур, практические задачи) → 4–21 · ПР-7 (формулы площадей) → 3, 9–10 · ПР-5 (подобие) → 4, 7, 18
Вне урока	теорема об отношении площадей вводится на уроке GEOM8U-042; понятие площади — GEOM8U-047; объёмы подобных тел — 10–11 класс
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Площади подобных фигур

Сегодня вы научитесь

Переходить от k к k2

Видеть подобие внутри фигуры

Строить и доказывать

Решать практические задачи

Формулы площадей и коэффициент подобия

Площади подобных фигур относятся как k2

Знаем стороны — находим площадь

Образец: △ABC∼△A1​B1​C1​, AB=6, A1​B1​=9, SABC​=20. Найдите SA1​B1​C1​​.

Сам

Знаем площади — находим стороны

Образец: площади подобных треугольников 16 и 25, сторона меньшего 12. Найдите соответственную сторону большего.

Сам

Отсечённый треугольник подобен исходному

Площадь части треугольника

Образец: SABC​=50, MN∥AC, BM:MA=3:2. Найдите SAMNC​.

Сам

Четыре треугольника в трапеции

Площадь трапеции по двум треугольникам

Образец: ABCD — трапеция, BC∥AD, SBOC​=4, SAOD​=9. Найдите SABCD​.

Сам

Прямая, делящая площадь пополам

Образец: постройте MN∥AC, которая делит площадь △ABC пополам.

Сам

План, карта, модель

Образец: на плане в масштабе 1:500 участок занимает 24 клетки по 1 см². Найдите площадь участка.

Сам

Три треугольника внутри треугольника

От k к k2 и обратно

Подобие с коэффициентом k

Где искать подобие

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Площади подобных треугольников 12 и 27, сторона меньшего 4. Найдите сторону большего.

б) SABC​=36, MN — средняя линия, MN∥AC. Найдите SAMNC​.

в) Трапеция: SBOC​=4, SAOD​=16. Найдите SABCD​.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-046 · Практикум: Площади подобных фигур

Переходить от $k$ к $k^{2}$

Площади подобных фигур относятся как $k^{2}$

Образец: $△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $A B = 6$ , $A_{1} B_{1} = 9$ , $S_{A BC} = 20$ . Найдите $S_{A_{1} B_{1} C_{1}}$ .

Образец: площади подобных треугольников $16$ и $25$ , сторона меньшего $12$ . Найдите соответственную сторону большего.

Образец: $S_{A BC} = 50$ , $MN ∥ A C$ , $BM : M A = 3 : 2$ . Найдите $S_{A MNC}$ .

Образец: $A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$ , $S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 9$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

Образец: постройте $MN ∥ A C$ , которая делит площадь $△ A BC$ пополам.

Образец: на плане в масштабе $1 : 500$ участок занимает $24$ клетки по $1$ см². Найдите площадь участка.

От $k$ к $k^{2}$ и обратно

Подобие с коэффициентом $k$

а) Площади подобных треугольников $12$ и $27$ , сторона меньшего $4$ . Найдите сторону большего.

б) $S_{A BC} = 36$ , $MN$ — средняя линия, $MN ∥ A C$ . Найдите $S_{A MNC}$ .

в) Трапеция: $S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 16$ . Найдите $S_{A BC D}$ .